北邮版概率论标准答案(3)

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=?????≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?

??

?

??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππ

sin sin sin sin sin0sin sin0sin

434636

2

(31).

4

=--+

=-

g g g g

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=

?

?

?>

>

+

-

.

,0

,0

,0

,)4

3(

其他

y

x

A y

x

e

求：（1）常数A；

（2）随机变量（X，Y）的分布函数；

（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1）由-(34)

00

(,)d d e d d1

12

x y

A

f x y x y A x y

+∞+∞+∞+∞

+

-∞-∞

===

????

得A=12

（2）由定义，有

(,)(,)d d

y x

F x y f u v u v

-∞-∞

=??

(34)34

00

12e d d(1e)(1e)0,0,

0,

0,

y y u v

x y

u v y x

-+--

??-->>

?

==

??

?

??

??

其他

(3) {01,02}

P X Y

≤<≤<

12

(34)38

00

{01,02}

12e d d(1e)(1e)0.9499.

x y

P X Y

x y

-+--

=<≤<≤

==--≈

??

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

?

?

?<

<

<

<

-

-

.

,0

,4

2,2

),

6(

其他

y

x

y

x

k

（1）确定常数k；

（2）求P{X＜1，Y＜3}；

（3）求P{X<1.5}；

（4）求P{X+Y≤4}.

【解】（1）由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==??

?

?

故 18

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=??

1

3

0213

(6)d d 88

k x y y x =

--=?? (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

??

??如图

1.5

4

2127d (6)d .832

x x y y =

--=?

?

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=??

??如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x

x x y y -=

--=?

?

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=?

??>-.,0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,

()0.2

0,

.X x f x ?<

55e ,0,

()0,

.y Y y f y -?>=?

?其他 所以

(,),()()X Y f x y X Y f x f y g 独立

5515e

25e ,00.20,0.20,0,y

y x y --???<<>?==??

???

且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

??

??如图

0.2

0.2

-5500

-1

d 25

e d (5e 5)d =e 0.3679.

x

y

x x y x -==-+≈???

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=???>>----.,

0,

0,0),1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?

???其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,

0,.y x x y x -≤≤≤≤??

?

其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

x

204.8(2)d 2.4(2),01,

=0,.0,

y x y x x x ??--≤≤?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=

?

12y 4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,.0,

y x x y y y y ?-?-+≤≤?

=??????其他

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=e ,0,

0,

.y x y -?<

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

e d e ,0,

=0,.0,

y x x y x +∞

--??>?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

0e d e ,0,

=0,.0,

y

y x x y y --??>?=??

????其他

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=22,1,

0,

.cx y x y ?≤≤??其他

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

??

??如图

21

1

2-1

4

=

d d 1.21

x

x cx y y c =

=?

? 得

214

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

2124

22121(1

),11,

d 84

0,0,

.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞

=?

52

2217d ,01,

4

20,0, .y y x y x y y -??≤≤??==??????

?其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=1,,01,

0,

.

y x x ?<<

?其他

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

1d 2,01,

0,

.x

x y x x -?=<

11

1d 1,10,

()(,)d 1d 1,01,0,

.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞

-∞

?=+-<

???

??

?其他

所以

|1

,||1,

(,)(|)2()0,

.Y X X y x f x y f y x x

f x ?<

?其他

|1

, 1,1(,)1

(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y

?<

?=

=-<

其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大

的号码为Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

3 4 5

{}i P X x =

1

3

511C 10

= 3

522C 10= 3

533C 10

= 610 2

35

11C 10= 3522

C 10= 310 3 0

2511C 10

= 110

{}i P Y y =

1

10 310 610

(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===

?=≠===g 故X 与Y 不独立

2 5 8

0.4 0.8

0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03

（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8

0.05 0.12 0.03 0.2

{}i P X x =

0.2

0.42

0.38

Y

X

X

Y

X

Y

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.

14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为

f Y （y ）=?????>-

.

,

0,0,

2

12/其他y y e

（1）求X 和Y 的联合概率密度；

（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.

