浅谈条件概率
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摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Key Words (1)
引言 (1)
1.条件概率的定义及意义 (1)
1.1条件概率的定义 (1)
1.2几何直观意义 (1)
1.3 概率直观意义 (2)
2.条件概率的性质及算法 (2)
2.1 条件概率的性质 (2)
2.2条件概率的算法 (3)
3.条件概率系列公式的关系探讨 (4)
3.1乘法公式 (4)
3.2全概率公式 (4)
3.3贝叶斯公式 (5)
3.4 系列公式使用的技巧 (5)
3.5例题解析 (6)
4.结束语 (9)
参考文献 (10)
浅谈条件概率
学生姓名：李青烨 学号：20090401057 数学与计算机科学系 数学与应用数学 指导老师：王瑞瑞 职称：讲师
摘 要：条件概率是“概率论与数理统计”课程的重要知识之一，文章从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，以及公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率．
关键词：条件概率;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式
Abstract : Conditional probability is one of the important knowledge of the probability theory and mathematical statistics course, This article analyses and discusses conditional probability from meaning of conditional probability , quality, algorithm , the connection of serial formulas of conditional probability and some rules and skills about the using of these formulas.
Key Words : Conditional probability ；Multiply formula ；Probability formula ； Bayesian formula
引言
概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，而条件概率又是概率论与数理统计一个重要知识点．本文从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率．
1.条件概率的定义及意义
1.1条件概率的定义
若),,(P F Ω是一个概率空间，F B ∈，且0)(>B P 则对任意的F A ∈，称(|)P A B
)
()
(B P AB P =
为已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率． 条件概率的意义，可以从以下二个方面来阐述. 1.2几何直观意义
我们可以用单位正方形来表示样本空间Ω,用正方形内任一封闭曲线围成的图形
表示事件，而把图形的面积理解为相应事件的概率．设Ω?Ω?B A , (见图1）
事件A 的无条件概率(或称为绝对概率)为)|()(Ω=A P A P .(注意1)(=ΩP )．几何直观上，相当于A 在空间Ω中所占的比例.
图1 条件概率的维恩图
对于条件概率)
()
()|(B P AB P B A P =
，实际上是仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，相当于A 在B 内的那部分AB 在B 中所占的比例． 1.3 概率直观意义
条件概率)|(B A P 与无条件概率)(B P 亦可解释为后验概率，)(B P 可解释为试验前人们根据以往积累的资料和经验，对事件B 发生的(绝对)可能性大小的认识．而现在经过试验，我们获得了A 事件已发生的这个新信息．那么，这个新的信息将要求我们并且有助于我们重新审视或估价事件B 发生的可能性大小的重新认识，故可解释为后验概率．
2.条件概率的性质及算法
2.1 条件概率的性质
如果0)(>A P ，条件概率具有如下性质： (1) 对任意事件B ，有 0)|(≥A B P ；
(2) 1)|(=ΩA P ,(|)0P A ?=；
(3) 对任意可列个两两互不相容事件 ,,,,21n A A A 有
()∑∑∞
=∞
==1
1
|)|(i i i i A A P A A P ；
(4) 对于一般的事件1A 与2A ，有
);|()|()|()|(212121A A A P A A P A A P A A A P -+=
(5) ;1)|()|(=+A B P A B P
(6) 当A B ? 时，有)()
()|(A P B P A B P = ；当A B ?时，有.1)|(=A B P
2.2条件概率的算法
条件概率的计算通常有两种方法：一种是利用条件概率公式 )
()
()|(A P BA P A B P =
在原样本空间Ω中计算；二种是根据直观在缩小的样本空间中直接计算，即就是在 附加条件 “事件A 已经发生”的情况下，直接计算事件B 发生的概率即可得)|(A B P . 例１ 掷二颗骰子,已知二颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率．
【分析】 容易判断这是一个条件概率，下面用两种方法计算，一种是按条件概率公式在原样本空间中计算，一种是在缩小的样本空间中计算.
