矩阵论广义逆矩阵

第六章 广义逆矩阵

当A 是n 阶方阵，且det A ≠0时，A 的逆矩阵1A -才存在，此时线性方程组Ax =b 的解可以简洁地表示为x =1

A b -．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述． 1920年，，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose 利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．§6.1 广义逆矩阵的概念

定义6.1 设A ∈C m n

?，如果X ∈C

n m

?满足下列四个Penrose 方程

(1)AXA =A ； (2)XAX =X ； (3)()AX AX =H

； (4)H

()=XA XA

的某几个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X 称为A 的Moore-Penrose 逆． 显然，如果A 是可逆矩阵，则1

X A -=满足四个Penrose 方程．

按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose 方程的广义逆矩阵，一

共有1234

4444C C C C 15+++=类．

以下定理表明，Moore-Penrose 逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的．

定理6.1 设C

m n

A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且惟一．

证 设rank A ＝r ．若r ＝0，则A 是m ×n 零矩阵，可以验证n ×m 零矩阵满足四个Penrose 方程．若r >0，由定理4．19知，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 使得其中∑=diag ()12r σ，σ，…，σ，而()12r i i =σ，，…，是A 的非零奇异值．记

则易验证X 满足四个Penrose 方程，故A 的Moore-Penrose 逆存在．

再证惟一性．设X ，Y 都满足四个Penrose 方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)从而A 的Moore-Penrose 逆是惟一的．

证毕

需要指出的是只要A 不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose 逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．

定义6.2 设C

m n

A ?∈，若C

n m

X ?∈满足Penrose 方程中的第(i )，(j )，…，(l )等方程，

则称X 为A 的{i ，j ，…，l }-逆，记为()

,,i j l A

…,，其全体记为A {i ，j ，…，l }．A 的惟一的

Meore-Penrose 逆记为A +，也称之为A 的加号逆． 在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类： A {1}， A {1，2}， A {1，3}， A {1，4}， A +

由于{1}-逆是最基本的，而A +惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以()

1A 与A +在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．§6.2 {1}-逆及其应用 一、{1}-逆的计算及有关性质

利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆． 定理6.2 设C m n

r A ?∈(r >0)，且有C m m

m

S ?∈和n 阶置换矩阵P 使得

则对任意()()

C

n r m r L n m -?-∈?，矩阵

是A 的{1}-逆；当L =O 时，X 是A 的{1，2}-逆． 证 因为

容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X 满足AXA =A ．所以X ∈A {1}．

当L =O 时，易知式(6.1)的矩阵X 还满足XAX =A ，故X ∈A {1，2}．

证毕

需要指出的是，式(6.1)中矩阵L 任意变化时，所得到的矩阵X 并非是满足AXA =A 的所有矩阵，即只是A {1}的一个子集．例6．1 已知矩阵241112121221A ?? ?=- ? ?--??

，求(1)(1,2)

A A 和．

解 4．8已求得

1103312033111S ??

?

? ?=- ? ?- ? ???

，()1324P e e e e =，，，

使得

从而由式（6．1），得

利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体． 定理6．3 设C m n

r

A ?∈，且C m m

m

S ?∈和C n n

n T ?∈使得

则

{}()

121221

221C

r m r r

I L A T S L L L ?-????=∈? ????

?， （6．2）

证 可知

令X =T 122122r

I L L L ??

???

S ．直接验证知AXA =A ，即X ∈A {1}．反之，若X ∈A {1}， 可设

由AXA =A ，得

当11r L I =，而12L ，21L 和22L 为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式(6．2)右边给出了A 的所有{1}-逆．

证毕

推论 设C

m n

A ?∈，则A 有惟一{1}-逆的充分必要条件是m =n ，且rank A =n ，即A 可逆．这

个惟一的{1}-逆就是1

A -． 下面定理给出了{1}-逆的一些性质． 定理6．4 设C m n

A ?∈，(1)

{1}A

A ∈，则

(1)(

)H

(1)H

{1}A

A ∈，()

T

(1)T {1}A

A ∈；

(2)(1)

(){1}A A λλ+

∈， 其中λ∈C ，且

10

00

λλλλ-+

?=??≠，，＝ （6．3）

(3)当C m m

m

S ?∈，C n n n T ?∈时，有1(1)1

(){1}T A S

SAT --∈；

(4)(1)

rank rank A A ≥； (5)(

)()(1)

(1)

rank rank rank AA A A A ==；

(6)(1)

m AA

I =的充分必要条件是rank A =m ；

(7)(1)

n A A I =的充分必要条件是rank A =n ．

证 (1)～(3)由定义直接得到； (4)rank A ＝rank (

)

(1)

(1)

rank AA A A ≤； (5)与(4)的证明类似；

(6)如果(1)

m AA

I =，则由(5)，得

反之，如果rank A =m ．则由(5)知，()

