内蒙古通辽市奈曼旗实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

奈曼旗实验中学2018--2019学年度（下）期末考试

高二理科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2M =，{}2,3N =，则(

)U

N M =（ ）

A. {}1,2,3

B. {}2,3,4

C. {}3

D. {}4

【答案】B 【解析】 【分析】 先求

U

M

，再与集合N 求并集，即可得正确选项.

【详解】因为{}1,2M =，{}1,2,3,4U =， 所以

{}U

3,4M =，

所以(

){}{}{}U

2,33,42,3,4N M =?=，

故选：B

【点睛】本题主要考查了集合的并集和补集运算，属于基础题. 2. 复数31i

z i

-=-的虚部是（ ） A. 2i B. 2

C. i

D. 1

【答案】D 【解析】 【分析】

利用复数除法运算法则化简复数，然后可求复数的虚部． 【详解】因为复数3(3)(1)

21(1)(1)

i i i z i i i i --+=

==+--+， 所以复数z 的虚部为1， 故选：D ．

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，

通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3. 已知命题:p x R ?∈，2240x x -+≤，则p ?为（ ） A. x R ??，2240x x -+≤ B. 0x R ??，2

00240x x -+> C. x R ?∈，2240x x -+≥ D. 0x R ?∈，2

00240x x -+>

【答案】D 【解析】 【分析】

根据全称命题的否定直接求解.

【详解】根据全称命题的否定可知命题:p “2

,240x R x x ?∈-+≤”的否定是

“2

000,240x R x x ?∈-+>”.

故选：D

【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.

4. 甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是（ ） A. 0.16 B. 0.24

C. 0.96

D. 0.04

【答案】C 【解析】 【分析】

先求三人中至少有一人达标的对立事件的概率，再求其概率.

【详解】至少有1人达标的对立事件是一个人也没达标，概率为

()()()10.810.610.50.04---=，

所以三人中至少有一人达标的概率为10.040.96-=. 故选：C

【点睛】本题考查对立事件，属于基础题型.

5. 已知p ：2x <；q ：220x x --<，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出p、q对应的不等式的解，进而可选出答案.

【详解】由题意，222

x x

x

-<<；

22012

x x x

--

x

-<<，

所以q p

?，p q，即p是q的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.

6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（）

A. -3

B. -10

C. 0

D. -2

【答案】A

【解析】

循环时参数值分别为1,1

k s

==；2,0

k s

==；3,3

k s

==-；4

k=，此时满足退出循环条件，输出－3，故选A．

7. 设变量x、y满足

10

30

230

x y

x y

x y

-+≥

?

?

+-≥

?

?--≤

?

，则目标函数23

z x y

=+的最小值为（）

A. 7

B. 8

C. 22

D. 23

【解析】

【

详解】作出可行域，如图ABC ?内部（含边界），作直线:230l x y +=， 目标函数23z x y =+变为233

z

y x =-

+，平移直线,l 由图可知， 当它过点C 时，直线的纵截距最小，即z 最小，

联立+30

230

x y x y -=??--=? 解得点()2,1C ，可得min 22317z =?+?=，

故选A ．

考点：简单的线性规划． 8. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8

B. 0.75

C. 0.6

D. 0.45

【答案】A 【解析】

【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()

4

|5

P AB P B A P A =

=

，故选A. 考点：条件概率．

9. 在6

(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为 A. 30 B. 20 C. 15

D. 10

【解析】

【详解】6

2

3

4

5

6

(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++， 所以含3x 项的系数为15. 故选：C.

10. 某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为1,2,...,60，选取的这6名学生的编号可能是（ ） A. 1,2,3,4,5,6 B. 6,16,26,36,46,56 C. 1,2,4,8,16,32 D. 3,9,13,27,36,54

【答案】B 【解析】 【分析】

根据系统抽样的定义进行求解即可．

【详解】根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为

60

106

=，

∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列， 故选B ．

本题主要考查系统抽样的应用，求出号码间隔是解决本题的关键． 11. 曲线2

12

y x =-+在点()1,1--处的切线方程为（ ） A. 21y x =+

B. 21y x =-

C. 23y x =--

D.

