节点导纳矩阵及潮流计算

目录

摘要 (2)

1任务及题目要求 (2)

2原理介绍 (3)

2.1节点导纳矩阵 (3)

2.2牛顿-拉夫逊法 (4)

2.2.1牛顿-拉夫逊法基本原理 (4)

2.2.2牛顿--拉夫逊法潮流求解过程介绍 (6)

3分析计算 (10)

4结果分析 (14)

5总结 (15)

参考资料 (16)

节点导纳矩阵及潮流计算

摘要

电力网的运行状态可用节点方程或回路方程来描述。节点导纳矩阵是以系统元件的等值导纳为基础所建立的、描述电力网络各节点电压和注入电流之间关系的线性方程。潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布及功率损耗等。本文就节点导纳矩阵和潮流进行分析和计算。

1任务及题目要求

题目初始条件： 如图所示电网。

其元件导纳参数为：y 12=0.5-j3, y 23=0.8-j4, y 13=0.75-j2.5

任务及要求:1）根据给定的运行条件，确定图2所示电力系统潮流计算时各节点的类型和待求量；

2）求节点导纳矩阵Y ；

1∠00

2+j1

3）给出潮流方程或功率方程的表达式；

4）当用牛顿-拉夫逊法计算潮流时，给出修正方程和迭代收敛条件。

2原理介绍

2.1节点导纳矩阵

节点导纳矩阵既可根据自导纳和互导纳的定义直接求取，也可根据电路知识中找出改网络的关联矩阵，在节点电压方程的矩阵形式进行求解。本章节我们主要讨论的是直接求解导纳矩阵。根据节点电压方程章节我们知道，在利用电子数字计算机计算电力系统运行情况时，多采用IYV 形式的节点方程式。其中阶数等于电力网络的节点数。从而可以得到n 个节点时的节点导纳矩阵方程组：

11112211211222221122n n n n nn n Y Y Y n Y Y Y n Y Y Y n +++=??+++=?

???+++=?

V V V I V V V I V V V I （2-1）

由此可以得到n 个节点导纳矩阵：

11121221

22

12n n n n nn Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ??

?

?= ? ???

（2-2） 它反映了网络的参数及接线情况，因此导纳矩阵可以看成是对电力网络电气特性的一种数学抽象。由导纳短阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模型。

通过上面的讨论，可以看出节点导纳矩阵的有以下特点：

（1）导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得，形成节点导纳矩阵的程序比较简单。

（2）导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知j ji Yi Y =。

（3）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过3~4个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行仅有3~4个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越显著。

节点导纳矩阵的形式可归纳如下： （1）导纳矩阵的阶数等于电力网络

（2）导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连得不接地支路数。

（3）导纳矩阵各对角元素，即节点的自导纳等于相应节点之间的支路导纳之和。

（4）导纳矩阵非对角元素，即节点之间的互导纳等于相应节点之间的支路导纳的负值。

2.2牛顿-拉夫逊法

2.2.1牛顿-拉夫逊法基本原理

牛顿--拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程。即通常所称的逐次线性化过程。

对于非线性代数方程组：

()0f x = 即 12(,,,)0i n f x x x = (1,2,,)i n = (2-3)

在待求量x 的某一个初始估计值(0)x 附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化的方程组：

(0)'(0)(0)()()0f x f x x +?= (2-4) 上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 (0)'(0)1(0)[()]()x f x f x -?=- (2-5) 将(0)x ?和(0)x 相加，得到变量的第一次改进值(1)x 。接着就从(1)x 出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值(0)x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为：

'()()()()()k k k f x x f x ?=- (2-6) (1)()()k k k x x x +=+? (2-7) 上两式中：'()f x 是函数()f x 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。

由上式可见，牛顿法的核心便是反复形式并求解修正方程式。牛顿法当初始估计值(0)x 和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。

牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4~5次便可以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对以节点导纳矩阵为基础的高斯法呈病态的系统，牛顿法也能可靠收敛。牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较高斯法多。

牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的节点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值(也称为平直电压)，如假定：

(0)1i U = (0)0i θ= 或 (0)1i e = (0)0i f = (1,2,,;)i q n i s =≠ (2-8)

这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它原因导致电压质量很差或有重载线路而节点间角差很大时，仍用上述初始电压就有可能出现问题。解决这个问题的办法可以用高斯法迭代1~2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。

