地球物理反演方法作业及答案

Homework 1: based on Appendix A



1. Norm of the vector（矢量的范数）



在欧式空间下，矢量可以表示为：

??=(??1+??2+?+????)

与三维空间中矢量长度的定义类似，我们引入了n维欧式空间中矢量的范数，表示为：

222 ?? = ??1+??2+?+????当矢量a是由实数组成时，a的范数 ?? 始终是一个非负的值。显然，a的范数即为a与其自身的内积的平方根。



2. Operator; Linear operator（算子；线性算子）



在欧式空间中，对任意一个矢量a，我们通过某种规律的作用使其对应到同在欧式空间中的某个矢量a’，即：

??′=A(??)

我们就将这种规律称之为算子A。

对欧式空间中的任意两个矢量????和????，以及任意两个标量??1和??2，如果有

A ??1????+??2???? =??1?? ???? +??2??(????)

成立，那么我们就称算子A是一个线性算子。



3. Give an example of operator behavior in geophysics（举出一个地球物理中的算子例子）

地震走时层析是一种常用的地震反演手段，其基本原理就是利用地震射线的路径与走时来建立观测时间与地下速度参数模型的关系。

假设地下模型由矩形网格组成，每个网格内的慢度??i为一个定值。那么，当震源设定好之后（假设震源和检波器都设置在模型边界），单个检波器接收到的走时T与速度之间存在如下关系：

??

T= ????????

??=0

其中，????表示每个对应网格内地震射线的路径长度。

那么，对所有检波器接收到的走时数据，我们可以建立如下方程：

??=????

其中

??= ??1+??2+?+???? ??

S是m*n行的列向量，代表模型依次每个网格的慢度。L是一个k行m*n列的矩阵，k是检波点的个数（即射线数量）。

因此，在求取地下模型速度信息的反演过程中，确定和构建矩阵L就成为了关键的因素。在这一地球物理反演问题中的算子A，就是矩阵L与慢度向量S的线性相乘。同时，在这里算子A还是一个线性算子。



4. Norm of operator（算子的范数）