法一 设A ={二颗骰子点数之和为7}，B ={二颗中有一颗为1点}，于是所求 概率为
,)
()
()|(A P BA P A B P =
由于样本空间}6,2,1,),,{( ==Ωj i j i 中基本事件总数为36，
)},1,6(),6,1{(=AB )},1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1{(=A 故由古典概率公式
,6
1366)(,181362)(====
A P A
B P 所以
)|(A B P ,31
6
1181
==
法二 将两颗骰子点数之和为7的所有可能情况，即事件A 作为样本空间，此 时基本事件总数为6；有利事件数，即在A 中有一个为1点的情况共有2种，故
)|(A B P ,3
1
62==
3.条件概率系列公式的关系探讨
条件概率系列公式即条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式．这四个公式是以条件概率公式为起点，以乘法公式和全概率公式为媒介，以贝叶斯公式为终点的一组关联公式，是沿着一条路子走下来的，是一棵藤上开着的四朵美丽的花． 3.1乘法公式
设),,(P F Ω是一个概率空间，F B A ∈,由条件概率公式 )
()
()|(A P AB P A B P =
知 (1) 当)|()()(,0)(A B P A P AB P A P =>, (2) 当)|()()(,0)(B A P B P AB P B P =>. (3) 概率乘法公式可以推广到多个事件的情形:如果,0)(121>-n A A A P F A A n ∈,,1 ,2≥n 则有
)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P . 概率论的重要研究课题之一是希望从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂事件的概率．为达到这个目的，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率．最后，利用概率的可加性得到最终结果．这里，全概率公式起着重要作用． 3.2全概率公式
全概率公式是指若n A A A ,,,21 为一完备事件组,()0i P A > ),,2,1( =i 则对于任意事件B ,有
)|()()(1i n
i i A B P A P B P ∑==，
全概率公式的直观意义是:某事件B 的发生有各种可能的原因i A ),,2,1( =i 并且这些原因两两不能同时发生,如果B 是由原因i A 所引起的,若B 发生时,i BA 必同时发生,因而()P B 与()i P BA ),2,1( =i 有关,且等于其总和
1
1
()()(|)n n
i i i i i P BA P A P B A ===∑∑,
全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率()i P BA 或已知各原因i A 发生的概率()i P A 及在i A 发生的条件下B 的条件概率(|)i P B A ),,2,1( =i 通俗地说,事件B 发生的可能性,就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和. 3.3贝叶斯公式
贝叶斯公式是指若n A A A ,,,21 为一完备事件组,且()0i P A > ( ,2,1=i ),则对任何概率非零的事件B ,有
1
()(|)
()(|)
(|)()
()(|)
i i i i i n
j
j
j P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ==
=
∑.
在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小,称之为后验概率. 3.4 系列公式使用的技巧
条件概率公式作为这组系列公式的头一个．还是较好理解和掌握的，一般从题目当中能判断出要求的目标是事件是否具有附加条件，从而选择正确的公式． 是否使用乘法公式，判断起来也较容易，但是具体使用时，存在公式(2)与公式(3)的选择问题．其实，用乘法公式计算)(AB P 时，哪一个事件先发生，就选择以那个事件为条件的公式，如事件A 先发生，就选择公式(2)，计算)(AB P ．
应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组)，然后计算各个概率和条件概率．最后代入全概率公式．全概率公式是求复杂事件概率的有利工具．
贝叶斯公式往往与全概率公式同时使用，全概率公式一般用于“由因求果”问题，而贝叶斯公式一般用于 “执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式．
3.5例题解析
例 2 一袋中有r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察后放回并且放入a 只同色球．若在袋中连续取球四次，求第一，二次取到红球且第三,四次取到白球的概率．
解：以)4,3,2,1(=i A i 表示第i 次取到红球事件，则所求事件的概率为：
)(4321A A A A P =t r r + a t r a r +++ a t r t 2++ a t r a t 3+++ =
.
