多目标线性规划图解法满意解条件

线性规划的图解法对于两个决策变量的线性规划可用作图方法来求解。图解法求解线性规划问题的步骤如下：分别取决策变量x1，x2为坐标向量建立直角坐标系。画出线性规划的约束区域；画出目标函数等值线；平行移动目标函数等值线，找到最优解。*线性规划的图解法例1：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：？产品甲产品乙设备能力（h）设备A3265设备B2140设备C0375利润（元/件）15002500？*线性规划的图解法问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？用图解法求解。解：设变量xi为第i 种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型：Maxz=1500x1+2500x2s。t.3x1+2x2≤65（A）2x1+x2≤40（B）3x2≤75（C）x1，x2≥0（D，E）*线性规划的图解法以决策变量x1，x2为坐标轴建立平面直角坐标系。考虑约束条件3x1+2x2≤653x1+2x2=65是一个直线方程画出这条直线。约束3x1+2x2≤65是半个平面同理约束条件2x1+x2≤40也是半个平面。线性规划的图解法整个约束区域是由直线3x1+2x2=65；2x1+x2=40；3x2=75；x1=0；x2=0所围在约束区域中寻找一点使目标函数最大。约束区域*线性规划的图解法作出目标函数的等值线：

1500x1+2500x2=7500将目标函数等值线沿增大方向平行移动。*线性规划的图解法图解法求解线性规划最优解是3x1+2x2=65（A线）和3x2=75（C线）两直线的交点。*线性规划的图解法任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置，得到交点（5，25）T，此目标函数的值为70000。于是，我们得到这个线性规划的最优解x1=5、x2=25，最优值z=70000。即最优方案为生产甲产品5件、乙产品25件，可获得最大利润为70000元。

第三章线性规划的解法习题解答090426y

第三章线性规划的解法 §3.1重点、难点提要一、线性规划问题的图解法及几何意义 1．图解法。线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为： 1）在平面上建立直角坐标系； 2）图示约束条件，找出可行域。具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点； 3）图示目标函数直线。给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线； 4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。（2）线性规划问题的几种可能结果： 1）有唯一最优解； 2）有无穷多个最优解； 3）无最优解(无解或只有无界解)。 2．重要结论。（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对

线性规划教学目标1.解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念

线性规划教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。教学重点：线性规划问题。教学难点：线性规划在实际中的应用。教学过程： 1．复习回顾：上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课：例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件：，求z的最大值和最小值. 解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．（如右图）．作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以 zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念．线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．

工程运筹学(讲义)A-4

第四章目标规划 (goal programming) 第一节问题的提出与目标规划的数学模型目标规划是在线性规划的基础上产生的，它主要用于解决多个目标的经济管理问题。或者说是针对线性规划单一目标、单一最优解的局限性而发展起来的。在一般线性规划问题中，我们总是对单一目标的优化问题（如最大利润或最小成本等）作出决策或计划安排，但实际问题中我们要实现的目标往往不止一个，而且有时这些目标之间还有冲突，所以在这种情况下，靠线性规划方法是无法解决的。 1961年，美国的查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.Cooper）首先提出了目标规划的有关概念，如偏差变量、满意解等，并建立了相应的数学模型；1965年，爱吉利（Y.Ijiri）提出了优先因子和权系数等概念，并进一步完善了目标规划模型，之后杰斯基莱恩（U.Jaashelaineu）又对目标规划的求解方法进行了研究，并提出了求解方法，最后形成了现在的目标规划的理论和方法。下面通过具体例子来说明目标规划的思想和数学模型例1.某工厂生产A、B两种产品，已知生产这两种产品每件产品资源消耗数、现有资源拥有量（限制数）及每件产品可获得的利润如下表：工厂决策者在制订生产计划时，根据经济管理的需要，考虑了一些其它因素：〔1〕根据市场产品销售情况，产品A的销售量有下降的趋势，决定产品A的产量应不大于产品B；〔2〕原材料超计划使用时，需要高价采购，会使成本增加；

