法曲率最值的直接求法
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的性质．
关键 词 ： 曲率 的 最值 ； 法 最值 方 向 ； 征 值 ； 征 向量 特 特 中图分类号 ： ８． ｌ Ｏ１ ６ １ 文献标志码 ： Ａ Ｄ ： ０ ３ ６ ／ ｉ ｎ １ ０ ２ ８ ． ０ ２ ０ ． ０ ＯＩ １ ． ９ ９ ｊ ｓ ． ０ ７— ９ ５ ２ １ ． ４ ０ ３ ． ｓ
是对 应 的特征值 和特 征 向量的 性质．
１ 法 曲率 的 最 大值 、 小 值 的直 接 求 法 最
曲 面 三： ，一ｒ ， 上 一点 Ｐ 沿 一方 向 （ ） ｕ： ｖ上 的法 曲率 ｋ Ⅲ 为 （ ） ｄ 一ｄ ｄ
Ⅱ
：： 一
Ｌ（ ｕ） ｄ 。＋ ２ ｄ ｄ Ｍ ｕ ｖ＋ Ｎ （ ） ｄ
（ 一 是 Ｆ） Ｍ 一 （ — ｋ Ｅ） Ｎ — ｋ Ｇ）≥ ０， Ｌ （
一
＋２ ＋Ｇ） ， （ ｎ 一Ｏ 即 Ｌ一志 Ｅ） ＋２ Ｍ －ｋ Ｆ） Ａ （
（ — Ｆ 忌 ＥＧ ） ＋ （ Ｇ 一 ２ Ｆ ＋ ＮＥ） 一 （ Ｌ Ｍ ｋ ＬＮ — Ｍ 。 ）≥ ０ ．
第 ３ ３卷
第 ４期
吉 首 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｜ｏ ｉｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｉｎｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＪｓ ｏ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｅ ｅＥｄｔｏ ） Ｓｃ
Ｖｏ ．３ Ｎｏ １ ３ ．４
２１ ０ ２年 ７月
Ｊ ．２１ ｕ１ ０ ２
斯 （ ｕｓ Ｇａ ｓ）曲率 ， 常 以 Ｋ 表示 ， —ｋ ｋ ， 通 Ｋ 。 它描 述 了 曲面 在 一 点处 总 的弯 曲程 度 ， 又称 为 总 曲率 或 全 曲
＝ ＝： ～
…
ｌ Ｉ ＇
Ｉ
Ｅ （ ｕ） ＋ ２ ｕ ｖ＋ Ｇ（ ｖ ‘ ｄ 。 Ｆｄ ｄ ｄ ）
，
现考 虑法 曲率 ｋ 的最大 值 、 小值 的求 法 问题 ． 最 设 一＿ 则 有 ｄ ｕ
宠ｎ一 。
。
（ ｚ’
这样 一来 ， 所求 问题 （ ）转化 为求 二次 分式 的极值 问题 ． １ 将 （ ）式化 为一元 二次 方程 Ｌ 。 ＭＡ＋Ｎ－ ｋ （ ２ ＋２ － ＋ Ｎ — ｋ Ｇ一０ 此二 次方程 有根 ， ． 当且 仅 当
ｋ ＝ 常数 ， 方程 （ ）变为 （ 一 。 ， ＝ ＝ 而 ３ 是 ） 一０ 但这 个关 系无 非表示 任意方 向的法 曲率相 等．
２ 高 斯 （ ｕｓ Ｇａ ｓ）曲率 、 均 曲率 平
设 忌 ， 分 别为 曲面 上一 点处法 曲率 的最 大值 、 小值 ， 愚 最 则将 它们 的乘 积 ｋ ｋ 为 曲面在这 一 点 的高 称
对 曲面上法 曲率 最值 的研究 ， 般是通 过 曲面上 的垂 直和 共扼 的方 向—— 主方 向 ， 一 再运 用 欧拉 公 式证
明主 方 向上的法 曲率 分别 是最 大值 和最小 值 ， 而 引 入高 斯 曲率 和平 均 曲率 及 其计 算 公 式 引 这 种方 法 进 ．
不直 接 ， 引入与 转换 过程 较长． 笔者发 现 ， 以有 更直 接 的方法 得到法 曲率最值 并取 到最 值 方 向 ， 得 到它 可 且
广
（ Ｅ ～ ＬＦ） Ｍ ≥ ０，
故 当且仅 当 ＮＥ —Ｌ —ＭＥ— Ｌ Ｇ Ｆ一０时 ， 判别式 为 ０ 即 ，
ｒ ，
一
Байду номын сангаас
Ｍ
一
Ｎ
・
（ ４）
满 足（ ） 的点称 为脐 点 ， 则称 为非 脐点． ４式 否 所以， 在一 个非 脐点 ， 判别式 △＞ ０ 方程 （ ） ， ３ 总有 ２ 个不 相等 的实 根 ， 曲面在这 一点 总有 ２ 不 相等 的 个 法 曲率 ， 分别是 法 曲率 的最大值 和最 小值 ． 且 在脐 点 ， 令 Ｌ —Ａ Ｍ — Ｆ， — Ｇ， 任 意方 向 的法 曲率 若 Ｅ， Ｎ 则
设 是 ｋ （ ≤ 是 ）是方程 ， 矗 ２
一
（ Ｇ — Ｆ。 ＋ （ Ｇ一 ２ Ｅ ） ： Ｌ ＭＦ＋ ＮＥ） 一 （ Ｎ —Ｍ 。 一０ ｋ Ｌ ）
