苏教版数学高一必修二作业第一章《立体几何初步》章末检测

(时间：120分钟，满分160分)

一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共70分)

1．(2012·临沂高一检测)下列几何体是旋转体的是________．

①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体

答案：①④

2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．

解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面．答案：平行或异面

3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________．解析：∵l1∥l2，∴过l1与l2有且只有一个平面．

答案：1

4．(2012·淮阴高一检测)长、宽、高分别为4、3、2的长方体的外接球的表面积为________．

解析：球的直径与长方体体对角线相等，故S球＝4πr2＝4π×(29

2＝29π.

答案：29π

5．(2012·鹤岗高一检测)一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．

解析：如图所示，将△A′B′C′还原后为△ABC，由于

O′C′＝2C′D′＝2×1×

＝6

，

所以CO＝2O′C′＝ 6

∴S△ABC＝1

2×1×6＝

6 2.

答案：

6 2

6．(2012·福州高一检测)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是________．

解析：连结AC，由于四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥平面ABCD，所

以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .

答案：垂直

7．(2012·龙岩高一检测)已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________．

解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ?β. 答案：a ∥β或a ?β

8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．

(1)A 1C 1与EF 所成的角的大小是________． (2)AD 1与EF 所成的角的大小是________．

解析：(1)连结B 1D 1，易证B 1D 1∥EF ，又B 1D 1⊥A 1C 1，所以A 1C 1⊥EF ，即A 1C 1与EF 所成的角为90°.

(2)连结B 1A ，可知∠AD 1B 1＝60°，又EF ∥B 1D 1，故∠B 1D 1A ＝60°，即为AD 1与EF 所成的角．

答案：(1)90° (2)60°

9．已知点E 是棱长为3的正方体AC 1的面A 1C 1上的任意一点，则四棱锥E －ABCD 的体积是________．

解析：四棱锥E －ABCD 的高是正方体的棱长，则其体积是1

3×32×3＝9.

答案：D

10．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足，设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．

解析：此题的求解可考虑F 与E 重合和F 与C 重合这两个极端位置．当F 位于DC 的中点E 时，点K 与AB 的中点重合，t ＝1.

F 点右移至C 点时，

因CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，

∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ， ∵CD ＝2，BC ＝1， ∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2， ∴AD ⊥BD ，则有t ＝1

因此t 的取值范围是(1

2，1)．

答案：(1

，1)

11．(2012·温州模拟)设α表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个说法 ①a ∥α，a ⊥b ?b ∥α ②a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α ③a ⊥α，a ⊥b ?b ?α ④a ⊥b ，b ?α?a ⊥α 其中正确说法的序号是________．[]

解析：对①，还有可能b ?α，b ⊥α，对③，b 还可能与α平行，故①③错误；②正确，对④a 还可能与α相交，a 还可能在α内，但不垂直，故④错误．

答案：②

12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．

①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β

解析：A ∈α，AB ∥l ，则AB ?α，AC ⊥l ，C 点未必在α内，由图知，AC ⊥β不成立．

答案：④

13．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .

解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC

A 1F ＝

AF A 1D ，即2a 3a －x

＝x

a .整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a

14．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的原圆锥的体积是________．

解析：设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝1

3πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，

∴πr 2h 1＝12.

令原圆锥的高为h ，由相似性得r 3r ＝h －h 1

h ，

∴h ＝32

h 1.

∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝9

2×12＝54.

答案：54

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？

解：如图，底面半径为5

cm ，母线长为5 cm.

沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点．

依题意AD＝π×5

2＝5 2

π.

∴AC＝(5

2π)2＋52＝

π+

∴圆柱侧面上从A到C的最短距离为

π+

16．(14分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上

一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.

证明：∵E是以DC为直径的半圆周上一点，

∴CE⊥DE.

又∵平面CDE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，

∴AD⊥平面CDE.又CE?面CDE，

∴AD⊥CE.又DE∩AD＝D，∴CE⊥平面ADE.

17．(14分)(2011·南京高一检测)已知正四棱锥S－ABCD中，高SO是4 m，底面的边长是6 m．

(1)求正四棱锥S－ABCD的体积；

(2)求正四棱锥S－ABCD的表面积．

解：(1)S底＝6×6＝36 (m2)．

∴V正四棱锥＝1

3S底h＝1

3×36×4＝48 (m

3)．

∴正四棱锥S－ABCD的体积为48 m3.

(2)过点S做SE⊥BC于点E，连结OE，则SE是斜高，

在直角三角形SOE中，SE＝42＋(6

2＝5

S正棱锥侧＝1

2ch′＝

2×6×4×5＝60 m

S表＝S正棱锥侧＋S底＝60＋6×6＝96 m2∴正四棱锥S－ABCD的表面积为96 m2.

18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD (如图②)．

(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；

(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1.

解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面PAD .又DC ?平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)由题意知PA ⊥平面ABCD ，

∴平面PAB ⊥平面ABCD .

如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，则V M －ABC ＝1

3S △ABC ·h

＝13×1

2×2×1×h ＝h 3. V P －ABCD ＝1

3S 梯形ABCD ·PA

＝13×(1＋2)2×1×1＝12. 要使V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1，即(12－h 3)∶h 3＝2∶1，解得h ＝12. 易得M 为PB 中点．

19.(16分)(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD

⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD.

所以直线EF∥平面PCD.

(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因

为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以BF⊥平面PAD.

又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

20．(16分)(2012·三水高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、

F分别是CD、A1B1的中点，

(1)若M在侧面A1D1DA及其边界上运动，问M在哪条线段上运动均能

使A1C∥平面AME？并证明你的结论；

(2)求证：平面AED1∥平面C1FB.

解：(1)当M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM，证明如下：

连结A1D，取A1D的中点为G，连结EG，

∵E，G分别为CD，A1D的中点，

∴EG∥A1C，

∵EG?面AEG，

∴A1C∥面AEG，

∵当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内，

∴A1C∥面AEM，

故M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM.

(2)证明：在正方体中，

∵AD1∥BC1，BC1?面AED1，

∴BC1∥面AED1，

取AB中点H，连结FH，CH，

∵FH綊CC1，

∴四边形FHCC1为平行四边形．

∴FC1∥HC，又易知四边形AHCE为平行四边形，∴AE∥HC，

∴C1F∥AE，

又∵C1F?面D1AE，

∴C1F∥面D1AE，

而BC1∩C1F＝C1，且BC1，C1F?面BC1F，

∴平面BC1F∥平面D1AE.

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数指数对数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

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高一数学必修1综合复习试题一、填空题 1．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(?R B )＝． 2．已知函数20()10x x f x x x ?=?->?，≤，，，若1()2f a =，则实数a = ． 3．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为． 4．函数23 )(-=x x f 的定义域为． 5．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则0x <时，函数()f x 的表达式为()f x = ． 6．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为． 7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8．若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数，则a 的取值范围是． 9 ．函数y 的单调递减区间为． 10．函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是． 11．若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解，则实数a 的取值范围为． 12．如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的范围是．

13．已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ?>的解集为． 14．不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立，则实数a 的取值范围．二、解答题 15．设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--，集合{}|3||B y y x ==-． ⑴ 求B A ?和A B U ； ⑵ 若{}|40C x x p =+<，C A ?，求实数p 的取值范围． 16．计算下列各式的值：（1）3212833)21() 32(??? ??--+-- ； (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++．