2.2.2牛顿--拉夫逊法潮流求解过程介绍

以下讨论的是用直角坐标形式的牛顿—拉夫逊法潮流的求解过程。当采用直角坐标时，潮流问题的待求量为各节点电压的实部和虚部两个分量

1

2

1

2

,,,...,n

n

f f f e e e 由于平衡节点的电压向量是给定的，因此待求两共2(n-1)需

要2(n-1)个方程式。事实上，除了平衡节点的功率方程式在迭代过程中没有约束作用以外，其余每个节点都可以列出两个方程式。对PQ 节点来说，is P 和

is

Q

是给定的，因而可以写出

()()0()()0i ij

ij i ij

j

ij

j is

j

j j

j i

j i

ij

ij ij

j

j ij

j i

is

i j

j

j i

j i

p f

f f

e G e G e P B B Q Q

f f f

G e e G e B B ∈∈∈∈?

?=

---

+=??

?=-

-++=??

∑∑∑∑ （2-9） 对PV

节点来说，给定量是

is

is

V

P 和，因此可以列出

22

2

2

()()0()0

i is ij ij i ij j ij

j j

i j

j i j i

i is i i

f

f f

e G e G e P P B B f

V V e ∈∈?

?=---

+=????=-+

=?

∑∑ （2-10） 求解过程大致可以分为以下步骤： （1）形成节点导纳矩阵； （2）将各节点电压设初值U

（3）将节点初值代入相关求式，求出修正方程式的常数项向量； （4）将节点电压初值代入求式，求出雅可比矩阵元素； （5）求解修正方程，求修正向量； （6）求取节点电压的新值；

（7）检查是否收敛，如不收敛，则以各节点电压的新值作为初值自第3步重新开始进行狭义次迭代，否则转入下一步；

（8）计算支路功率分布，PV 节点无功功率和平衡节点注入功率。 以直角坐标系形式表示：

○

1迭代推算式 采用直角坐标时,节点电压相量及复数导纳可表示为:

i i i ij ij ij

V e jf Y G jB =+=+ (2-11)

将以上二关系式代入上式中,展开并分开实部和虚部;假定系统中的第1,2, ,m 号为P —Q 节点,第m+1,m+2, ,n-1为P —V 节点,根据节点性质的不同,得到如下迭代推算式: ⑴ 于PQ 节点

1111()()()()n

n

i i i ij j ij j i ij j ij j j j n n

i i i ij j ij j i ij j ij j j j P P e G e B f f G f B e Q Q f G e B f e G f B e ====??=---+?

?

??

?=--++??

∑∑∑∑ 1,2,,i m = (2-12) ⑵ 对于PV 节点

112222()()()n

n

i i i ij j ij j i ij j ij j j j I i i i P P e G e B f f G f B e V V e f ==?

?=---+?

???=-+?

∑∑ 1,2,,1i m m n =++- (2-13)

⑶对于平衡节点

平衡节点只设一个,电压为已知,不参见迭代,其电压为:

n n n V e jf =+ (2-14)

○

2修正方程

两组迭代式中包括2(n-1)个方程.选定电压初值及变量修正量符号之后代入,并将其按泰勒级数展开,略去,i i e f ??二次方程及以后各项,得到修正方程如下:

W J U ?=-? (2-15)

其中，1

1121

12

1m m m m n n P Q P Q W P U P U ++--?????

???

?????????

??=??

?????

???

????

????????

； 1111

11m m m m n n e f e f U e f e f ++--???

??

??

?????

?????

??=??

?????

???????

????????

1

1

1111111

11111111111111111111111m m m m n n m m m m n n m m m m m m m m m m m n P P P P P P P P e

f e f e f e f Q Q Q Q Q Q Q Q e

f e f e f e f P P P P P P P e f e f e f e J ++--++--++-?????????????????????????????????????????????????????????????????????= 11111111111111111

1

11

1

122222111

1

111m n m m m m m m m m m m m m n n m m m m m m m m m

m m m n n m m m m m m

m

P f Q Q Q Q Q Q Q Q e f e f e f e f P P P P P P P P e

f e f e f e f U U U U U e

f e f e -++--++++++++++--+++++??????????????????????????????????????????????????????????

22211

11

11

11111111111

11

1

122

2

2

2

2

111

1

11111

1m m m m m n n n n n n n n n n m

m m m n n n n n n n n m m

m m U U U f e f P P P P P P P P e f e f e f e f U U U U U U e

f e f e f +++++----------++--------++?????????????????????????????????????????????????????

2

21

11

1n n n n U U e f ----??

??

?

?????

?????

?????

?

?????

?