〔3〕要尽可能充分利用设备有效台时，不加班；〔4〕应尽可能达到并超过计划利润指标56元。综合考虑各项指标，工厂的决策者认为产品B 的产量不低于产品A 的产量重要，应首先考虑；其次是应充分利用设备有效台时，不加班；第三是利润额应不小于56元。问如何制订生产计划。这类决策问题是考虑对资源的合理利用问题，如果只考虑利润目标的实现，显然这是一个单目标的线性规划问题，可以很容易建立起线性规划模型： ??? ??≥≤+≤++=0,102112108max 2 1212121x x x x x x x x z 但它的着眼点并没有放在利润收益上，而是要考虑多项指标的实现，而且允许目标实现有一定的误差。对于这样的决策问题，如果能用线性规划方法求解，把各项要求作为线性规划的约束，大多数是不存在可行域的，也就无可行解，更没有最优解，因为这些要求往往是矛盾的。有些方面的要求在线性规划模型中是无法表示的，是无法建立线性规划模型来求解的。比如，允许目标实现有一定的误差，这在线性规划模型中无法表示。这样的多目标决策问题，在我们现实的经营管理中是很多的，可以用目标规划方法来分析决策。目标规划模型与线性规划模型有些不同，增加了一些新的概念，在目标规划中有以下一些基本概念：〔1〕目标值、决策值、正负偏差变量+d 、-d 目标值：指预先给定的某个目标的一个期望值；决策值（实现值、实际值）：指当决策变量确定后，目标实现达到的值；决策值和目标值之间有一定的误差，但这种误差是一个不确定的值，用变量表示，称为偏差变量；在目标规划中，变量有两种即决策变量和偏差变量。偏差变量又分为正偏差变量和负偏差变量；正偏差变量：指决策值超过目标值的部分，记+d ,且0>+d ;

运筹学

题目：就目标规划及其求解方法和在实践中的应用谈一下自己的认识和理解；求解方法不局限于书上介绍的方法。姓名陈辉章学号 07082034

摘要目标规划（Goal programming）是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。由美国学者查纳斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）在1961年首次提出。在科学研究、经济建设和生产实践中，人们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题，我们称之为多目标规划。目标规划在实践中的应用十分广泛。目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标的差距为最小。目标规划的重要特点是对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。关键字：目标规划查纳斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）多目标规划

目录第一章绪论 ........................................................................................ 错误！未定义书签。 1.1绪论的目的.....................................................................................错误！未定义书签。 1.2论文页数要求 ...............................................................................错误！未定义书签。 1.3论文的编写格式..........................................................................错误！未定义书签。第二章概述. (4) 2.1论文正文..........................................................................................错误！未定义书签。 2.1.1 中英文摘要及关键词.....................................................错误！未定义书签。 2.1.2 目录..........................................................................................错误！未定义书签。 2.2论文的主体部分 .........................................................................错误！未定义书签。第三章结束语..................................................................................... 错误！未定义书签。参考文献 .................................................................................................... 错误！未定义书签。附录 ................................................................................................................ 错误！未定义书签。

任务二图解法求解线性规划问题

任务二图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型 MaxZ=2x 1+3x 2 ??????≥?≤≤≤+0 12416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。是求解线性规划的一种几何解法。只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。[1] 图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下： 1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。 2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。 3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。 4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。通过图解法直观的画图表现形式，也能让我们对线性规划解的进行更加理解。二、基本理论

目标规划

第三章目标规划第一节目标规划的数学模型目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。一、举例例1某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。生产有关数据表 ⅠⅡ拥有量原材料（公斤） 2 1 11 设备台时（小时）利润（元/件）1 8 2 10 10 用线性规划方法求解：设Ⅰ、Ⅱ两种产品产量分别为x1，x2 可得Z=62元，X=（4，3）T 但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目标：据市场信息，产品Ⅰ销售量下降，要求产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；达到并超过计划利润指标56元。这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。下面结合上述例题介绍有关建立目标规划数学模型的基本概念。二、目标规划基本概念 1. 设x1，x2为决策变量，并引入正、负偏差变量d+、d— 正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d—表示决策值

