2019届泰州市高三一模数学试题(160分含评分标准)

2018～2019学年度第一学期期末考试

高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：张 俊 吴春胜 张圣官 展国培 审题人：杨鹤云 唐咸胜

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． （参考公式：柱体的体积V Sh =，椎体的体积 1

3

V Sh =

） 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1.函数()sin 2f x x =的最小正周期为 ▲ ．

2.已知集合{}

2

4,A a =，{}1,16B =-，若A

B ≠?，则a = ▲ ．

3.复数z 满足43z =+i i （i 是虚数单位），则z = ▲ ．

4.

函数y =的定义域是 ▲ ．

5. 从1,2,3,4,5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率

为 ▲ ．

6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是 ▲ ．

7.已知数列{}n a 满足212log log 1n n a a +-=中，则

53

31

a a a a +=+ ▲ ．

8. 若抛物线2

2(0)y px p =>的准线与双曲线2

2

1x y -=的一条准线重合，则p = ▲ ．

9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M 为棱1AA 的中点，记 三棱锥1A MBC -的体积为1V ，四棱锥111A BB C C -的体积为2V ，则

1

A

A （第6题）

1

2

V V 的值是 ▲ ． 10. 已知函数42()24f x x x =+，若(3)(1)f a f a +>-，则实数a 的取值范围为 ▲ ．

11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆

222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k = ▲ ．

12. 已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且满足20PA PB PD ++=，

0PA PB PC λμ++=，则λμ= ▲ ．

13. 已知函数3332,()34,x x a x a

f x x x a x a

?-+≥?=?+-

取值范围是 ▲ ．

14.在ABC ?中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 2θ=(02

θπ

<<)， 若

112

tan tan tan A B C

++为定值，则实数λ= ▲ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）

已知向量(sin 1)x =，a ，1

(cos )2

x =，b ，其中(0π)x ∈，．

（1）若//a b ，求x 的值； （2）若tan 2x =-，求+a b 的值．

16.（本题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点O 为对角线BD 的中点，点E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点．已知PA AB ⊥，PA AD ⊥． 求证：（1）直线//PB 平面OEF ； （2）平面OEF ⊥平面ABCD ．

B

D

如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点．现欲在线段

OQ 上找一处开挖工作坑P （不与点,O Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，

PB ．已知2OA =千米，π

3

AOB ∠=

．记 APQ rad θ∠=，地下电缆管线的总长度为y 千米．

（１）将y 表示为θ的函数，并写出θ的范围；

（２）请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

18.（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C 22

221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，点

B 是椭圆

C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与

直线OP 交于点Q ．已知椭圆C 的离心率为1

2

，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设点Q 的横坐标为0x ，求0x 的取值范围．

设,A B 为函数()y f x =图象上相异两点，且点,A B 的横坐标互为倒数．过点,A B 分别作函数()y f x =的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数()f x 的“优点”．

（1）若函数2

ln ,01(),1

x x f x ax x <

>?不存在“优点”，求实数a 的值；

（2）求函数2()f x x =的“优点”的横坐标的取值范围； （3）求证：函数()ln f x x =的“优点”一定落在第一象限．

20.（本题满分16分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 1232a a a +=，且对任意的,2n n ∈≥N 都有

1112(25)n n n nS n S S ra +--++=．

（1）若10a ≠，213a a =，求r 的值； （2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）当1r =时，求证：数列{}n a 是等差数列．

2018～2019学年度第一学期期末考试

高三数学答案

一、填空题 1.

π 2. 4- 3.5 4.[1,1]- 5.

15

6. 8

7. 4

8.

9.