)3)(2)()(()
()(a t r a t r a t r t r a t t a r r +++++++++
例3 设一人群中有37.5％的人血型A 为型，20.9％的人为B 型，33.7％的人为
O 型，7.9％的人为AB 型，已知能允许输血的血型配对如表1，现在在人群中任选一
人为输血者，再选一个为受血者，问输血能成功的概率是多少？ 表1 输血者 受血者
A B
AB O
A
√ × × √ B
× √ × √ AB
√ √ √ √ O
×
×
×
√
( 其中√表示允许输血，×表示不允许输血.)
【分析】 实验过程可分成两个阶段进行，第一阶段是选择输血者，其结果共有四种情况，但具体出现哪一个未知；第二阶段是选择受血者，其结果共有两个:发生的概率，故用全概率公式.
解：设)4,3,2,1(=i B i 表示“从人群中任选一人，其血型分别为AB B A ,,和O 型” ，S 表示“受血者输血成功” ，由已知条件知
%,
9.20)(%,5.37)(21==B P B P
%,
7.33)(%,9.7)(43==B P B P
另外，由血型配对表知，若输血者血型为A 型，则受血者可以是A 型或AB 型,
于是成功的概率为 %,
4.45)()()|(311=+=B P B P B S P
类似可得
%,8.28)()()|(322=+=B P B P B S P
%,
9.7)()|(33==B P B S P
.
1%100)()|(4
1
4===∑=i i B P B S P
由全概率公式得
.
5737.0)|()()(4
1==∑=i i i B S P B P S P
例4 设在n 张彩票中有k 张奖券，求第三个人摸到奖券的概率是多少？
解: 设i A 表示事件“第i 人摸到奖券”，n i ,,2,1 =，现在目的是求)(3A P ,因为
k 不确定所以用数学归纳法.又因1A 与1A 是两个概率大于0 的事件：
,
1=k
,
1)(,1)(11n
n A P n A P -==
,
1
1)|(,0)|(1212-==n A A P A A P
由全概率公式得
)
|()()|()()(1
211212A A P A P A A P A P A P +=
11101-?-+?=n n n n ,1n =
)
|()()|()()|()()(213212321313A A A P A A P A A P A P A A P A P A P ++=
2
1
12100-?--?-+
+=n n n n n
.1n = 用类似的方法可得
.1
)(...)(4n
A P A P n
=== ,2=k ,
2)(,2)(11n
n A P n A P -==
)
|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=
122112-?-+-?=n n n n n ,2n =
+++=)|()()|()()|()()(2132121321213213A A A P A A P A A A P A A P A A A P A A P A P
)
|()(21321A A A P A A P
13
22221122122210--?-?-+-?-?-+--??-+=n n n n n n n n n n n n n
.2n = 用类似的方法可得 .2)()(4n A P A P n =
==
有归纳法得
当有)(n k ≤张奖券，则可得
.
)()()(21n k
A P A P A P n ==== 这说明购买彩票时，不论先买后买，中彩机会是均等的.
例5 用某种试剂检查食品的卫生情况，记事件B 为 “被检查的食品不卫生”，事件A 为“试验呈阳性”，由经验知：A P (|99.0)=B ,P (A |B )=0.95；而已知
04.0)(=B P ．现检查出一批食品的结果呈阳性．求这些食品确实不卫生的概率．
解： 这是一个执果寻因问题，已知试验结果呈阳性，可能是确实不卫生也可是试验有误．由贝叶斯公式，得
)|(A B P =
)()
(A P AB P = )
|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P + =
.452.005
.096.099.004.099
.004.0=?+??
本题说明，虽然概率)|(B A P 与P (A |B )都较高，但以此来确定食品不卫生仍然是不够正确的．
4.结束语
概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念，本文主要介绍了条件概率的意义、性质，算法和条件概率系列公式，探讨了乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式三者之间的关系、使用的规则和技巧.全概率公式提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，在乘法公式和全概率公式的基础上得出了贝叶斯公式，为解决实际问题提供了方法，使我可以在遇到很多概率问题时熟练的应用和使用全概率公式和贝叶斯公式，这体现了全概率公式和贝叶斯公式在应用和实践中的重要的作用.
