抽象函数的常见解法
抽象函数的常见解法
2005年3月
抽象函数是指函数的三种表示法:列表法、图象法、解析法均未给出,只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象,但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力,对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此,这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法:
一、赋值法
先以特殊值作尝试,在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立,且f(1) = 1,求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x+1)=f(x)+x+1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解:令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1,
∴ f(1) = 1
f(2)= f(1) +2
f(3) = f(2) +3
…
f(n) = f(n-1) +n
各式相加得:f(n) = 1+2+3+…+n = n(n+1)
2
∴ f(x) = x(x+1)
2
例2已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y) = 2 f(x) · f(y),x∈R, y∈R,且f(0)≠0,求证:f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明:令x = y = 0
∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)
∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1
令 x = 0 , 则 f(y) + f(-y) = 2f(0) · f(y)
∴ f(-y) = f(y), ∵ y∈R,
∴ f(x)是偶函数
例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ ),对任意x > 0, y> 0
恒有f(xy) = f(x) + f(y)
求证:当x > 0时, f( 1
x
) = -f(x)
分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·1
x
)可求得。
证明:令x = y = 1,则f(1) = f(1) + f(1),∴ f(1) = 0
又令y = 1
x
,x > 0,则 f(1) = f(x) + f(
1
x
)
∴ f(x) + f( 1
x
) = 0
即f( 1
x
) = -f(x)
二定义法
在熟练掌握函数的定义、性质的基础上,对题中抽象函数给出的条件进行分析研究,运用定义、性质进行化简、变形,寻找解决问题的方法。
例4函数f(2x)的定义域是[-1,1],则f(x)定义域为
f(log
2
x)定义域为___________
分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。
解:∵-1≤x≤1
∴1
2
≤2x≤2 ∴ f(x)定义域为[
1
2
, 2]
∴1
2
≤log
2
x≤2 ∴ 2 ≤x≤4
∴ f(log
2
x)定义域为[ 2 ,4]
例5 已知f(x)是周期为2的偶函数,且在区间[0,1]上是增函数,则
f(-6.5)、f(-1)、f(0)的大小关系为_________________
分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。
解:∵f(x)是周期为2的偶函数
∴ f(-6.5) = f(-6.5+ 3×2)= f(-0.5) = f(0.5)
f(-1) = f(1)
又∵f(x)在[0,1]上是增函数,∴f(0)< f(0.5)< f(1)
故f(0)< f(-6.5)< f(-1)
例6 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x) =_____h(x) = ______ 分析:由题中条件,结合函数的奇偶性,求出f(x)及f(-x)的解析式,再求出g(x)和h(x)。
解:依题意有g(x) + h(x) = f(x) = lg(10x+1) (1)
又∵g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
∴ g(-x) + h(-x) = f(-x)
即-g(x) + h(x) = f(-x) = -lg(10x+1) (2)
由(1)、(2)得 g(x) = x
2
, h(x) = lg(10x+1)-
x
2
三、穿脱法
解决这类抽象函数,通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质,对函数进行“穿脱”,从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。
例7已知f(x)是奇函数,当x > 0时,f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时,f(x)的解析式。
分析: 利用变量间的代换,把x<0表示成-x>0,先求出相应f(-x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。
解:令x < 0,即-x > 0
∴ f(-x) = (-x)(1-x)
又∵f(x)是奇函数
∴-f(x) = -x(1-x)
∴ f(x) = x(1-x)
例8 已知f(x)是周期为2的函数,且在区间[-1,1 ]上表达式为
f(x)=-x+1则在[2k+1 ,2k+3 ], k∈Z上的表达式为_________
分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。
解:设t∈[-1,1 ],则2k+2+t∈[2k+1 ,2k+3 ],
令T = 2k+2+t,则t = T-2k-2
又∵f(x)是周期为2的函数
∴f(2k+x) = f(x)
∴f(T) = f(2k+2+t) = f(t) = -t+1= -(T-2k-2)+1=-T+2k+3
∴f(x) = -x+2k+3 ,x∈[2k+1 ,2k+3 ]
四、图象法
即借助图形或图像的直观性,数形结合来得到问题的答案此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂的计算,必须认真地体会.