1

4

10. (1,)-+∞

11. 2 12. 34- 13. [1,0)- 14. 二、解答题

15.（本题满分14分）

解：（1）因为(sin 1)x =，a ，1(cos )2x =，b ，//a b ，

所以1sin cos 12

x x =?， ……………3分

即sin 21x =，

因为(0π)x ∈，，所以22

x π

=

，所以4

x π

=

． ……………7分

（2）因为(sin 1)x =，a ，1

(cos )2x =，b ，

因为tan 2x =-，所以sin 2cos x x =-，则1

sin cos 02

x x +=， 所以1

sin cos 02

x x ?+=a b =

， ……………10分

所以2

222222192(sin 1)(cos )44x x +=++?+=+++=a b a b a b =a b ，

所以3

2

+=

a b ． ……………14分

16.（本题满分14分） 证明：（1）在PBD ?中，O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以// OF PB ，

……………3分

因为PB ?平面OEF ，OF ?平面OEF ， ……………7分

所以直线//PB 平面OEF （2）连结AC ，

因为底面ABCD 为平行四边形，O 为BD 的中点， 所以O 为AC 的中点，

在PAC ?中，O 为AC 的中点，E 为PC 的中点， 所以// OE PA ，

……………9分 因为PA AB ⊥，PA AD ⊥， 所以OE AB ⊥，OE AD ⊥，

……………11分

又因为AB AD A =，AB AD ，在平面ABCD 内， 所以OE ⊥平面ABCD ， 因为OE ?平面OEF ，

所以平面OEF ⊥平面ABCD ．

……………14分

17.（本题满分14分）

解：（1）因为点Q 是弧AB 的中点，所以π

6

AOP ∠=

，PA PB =， 因为APQ θ∠=，所以APO πθ∠=-，π6

PAO θ∠=-， 在OPA ?中，由正弦定理，

sin(π)sin

sin()

6

6

PA OA OP

π

πθθ=

=--，

即

2sin sin()26

PA OP πθθ==-， 所以2sin()

16sin sin PA OP π

θθθ

-=

=，， ……………4分

所以2sin()

112cos 6sin sin sin sin y PO PA PB π

θθθθθθ--=++=++=，7()612

ππθ∈，．

……………7分

（2

）因为2cos sin y θθ-=，7()612

ππθ∈，， 所以212cos sin y θθ-'=

，令0y '=，得3

π

θ=

， ……………10分

当()63ππθ∈，时，0y '<，当7π

()312

πθ∈，时，0y '>，

所以当3πθ=时，y

有极小值，且是最小值，此时2sin()

6sin 3

OP π

π=

=………13分 答：（1

）2cos sin y θθ-=

，7()612

ππ

θ∈，． （2）当OP

……………14分 18.（本题满分16分）

解： （1）由题意得12c a =，

2

6a a c

+=，解得2,1a c ==

，所以b 所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=． ……………4分

(2) （法1）设(,)B m n ，则22

143

m n +=， 因为(2,0)A -，AB BQ ⊥，所以直线BQ 的方程为2

()m y x m n n

+=-

-+， 因为P 是AB 的中点，所以2(

,)22m n P -，所以直线OP 的方程为2n

y x m =-， 联立直线BQ 、OP 的方程得2()2

m n

x m n x n m +--+=-， ……………8分 解得22022

(2)(2)

4m m m n x m n

-++=-+，

由

22

143

m n +=得223(4)4n m =--，代入上式化简得06x m =+，……………14分 因为22m -<<，所以048x <<． ……………16分

（法2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，

将(2)y k x =+代入椭圆方程22

143x y +=得2222(43)1616120k x k x k +++-=， 解得228643B k x k -+=+，所以222

8612(2)4343B k k y k k k -+=+=++， 则直线BQ 的方程为22

212186

()4343

k k y x k k k -+-=--++， 因为P 是AB 的中点，则2222

86

28432243

A C P k x x k k x k -+-++-+===+， 216243

P B k y y k ==+，

所以直线OP 的斜率为

22263438443

k k k k

k +=--+，则直线OP 的方程为34y x k =-，………8分 联立直线OP 、BQ 的方程得2021624

43

k x k +=+212443k =++， ……………14分

因为2

433k +>，所以2120443k <

<+，2

12

44843

k <+<+，即048x <<． ……………16分

19.（本题满分16分）

解：（1）不妨设(,())(01)A t f t t <<， 当01x <<时，1()f x x '=

，则1()f t t '=；当1x >时，()2f x ax '=，则12()a

f t t

'=， 因为函数2ln ,01(),1x x f x ax x <?