(1)rank AA =rank A =m ．又(1)AA 是m 阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到(

)

2

(1)(1)AA

AA =，两边同乘()1

(1)AA -即得(1)m AA I =； 同理可证(7)．

证毕

二、{1}-逆的应用

利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组． 定理6.5 设C m n

A ?∈，C

p q

B ?∈，C

m q

D ?∈．则矩阵方程AXB =D 有解的充分必要条

件是

(6.4)

其中(1)

{1}A

A ∈，(1){1}

B B ∈，当矩阵方程有解时，其通解为

(1)(1)(1)(1)X A DB Y A AYBB =+- (C n p Y ?∈任意) (6．5)

证 如果式(6．4)成立，则(1)

(1)

A D

B 是AXB =D 的解．反之，如果AXB =D 有解，则 将式(6．5)代入矩阵方程AXB ＝D 的左边并利用式(6.4)及｛1｝-逆的定义，可推出等于D ，这说明式(6．5)是矩阵方程AXB ＝D 的解．反之，设0X 是AXB ＝D 的任一解，则有它相当于在式(6．5)中取0Y X =．故式(6．5)给出了AXB ＝D 的通解．

证毕

推论1 设C

m n

A ?∈，(1)

{1}A

A ∈，则有

证 由定理6．5可知，AXA ＝A 的通解为

(1)(1)(1)(1)X A AA Y A AYAA =+- (C n m Y ?∈任意)

令(1)

Y A

Z =+，代入上式得

证毕

上述推论用某一个给定的(1)

A ，便给出了集合A ｛1｝的全部元素． 推论2 设C

m n

A ?∈，C m

b ∈．则线性方程组Ax ＝b 有解的充分必要条件是

(1)AA b b = (6．6)

其中A (1)∈A ｛1｝．如果Ax ＝b 有解，其通解为

(1)(1)()(C )n x A b I A A y y =+-∈任意 (6．7)

从式(6．7)可以看出：Ax ＝b 的通解由两部分构成，其中(1)

A b 是Ax ＝b 的一个特解，而((1)I A A -)y 为Ax ＝0的通解． 例6．2 用广义逆矩阵方法求解线性方程组

解 令 A =241

112121221?? ?-

? ?---??，b =514????????-??

例6．1已求得A 的｛1｝-逆为(取α=β=0)

容易验证

所以线性方程组有解，且通解为

（1234,,,C y y y y ∈任意）

推论2表明，利用某个{1}-逆可以解决线性方程组的求解问题．反之，利用线性方程组的解也可以给出{1}-逆． 定理6．6 设C

m n

A ?∈，C m b ∈，C

n m

X ?∈．若对于使得线性方程组Ax =b 有解的所

有b ，x =Xb 都是解，则{1}X A ∈．

证 记j a 为A 的第j 列，则线性方程组Ax =j a 都有解(因为j x e =就是解)．由于j x Xa =是线性方程组的解，即 从而

故X ∈A ｛1｝

证毕

三、由{1}-逆构造其他的广义逆矩阵

利用{1}-逆可以构造出其他的广义逆矩阵． 定理6．7 设C

m n

A ?∈，Y ，Z ∈A {1}．记X ＝YAZ ，则X ∈A {1，2}．

证 由定义直接得到．

证毕

因为在Penrose 方程(1)和(2)中，A 与X 的位置是对称的，所以X ∈A {1，2}与A ∈X {1，2}是等价的，即A 和X 总是互为{1，2}-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质()

1

1A --=A 类似，

因此也经常称之为自反广义逆矩阵． 引理6．1 设C m n

A ?∈，C

n p

B ?∈，且rank(AB )＝rank A ．则存在矩阵C

p n

W ?∈，使

得A ＝ABW ．

证 将A 按列分块为A ＝(12,,,n a a a …)，考虑线性方程组

()j AB x a = (j =1,2,…,n ) (6．8)

因为

rank(AB )≤rank(AB ，j a )=rank(AB ，j Ae ) =rank[A (B ，j e )]≤rank A =rank(AB )

所以rank(AB ，j a )=rank(AB )，即式(6．8)的诸线性方程组都有解，设 (AB )j j w a = (j =1，2，…，n )， W =(12n w w w ,,?,) 则有

A =(12,,n a a a …,)=A

B (12,,n w w w …,)=ABW

证毕

在式(6．1)中取L =O ，即有X ∈A {1，2}，此时rank X =r =rank A ．这个结论具有一般性． 定理6．8 设C

,{1}m n

A X A ?∈∈，则{1,2}X A ∈的充分必要条件是rank X =rank A ．

证 若X ∈A {1，2}，则有

rank A =rank(AXA )≤rank X =rank(XAX )≤rank A 即rank X =rank A ．

反之，若X ∈A {1}，且rank X =rank A ．由定理6.4知

rank X =rank A =rank(XA ) 从而根据引理6.1，存在矩阵n m

W C ?∈，使得X =XAW ，故

XAX =XA (XAW )=XAW =X 即X ∈A {1，2}．

证毕

为了构造{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆，要用到H A A 与H

AA 的{1}-逆． 定理6．9 设m n

A C ?∈，H (1)