参考文献
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[9] 章昕.概率统计辅导[M].北京:机械工业出版社,2002.
浅谈条件概率浅谈条件概率教学过程的设计
浅谈条件概率浅谈条件概率教学过程的设计 从狄青的100枚铜币谈起 浅谈条概率教学过程的设计汕头市金山中学林琪条概率是人教A版选修2-3第二章2.2.1的内容，是学生在已学习古典概型与几何概型的基础上又一类型的概率问题。条概率是概率论中的一个重要概念，它是推导独立事概率公式的前提，也是继续学习事的独立性等概率知识的基础，正确理解概念是解题的关键，所以学好这一节，对后续概率的学习有着铺垫作用。而条概率又是比较难理解的概念，在新课的讲授过程学生总会有这样或那样的疑惑。下面我就把条概率这节课讲“懂”，使学生真正把知识学好学透彻，浅谈我的一点见解。1. 寻找条概率狄青的100枚铜币在我们生活的世界上，充满着不确定性，从流星坠落，到大自然的千变万化，从婴儿诞生，到世间万物的繁衍生息，都充满奇异的随机现象。我们能根据现在预测未来吗？或者一切都能心想事成吗？这可以从狄青的100枚铜币谈起。话说北宋庆历、皇祐年间，大将狄青奉旨征讨侬智高时，来到桂林以南。当时南方有崇拜鬼神的风俗，于是，他拿了100枚铜币向神许愿，说：“如果这次出征能够打败敌人，那么把这些铜币扔到地上，钱面定然会全部朝上。” 左右官员都诚惶诚恐，力劝主帅放弃这个念头因为经验告诉他们，这种尝试是注定要失败的。他们担心最终弄不好，反而
会动摇部队的士气。可是，狄青对此概然不理，固执如牛。在千万人的注视下，他突然举手一挥，把铜币全部扔到地上。结果这100枚铜币的面，竟然鬼使神差般全部朝上。这时，全军欢呼，声音响彻山村原野。由于士兵个个认定有神灵护佑，在战斗中奋勇争先，迅速赢得了胜利。最后回师时，狄青的僚属们一看才发现那些铜币的两面都是一样的。实际上，聪明的狄青便是注意到人们在观察随机现象时，往往过于相信自身的经验，而忽视了前提条。对于狄青来说，100个钱面全部朝上，原本是个必然事，但在别人看来，却是几乎不可能出现的。因此，观察一种现象，不能忽视它的前提。在一种前提下的随机事，在另一种前提下可能成为必然事。同样地，在一种前提下的必然事，在另一种前提下也可能不出现。可见，前提不同的话，随机事的概率可能发生变化。这也便是我们所要研究的条概率。2. 初识条概率抽签先后概率一样？抽签是生活常见的概率问题，也是条概率中最常见的例子。抽签先后是否公平，也即各人抽到奖票的概率是否相等，大体有如下一些看法：(1) 先抽比后抽可能性大。第一人抽的时候，奖票还在；假如奖票被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。(2) 后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先难抽到奖票，而对第二个人来说，这时签纸总数减少了一张，所以抽中的概率变大。(3) 先后抽的可能性一样。当每个人抽完签之后都不看或者看了不声张，每个人拿到奖票的可能性是一样的。这些疑惑估计不止学生
知识讲解 条件概率 事件地相互独立性(理)(基础)
条件概率事件的相互独立性 【学习目标】 1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式． 2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题． 3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件． 4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、条件概率的概念 1.定义 设A、B为两个事件，且()0 P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。 用符号(|) P B A表示。 (|) P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。 要点诠释 在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率． 2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别 P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。 P（B）是事件B发生的概率，无附加条件． 它们的联系是： () (|) () P AB P A B P B =． 要点诠释 一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。 例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包 含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故 11 () P A=。 如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么
高三数学专题复习-条件概率问题