例9 若奇函数f(x)在区间[3,7 ]上是增函数,且最小值为5,最大值为7,试判断在[-7,-3]上的单调性及最值情况
分析:利用题中条件,结合奇函数图象关于原点对称,可求出f(x)在相应区间的情况.
解:根据奇函数的图象关于原点对称的性质
不妨作图如下:由图可知
f(x)在[-7,-3]上是增函数
最小值为-7,最大值为-5
例10已知y = f(x)是
最小正周期为2的偶函数,它在区间[0 ,1 ]上的图象,如图所示线段AB,则在区间[1,2]上,f(x)的解析式是____________
分析:利用函数为偶函数,可画出[-1,0]的函数图象,再利用周期性可得到[1,2]的图象,最后根据图象的情况求出解析式。
解:∵f(x)是偶函数,周期为2,故可知f(x)在[1,2]的图象为线段BC,其中B
(1,1),C(2,2)
故在[1,2]上f(x)的解析式为y = x
例11已知f(x)是R上的奇函数,当x< 0时,f(x)为减函数,
且f(2)=0,则f(x)>0的解为______________
分析:利用函数的奇偶性及在x<0的函数图象,可知函数在x>0的图象情况,故可解
出在x∈R,f(x)>0的解。
解:∵f(x)在R上是奇函数且 f(x)在x<0为减函数
∴f(0) = 0 且 f(x)在x>0为减函数
又∵f(2) = 0,∴f(-2) = 0,
可知f(x)在R上的图象大致如右图:
故f(x)> 0的解为x<-2或0 五、其他 有少部分抽象函数的问题,它们必须灵活运用题中的条件,在特定的环境下,运用学过的知识和性质来寻找问题的解决。 例12若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和 B(3,-1),则不等式|f(x+1)-1| < 2的解为___________ 分析:由A(0,3),B(3,-1)可知f(0)=3,f(3)=-1再结合f(x)在R上是减函数,可求得不等式的解。 解:∵|f(x+1)-1| < 2 ∴-1< f(x+1)<3 又∵ f(3) = -1 ,f(0 ) = 3 ∴ f(3) < f(x+1)< f(0 ) 又∵ f(x)是R上的减函数 ∴ 0 例13 设f(x)函数是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的 a,b∈R,都有f(ab) = af(b) + bf(a), 1) 求f(0)、f(1)的值 2) 若T n = f(2n),且T n > 0,求证T n+1 >T n (n∈N) 分析:通过赋值可解1),再结合题中条件利用放缩法可求得2) 解:1)∵f(ab) = af(b) + bf(a) 令a = b = 0, 则 f(0) = 0 f(0) + 0f(0) ∴ f(0) = 0 令 a = b = 1 , ∴ f(1) = 0 2)∵T n = f(2n),且T n > 0,n∈N ∴ f(2) > 0 ∴ T n+1 = f(2 n+1) = f(2×2n) = 2f(2n) + 2 n f(2) > 2T n >T n 以上是高中阶段求抽象函数的常见题型及相应的思路、解法。希望通过上面的举例,能让同学们理解掌握这类问题的常用求法,并能达到举一反三,触类旁通的效果。 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性: 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x-a)(或f(x-2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数; 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数; 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数; 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数; 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ; 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数; 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 (7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称; 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称; 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0; 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知:对称中心是点,d a c c ??- ???; 6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称; 7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++ 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 抽象函数问题的具体解法 所谓抽象函数,就是指没有明确给出具体的函数解析表达式,只是给出一些特殊条件的函数,它在高中数学教材中没有具体涉及到,但在高考及各类模拟试题中经常见到, 该类问题比较抽象,考察学生能力,学生普遍感到束手无策,下面就抽象函数问题类型及解题策略作总结: 1、 定义域问题 ]1[02 113]1[2 10122 121111111010]10[1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x k k x k k x k x k x f k x f x F x f y +-≤≤-+≤-≤-≤≤-≤≤->-<->+>-???