22y x =--

【答案】A 【解析】 【分析】

求得函数的导数22

(2)

y x '=

+，得到切线的斜率为

1|2x k y =-'==，结合直线的点斜式方程，

【详解】由题意，函数2

12

y x =-

+，可得22(2)y x '=+，

则12

2

|2(12)

x y =-'=

=-+，即切线的斜率为2k =， 所以切线方程为(1)2[(1)]y x --=--，即21y x =+. 故选：A.

【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 12.

某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( ) A. 16种 B. 36种 C. 42种 D. 60种

【答案】D 【解析】

解：某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况，

一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有12

24C A ?=36种方案， 二是在三个城市各投资1个项目，有3

4A =24种方案， 共计有60种方案

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知圆极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C ，点P 的极坐标为，则|CP|=

_________ ． 【答案】2

【解析】

圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x 2+y 2=4x ，圆心为C （2，0）， 点P 的极坐标为，所以P 的直角坐标（2，2

），

所以|CP|=

=2

．

故答案为2．

14. 已知x ，y 的取值如下表： x 2 3 4 5 y

2.2

3.8

5.5

6.5

从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a 的值为________． 【答案】—0.61 【解析】 【分析】

根据所给条件求出x ，y ，把样本中心点()x y ，代入回归直线方程 1.4?6?y

x a +＝，可以得到关于?a

的方程，解出即可得到答案 【详解】根据题意可得2345

3.54

x +++=

=

2.2

3.8 5.5 6.5

4.54

y +++=

=

则这组数据的样本中心点是()3.54.5，

代入到回归直线方程 1.4?6?y

x a +＝ 4.5 1.46 3.?5a ∴?+＝ ?0.61a

=- 故答案为0.61-

【点睛】本题考查了线性回归方程，解题的关键是线性回归方程一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一，是线性回归方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．

15. 已知随机变量(

)2

~0,X N σ且(20)0.4P X -≤≤=，则(2)P X >=___________.

【答案】01 【解析】 【分析】

由正态分布的性质可得(02)P X <≤，再由()120(02)

(2)2

P X P X P X --≤≤-<≤>=

即可得解.

【详解】因为随机变量(

)2

~0,X N σ

且(20)0.4

P X -≤≤=，

所以由正态分布的性质可得()(02)200.4P X P X <≤=-≤≤=，

所以()120(02)

(2)0.12

P X P X P X --≤≤-<≤>==.

故答案为：0.1.

【点睛】本题考查了正态分布性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16. 已知0,0a b >>且1a b +=，则11

a b

+的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】 将1a b +=代入11

a b

+中，结合基本不等式即可得解. 【详解】

1a b +=

11a b a b

a b a b

+∴

+

++= 2b a

a b

=+

+ 22

b a

a b

≥+? 4≥

当且仅当

b a

a b

=，即a b =时取等 11

a b

∴+的最小值为4 故答案为：4.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意“1”的灵活应用和不等式成立的条件.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为x 14cos ,

y 24sin θθ=+??=+?

(θ为参数),直线l 经过

定点P(3,5),倾斜角为

3

π

. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程. (2)设直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求|P A|·

|PB|的值. 【答案】

(1) 1x 3t,2y 5t ?

=+??

??=+??

2, x 2+y 2-2x-4y-11=0.

(2)3. 【解析】 【分析】

（1）对曲线C ，利用22sin cos 1θθ+=消去sin ,cos θθ即得：22(1)(2)16x y -+-=，这就是曲线C 的标准方程一般地，直线的参数方程为00cos {sin x x t y y t θθ

=+=+，t 为参数，将条件代入即

得

（2）根据直线的参数方程中的参数t 几何意义知12PA PB t t =，因此将直线的参数方程代入圆的方程可得，再利用韦达定理即可得PA PB 的值

【详解】（1）圆C ：22(1)(2)16x y -+-=

，直线1

32

:{5x t

l y =+=+，t 为参数

（2

）将直线的参数方程代入圆的方程可得2(230t t ++-=， 设12,t t 是方程的两个根，则123t t =-，所以12123PA PB t t t t === 18. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和3

5

,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润

100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

【答案】(1)13

15

(2)详见解析 【解析】

试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的

概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为1,即可求的相应的概率.

(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.

(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为新产品,A B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23

,

35

,则()23122

11353515

P B ????=-?-=?= ? ?????,再根据对立事件概率之间的概率公式可得

()()13115P A P B =-=

,所以至少一种产品研发成功的概率为1315

. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即

0,120,100,220ξ=,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:

()232

0113515

P ξ????==-?-= ? ?????;()23412013515P ξ??==?-= ???;

()231

1001355

P ξ??==-?= ???;()232220355P ξ==?=;

所以ξ的分布列如下:

则数学期望2412

0120100220151555

E ξ=?

