第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章 多元函数微分法及其应用
【教学目标与要求】
1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，
了解全微分形式的不变性。
4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极
值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大
值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】
1、 二元函数的极限与连续性；
2、 函数的偏导数和全微分；
3、 方向导数与梯度的概念及其计算；
4、 多元复合函数偏导数；
5、 隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；
6、 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
【教学难点】
1、 二元函数的极限与连续性的概念；
2、全微分形式的不变性；
3、复合函数偏导数的求法；
4、二元函数的二阶泰勒公式；
5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、 拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
【教学课时分配】 (18 学时)
第 1 次课 §１ 第 2 次课 §2
第 3 次课 §3
第 4 次课 §4
第 5 次课 §5
第 6 次课
§6
第 7 次课 §7
第 8 次课 §8
第 9 次课
习题课
【参考书】
[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.
[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.
[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§9 1 多元函数的基本概念
一、平面点集 n 维空间
1．区域
由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元
实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点 P 视作
是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面
二元的序实数组(x y)的全体 即 R2 R R {(x y)|x y R}就表示坐标平面
坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作
E {(x y)| (x y)具有性质 P}
例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是
C {(x y)| x2 y2 r2}
如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成
C {P| |OP| r}
邻域
设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点
是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于 的点 P
(x y)的全体 称为点 P0 的 邻域 记为 U (P0
即
U(P0, ) {P|| PP0 |} 或U(P0, ) {(x, y)| (xx0)2 (y y0)2 }
邻域的几何意义 U (P0 的点 P (x y)的全体
点 P0 的去心 邻域
)表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆的内部
记作U(P0, ) 即
U(P0, ) {P| 0 | P0P|}
注 如果不需要强调邻域的半径
则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域
记作U (P0)
点与点集之间的关系
任意一点 P R2 与任意一个点集 E R2 之间必有以下三种关系中的一种
(1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P) E 则称 P 为 E 的内点
(2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) E
则称 P 为 E 的外点
(3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E
的边点
E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作 E
E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于 E
聚点 如果对于任意给定的 0 点 P 的去心邻域U (P, ) 内总有 E 中的点 则称 P 是 E

的聚点
由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E
例如 设平面点集
E {(x y)|1 x2 y2 2}
满足 1 x2 y2 2 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2 y2 1 的一切点(x y)都是 E 的边界
点 它们都不属于 E 满足 x2 y2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集
E 以及它的界边 E 上的一切点都是 E 的聚点
开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集
闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集
开集的例子 E {(x y)|1闭集的例子 E {(x y)|1 x2 y2 2}
集合{(x y)|1 x2 y2 2}既非开集 也非闭集
连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于 E 则称
E 为连通集
区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如 E {(x y)|1 x2 y2 2}
闭 区 域 开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 所 构 成 的 点 集 称 为 闭 区 域 例 如 E {(x
y)|1 x2 y2 2}
有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得
E U(O r)
其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集
无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集
例如 集合{(x y)|1 x2 y2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| x y 1}是无界开区域
集合{(x y)| x y 1}是无界闭区域
2 n 维空间
设 n 为取定的一个自然数 我们用 Rn 表示 n 元有序数组(x1 x2 构成的集合 即
xn)的全体所
Rn R R
R {(x1 x2
xn)| xi R i 1 2
n}
Rn 中的元素(x1 x2 xn) 当所有的 xi (i 1 或 O 在解析几何中
xn)有时也用单个字母 x 来表示 即 x (x1 x2
2
n)都为零时 称这样的元素为 Rn 中的零元 记为 0
通过直角坐标 R2(或 R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建
立一一对应 因而 Rn 中的元素 x (x1 x2
xn)也称为 Rn 中的一个点或一个 n 维向
量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 Rn 中的零元 0 称为 Rn 中的
坐标原点或 n 维零向量
二 多元函数概念
例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r2h
这里 当 r、h 在集合{(r h) | r>0 h>0}内取定一对值(r h)时 V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系

p RT V
其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p 的对应
值就随之确定
定义 1 设 D 是 R2 的一个非空子集 称映射 f D R 为定义在 D 上的二元函数 通常记为
z f(x y) (x y) D (或 z f(P) P D)
其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值
处的函数值 记作 f(x y) 即 z f(x y)
也称为 f 在点(x y)
值域 f(D) {z| z f(x y) (x y) D}
函数的其它符号 z z(x y) z g(x y)等
类似地可定义三元函数 u f(x y z) (x y z) D 以及三元以上的函数
一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射 f D R 就称为定
义在 D 上的 n 元函数 通常记为
u f(x1 x2 或简记为
xn) (x1 x2
xn) D
u f(x) x (x1 x2 也可记为
xn) D
u f(P) P(x1 x2
xn) D
关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 u f(x)时 就以使这个算
式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它
的定义域不再特别标出 例如
函数 z ln(x y)的定义域为{(x y)|x y>0}(无界开区域)
函数 z arcsin(x2 y2)的定义域为{(x y)|x2 y2 1}(有界闭区域)
二元函数的图形 点集{(x y z)|z f(x y) (x y) D}称为二元函数 z f(x y)的图形
二元函数的图形是一张曲面
三 多元函数的极限
与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y) P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y) 无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限
定义 2 ：设二元函数 f(P) f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数
A 对于任意给定的正数 总存在正数
使得当 P(x, y)DU(P0, ) 时 都有
|f(P) A| |f(x y) A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限 记为
lim f (x, y) A 或 f(x y) A ((x y) (x0 y0))
(x, y)(x0, y0)
也记作
lim f (P) A 或 f(P) A(P P0)
PP0
上述定义的极限也称为二重极限