不存在优点，所以对任意的01t <<，都有12a

t t =，

所以1

2

a =

． ……………4分

（2）设2(,)A t t ，2

11

(,

)B t t ，由题意0,1t ≠±， 过,A B 两点的切线方程分别为22()y t t x t -=-，2121()y x t t t

-=-，……………6分 联立得222112()()t x t t x t t t -+=-+，即2

2112()t x t t t -=-，所以11()2x t t

=+，……8分

因为1t ≠±，所以当0t >时，12t t +>；当0t <时，1

2t t

+<-，

所以优点横坐标的取值范围是(,1)

(1,)-∞-+∞．

……………10分

（3）证：设优点为P 00(,)x y ，只要证00x >，00y >． 设1

(,ln ),(,ln )A t t B t t

-，不妨设A 在B 的右边，则1t >， 过,A B 的切线方程分别为：1()ln y x t t t =-+，1()ln y t x t t

=--，

联立这两个方程得02

2ln 1t x t t =-，202(1)ln 11

t t

y t +=--， ……………2分 因为1t >，所以02

2ln 01

t

x t t =

>-， 设()221ln +1t h t t t -=-()1t >，则()22

22(1)0(1)

t h t t t -'=>+()1t >．

所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=，则221

ln +1

t t t ->．

因为当1t >时，2

10t ->，所以()2

2+1ln 101

t t y t =

->-．

故函数()ln f x x =的优点P 一定落在第一象限． ……………16分

20.（本题满分16分）

证明：（1）因为213a a =，1232a a a +=，所以312125a a a a =+=， 当2n =时，12312114()9()a a a a a a ra ++-++=， 所以11111114(35)9(3)a a a a a a ra ++-++=，即11a ra =， 因为10a ≠，所以1r =．

……………4分

（2）数列{}n a 不能是等比数列，理由如下： 假设

{}n a 是等比数列，设公比为q ，

因为1232a a a +=，所以21112a a q a q +=，等比数列需满足10a ≠，所以2q =或1q =-，

……………6分

当2q =时，因为2n =时，12312114()9()a a a a a a ra ++-++=，

即11111114(24)9(2)a a a a a a ra ++-++=，则2r =， 又3n =时，343216()112S a S S a +-+=，所以4117

3

a a =， 而111117

,2,4,

3

a a a a 不构成等比数列，所以此时不满足要求；……………8分 当1q =-时，因为2n =时，12312114()9()a a a a a a ra ++-++=，

即11111114()9()a a a a a a ra -+--+=，则5r =， 又3n =时，343216()115S a S S a +-+=，所以415

3

a a =

，

而11115,,,3

a a a a -不构成等比数列，所以此时不满足要求， 故数列{}n a 不能是等比数列．

……………10分

（3）当2n =时，12312114()9()a a a a a a a ++-++=，即312455a a a =+， 因为1232a a a +=，所以21313,5a a a a ==，所以21314,9S a S a ==， 当3n =时，343216()11S a S S a +-+=，所以417a a =。 因为1112(25)n n n nS n S S a +--++=，

所以1112()()4n n n n n n S S S S S a +----=+，即1124n n n na a S a +-=+， 所以当3n ≥时，1112(1)4n n n n a a S a ----=+，

两式相减得112(21)4n n n n na n a a a +---+=，即112(23)0n n n na n a a +--++=，……12分 所以212(1)(25)0n n n n a n a a +++-++=，

两式相减得211(22)(45)(24)0n n n n n a n a n a a ++-+-+++-=，

所以21112(1)(2)(2)n n n n n n n a a a a a a +++-+-+=-+， ……………14分 所以

111343231

1

2(2)(2)0

22(1)

(4)

n n n n n n n a a a a a a a a a n

n n n +-----+=

-+==

-+=--所以对任意的3n ≥，都有1120n n n a a a +--+=，又因为32120a a a -+=， 所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分