数学专题复习 一个很有趣的条件概率问题：三扇门问题 昨天看一片电影《玩转21点》，片中有一个很趣的概率问题。 片中涉及的那个车和羊的问题也被称作蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目 “Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。 这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 明确的限制条件如下： 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。 主持人知道每扇门后面有什么。 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。 请问如果是你，你会做哪种选择，哪个选择得到车的概率会更大呢？ 讨论： ?当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。 解释如下： 有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰ 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。 在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。 ?历史上这个问题刚被提出的时候却引起了相当大的争议。这个问题源自美国电视娱乐节目Let’s Make a Deal，内容如前所述。作为吉尼斯世界纪录中智商最高的人，Savant在Parade Magazine对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有2/3的概率赢得车，不换的话概率只有1/3。她的这一解答引来了大量读者信件，认为这个答案太荒唐了。因为直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有，这个信息会改变剩余的两种选择的概率，哪一种都只能是1/2。持有这种观点的大约有十分之一是来自数学或科学研究机构，有的人甚至有博士学位。还有大批报纸专栏作家也加入了声讨
贝叶斯公式浅析
说起贝叶斯公式，学过概率论的人肯定学过（如果没学过，那就去了解下"条件概率”），一个条件概率的转换公式，如下： P（A|E）=[ P（E|A）P（A）] / P（E），稍微变形下就是最简单的等式了P（A|E）P（E）= [P（E|A）P（A） 这么一个简单的公式为什么能引起科学上的革命？ 这是一个统计学上的公式，但是却被证明是人类唯一能够运用自如的东西。伯克利大学心理学家早在2004年就证明，Bayesian统计法是儿童运用的唯一思考方法，其他方法他们似乎完全不会。 废话不多说，举个例子来说明就很明白了：假设在住所门口看到自己“女朋友or男朋友”（没有的自己找去，这里不负责介绍，还假设她or他在外地）你会产生三种假设（很多人都会这么想）： A1=男朋友or女朋友没告诉你就跑来你的城市 A2=自己看模糊了 A3=那个人跟自己男朋友or女朋友确实长得很像 那么这三种假想哪个更有可能？ 更准确地说就是，在“事实”（看到了男朋友or女朋友的情况）那种假设更有可能呢？解释成数学语言就是 P(A1|E)， P(A2|E)， P(A3|E)。哪个更大些？ 于是脑子就开始启动贝叶斯程序， 计算比较这三个的概率到底哪个更大： 因为P(E)对于三个式子来说都是一样的，所以贝叶斯公式可以看成P（A|E）正相关于P（E|A）P（A），先看看P(A)是什么？ P(h)在这个公式里描述的是你对某个假想h的可信程度。（不用考虑当前的事实是什么） P（ A1）=男朋友or女朋友没告诉你就跑来你的城市，可能性比较低 P（ A2）=自己看模糊了，可能性比较高 P（ A3）=那个人跟自己男朋友or女朋友确实长得很像，可能性比较高 P（E|A）表示的就是假想产生对应的这个事实的可能性多大 P（E| A1）=男朋友or女朋友想给你惊喜，来找你的，当然很高的概率出现在你住所门
条件概率例题
. 条件概率例题 山东省莱芜市第一中学 刘志 例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）（ ） 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}． 记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是男孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（男，男）}，AB={（男，女），（女，男）}． 解法1：可知P(A)= 43 ，P(AB)=4 2 或P(AB)= 21212112=??C 于是P （B|A ）=324321 ) ()(==A P AB P 解法2：事件A 包括{（男，女），（女，男），（女，女）}，即n(A)=3 事件AB 包括{（男，女），（女，男）}．即n(AB)=2 所以P （B|A ）=3 2)()(=A n AB n 例2 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是男孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）（ ） 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}． 记事件A 为“其中一个是男孩”，事件B 为“另一个也是男孩”，则A={（男，女），（女，男），（男，男）}，B={（男，女），（女，男），（男，男）}，AB={（男，男）}． 解法1：可知P(A)= 43，P(AB)= 4 1，或P(AB)=412121=?
