10-11(1)-10级-矩阵论试题与答案
参考答案
‘1 0 0、
一(15 分〉、设 A= 0 3 1 ,
- b
(1)求可逆矩阵P使得P'AP=J ,其中丿为A的Jordan标准形;
(2)计算0;
(3)求微分方程组斗卩=Ax(t), x(0) = 的解。
解:(1) |27-4| = (2-1)(2-2)2
‘1 0(P
21 — A= 0 —1 -1 , rank(2/ — A) = 2, dim N(2/ — A) = 3 — 2 = 1 w 1 1 > 故A的Jordan标准形为
<1 、
J= 2 1
<1 、
记P = [a^a2,a3],由P~l AP = J = 2 1 得
1 2
丿
Aa x = a x T r 0、了
Aa2 = 2a2=> ?)=0 ,0 =
J 1 ,巾= 0
Aa, =G2+ 2a30 、一
1丿
1
‘1 0 0、
p =0 1 0 (不唯一)9P-}AP = J = 2 1
1
°
-1 b < J (2)根据
te
严=p e J,p-1
0 (T 2 、0 0、'e!0 0 0 1 0 e" te210 1 0 = 0 e"(l+f) te21
-1 1
/ X e21
z
1 b 0 -te2'戶(1-?(3) x(t) = e At x(0) = e2t
二(15分人设
5
1 0、0
A = 1 2 1 ,b =
1
<0 1 1> kb
(1)求A的满秩分解A = FG,
(2)求A的广义逆矩阵?r:
(3)求Ax=b的最小2—范数最小二乘解X”。
(2)
fl
2
(3) x Ls. = A'b = — 2
9b
r (1 o -n
1 2
'0 1 0 ,
<0 1> \ /
FG(不唯一)
解:(1) A =
5
三(15分人设6? =(q卫2卫3“妇)「是给左的常向咼,X=(勺)2站是矩阵变量, 计算d(“)T和d(X叫
dX dX
解由
Xa =(a
}x n +a2x}2 +。3斗3 +。4召4、
[a}x2l+a2x22+a3x23+a4x2J
(Xa)7 =(4旺 1 + a2x l2 + a3x i3 + a4x l4, a A x2l + ci2x22 + + a4x2A )
四(15分人设
<1 1] 3
A = 2 1 ,b = 3
<2 0, 3
(1)用Gram-Schmidt正交化方法求矩阵A的QR分解:
(2)根据A的QR分解求Ax=b的最小二乘解。
解:(1)记A = [a^a2]则由Gram-Schmidt正交化方法
1
P\=a \=
2 ,||0| ||2
= 3
匕丿
五(1()分人设矩阵A = (^)eR nXn
为对称矩阵,并满足
5 >工闯(/?=12???丿)
证明A 是正定矩阵。
证 首先A 的特征值都是实数。由盖氏圆盘定理,对A 的任一特征值兄,必有某个i, 使得 从而
六(10分〉、设W = {f(x)\ /(l) = 0J(x)eR[x]z ,},这里R[x],_为实数域上次数不超 过“的
上两式改写为
(2) Rx = Q 「b
(恥)
1
1 2
1
2
1 O 3
~3
“竺也2人+禹=扭+02
(环A)
2
-2
x, =4/3 “丫2 = 1
产 (\
<0
V1 1/3、 I/丿 I 。1
多项式全体。
(1)证明W是R[A]H的子空间;
(2)求W的一组基和维数。
证:(1) x —①
Vf(x),g(x)wW,则/(l) = g(l) = 0,从而
h(x) = k l f(x) + k2g(x\h(\) = 0,/?(x) e W
(2) V/Cx) = q + a}x + …+ a n x n eW,f (1) = 0
5 =~a\ ------- a n
- 1) + @ (疋 -1) + ??? +"3 -1)
卜面证明(X — 1),(A~ —1),…,(x" — 1)线性无关。如果
蚣(X — 1) + ?(0 —1) + …+ k”(A"H—1) = 0
则
—伙]+ k-, + ? ? ? + k”)+ + k-,x~ + ? ? ? + k n x" = 0
k、= £= ???* =0
所以W的一组基是
(X_l),(x2_l),...,(x”_l)
dimW = /? — 1 o
七(10分〉、设A e R;xn的奇异值分解(SVD)为
U v AV = r
lo 0丿
这里符号的含义及约泄与教材一致匚 (1)证明 ||A ||2 = (2) 根据4的SVD 写出广义逆才表达式; (3) 证明齐次方程组Ar =0的通解为 x=(I n -A^A)y,yeR n 所以 rank(/n -A + A) = n-r 下面只需再证(人 - AM)的列都是Av = 0的解,即证 gm 这由A+的左义立即得。 八(10分)、设77(/7 > 2)阶矩阵 A = / - MV 1 (其中 0 u.v e R 1 ) (1) 证明A 的最小多项式是m A (A) = (2-1)[2-(1-/“)] (2) 求A 的Jordan 标准形(需要讨论)? 证 证(1) A = U 、 0> (£ 0、 0、 v r =v 勺; 0、 V u l u <0 0丿 <0 0丿 < 0 0> U 『=Udiag(5,… A! A = E 二diag(b],b29 … (2) o} r ( o (I o} \u l u\ r V T = I-V O) O, [o o) V r =V O V T ||州2 = "nm S' A) = 5 (1)记B = uv T ,则rank(B) = l,A = /-B,易验证 叫(2) = A2—(V7Z/)2 于是 m A (A) = [(/ 一 B) - I][(I一 B) - (1 一v T u)I] = B[B _(/“"] = O 又对任意的一次多项式gW = A + C g(A) = A + cI HO 这是因为,如果A+cI = O,即B = (l-c)Z 当c = l时,B = O,矛盾。 当 e H 1 时,rank(B) = n 与 rank(B) = 1 矛盾◎ 综上A的最小多项式是? (几)=(兄一 1)[2 一(1 一v T u)] (2)参考以前考题 "0 当V7u H 0时,B的Jordan标准形为 从而A = I-B的Jordan标准形为 ■ 当V7it = 0时,B的Jordan标准形为0 0 1 < 0> ■ ■ ■ 从而A = 1 -B的Jordan标准形为 1 1 1 2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ; 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。 习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ,2012矩阵论复习题
2016矩阵论试题
硕士研究生课程考试试题矩阵论答案
南航矩阵论2013研究生试卷及答案
矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
矩阵论试题
研究生矩阵论课后习题答案全习题三
2016矩阵论试题A20170109 (1)