（） ３
的 ２ 根， 有 志 个 则 ≤ 是 ≤ ｋ ， 于是 ｋ ｚ 的最大 值 、 小值 分别 为 ｋ ， ， 由方程 （ ） 最 。惫 且 ３ 所解 出．
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ３卷
将 一， 入 ：≥ 志 是 五 代 是
方程 （ ）的判 别式 为 ３
） ４（ ＥＧ Ｆ２ －
— —
， ２根 ，就到 惫 到大、 值方． 解 个 ， 使 达最值 小的向 出 得 最
△一 （ Ｇ一 ２ Ｌ ＭＦ＋ ＮＥ） 一４ Ｅ （ Ｇ— Ｆ。 （ — Ｍ ：Ｆ ＮＥ —Ｌ 一 （ ）ＬＮ ） （ Ｇ） ＭＥ —Ｌ ］ ＋ Ｆ）
由 韦 达 定 理 ， 得 可
志 一 忌
＊
，＋。 ； 是 一
．
收 稿 日期 ： ０ ２ ５— Ｏ ２ １ 一Ｏ ３
基 金项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １７ ０ ３ 国 １１１１） 几何 、 分几何研究． 微
‘
作 者简 介 ： 家 省 （ ９４一 ， ， 邢 １ ６ ） 男 河南 泌 阳人 ， 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系 统 科 学 学 院 副 教 授 ， 北 博士 ， 主要 从 事 偏 微 分
文章编 号 ：０ ７— ９ ５ ２ １ ） ４ ０ １ ５ １ ０ ２ ８ （ ０ ２ ０ —０ １ 一Ｏ
法 曲率 最 值 的 直 接 求 法
邢 家 省
（ 京航空航天大学数学与系统科学学院 ， 学 、 息与行为教育部重点实验室 ， 京 北 数 信 北 １０９） ０ １ １
摘 要 ： 虑 曲 面上 法 曲率 最 值 和 最 值 方 向的 直 接 求 法 问题 ， 出 了直 接 的 导 出方 法 ， 得 到 了 它 是 特 征 值 、 征 向 量 考 给 并 特
关键 词 ： 曲率 的 最值 ； 法 最值 方 向 ； 征 值 ； 征 向量 特 特 中图分类号 ： ８． ｌ Ｏ１ ６ １ 文献标志码 ： Ａ Ｄ ： ０ ３ ６ ／ ｉ ｎ １ ０ ２ ８ ． ０ ２ ０ ． ０ ＯＩ １ ． ９ ９ ｊ ｓ ． ０ ７— ９ ５ ２ １ ． ４ ０ ３ ． ｓ
是对 应 的特征值 和特 征 向量的 性质．
１ 法 曲率 的 最 大值 、 小 值 的直 接 求 法 最
曲 面 三： ，一ｒ ， 上 一点 Ｐ 沿 一方 向 （ ） ｕ： ｖ上 的法 曲率 ｋ Ⅲ 为 （ ） ｄ 一ｄ ｄ
Ⅱ
：： 一
Ｌ（ ｕ） ｄ 。＋ ２ ｄ ｄ Ｍ ｕ ｖ＋ Ｎ （ ） ｄ
（ 一 是 Ｆ） Ｍ 一 （ — ｋ Ｅ） Ｎ — ｋ Ｇ）≥ ０， Ｌ （
一
＋２ ＋Ｇ） ， （ ｎ 一Ｏ 即 Ｌ一志 Ｅ） ＋２ Ｍ －ｋ Ｆ） Ａ （
（ — Ｆ 忌 ＥＧ ） ＋ （ Ｇ 一 ２ Ｆ ＋ ＮＥ） 一 （ Ｌ Ｍ ｋ ＬＮ — Ｍ 。 ）≥ ０ ．
第 ３ ３卷
第 ４期
吉 首 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｜ｏ ｉｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｉｎｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＪｓ ｏ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｅ ｅＥｄｔｏ ） Ｓｃ
Ｖｏ ．３ Ｎｏ １ ３ ．４
２１ ０ ２年 ７月
Ｊ ．２１ ｕ１ ０ ２
斯 （ ｕｓ Ｇａ ｓ）曲率 ， 常 以 Ｋ 表示 ， —ｋ ｋ ， 通 Ｋ 。 它描 述 了 曲面 在 一 点处 总 的弯 曲程 度 ， 又称 为 总 曲率 或 全 曲
＝ ＝： ～
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Ｅ （ ｕ） ＋ ２ ｕ ｖ＋ Ｇ（ ｖ ‘ ｄ 。 Ｆｄ ｄ ｄ ）
，
现考 虑法 曲率 ｋ 的最大 值 、 小值 的求 法 问题 ． 最 设 一＿ 则 有 ｄ ｕ