H ()

(){1}A A A A ∈，()(1)

H H (){1}AA AA ∈，则

Y=(

)

(1)

H

H A A

A A ∈{1，2，3}， Z=H H (1)()A AA A ∈{1，2，4}

证 由定理1.26知

rank(H A A )=H rank A ， rank(H

AA )=rank A 根据引理6．1，存在n m

W C

?∈，使得

H H A A AW =或H H A W A A =

于是

AYA =(

)

H H

H (1)H H H

()W A A A A A A W A A A ??==?? 即Y ∈A {1}．由{1}-逆的性质知rank Y ≥rank A ，又有 rank Y =rank ()

(1)

H H H

rank()rank A A

A A A ??=???

?

≤

故由定理6．8得Y ∈A {1，2}．又因为 AY =(

)(

)

()()()(1)

(1)

H H H H H H H

H

W A A A A A W A A A A A

AW ??=????

=H H

W A AW

可见()H

AY AY =，故Y ∈A {1，2，3}． 同理可证Z ∈A {1，2，4}．

证毕

定理6．10 设C

m n

A ?∈，且(1,3)

(1,4){1,3},{1,4}A

A A A ∈∈．则

证 记(1,4)(1,3)X A AA =．由定理6．7知X ∈A {1，2}．又因为 所以

所以

可见X ∈A {1，2，3，4}．由于A {1，2，3，4}只含一个元素A +，故X A +

=．

证毕

§6．3 Moore-Penrose 逆A +

一、A +

的计算及有关性质

定理6．1给出了利用奇异值分解求A +的方法．这里给出的利用满秩分解求A +

的方法较为简便．

定理6．11 设C m n

r A ?∈(r >0)，且A 的满秩分解为

A =FG (C m r

r F ?∈，C r n

r G ?∈)

则

证 由定理1．26知，rank(H

GG )=rank G =r ，rank(H F F )=rank F =r ，从而H GG 与H

F F 都是r 阶可逆矩阵．记 容易验证X 满足四个Penrose 方程，故X =A +

．

证毕

推论 设C

m n

A ?∈．则当rank A =m 时，有

而当rank A =n 时，有

例6．3 求下列矩阵的Moore-Penrose 逆：

(1)241112121221A ??

?=- ?

?

---??

；

（2）123A ?? ?= ? ???．

解 （1）例4．9已求得 于是

（2）(

)

1

T

T 1

(1,2,3)14

A A A

A -+

==

由于A +的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下． 定理6．12 设C m n

A ?∈，则

(1)()

A

A +

+=；

(2)()

()H

H A

A +

+=，()()T

T A A +

+=

(3)()A A λλ+

+

+

=，其中λ∈C ，且λ+

如式(6．3)；

(4)rank rank A A +

=；

(5)()()

rank rank rank AA A A A ++==； (6)(

)

()H

H H

H A A A A A AA ++

=+=；

(7)(

)

()H

H A A

A A +

+

+=，()()H H AA A A +

+

+=；

(8)当U 和V 分别是m 阶与n 阶酉矩阵时，有

(9)m AA I +

=的充分必要条件是rank A =m ；

(10)n A A I +=的充分必要条件是rank A =n ．

证 只证(6)，其余结论直接利用A +

的定义或仿定理6．4证明． 记(

)

H

H X A A A +

=，由定理6．9知X ∈A {1，2，3}．余下只要验证X 满足Penrose 方

程(4)．因为

上式右边是Hermite 矩阵，故()H

XA XA =，即X ∈A {1，2，3，4}，从而X A +

=．

同理可证()

H

H A A

AA +

+=．

证毕

应当指出，有关逆矩阵的另外一些性质对于A +

一般不再成立： 对于同阶可逆矩阵A 和B 有()

1

11AB B A ---=，

定理6．12中之(7)表明对矩阵A 和H

A ，Moore-Penrose 逆有类似的性质．但一般来说．该性质不成立．如，设A =(1 1)，B=10??

???

，

于是AB =(1)，而()()1AB +=，1112A +

??= ?

??

，()10B += 故

对可逆矩阵A 有11AA A A I --==．当A 是长方阵时，AA +与A A +的阶数不等．即使A 为方阵，也不一定有AA A A ++=．如，设1100A ??=

???

，有101102A +

??= ???，从而

1000AA +??= ???，111112A A +

??= ???