【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <

1e ,1,

()20,y

Y y f y -?>?==???

其他.

故/2

1e

01,0,(,),()()2

0,

.

y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=???g 独立其他

题14图

(2) 方程2

20a Xa Y ++=有实根的条件是

2(2)40X Y ?=-≥

故 X 2≥Y ，

从而方程有实根的概率为：

22{}(,)d d x y

P X Y f x y x y ≥≥=

??

2

1

/2001d e d 2

12[(1)(0)]0.1445.

x y x y

π-==Φ-Φ=??

15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

f （x ）=?????>.,

0,

1000,10002其他x x

-/

求Z =X /Y 的概率密度.

【解】如图,Z 的分布函数(){}{

}Z X

F z P Z z

P z Y

=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =

（2） 当0

1000

z

）(如图a) 336

6

102222101010()d d d d yz Z z

x y z

F z x y y x x y x y +∞≥

=

=??

?? 33610231010=d 2z z

y y

zy +∞

??-= ????

题15图

(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）

336

6

222210101010()d d d d zy Z x

y z

F z x y y x x y

x y +∞≥

=

=??

?? 336231010101

=d 12y y zy z +∞

??-=- ???

?

即 11,1,2(),01,20,

.Z z z z

f z z ?

-≥???=<

???其他

故 21

,1,21

(),01,20,

.Z z z f z z ?≥???=<

???

其他

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，

求其中没有一只寿命小于180h 的概率.

【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），

从而

123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立

34{180}{180}P X P X ≥≥g

1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-

g g 4

4144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.

P X ?-?

??=-<=-Φ ??????

?=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….

证明随机变量Z =X +Y 的分布律为

P {Z =i }=

∑=-i

k k i q k p 0

)()(，i =0，1，2，….

【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，

所以 {}{}Z i X Y i ==+=

{0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U 于是

0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0

{}{}i

k P X k P Y i k ===-∑g

()()i

k p k q i k ==

-∑

18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参

数为2n ，p 的二项分布.

【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .

{}{,}k

i P X Y k P X i Y k i =+====-∑

00202(){}

2k

i k

i n i k i n k i

i k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-????= ? ?-????

????= ???-????

??= ???

∑∑∑g

方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则

X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,

所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.

(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}

{2|2}{2}

P X Y P X Y P Y =====

=

5

{2,2}

0.051

,0.252

{,2}

i P X Y P X i Y ====

=

===∑ {3,0}

{3|0}{0}P Y X P Y X P X =====

=

3

{0,3}

0.011

;0.033

{0,}

j P X Y P X Y j ====

=

===∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=

10

{,}{,},i i

k k P X i Y k P X k Y i -===

==+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =

所以V

的分布律为 V =max(X ,Y ) 0 1 2 3 4 5 P 0

0.04

0.16

0.28

0.24

0.28

(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===

3

5

1

{,}{,}

{,}{,}

k i

k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+

==∑∑

0,1,2,3,i =

于是 U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P

0.28

0.30

0.25

0.17

W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P

0.02

0.06

0.13

0.19

0.24

0.19

0.12

0.05

（1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；

（2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.

题20图

【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为

22221,,

(,)π0,

.x y R f x y R

?+≤?=???其他 （1）{0,}

{0|}{}

P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=

>

0(,)d (,)d y y x

y x

f x y f x y σσ

>>>=

????

π

2π/405π42π/401

d d π1

d d πR

R r r

R r r

R θθ=??

??

3/83

;1/

24

=

= (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤

00

131{0,0}1(,)d 1.44

x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-

=-

=??

21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？

题21图

【解】区域D 的面积为 2

2e e 01

1

1

d ln 2.S x x x

=

==?

（X ,Y ）的联合密度函数为

2

11,1e ,0,

(,)20,.

x y f x y x ?≤≤<≤?=???其他

（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为

1/20

1

1d ,1e ,()220,

.x X y x f x x

?=≤≤?=????其他 所以1

(2).4

X f =

22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和

y 1 y 2 y 3

P {X =x i }=p i

x 1 x 2

1/8

1/8

P {Y =y j }=p j 1/6

1

【解】因2

1

{}{,}j j i

j

i P Y y P P X x Y y ====

==∑,

故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824

P X x Y y ===

-= Y

X

而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====g ,

从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =?