+?+?+?322088140=++=. 考点：分布列 数学期望 概率

19. “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[

)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，

[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：

（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；

（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.

【答案】(1)30;(2)54,55;(3) X 的分布列如下：

X

0 1 2

P

115 815 615

数学期望3

EX = 【解析】

试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为

1

2

处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X 的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出． 试题解析：

（1）由频率分布直方图知年龄在[

)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++?=， 所以40名读书者中年龄分布在[

)40,70的人数为400.7530?=. （2）40名读书者年龄的平均数为

250.05350.1450.2550.3?+?+?+? 650.25750.154+?+?=.

设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ?+?+?+?-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[

)20,30的读书者有0.00510402??=人， 年龄在[

)30,40的读书者有0.0110404??=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，

()20

242

41

015C C P X C ===， ()1124248

115C C P X C ===，

()02242

46

215

C C P X C ===， X 的分布列如下：

数学期望0121515153

EX =?

+?+?=. 20. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀

统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；

(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为

ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． P (K 2≥k 0)

0.05 0.01 k 0

3.841

6.635

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】

试题分析：（1）优秀人数为2

210607

?

= ，进而求得其它数据，从而求得12.2k ≈ ，故可以判定有关；（2）易得()33

225(3,)777k

k

k B P k C ξξ-????? ? ?

????

～＝＝ ，计算得分布列及方差.

试题解析：

(1)

k ≈12.2，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关． (2)ξ～B

，且P (ξ＝k )＝C

k

·

3－k

(k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为

E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

21. 已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3． （1）求a ，b 的值． （2）求函数的极小值． （3）求函数在[]1,2-的最值．

【答案】（1）6a =-，9b =. （2）0 . （3）12-. 【解析】

分析：（1）求导，利用()()13

10f f ?=??='??

进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的

单调性，进而确定函数的极小值点和极小值；（3）利用（2）的单调性和极值，再结合端点函数值确定最值.

解析：（1）()3

2

f x ax bx =+，()2

32f x ax bx '=+，

∵当1x =时，()f x 有极大值3，

∴()()

1310f f ?=?

?

='??即3320a b a b +=??+=?解得69a b =-??

=?， 故6a =-，9b =．

（2）由（1）知()3269f x x x =-+，()2

1818f x x x '=-+，

令()0f x '>，解得01x <<， 令()0f x '<，解得0x <或1x >，

∴()f x 在(),0-∞和()1,+∞上是减函数，在()0,1上是增函数， ∴()f x 在0x =取得极小值， 故()()00f x f ==极小值．

（3）由（2）可知，()f x 在[]1,0-和[]1,2上是减函数，在[]

0,1上是增函数， 又()16915f -=+=，()13f =，()00f =，()2689412f =-?+?=-， 故当1x =-时，()()max 115f x f =-=，

当2x =时，()()min 212f x f ==-．

点睛：（1）在处理已知函数()f x 在x a =处取得极值求有关参数问题时，不仅要重视

()0f a '=，还要验证x a =两侧的'()f x 的符号变化；

（2）利用导数求函数在某区间上的最值的一般步骤为：

①求导，利用导数在该区间上的符号变化确定函数的单调性； ②求出位于该区间内的极值；

③比较极值和端点函数值，确定最大值和最小值.

22. 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间.

【答案】（1）20x y +-=（2）当0a ≤时增区间()0,+∞，当0a >时增区间(),a +∞，减区间()0,a 【解析】

试题分析：（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，求得切点为()1,1A ，2

()1f x x

=-

'，求得斜率为()11f '=-，故切线方程为1(1)y x -=--；（2）函数的定义域为()0,+∞，

()1a x a

f x x x

-=-

='，当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，函数单调递增，当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. 试题解析：

（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A

2

()1f x x

=-

'，(1)121f ='-=-， 由导数的几何意义可知所求切线的斜率(1)1k f '==-， 所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. （2）()1a x a f x x x

-=-

='， 当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，

∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，

∵0x >，∴()0f x '>，得x a >；()0f x '<得0x a <<； ∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. 考点：导数与切线、单调区间．