?????

?

?

??????

???

?????

??

?????????

?

(2-16)

○

3雅可比矩阵各元素的算式 式(2-12)中, 雅可比矩阵中的各元素可通过对式(2-8)和(2-9)进行偏导而求得.当j i ≠时, 雅可比矩阵中非对角元素为

22

()0

i i

ij i ij i j j i i ij i ij i j j

j j P Q G e B f e f P Q B e G f f e U U e f ?????=-=-+??????

??????

==-????????????==????

(2-17) 当j i =时,雅可比矩阵中对角元素为:

1

111

2

2()()()()22n

i ij j ij j ii i ii i j i n i

ij j ij j ii i ii i j j n i

ij j ij j ii i ii i j i n

i

ij j ij j ii i ii i j j i i

j

i

i i P G e B f G e B f e P G f B e G f B e f Q G f B e G f B e e Q G e B f G e B f f U e e U f f ====???

=----???

???=-+-+???

????=+-+???????

=-?-++??????

=-???

??=-??

∑∑∑∑??? (2-18)

由式(2-13)和(2-18)看出,雅可比矩阵的特点：

○

1矩阵中各元素是节点电压的函数,在迭代过程中,这些元素随着节点电压的变化而变化；

○

2导纳矩阵中的某些非对角元素为零时,雅可比矩阵中对应的元素也是为零.若0ij Y =,则必有0ij J =；

○

3雅可比矩阵不是对称矩阵;(1,2,,;)i q n i s =≠ 雅可比矩阵各元素的表示如下：

()()()()ij i ij i i ij ij j ij j ii i ii i j j i

G e B f j i P H G e B f G e B f j i e ∈-+?

≠???

==?----=???∑ （2-19）

)()()()ij i ij i i ij ij j ij j ii i ii i j j i B e G f j i P N G f B e B e G f j i f ∈-?

≠???

==?-++-=???∑ （2-20）

)()()()ij i ij i i ij ij j ij j ii i ii i j j i

B e G f j i Q M G f B e B e G f j i e ∈-?

≠???

==?++-=???∑ （2-21）

)()()()ij i ij i i ij ij j ij j ii i ii i j j i G e B f j i Q L G e B f G e B f j i f ∈+?

≠???

==?--++=???

∑ （2-22）

20()2()i ij i j j i U R e j i e ≠???==?-=?? 20()

2()i ij i j

j i U S f j i f ≠???==?

-=?? （2-23） 3分析计算

1. 根据给定的运行条件，确定图中所示电力系统潮流计算时各节点的类型

和待求量

根据图中可以看出各节点的类型和待求量分别为： 节点1：PQ 节点 待求量：,U θ 节点2：PV 节点 待求量：,Q θ 节点3：平衡节点 待求量：,P Q 2.求节点导纳矩阵Y

111213 1.25 5.5Y y y j =+=- 221223 1.37Y y y j =+=- 332313 1.55 6.5Y y y j =+=- 21120.53Y Y j ==-+

32230.84Y Y j ==-+ 31130.75 2.5Y Y j ==-+ 所以节点导纳矩阵为：

????

?

?????-+-+-+--+-+-+--=5.655.14

8.05

.275.048.073.13

5.05.275.035.05.525.1j j j j j j j j j Y 3. 潮流方程或功率方程的表达式

因为对n 个节点的网络，电力系统的潮流方程一般形式是：

（i=1,2，…，n ）

其中P i = P Gi - P Ldi , Q i = Q Gi - Q Ldi ,即PQ 分别为节点的有功功率无功功率。 所以代入得潮流方程：

=(1.25-j5.5)·11δ∠U +(0.5-j3)·21δ∠+(0.75-j2.5)01∠°

=(0.5-j3)·11δ∠U +(1.3-j7)·21δ∠+(0.8-j4)·01∠°

=(0.75-j2.5)·11δ∠U +(0.8-j4)·21δ∠+(1.55-j6.5)·01∠° 4．用牛顿-拉夫逊法计算潮流时，给出修正方程和迭代收敛条件

（1）修正方程

计算1、2节点的不平衡量i i i P V Q ???和、

∑==-n

j j

ij i

i

i V Y V jQ P 1

.

*

1

11

2δ∠-U j 2

215.0δ∠-jq

13

3∠-q p ()()()()()()()()()

()()202G G G 213

121131310

1010101010110

1101-=--=++--=?

?

