(完整版)《复变函数》考试试题与答案(二)

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.

( )

2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )

3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )

7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C

dz z f . ( )

8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )

9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )

10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n

n f . ( )

二. 填空题. (20分)

1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z

2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.

3. =-?=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）

4. 幂级数0n n nz ∞

=∑的收敛半径为__________ .

5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.

6. 函数e z 的周期为__________.

7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.

8. 设2

11)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.

10. ____)1,1(Res 4=-z

z . 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.

3. 计算积分：?-=i

i z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.

4. 求 dz z z z ?

=-22

)2(sin π.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（二）参考答案

一. 判断题.

1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.

二. 填空题

1.1，2π-， i ；

2. 3(1sin 2)i +-；

3. 2101i n n π=??≠?

； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0.

三. 计算题

1. 解 3212163

300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞

∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=.

则22(),(0,1)k i f z k θπ

+===.

又因为在正实轴去正实值，所以0k =.

所以4()i f i e π

=.

3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22π

π

θ-≤≤.

所以

22222i i i i z dz de e i ππθθππ---===??.

4. 解 dz z z

z ?=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2π

π==z z

i =0.

四. 证明题.

1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,

因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以

,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-. 比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.

2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有且只有 n 个

根”.

证明 令1

011()0n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取10max ,1n a a R a ??+???+??>??????

, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<. ()f z =.

由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++???++= 与 00n a z = 有相

同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <

内有n 个根.