. P （B|A ）= 314 341 ) ()(==A P AB P 解法2：事件A 包括{（男，男），（男，女），（女，男）}，即n(A)=3 事件AB 包括{（男，男）}．即n(AB)=1 所以P （B|A ）=3 1)()(=A n AB n 例3 2011?福建模拟）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格． 问：从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率； 甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，利用条件概率计算公式即可求得结论； 解法1：10 7103121531)1051)(1041(1)(1)(=-=?-=-- -=-=A P A P P AB P =)((有人及格乙班不及格) =P (甲班及格乙班不及格)=5 110020105104==? 则P (B |A )＝7 210751 )()(==A P AB P 解法2：甲班=[4人及格，6人不及格] 乙班=[5人及格，5人不及格] =)(AB n n(有人及格乙班不及格)=n(甲班及格乙班不及格)=201514 =C C n A n =)((甲班及格乙班不及格+甲班不及格乙班及格+甲班及格乙班及格)=151415161514 C C C C C C ++ =20+30+20=70 所以)()()|(A n AB n A B P =7020=7 2=
浅谈工科概率论与数理统计教学
浅谈工科概率论与数理统计教学 一、工科学生的特点 工科是应用数学、物理学、化学等基础科学的知识，结合生产实践所积累的技术经验而发展起来的学科。工科专业的学生需要很好的解决实际问题的能力，但这种能力的形成需要扎实的理论基础为支撑。中国现阶段的社会主义现代化建设需要的人才早已不单单是只懂技术的工科人才，现在急需的是大量的具有创新能力的工科人才。而这样的人才如何培养？只教授理论或者技术都不行，必须结合学科特点，重点培养学生应用理论知识解决实际问题的能力。很多学校都在大一下学期或者大二上学期开设概率论与数理统计这门课，因此学生已经学习了半年到一年本专业的基础课，有将概率论与数理统计课与专业知识相联系的理论基础。 二、重视第一堂课 良好的开端是成功的一半，上好概率论与数理统计的第一堂课十分重要，教师课前要精心设计与备课，把该课程的主要内容与特点、学习概率论与数理统计的重要性、怎样学和学习中可能会遇到的困难给学生作一宏观介绍，激发学生的学习兴趣，调动学生学习的主动性和积极性，为后续的教学工作打下良好基础。 教师在第一堂课中要阐述学好该门课程的重要性、学习该课程的方法以及重点和难点所在章节，以便学生对该课程有大致的了解，增强其学好的信心。 三、重视基本概念、理论与方法的教学 概率论与数理统计的基本概念、基本理论、基本方法是这门学科的基础，是解决实际问题的出发点和依据。很多刚入学的大学生最初学习数学课时，依然认为数学实际上就是学习如何求解数学题，忽视了对基本知识的理解，导致在思考一些问题时思路不清晰，方法不恰当。学生在大学里要改变这种思维习惯。一些基本概念本身比较抽象，学生不易理解，因此教師可通过举例子来辅助学生对基本概念进行理解，并通过适当的练习题巩固所学知识。在教学过程中，教师要不断提醒学生重视基本概念、基本理论的学习，从根本上培养学生严谨求实的数学思维习惯和具有比较熟练的运算技能，为进一步获取数学知识奠定基础。 四、理论联系实际 教师在课程中应当适当举一些实际存在的实例，增加课堂的趣味性，同时也培养学生理论联系实际的意识以及运用理论知识解决实际问题的能力。比如，在讲解古典概型的时候融入抽奖、买彩票等实际问题；在讲解条件概率问题的时候引入保险、物品质量检测等实际例子；在讲解期望和方差的时候，列举一些它们在股票投资中的实际应用等。
高中数学学案条件概率
2．2．1条件概率 教学目标： 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程： 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券 的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式 可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第 一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑
高考数学第88炼 含有条件概率的随机变量问题
第88炼 含有条件概率的随机变量问题 一、基础知识： 1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A 2、条件概率的计算方法： （1）按照条件概率的计算公式：()()() |P AB P B A P A = （2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率 例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率： 按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()2 541 5 P AB A = =，()45P A =，所以()() ()1 |4 P AB P B A P A = = 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为 1 4 3、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =? ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算 4、处理此类问题要注意以下几点： （1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率） （2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别 （3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。 二、典型例题： 例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球
浅谈贝叶斯公式及其应用.