未达到目标值的部分，d +，d －≥0。决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有d +×d －＝0。 2.绝对约束和目标约束绝对约束指必须严格满足的“≤，≥，＝” 约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d +、d －”表示，称为软约束。约束的一般形式为：式中i g ——第i 个目标约束的目标值； ij C ——目标约束中决策变量的参数； + -i i d d 、——以目标值i g 为标准而设置的偏差变量。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z = 8 x 1 + 10x 2 ，可变换为目标规划问题中的目标约束：8 x 1 + 10x 2 =56 + d +－d －；而同样，线性规划问题的绝对约束：2x 1 + x 2 ≤11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x 1 + x 2 = 11－d －。建立约束需注意的问题时：（1）对于绝对约束，i g 则为资源限制值，上式中不加+ - i i d d 、。（2）非负约束是指偏差变量非负，0≥+ - i i d d 、，至于决策变量是否要求非负，依具体问题要求决定。（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。（4）如果有明显的目标要求，可在+ - i i d d 和中只选一个。 3.优先级与权系数要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标是有主次

线性规划的图解法

第一章绪论 1、对于线性规划问题，下列说法正确的是（） A 线性规划问题可能没有可行解 B 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达 D 上述说法都正确 2、某工厂生产A 、B 两种产品。生产A 产品1千克：煤9吨，电4千瓦，劳力3个工，利润500元。生产B 产品1千克：煤4吨，电5千瓦，劳力10个工，利润900元。现工厂有：煤360吨，电200千瓦，劳力300个工。请问如何安排生产使利润最大。要求：建立模型，用图解法求解。 3、某工厂生产A 、B 两种产品。生产A 产品1千克：大米9公斤，肉4公斤，劳力3个工，利润500元。生产B 产品1千克：大米4公斤，肉5公斤，劳力10个工，利润900元。现工厂有：大米360公斤，肉200公斤，劳力300个工。请问如何安排生产使利润最大。要求：建立模型，用图解法求解。 4、用图解法求解下面线性规划。 max z=2x1+2x2 x1－x2 ≥ 1 －x1 + 2x2≤ 0 x1、x2≥ 0 5、用图解法求解下述LP 问题。 Max Z=2x1+3x2 X1+2x2≤8 4x1≤16 4x2≤12 x j ≥0，j=1,2 6、用图解法求解线性规划问题max 1223z x x =+

1212284 16 412 x x x x ?? ?? ?+≤≤≤ 0,1,2i x i ≥= 7、解：目标函数： Min f = 2x1 + 3 x2 s.t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0 8、考虑如下所示的线性规划模型： max 3A+3B s.t 2A+4B ≤12 6A+4B ≤24 A,B ≥0 a.用图解法求出最优解。 b.如果目标函数变为2A+6B ，求最优解。 c.本题有多少个极点？在每个极点里，A ，B 的值是多少？ 9、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,825943.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 10、某工厂生产A 、B 、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

多目标线性规划图解法满意解条件

多目标线性规划图解法满意解条件线性规划的图解法对于两个决策变量的线性规划可用作图方法来求解。图解法求解线性规划问题的步骤如下：分别取决策变量x1，x2为坐标向量建立直角坐标系。画出线性规划的约束区域；画出目标函数等值线；平行移动目标函数等值线，找到最优解。*线性规划的图解法例1：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：？产品甲产品乙设备能力（h）设备A3265设备B2140设备C0375利润（元/件）15002500？*线性规划的图解法问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？用图解法求解。解：设变量xi为第i 种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型：Maxz=1500x1+2500x2s。t.3x1+2x2≤65（A）2x1+x2≤40（B）3x2≤75（C）x1，x2≥0（D，E）*线性规划的图解法以决策变量x1，x2为坐标轴建立平面直角坐标系。考虑约束条件3x1+2x2≤653x1+2x2=65是一个直线方程画出这条直线。约束3x1+2x2≤65是半个平面同理约束条件2x1+x2≤40也是半个平面。线性规划的图解法整个约束区域是由直线3x1+2x2=65；2x1+x2=40；3x2=75；x1=0；x2=0所围在约束区域中寻找一点使目标函数最大。约束区域*线性规划的图解法作出目标函数的等值线：