????++--=-=?∑∑==j j j j j j j j j j s s e B f G f f B e G e P P P P

()()0V V V 2

02

22S

022

=-=? 节点3是平衡节点，其电压i i jf e +=i V 是给定的，故不参加迭代。

根据给定的容许误差510-=ε，按收敛判据()()(){}

ε

修正方程式为 V J W ?-=? (n=3)

T

22

211]V P Q P [W ????=? []T

f e f e 2

211V ????=? ??????????

??????

???

???????????????????????????????????????????????????=2

222

221

221

2222221212212111112121111

1

f V e V f V e V f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f P e P f P e

P J

以上雅可比矩阵J 中的各元素值是通过求偏导数获得的，对PQ 节点来说，

is

is

Q P 和是给定的，因而可以写出

()()0()()0i i j i j i i j j i j j i s j j j ji ji i j i j i j j j i j j i i s i j j ji ji p f f f e G e G e P B B Q Q f f f G e e G e B B ∈∈

∈∈??=---+=???=--++=??

∑∑∑∑ 对PV 节点来说，给定量是is is

V P 和，因此可以列出 2222

()()0()0i i s i j i j i i j j i j j j i j ji ji i i s i i f f f e G e G e P P B B f V Ve ∈∈

??=---+=????=-+=?

∑∑ ()()

()()()()()()()

()

()101B B B 1Q Q Q Q 13

12113131010101010101101101-=--=++--=?

?

????+---=-=?∑∑==j j j j j j j j j j s s e B f G e f B e G f

当j i ≠时, 雅可比矩阵中非对角元素为

22

()0

i i

ij i ij i j j i i ij i ij i j j

j j P Q G e B f e f P Q B e G f f e U U e f ?????=-=-+??????

??????

==-????????????==????

当j i =时,雅可比矩阵中对角元素为:

1

111

2

2()()()()22n

i i j j i j j i i i i i i j i n i

i j j i j j i i i i i i j j n i

i j j i j j i i i i i i j i n

i

i j j i j j i i i i i i j j i i

j

i

i i P G e B f G e B f e P G f B e G f B e f Q G f B e G f B e e Q G e B f G e B f f U e e U f f ====???

=----???

???=-+-+???

????=+-+???

????

=-?-++??????

=-???

??=-??

∑∑∑∑??? 代入数值后的修正方程为

?

???????????

--=?????????????????????????

???--------05.012020073.135.05.0325.15.535.05.525.122

11f e f e 求解修正方程得

?????

?

??????---=????????????????1015.003611.02547

.02211f e f e

（2）收敛条件

()()()()()()()()()

()()()1015

.01015.001

013611

.03611.007453.02547.0

1020212020212010111010111-=-=?+==-=?+=-=-=?+==-=?+=f f f e e e f f f e e e 一轮迭代结束，根据收敛条件收敛判据()()(){}

ε

k i k i V Q P 2,,max ，若等式成立，结果收敛，迭代结束，计算平衡节点的功率和线路潮流计算，否则继续计算雅可比矩阵，解修正方程，直到满足收敛判据。

4结果分析

给定节点电压初值()()()()()()0,0.103

020*******======f f f e e e ,经过四次笔算迭代过程后，得到节点电压和不平衡功率的变化情况分别于表4.1和表4.2所

示（取5

10-=ε）：

表4.1 迭代过程中节点电压变化情况

表4.2迭代过程中节点不平衡量变化情况

结果值与我的小组同学基本一样，也在预期之内。得到了基本一致的结果。并且确定牛顿法具有很好的二次收敛性，是求解多元非线性方程的正确算法。

5总结

这次的电力系统分析课程设计让我对平时所学的专业知识有了更深刻更具体的了解，明白了理论知识必须与实践相结合才能更好的发挥作用。在不停的翻书上网查资料的过程中，我积累了大量的导纳矩阵和潮流计算以及电力系统的知识，全面透彻的了解了相关知识的应用。使自己的知识更加牢固，并且有了更深的理解。

通过这次毕业设计，我才明白学习是一个长期积累的过程，在以后的工作、生活中都应该不断的学习，努力提高自己的知识和综合素质。总之，万事开头难，知识必须通过应用才能实现其价值！有些东西以为学会了，但真正到用的时候才发现是两回事，所以我认为只有到真正会用的时候才是真的学会了。

参考资料

[1] 何仰赞温増银. 电力系统分析（第三版）.华中科技大学出版社

[2] 吴国炎.电力系统分析. 浙江大学出版社

[3] 华智明岳湖山.电力系统稳态计算.重庆大学出版社