浅谈贝叶斯公式及其应用 摘要 贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起到很重要的作用。本文通过对贝叶斯公式进行分析研究，同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例，阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。为了解决更多的实际问题，我们对贝叶斯公式进行了推广，举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。 关键词：贝叶斯公式应用概率推广
第一章引言 贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。贝叶斯公式出现于17世纪，从发现到现在，已经深入到科学与社会的许多个方面。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因。 目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行决策的重要工具。 贝叶斯公式可以用来解决医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等一系列不确定的问题。本文首先分析了贝叶斯公式的概念，再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题。然后将贝叶斯公式推广，举例说明推广后的贝叶斯公式在实际应用中所适用的概型。
第二章 叶斯公式的定义及其应用 2.1贝叶斯公式的定义 给出了事件B 随着两两互斥的事件12,,...,n A A A 中某一个出现而出现的概率。如果反 过来知道事件B 已出现，但不知道它由于12,,...,n A A A 中那一个事件出现而与之同时出现， 这样，便产生了在事件B 已经出现出现的条件下，求事件(1,2,...)i A i n =出现的条件概率的问题，解决这类问题有如下公式： 2.1.1定义 设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割，即12,...,n B B B 互不相容，且 1n i i B ==Ω，如果 P( A ) > 0 ，()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。 证明 由条件概率的定义（所谓条件概率，它是指在某事件B 发生的条件下，求另一事件A 的概率，记为(/)P A B ） ()(/)() i i P AB P B A P A = 对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, ()()(/)i i i P AB P B P A B = 1()()(/)n i i j P A P B P A B ==∑ 1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ 结论的证。
条件概率公式
条件概率（conditional probability）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为或者或者。 边缘概率是某个事件发生的概率。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P（A），B的边缘概率表示为P（B）。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。 例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。 考虑概率空间Ω(S, σ(S))，其中σ(S)是集S上的σ代数，Ω上对应于随机变量X的概率测度（可以理解为概率分布）为PX；又A ∈σ(S)，PX(A)≥0（这里可以理解为事件A，A不是零测集）。则?E∈σ(S)，可以定义集函数PX|A如下： PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(E)。 易知PX|A也是Ω上的概率测度，此测度称为X在A下的条件测度（条件概率分布）。
独立性：设A，B∈σ(S)，称A，B在概率测度P下为相互独立的，若P(A∩E)=P(A)P(E)。 若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。
概率论名词解释总结归纳归纳
精心整理 第一课 随机试验：可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断定；但所有可能结果是可知的。每一种结果称为一个随机事件。 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅是多种可能结果之一 随机试验： 基本事件： 必然事件：肯定会出现的事件 不可能事件： 随机事件： 组成 相容： 不相容： 第二课 概率：概率又称或然率机会率机率或可能性，是概率论的基本概念。同时，概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小 主观概率：与主观臆测不同，这种相信的程度虽是种主观的，但又是根据经验、各方面知识，对客观情况进行分析、推理、综合判断而作出的
第三课 条件概率：设事件A和B是随机试验Ω中的两个事件，则A事件发生的前提下，B事件发生的概率 主观概率：主观概率估计是贝叶斯决策理论中的重要概念，在不完全情报下，用主观估计，再利用期望和概率修做出最优决策，在许多领域中有着广泛应用 贝努里（伯努利）概率模型：每次试验只有A事件发生和不发生两种结果，独立地做了n次重复试验。在n次试验中A出现 其中p为每次试验中A 随机变量：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间上的实值单值函数，则称为随机变量为随机变量 离散型随机变量： 即，期望通常与每一个样本结果都不相等 大数定理：是——叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的均值（期望）的算术平均值——的定理 总的来说，关于大量随机现象的平均结果稳定性的定理，统称大数定理 第六课
中心极限定理：概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理 第七课 总体：总体是我们所研究对象的所有个体之和；而样本是从中抽取的一部分个体。若总体中个体数目有限，则称为有限总体，否则为无限总体 总体本质上可以看作是某种数量指标的集合 第八课 点估计： 极大似然法： 个给定样本的可能性最大 点估计： 区间估计 弃真错误：原假设本来是正确的，但由于ɑ取值过大，导致结果落在小概率内，拒绝了它，称弃真错误 取伪错误：原假设本来是错误的，但由于ɑ取值较小，反而接受了它，称取伪错误点估计：直接以样本统计量作为相应总体参数的估计值；缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度
条件概率及全概率公式练习题
二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 , , ∴P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,
到黑球的概率. 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2… A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 . 事件B表示“从乙袋中取到的是白球”. 显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意
知识讲解条件概率事件地相互独立性(理)(基础)
条件概率 事件的相互独立性 【学习目标】 1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式． 2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题． 3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件． 4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、条件概率的概念 1.定义 设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。用符号(|)P B A 表示。 (|)P B A 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 要点诠释 在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率． 2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别 P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。 P （AB ）是事件A 与事件B 同时发生的概率，无附加条件。 P （B ）是事件B 发生的概率，无附加条件． 它们的联系是：() (|)() P AB P A B P B = ． 要点诠释