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这样 一来 ， 所求 问题 （ ）转化 为求 二次 分式 的极值 问题 ． １ 将 （ ）式化 为一元 二次 方程 Ｌ 。 ＭＡ＋Ｎ－ ｋ （ ２ ＋２ － ＋ Ｎ — ｋ Ｇ一０ 此二 次方程 有根 ， ． 当且 仅 当
ｋ ＝ 常数 ， 方程 （ ）变为 （ 一 。 ， ＝ ＝ 而 ３ 是 ） 一０ 但这 个关 系无 非表示 任意方 向的法 曲率相 等．
２ 高 斯 （ ｕｓ Ｇａ ｓ）曲率 、 均 曲率 平
设 忌 ， 分 别为 曲面 上一 点处法 曲率 的最 大值 、 小值 ， 愚 最 则将 它们 的乘 积 ｋ ｋ 为 曲面在这 一 点 的高 称
对 曲面上法 曲率 最值 的研究 ， 般是通 过 曲面上 的垂 直和 共扼 的方 向—— 主方 向 ， 一 再运 用 欧拉 公 式证
明主 方 向上的法 曲率 分别 是最 大值 和最小 值 ， 而 引 入高 斯 曲率 和平 均 曲率 及 其计 算 公 式 引 这 种方 法 进 ．
不直 接 ， 引入与 转换 过程 较长． 笔者发 现 ， 以有 更直 接 的方法 得到法 曲率最值 并取 到最 值 方 向 ， 得 到它 可 且
广
（ Ｅ ～ ＬＦ） Ｍ ≥ ０，
故 当且仅 当 ＮＥ —Ｌ —ＭＥ— Ｌ Ｇ Ｆ一０时 ， 判别式 为 ０ 即 ，
ｒ ，
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（ ４）
满 足（ ） 的点称 为脐 点 ， 则称 为非 脐点． ４式 否 所以， 在一 个非 脐点 ， 判别式 △＞ ０ 方程 （ ） ， ３ 总有 ２ 个不 相等 的实 根 ， 曲面在这 一点 总有 ２ 不 相等 的 个 法 曲率 ， 分别是 法 曲率 的最大值 和最 小值 ． 且 在脐 点 ， 令 Ｌ —Ａ Ｍ — Ｆ， — Ｇ， 任 意方 向 的法 曲率 若 Ｅ， Ｎ 则
设 是 ｋ （ ≤ 是 ）是方程 ， 矗 ２
一
（ Ｇ — Ｆ。 ＋ （ Ｇ一 ２ Ｅ ） ： Ｌ ＭＦ＋ ＮＥ） 一 （ Ｎ —Ｍ 。 一０ ｋ Ｌ ）
（） ３
的 ２ 根， 有 志 个 则 ≤ 是 ≤ ｋ ， 于是 ｋ ｚ 的最大 值 、 小值 分别 为 ｋ ， ， 由方程 （ ） 最 。惫 且 ３ 所解 出．
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ３卷
将 一， 入 ：≥ 志 是 五 代 是
方程 （ ）的判 别式 为 ３
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— —
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△一 （ Ｇ一 ２ Ｌ ＭＦ＋ ＮＥ） 一４ Ｅ （ Ｇ— Ｆ。 （ — Ｍ ：Ｆ ＮＥ —Ｌ 一 （ ）ＬＮ ） （ Ｇ） ＭＥ —Ｌ ］ ＋ Ｆ）
由 韦 达 定 理 ， 得 可
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，＋。 ； 是 一
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收 稿 日期 ： ０ ２ ５— Ｏ ２ １ 一Ｏ ３
基 金项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １７ ０ ３ 国 １１１１） 几何 、 分几何研究． 微
‘
作 者简 介 ： 家 省 （ ９４一 ， ， 邢 １ ６ ） 男 河南 泌 阳人 ， 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系 统 科 学 学 院 副 教 授 ， 北 博士 ， 主要 从 事 偏 微 分
文章编 号 ：０ ７— ９ ５ ２ １ ） ４ ０ １ ５ １ ０ ２ ８ （ ０ ２ ０ —０ １ 一Ｏ
法 曲率 最 值 的 直 接 求 法
邢 家 省
（ 京航空航天大学数学与系统科学学院 ， 学 、 息与行为教育部重点实验室 ， 京 北 数 信 北 １０９） ０ １ １
摘 要 ： 虑 曲 面上 法 曲率 最 值 和 最 值 方 向的 直 接 求 法 问题 ， 出 了直 接 的 导 出方 法 ， 得 到 了 它 是 特 征 值 、 征 向 量 考 给 并 特