运筹学复习要点

运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题： 1、目标函数为求最大； 2、约束条件为等式约束； 3、决策变量为非负。二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . , xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示； 4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解； 6图解法只适用于两个决策变量的情况。四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。无界解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′ , ……… , b′m, 0, …… , 0)T为一个基可行解，有一个σm+k > 0,且对i = 1, 2 2, …… , m，有a i m+k≤0，那么该线性规划问题具有无界解（或称为无最优解）。第三章对偶理论与灵敏度分析一、写出对偶形式：P37 二、互补松弛性定理：若X0,Y0分别是原问题和对偶问题的可行解，则当且仅当X0,Y0为最优解时存在Y0X s＝0，Y s X0＝0. 三、对偶变量：根据导数来的。Y=CB^-1 四、灵敏度分析：三个参数只变一个，但会出两个相关的。第四章整数规划一、整数规划：在一般的线性规划模型中，变量为非负，而在整数规划模型中，全部或部分变量不仅为非负，而且还要求为整数。如果所有的变量都为正整数或零，称为全整数规划，如果仅其中一部分变量要求为正整数或零，则称其为混合整数规划；（整数条件下的最优解一定不优于非整数条件下的最优解）。二、关于整数归划的问题：为什么取整、四舍五入不可以？三、指派问题：从原效率矩阵的某行（或列）减去一个常数后得到的新矩阵

运筹学复习资料

运筹学复习一、单纯形方法〔表格、人工变量、根底知识〕线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。线性规划解得根本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集〔可行域〕构成一个凸多边形；凸多边形的顶点〔极点〕与根本可行解一一对应〔即一个根本可行解对应一个顶点〕；线性规划问题假设有最优解，那么最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。要求检验数全部小于等于零。 “当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。〞这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。这里，x1为进基变量，x3为出基变量。将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。单纯型原理的矩阵描述。在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。

最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。这个样子： '1222 1 0 -382580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。但是如果出现非基变量的检验数为0，那么有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。解的结果应该是： X *= a X 1*+(1-a)X 2*〔0<=a<=1〕说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。无最优解的情况就是：应该进基的变量所对应的列的系数全部小于零。假设存在某个λj >0,且所有的a ij <0，那么不存在有界最优解。人为地构造一个单位矩阵来充当初始可行基，再通过单纯形迭代将它们逐个地从基变量中替换出来。假设经过基的变换，基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解。假设在最终表中当所有C j -z j ≤ 0 ，而在其中还有某个非零人工变量，这表示无可行解。大M 法原理核心：打破原来的约束，再设法恢复。大M 法根本思想：假定人工变量在基变量中的价值系数为一个绝对值很大的-M (M>>0,对于极小化问题用+M),这样只要基变量中还存在人工变量,目标函数就不可能实现极值。两阶段法原理：第一阶段是据给定的问题构造其辅助问题，为原问题求初始根本可行解。加上人工变量后，要求的就是人工变量退出，辅助问题是人工变量之和的最小值必须为零。

目标规划问题

9.2.6 目标规划问题 9.2.6.1 基本数学原理前面介绍的最优化方法只有一个目标函数，是单目标最优化方法。但是，在许多实际工程问题中，往往希望多个指标都达到最优值，所以它有多个目标函数。这种问题称为多目标最优化问题。多目标最优化问题的数学模型为： i=1,…,m e i=m e+1,…,m 其中F(x)为目标函数向量。由于多目标最优化问题中各目标函数之间往往是不可公度的，因此往往没有唯一解，此时必须引进非劣解的概念（非劣解又称为有效解或帕累托解）。定义：若x*(x*∈Ω)的邻域内不存在Δx，使得（x*+Δx）∈Ω，且 i=1,…,m 对于某些j 则称为x*非劣解。多目标规划有许多解法，下面列出常用的几种： 1.权和法该法将多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题，即加权因子的选取方法很多，有专家打分法、α方法、容限法和加权因子分解法等。该问题可以用标准的无约束最优化算法进行求解。 2.ε约束法 ε约束法克服了权和法的某些凸性问题。它对目标函数向量中的主要目标Fp进行最小化，将其它目标用不等式约束的形式写出： sub. i=1,…,m i≠p 3.目标达到法目标函数系列为F(x)={F1(x), F2(x),…, F m(x)}，对应地有其目标值系列。允许目标函数有正负偏差，偏差的大小由加权系数向量W={W1,W2,…,W m}控制，于是目标达到问题可以表达为标准的最优化问题: sub. i=1,…,m 指定目标{ }，定义目标点P。权重向量定义从P到可行域空间Λ（γ）的搜索方向，在优化过程中，γ的变化改变可行域的大小，约束边界变为唯一解点F1s、F2s。

运筹学复习资料(1)