==== 即：1111

{}/.2464

P X x ===

又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==

即1,3111{},4248

P X x Y y =++== 从而131

{,}.12P X x Y y ===

同理21{},2P Y y == 223

{,}8

P X x Y y ===

又

3

1

{}1j j P Y y ===∑,故3

111

{}1623P Y y ==--=. 同理23

{}.4

P X x == 从而

23313111

{,}{}{,}.3124

P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=

故

23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p （0

【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n m

n P Y m X n p p m n n -===-≤≤=L .

(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======g

e C (1)

,,0,1,2,.!

m m n m

n

n

p p n m n n n λλ--=-≤≤=g L 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~?

??

?

??7.03.021

，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).

【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为

(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=

0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=

由于X 和Y 独立，可见

()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-

0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-

由此，得U 的概率密度为

()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-

0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-

25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

1, 03,()3

0, 0,3;x f x x x ?≤≤?=??<>? 1, 03,

()30, 0, 3.

y f y y y ?≤≤?=??<>? 因为X ，Y 相互独立，所以

1

, 03,03,

(,)9

0, 0,0,3, 3.

x y f x y x y x y ?≤≤≤≤?=??<<>>? 推得 1{max{,}1}9

P X Y ≤=

. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为

其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：

（1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得

0.1a c -+=-.

再由 {0,0}0.1

{00}0.5{0}0.5

P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤=

==≤++,

得 0.3a b +=.

解以上关于a ，b ，c 的三个方程得

0.2,0.1,0.1a b c ===.

(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，

{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，

{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，

{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，

{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，

{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，

即Z

(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.

27. 设随机变量X,Y 独立同分布,且X 的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.

解：因为X,Y 独立同分布，所以F X （z ）=F Y (z),则F Z （z ）=P{Z ≤z}=P{X ≤z ，Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=［F （z ）］2.

28.设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为

1

{},

1,0,1,3

P X i i ===-

Y 的概率密度为1,01,()0,

Y y f y ≤

?其他.

记Z =X +Y .

（1）求1

{|0};2

P Z X ≤

= （2）求Z 的概率密度()Z f z

分析 题（1）可用条件概率的公式求解.题（2）可先求Z 的分布函数，再求导得密度函数.

解(1)

1

{0,}

12{|0}2{0}

P X Z P Z X P X =≤≤=== 1

{0,}

2{0}

P X Y P X =≤=

= 11

{}22

P Y =≤=

（2）(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤

{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=

1

[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-

1

[(1)()(1)]3

Y Y Y F z F z F z =+++-

'

1()()[(1)()(1)]3

Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-

1,

12

3

0,

.

z ?-≤

29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,f X (x),f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度,求在Y=y 的条件下,X 的条件概率密度f X ｜Y (x ｜y).

解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)= f X (x) ·F Y (y)，由本章所讨论知，/()()

(,)(/)()()()

X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===g .

30.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为

2,

01,01,(,)0,

.

x y x y f x y --<<<

?其他

（1）求{2};P X Y >

（2）求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .

分析 已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)G

G f x y dxdy =?? 解（1）

； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解 （1）2{2}(,)x y

P X Y f x y dxdy >>=

??

1200

1

20(2)57

().824

x dx x y dy x x dx =--=-=???

（2）()(,),Z f z f x z x dx +∞

-∞

=

-?

其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-

?其他

201,01

z x z x -<<<-

?其他

当02z z ≤≥或时，()0Z f z =； 当01z <<时，0()(2)(2);z

Z f z z dx z z =-=-? 当12z ≤<时，1

21

()(2)(2),Z z f z z dx z -=

-=-?

即Z 的概率密度为2

(2)01

()(2)

120Z z z z f z z z -<

其他