一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解

一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程

教学目的

1. 回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念

掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。

重难点

1. 二元一次方程组，一元二次方程的应用

在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程教学过程

一．一次方程与一次方程组

1.方程（组）与方程的解的概念

（1）方程：含有未知数的等式叫做方程

（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。

（4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。

（5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。

（6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解

2.解方程的依据

等式的性质：

（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式

（2）等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式

2. 方程或方程组的解法与步骤

（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未

知数的系数化为一

（2）解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解，

通常的消元法有代入法和加减法。

3. 列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求

什么；

（2）设未知数（注意单位的同意）；

（3）根据相灯关系列出方程（组）；

（4）解方程（组），并检验；

（5）写出答案（包括单位名称）。

注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。

基础训练（一）

1. 在方程y x 4

13 ＝5中，用含x 的代数式表示y 为y ＝；当x ＝3时，y

＝ .

2．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝ .

3.解下列方程

7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 15-(8-5x)=7x+(4-3x)

{4519323a b a b +=--= {2207441x y x y ++=-=-

4.若方程组

{31x y x y +=-=与方程组{

84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.

5.已知关于、的二元一次方程组

的解满足二元一次方程，求的值。

二，一元二次方程

1. 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中二次项的系数是a ，一次项的系数是b,常数项是c 。

2. 一元二次方程的解法：

（1）配方法；（2）公式法（3）因式分解法（十字相乘法）

3. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0),的根的判别式Δ=b 2-4ac ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ＞0

方程有两个不等实数根. ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=0

方程有两个相等实数根.

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才

是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二

一元二次方程基础知识

一元二次方程基础知识一、基础知识回顾： 1．一元二次方程必须满足的三个条件：① ；② ；③ 。不满足其中任何一个条件的方程都一元二次方程。实例解答：下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=（a ≠0）；②2 430x x +-=；③2540x x -+=；④23x x = ⑤5xy －x+6=0；⑥mx 2=4x+1中，一元二次方程的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．一元二次方程的一般形式为（）。当时，是不含一次项的一元二次方程；当时，是不含常数项的一元二次方程；当时，是一次项和常数项的一元二次方程。实例解答：①把方程2)5)(2(-=-+x x 化为一般形式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是。②若0992)1(12=--++x x m m 是一个一元二次方程，则m 的值为。③ 若kx 2+x=k 2+6的一个根是2，则k 的值是。 3．解一元二次方程的方法有① ；② ；③ ；④ 。其中是一般方法，是特殊方法。 4．配方法是将方程化为形式，当时，利用开平方求解。步骤为： ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ 。 5．公式法解20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式为（042≥-ac b ），步骤为： ① ；② ；③ ；④当时，方程有，为；当时，方程有，为；当时，方程。 6．因式分解法解一元二次方程，是把方程一边化为，另一边分解成的形式。常用方法有① ；② ；③ 。 7．已知方程0)(2=+++pq x q p x 可化为（）（）=0，则x 1= ，x 2= 。 8．根与系数的关系： ①基本型：方程02=++q px x 的两根为21x x 、，则=+21x x ，21x x ?= ； ②一般型：方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根为21x x 、，则=+21x x ，21x x ?= 。思路归纳：要证明一元二次方程①有两个不相等的实数根，只要推导出△ ；②有两个相等的实数根，只要推导出△ ；③没有实数根，只要推导出△ ；④总有实数根，只要推导出△ 。二、方程应用题： 1．单（双）循环问题：设参与数量为x ，总次数为a 时，则①单循环问题的方程是；②双循环问题的方程是。 2．平均增长（下降）率问题：设增长（下降）前的数量为a ，增长（下降）后的数量为b ，增长（下降）次数为n ，平均增长（下降）率为x 时，则①平均增长（下降）率问题的方程是；②平均增长（下降）次数是2时，方程是。 3．数字问题：①若个位上数字、十位上数字、百位上数字分别为a 、b 、c ，则这个数为100c+10b+a ；②扎实掌握整数、奇数、偶数等数量关系，还有。 4．面积、体积问题：①牢记几何图形的面积和体积公式；②注意图形的拼、拆、平移等变换。

一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃ 1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法． [注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0. 3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝. [注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)

二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧：先考虑开平方法,

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程：（1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为（） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程：（1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程：（1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程（1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=

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一元二次方程知识网络详解：考点 1．一元二次方程的定义：形如ax bx c 0（a 0）的关于x 的方程为一元二次方程．考点 2．一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法” ；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法” b b24ac x1,2 求根公式：2a 考点 3．一元二次方程的判别式：b2 4ac 有两个不相等的实数根：0有两个相等的实数根：0 无实数根：0有实数根：0 考点 4．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 2 若0 时，设x1、x2为一元二次方程ax bx c 0（a 0）的两个实数根，那么：bc x1 x2 x1 x2 a ，a 考点 5．一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾】形的斜边是（） A. 3 B.3 C.6 D. 6 2、关于x 的方程m 1 x22mx m 0有实数根，则 m 的取值范围是（） A. m 0且 1 B. m0 C. m 1 D. m 1 3、关于 x 的一元二次方程（k-1）x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根 , 则 k 的取值范围是 4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是。 5、解方程（1）x 2 225 0 （2）2x2 10x 3 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三角