运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。要求检验数全部小于等于零。 “当x 1由0变到45/2时，x 3 首先变为0，故x 3 为退出基变量。”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。这里，x 1为进基变量，x 3 为出基变量。将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。单纯型原理的矩阵描述。在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。这个样子：

'1 222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -?????? ??????==?????? ???????????? ５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。解的结果应该是： X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。无最优解的情况就是：应该进基的变量所对应的列的系数全部小于零。若存在某个λj >0,且所有的a ij <0，则不存在有界最优解。人为地构造一个单位矩阵来充当初始可行基，再通过单纯形迭代将它们逐个地从基变量中替换出来。若经过基的变换，基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解。若在最终表中当所有C j -z j ≤ 0 ，而在其中还有某个非零人工变量，这表示无可行解。大M 法原理核心：打破原来的约束，再设法恢复。大M 法基本思想：假定人工变量在基变量中的价值系数为一个绝对值很大的-M (M>>0,对于极小化问题用+M),这样只要基变量中还存在人工变量,目标函数就不可能实现极值。两阶段法原理：第一阶段是据给定的问题构造其辅助问题，为原问题求初始基本可行解。加上人工变量后，要求的就是人工变量退出，辅助问题是人工变量之和的最小值必须为零。第二阶段是将第一阶段求出的最优解，作为第二阶段的初始基本可行解，然后在原问题的目标函数下进行优化，以决定原问题的最优解。注意：单纯形法中 1．每一步运算只能用矩阵初等行变换；

线性规划知识点

线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。二、基本概念 1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。通常用字母 Z 表示。 2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或等式，称为约束条件。通常用字母 Ai 表示。 3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。通常用字母 Xi 表示。三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。标准形式的线性规划问题包括以下要素： 1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或最小化。 2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或等式。 3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：

1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。 2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。它通过迭代计算，逐步接近最优解。 3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域： 1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或产量最高。 2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。 3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。 4. 资源分配：线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。 5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性： 1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。

多目标线性规划

多目标线性规划多目标线性规划（MOLP）是一种数学规划方法，旨在解决多个目标之间存在冲突或相互关联的问题。在MOLP中，同时考虑了多个目标函数，并通过设定不同的权重或约束来对这些目标进行优化。 MOLP的目标函数可以是线性函数，即目标函数可以用一组线性等式或不等式表示。例如，假设我们有两个目标函数f1(x)和f2(x)，其中x是决策变量。我们的目标是在给定一组约束条件的情况下找到一个最优解，使得f1(x)最小化并且f2(x)最小化。这样的问题可以表示为： minimize f1(x) minimize f2(x) subject to: g(x) <= 0 h(x) = 0 其中g(x)和h(x)分别是一组不等式约束和等式约束。在解决MOLP问题时，我们必须明确指定目标函数之间的优先级关系。这可以通过设定不同的权重来实现。例如，如果我们认为f1(x)的重要性更高，我们可以将其权重设置为更大的值，以便在优化过程中更加侧重于最小化f1(x)。另一种方法是使用约束来定义目标之间的关系。例如，我们可以将一个目标函数作为主目标，并将其他目标函数作为线性等式约束加入到问题中。这样，在优化过程中，系统将尽量满足

主目标，并同时满足其他目标的约束条件。 MOLP的解决方法通常是使用线性规划的方法，如单纯形法等。然而，在多目标优化中，由于目标之间的冲突和相互关联，可能不存在一个单一的最优解，而是存在一组最优解，称为非支配解（non-dominated solutions）或帕累托最优解（Pareto optimal solutions）。这些解构成了一个称为帕累托前沿（Pareto frontier）或帕累托集合（Pareto set）的曲线或体。总结来说，多目标线性规划是一种用于解决多个目标之间冲突和相互关联的数学规划方法。通过设定不同的权重或约束，可以在给定一组约束条件下找到一组最优解，这些解构成了一个称为帕累托前沿的曲线或体。MOLP的解决方法通常是使用线性规划的方法，如单纯形法等。