一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A 发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B 发生的条件下，事件A 发生的可能性大小。 例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A 包含的样本点总数为11，故11 ()16 P A = 。 如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42 (|)63 P A B ==。 要点二、条件概率的公式 1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算． 先分别计算概率P （AB ）及P （B ），然后借助于条件概率公式() (|)() P AB P A B P B = 求解． ②利用缩小样本空间的观点计算． 在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而 (|)AB P A B B = 包含的基本事件数包含的基本事件数，即：() (|)() n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率 求解． 要点诠释 概率P(B|A)与P(AB)的联系与区别：
条件概率练习题57021
条件概率 一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0 12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________． 三、解答题 13．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现正面”，求P(B|A)． 14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率． 15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问： (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少 (2)从2号箱取出红球的概率是多少 16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表． (1)求选到的是第一组的学生的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 条件概率 示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。 条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 联合概率：表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。 边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 定理1 设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，，且它满足以下三条件： （1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。 定理2 设E 为随机试验，Ω为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称 为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。 上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。 设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）定理3(全概率公式1) 设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω的一个完备事件组。 定理4(全概率公式2) 设事件组B1，B2是样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…n），则对任一事件B，有 2.2.1 条件概率练习题 1．已知P(B|A)=103,P(A)=5 1,则P(AB)=( ) A ．21 B.23 C ．32 D.50 3 2．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ） A.21 B.31 C.41 D.8 1 3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为15 2，既刮风又 下雨的概率为10 1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.2258 B.21 C.83 D.4 3 4．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次 * 抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 10 3 5．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，则已知甲同学排在第一跑道，乙同 学排在第二跑道的概率（ ） A.52 B.51 C.92 D. 7 3 6．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7 3 7.福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶” “欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个福娃中选 ( 取一个留作纪念。按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝” 和“晶晶”一只也没有被选中的概率是（ ） A.101 B.53 C.103 D.5 2 8．任意向（0,1）区间上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，则 ={x|0 概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1 2 . （1）试求袋中蓝球的个数. （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得 2 1 122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 = 6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一 黄 白2白1蓝 黄白1蓝 黄白2 条件概率 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 , ∴P(A|B)=9/14. , 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式 ∴P(A|B)=1/2. , , 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 解.设事件A i表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 . 由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 . 事件B表示“从乙袋中取到的是白球”. 显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意 P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ; P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ; 由全概率公式 P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25. 6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”; 事件B表示“最后取到的是2号球”.条件概率公式
2.2.1 条件概率练习题
概率计算方法
条件概率