经典例题讲解：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（） 2 11 A 3 x 1 2 2 x1 B 2 20 xx C ax 2 bx c 0 2 D x 2 2x x 2 1 变式：当 k 时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3是一元二次方程。例 2、方程 m 2 x m 3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为变式练习： 1、方程 8x 2 7 的一次项系数是，常数项是。 2、若方程 m 2 x m 1 0是关于 x 的一元一次方程， ⑴求 m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x 2 m ?x 1是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 4、若方程 nx m +x n -2x 2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解例 1、已知 2y 2 y 3 的值为 2，则 4y 2 2y 例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2 x 2 x a 2 例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 必有一根为。例 4、已知 a,b 是方程 x 2 4x 则 m 的值为。 1 的值为。 4 0 的一个根为 0，则 a 的值为 0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方程 3) (x 3)2 (1 2x)2 4)1x 2 3 x 2 0 3 2 3 2 m 0的两个根， b,c 是方程 y 2 8y 5m 0的两个

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析课题一元二次方程章节复习及典型例题解析学习目标与考点分析学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用考点分析：1一元二次方程的定义、解法、及根与系数的关系学习重点理解并掌握一元二次方程的概念及解法学习方法讲练说相结合学习内容与过程一回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握）一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程压轴题[含答案解析]

一元二次方程 1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值． 2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程( a －6)x 2 ＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x 1＋1)( x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值． 4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2 －(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且 x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2 （2）若点A （1，2），B （ 1 2 ，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝ 5 4 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（福建模拟）已知方程组 ???y 2 ＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解 ? ????x ＝x 1y ＝y 1 和 ?????x ＝x 2 y ＝y 2 ，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围；（2）否存在实数b ，使得 1 x 1 ＋ 1 x 2 ＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．

一元二次方程练习题23718

一元二次方程练习题一、填空 1．一元二次方程12)3)(31(2 +=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。 2．关于x 的方程023)1()1(2 =++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。 3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是。 4. ++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2 )。 5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是。 6．若方程02 =++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为。 7．若代数式5242--x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是。 8．方程492=x 与a x =2 3的解相同，则a = 。 9．当t 时，关于x 的方程032 =+-t x x 可用公式法求解。 10．若实数b a ,满足022=-+b ab a ，则b a = 。 11．若8)2)((=+++ b a b a ，则b a += 。 12．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是。二、选择 1．下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（）（A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+2 21 （C ）0)1()1(2 22=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（）（A ）±2 1 （B ）±1 （C ）±2 2 （D ）±2 3．若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（）（A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2 1 4．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（）

一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：

人教版 21章一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；

（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为()n m x =+2的形式。（4）若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式；（4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

《一元二次方程》知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式：　 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想

一元二次方程??? →降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

一元二次方程知识点归纳

一元二次方程知识点知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1. 2 .一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝24 b ac -0时，原方程没有实数根．例：方程2210 x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230 x x ++= 的判别式等于－8，故该方程没有实数根. * 4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数式的常见变形： x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三：一元二次方程的应用 4（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程； ④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实

一元二次方程知识点整理

一元二次方程一、本节学习指导本节中我们要注意一元二次方程成立的条件，填空题最青睐这简单而又易忽视的知识。其次就是根与系数的关系（韦达定理）、判别式，求根公式，这些需要我们重点记忆。本节有配套学习视频。二、知识要点 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0）其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，

所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式：注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。三、经验之谈：对于韦达定理的文字描述希望同学们能理解，试着把二次项系数化1来观察一下。求根公式也要牢记于心，使用很广泛。

一元二次方程的定义及一般形式提高练习

一元二次方程的定义及一般形式提高练习一．选择题（共8小题） 1．（2012?汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（） A．x2﹣1=y B．（x+2）（x+1）=x2C．6x2=5D． 2．（2007?滨州）关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（） A．x =1，x2=﹣1B．x1=x2=1C．x1=x2=﹣1D．无解 1 3．（2002?甘肃）方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（） A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±2 4．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，则k的取值范围是（） A．k≠0B．k≠1C．k≠0且k≠1D．k=0 5．关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=（） A．±2B．2C．﹣2D．不确定 6．方程①；②3y2﹣2y=﹣1；③2x2﹣5xy+3y2=0；④中，是一元二次方程的为（）A．①B．②C．③D．④ 7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A．1，﹣4，B．0，﹣4，﹣C．0，﹣4，D．1，﹣4，﹣8．关于x的方程（a2﹣a﹣2）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（） A．a≠﹣1B．a≠2C．a≠﹣1且a≠2D．a≠﹣1或a≠2二．填空题（共8小题） 9．关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是_________ ． 10．若关于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，则m= _________ ．

11．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ． 12．若是关于x 的一元二次方程，则a= _________ ． 13．当k= _________ 时，（k ﹣1）﹣（2k ﹣1）x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程． 14．当m= _________ 时，方程（m 2﹣1）x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程． 15．方程（m+4）x |m|﹣2+5x+3=0是关于x 的一元二次方程，则m= _________ ． 16．关于x 的方程（m+3）+（m ﹣3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为 _________ ．三．解答题（共4小题） 17．方程（m+1）x+（m ﹣3）x ﹣1=0；（1）m 取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时是一元一次方程． 18．x 2a+b ﹣2x a+b +3=0是关于x 的一元二次方程，求a 与b 的值． 19．已知关于x 的方程（m 2﹣8m+20）x 2+2mx+3=0，求证：无论m 为任何实数，该方程都是一元二次方程． 20．若（m+1）x |m|+1+6﹣2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值． 1．下列方程中的一元二次方程是( )． A ．3(x +1)2=2(x －1) B ．21x +x 1－2=0 C ．ax 2+bx +c =0 D ．x 2+2x =(x +1)(x －1)

一般的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法—知识讲解（提高）【学习目标】 1．了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式222 ±+=±． a a b b a b 2() 要点二、配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。主要知识点：一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

一元二次方程知识点复习及典型题讲解

一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念：中考常见题型：例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）：中考常见题型：例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例

例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根．练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：