运筹学之目标重点规划

第七章目旳规划 §1 目旳规划旳提出线性规划问题是讨论一种给定旳线性目旳函数在一组线性约束条件下旳最大值或最小值问题。对于一种实际问题，管理科学者根据管理层决策目旳旳规定，一方面拟定一种目旳函数以衡量不同决策旳优劣，且根据实际问题中旳资源、资金和环境等因素对决策旳限制提出相应旳约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作敏捷度分析以供管理层决策之用。而在某些问题中，决策目旳往往不只一种，且模型中有也许存在某些互相矛盾旳约束条件旳状况，用已有旳线性规划旳理论和措施无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Coopor）提出了目旳规划旳概念与数学模型，以解决经济管理中旳多目旳决策问题。我们将通过几种例子来阐明在实际应用中线性规划存在一系列旳局限性。例1某厂生产A、B两种产品每件所需旳劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备旳单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A、B产品旳利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、B产品，才干使其利润值最大？解设该厂能生产A、B产品旳数量分别为 ,x x件，则有 12

12 1212max 30050010..4670 0, 1,2.j z x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：由上图可得，满足约束条件旳可行解集为∅，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增长利润，不也许不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一种合适旳方案。例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现规定购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。问如何拟定最佳旳采购方案（即花掉旳资金至少，购买旳总量最大）？解这是一种具有两个目旳旳数学规划问题。设12,x x 分别为购买两种原材料旳公斤数，()112,f x x 为花掉旳资金，()212,f x x 为购买旳总量。建立该问题旳数学模型形式如下：

线性规划与目标规划的异同和作用

一、线性规划与目标规划 (1)线性规划线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支 ,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。普通地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或者最小值的问题，统称为线性规划问题。线性规划模型的普通形式如下：在线性规划的数学模型中，方程 (1) 称为目标函数； (2) 称为约束条件。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。在生产管理和经营活动中时常提出一类问题，即如何合理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便达到最好的经济效果。例． [生产计划安排问题]某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，单位产品的获利，如下表所示：产品Ⅱ 1 1 1 100 元问题：计划期内工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才干使工厂获利最多？解：设工厂在计划期内应安排生产产品ⅠX1 件, 产品ⅡX2 件。所获利润为 z 元。设备原料A 原料B 单位产品获利产品Ⅰ 1 2 0 50 元资源限制 300 台时 400 千克 250 千克

由题意得： Max z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 300 s.t. 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0 上例有这样的特征：(1)用一组变量表示某个方案，普通这些变量取值是非负的；(2)存在一定的约束条件，可以用线性等式或者线性不等式来表示；(3)都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。 (2)目标规划目标规划(Goal programming) 目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。目标规划的模型分为以下两大类： 1.多目标并列模型。 2.优先顺序模型。目标规划在企业人力资源需求预测中的应用企业人力资源需求预测是人力资源管理是的一项重要工作，它可以匡助企业明确未来人力需求趋势，做好人材储备工作；同时也可以匡助企业合理预测未来各部门、各类职位人员的需求情况，做好企业的定岗定编工作。面对日益复杂、变化更加剧烈的内外部环境，如何对动态环境中企业人力资源需求做出科学预测，是人力资源管理的重要课题。目标规划法是为了同时实现多个目标，为每一个目标分配一个偏离各目标严重程度的罚数权重，通过平衡各标准目标的实现程度，使得每一个目标函数的偏差之和最小，建立总目标函数，求得最优解。例如在上例中的线性规划问题中现增加两个目标：假设该厂根据市场需求或者合同规定，希翼尽量扩大产品甲的生产量，减少乙的生产量。则模型如下： Max z1 = 50 x1 + 100 x2 Max z2 = x1 Min z3 = x2 x1 + x2 ≤ 300 s.t. 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0 这样就变成为了一个多目标规划的问题了。在这种多目标的规划中目标有主次之分，当约束条件有冲突时时，约束条件也要有权重的大小之分，这样在尽量满足约束条件的情况下使目标达到最大，最终找到满意解。下面介绍一下其两者间的异同点。二、异同点 Ⅰ.线性规划的局限性

7.运筹学之目标规划(胡运权版)

第七章目标规划 §1 目标规划的提出线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Coopor）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A、B产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、B产品，才能使其利润值最大？解设该厂能生产A、B产品的数量分别为 ,x x件，则有 12

12 1212max 30050010..4670 0, 1,2.j z x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：由上图可得，满足约束条件的可行解集为∅，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？解这是一个含有两个目标的数学规划问题。设12,x x 分别为购买两种原材料的公斤数，()112,f x x 为花掉的资金，()212,f x x 为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如下：