+≤≤-≤≤-???≤-≤≤+≤--+==,时,定义域为即)当(,时,定义域为即)当(时,函数定义域为或即或)当(得分析:由定义域。 )的()()(,求函数,)的定义域为(、若函数例φ 2、函数值和最值问题 处取得。和数。最大最小值在数满足条件,且为减函学过的函数中正比例函,在 指、对函数不满足条件分析:二次函数、幂、上的最大值与最小值 ,)在区间(求, )(且)(时,)当(), ()()(,有,)对任意(,且同时满足条件:)的定义域为(、已知函数例)(所以)()()()(分析:) (,求)() ()()(,若)的定义域为(、函数例33 ]33[21002134 3 23 24424482382---=<>+=+∈= ===+==+=++x f f x f x y f x f y x f R y x R x f f f f f f f f y f x f y x f R x f 10 0432 222<<--<->>+>+∞+∞-a a a R x f a f a f a f a f x f a a f a f R x f 所以上递减,则)在(而) ()(所以)()()是奇函数,(分析:因为的取值范围。 的实数)()(求满足)上是减函数, ,(上的奇函数,且在区间)是(、例、单调性问题 )为偶函数 (,即)(,所以)(因为)()(所以) ()()。(,则分析:令)的奇偶性 (,试判断)(且), ()()(,函数都满足,、若对于一切实数例、奇偶性问题 x f x f f x f f f x f x f y x f f y f x f y x f y x 1000 ]1[000000.54=≠=-==≠= 为周期。上的周期函数,且以)是(这表明),()(代换,得 以将上式中),()(),所以()()是偶函数知(又由),()(对称,所以)关于直线(分析;依题设)是周期函数 (证明:)(),且()()(都有,,对于任意对称, 于直线上的偶函数,其图象关)是定义在(、设例、周期性问题 2222101]2 10[165212121R x f R x x f x f x x R x x f x f x f x f x f R x x f x f x x f y x f a f x f x f x x f x x x R x f ∈+=-∈-=-=-∈-===>==+∈= 22120098 482tan tan 1tan 14tan 11220092211]1[27+===? ==-+=+-+=+= +=+=-+)()(从而)的周期是(,由此猜想并证明,而的周期为而)(,联想到)()()(分析:由)(,则)(又)()()(的函数,且)是定义域为(、设函数例f f x f y x y x x x x f x f x f f f x f x f x f R x f πππ 抽象函数与解题策略 上海南洋模范中学 熊晓东 2005年11月19日 (一)抽象函数的定义、特征和一般解题策略 (1)什么是抽象函数? 那些没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。 (2)抽象函数与一般函数的有什么联系? 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如,)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2 1 2 1x x x x a a a ?=+;)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数 2a 1a 21a x l o g x l o g )x x (l o g +=等等。当然,也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型,而是新定义的一种函数。 抽象函数也可以与我们熟悉的函数,如指数函数、对数函数等一样,有自己的性质,如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点,有自己的对称性,能画出大致图像。 (3)抽象函数的解题策略一般有哪些? 面对抽象函数数学题,我们的解题思路一般不外乎①合理赋值,化抽象为具体;②作恒等变形,找出该函数规律性、特征性特点;③分类讨论,归纳出抽象函数的实质问题。 (二)高考中的抽象函数 (1)抽象函数在高考中的地位 函数是高考数学中非常重要的一部分,根据上海卷命题的要求,每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右,2005年高考上海卷中,函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高,难度较大的内容。2000年开始,不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目,03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。 抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥?-≥?得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1x ( f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x -11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x 111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
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