可见+

AA A A +≠．

二、A +

在解线性方程组中的应用

利用{1}-逆已经解决了判断线性方程组是否有解及求通解的问题．由于A +

是特殊的{1}-逆，所以相应地有 定理6.13 设C m n

A ?∈，C m

b ∈．则线性方程组Ax =b 有解的充分必

要条件是

且通解为

()x A b I A A y ++=+- （C n y ∈任意） (6．9)

由式(6．9)可知，如果线性方程组Ax ＝b 有解，则当且仅当A A I +

=，即rank A ＝n 时解惟一．在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即称0x 为线性方程组Ax =b 的极小范数解． 定理6．14 设C

m n

A ?∈，C m

b ∈，且Ax =b 有解．则它的惟一极小范数解为0x A b +=．

证 对于式(6．9)给出的Ax =b 的通解x ，有 可见22x A b +

≥，即A b +

是极小范数解．

再证惟一性．设0x 是Ax =b 的极小范数解，则02

2

x A b +=，且

存在0C n

y ∈，使得 与前面推导过程类似，有 从而(

)

2

0I A A y +

-=，即()00I A A y +-=，从而0x A b +=．

证毕

当线性方程组无解时，往往希望求出它的最小二乘解(见式(3．12))．利用Moore-Penrose 逆可以解决这一问题．定理6.15设C

m n

A ?∈，C m

b ∈，矛盾方程组Ax=b 的全部最小二乘解为

() ()n z A b I A A y y C ++=+-∈任意 （6.10）

证 由式（6.10）可求得2

2

Az b AA b b +-=-对任意C n x ∈，有

于是2

22

Ax b AA b b Az b +-≥-=-这表明式（6.10）给出的z 都是Ax=b 的最小二乘

解。

又设0n

z C ∈是Ax=b 的任一最小二乘解，则有02

2

Az b AA b b +-=-

与前面推导过程类似，有

222

0022

2

Az b Az AA b AA b b +

+

-=-+-

从而202

Az AA b +-=0，即0Az AA b +=，可见0z 是线性方程组Ax AA b +

=的解，由于

()AA AA b AA b +++=，根据定理 6.13知，上述方程组有解，且通解为

n ()()() y C x A A A b I

A A y A b I A A y +

++

+

+

=+-=+-

∈（任意）

故000() ()n

z A b I A A y y C ++=+-∈可见式（6.10）给出了Ax=b 的全部最小二乘解。

由定理6.15的推证过程可得如下结论。 推论1 设C

m n

A ?∈，C m b ∈，则设C n

z ∈是矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解的充分

必要条件是，z 是方程组Ax AA b +

=的解。 推论2 设C

m n

A ?∈，C m b ∈，则设C n

z ∈是矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解的充

分必要条件是，z 是方程组H

H

A Ax A b =的解。

证 若z 是Ax=b 的最小二乘解，由推论1知，z 是Ax AA b +

=的解，于是

()()()H H H H H H A Az A AA b A AA b AA A b A b +++====即z 是Ax AA b +=的解，则有 ()()()()()H H H H H H Az AA Az AA Az A A Az A A b AA b AA b ++++++====== 证毕

由式（6.10）可见，矛盾方程Ax=b 的极小范数最小二乘解或最佳逼近解。 定理6.16 设C

m n

A ?∈，C m

b ∈，则矛盾方程组Ax=b 的唯一极小范数最小二乘解为

0x A b +=。

证 由推论1知，Ax=b 的极小范数最小二乘解就是Ax AA b +

=的唯一极小范数解，

根据定理6.14可求得0()x A AA b A b +++

== 证毕 综上所述，可以得到利用Moore-Penrose 逆A +求解线性方程组Ax=b 的如下整齐的结论：

（1） Ax=b 有解（或相容）的充分必要条件是AA b b +

=；

（2） () ()n

x A b I A A y y C ++=+-∈任意是相容方程组Ax=b 的通解，或是矛盾方程组Ax=b 的全部最小二乘解；

（3） 0x A b +

=是相容方程组Ax=b 的唯一极小范数解，或是矛盾方程组Ax=b 的唯一极

小范数最小二乘解

例6.4 用广义逆矩阵方法判断线性方程组

123412341

2342410226227

x x x x x x x x x x x x +++=??

+-+=??---+=-?是否有解？如果有解，求通解和极小范数解；如果无解，求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。

解 将线性方程组写成矩阵型式Ax=b,其中

2411101212,612217A b ????

? ?-= ? ? ? ?

----???? 例6.3已求得21

1142

23315

6165A +

?

? ?- ? ?=- ?-- ? ??

?

由于(11,6,6)T

AA b b +

=-≠所以方程组无解，全部最小二乘解为 极小范数最小二乘解为021

(1,2,,)33

T

x A b +

==