例 4.
设
f
(x,
y)
(x2
y2)sin
x2
1
y2
求证 lim f (x, y) 0 (x, y)(0,0)
证 因为
|
f
(x,
y) 0 || (x2
y2)sin
x2
1
y2
0|
|
x2
y2
||sin
x2
1
y2
|
x2
y2
可见 >0 取 则当 0 (x0)2 (y0)2 即 P(x, y)DU(O, ) 时 总
有 |f(x y) 0|
因此
lim f (x, y) 0
(x, y) (0,0)
必须注意
(1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论
函数
f
(x,
y)

xy x2 y
2
0
x2 y2 0
在点(0
x2 y2 0
0)有无极限
提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时
当点 P(x
lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0
(x, y)(0,0)
x0
x0
y)沿 y 轴趋于点(0 0)时
lim f (x, y) lim f (0, y) lim 0 0
(x, y)(0,0)
y0
y0
当点 P (x y)沿直线 y kx 有
lim
(x, y)(0,0)
xy x2 y2
lim
x0
k x2 x2 k2x2
k 1 k
2
ykx
因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限
极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似
例 5 求 lim sin(xy) (x, y)(0,2) x
解
lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y 1 2 2
(x, y)(0,2) x
(x, y)(0,2) xy
(x, y)(0,2) xy (x, y)(0,2)

四 多元函数的连续性
定义 3 设二元函数 f(P) f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0 D 如果
lim
(x, y)(x0, y0)
f
(x, y)
f
(x0, y0)
则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续
如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x
y)是 D 上的连续函数
二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去
例 6 设 f(x,y) sin x 证明 f(x y)是 R2 上的连续函数
证 设 P0(x0 y0) R2
0 由于 sin x 在 x0 处连续 故
0 当|x x0| 时
有
|sin x sin x0| 以上述 作 P0 的 邻域 U(P0 ) 则当 P(x y) U(P0
|f(x y) f(x0 y0)| |sin x sin x0| 即 f(x y) sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 连续
)时 显然 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2 上
类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各
自的定义域内都是连续的
定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点
例如
如果函数 f(x y)在点 P0(x0
函数
f
(x,
y)

xy x2 y
2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
其定义域 D R2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y) (0 0)时的极限不存在 所以点
O(0 0)是该函数的一个间断点
又如
函数
z
sin
1 x2 y2
1
其 定 义 域 为 D {(x y)|x2 y2 1} 圆 周 C {(x
y)|x2 y2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不
连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点
注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点
可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍
连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数
多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函
数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运
算而得到的
例如 x x2 y2 1 y2
sin(x y)
ex2 y2 z2 都是多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 或闭区域
例 7 求 lim x y (x, y)(1,2) xy
所谓定义区域是指包含在定义域内的区域
一般地 求 lim f (P) 时
PP0
在点 P0 处连续 于是
lim
P P0
f
(P)
f
(P0)
如果 f(P)是初等函数
且 P0 是 f(P)的定义域的内点
则 f(P)
例 8 求 lim xy 11 (x, y)(0, 0) xy
五、多元连续函数的性质
性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上有界 且能取得它的最大值和最小值
性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M 0 使得对一切 P D 有|f(P)| M 且存在 P1、P 2 D 使得
f(P1) max{f(P)|P D} f(P2) min{f(P)|P D} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任 何值
小结
1. 区域的概念； 2. 多元函数的定义； 3. 多元函数的极限及其求解； 4. 多元函数的连续性。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意区域的定义和多元函数的定义，多元函数的极限和连续性的理解是本节
的重点，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
课后习题：7，8，9
讲课提纲、板书设计 作业 P63: 5（2）（4）（6），6（2）（3）（5）（6）
§9 2 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法
对于二元函数 z f(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x 的
一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 z f(x y)对于 x 的偏导数
定义 设函数 z f(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增
量 x 时 相应地函数有增量
f(x0 x y0) f(x0 y0)
如果极限
lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)
x0
x
存在 则称此极限为函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作
z
x
x x0 y y0
f
x
x x0 y y0
zx x x0
y y0
或 fx(x0, y0)
例如 类似地
fx(x0,
y0)
lim
x0
f (x0 x, y0) x
f (x0, y0)
函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为
lim f (x0, y0 y) f (x0, y0)
y0
y
记作
z
y
x x0 y y0
f
y
x x0 y y0
zy xx0
y y0
或 fy(x0 y0)
偏导函数 如果函数 z f(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么
这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z f(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作
z x
f x
zx 或 fx(x, y)
偏导函数的定义式
fx(x,
y) lim
x0
f
(xx, y) x
f
(x,
y)
类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为
z y
f y
zy
或 f y(x, y)
偏导函数的定义式
f y (x,
y)
lim
y0
f
(x,
y y) y
f
(x,
y)
讨论 下列求偏导数的方法是否正确

fx(x0, y0) fx(x, y) xx0
y y0
f y(x0, y0) f y(x, y) xx0
y y0
fx(x0,
y0)
[
d dx
f
(x,
y0)] xx0
f
y(x0,
y0)
[
d dy
f
(x0, y)] yy0
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 u f(x y z)在点(x y z)
处对 x 的偏导数定义为
其中(x
fx(x,
y, z)
lim
x0
f
(xx,
y, z) x
f
(x,
y, z)
y z)是函数 u f(x y z)的定义域的内点
它们的求法也仍旧是一元函数的微分法
问题
例 1 求 z x2 3xy y2 在点(1 2)处的偏导数
例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数
例 3 设 z xy(x 0, x 1) 求证 x z 1 z 2z y x ln x y
例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数
例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数)
求证 p V T 1 V T p
证 因为 p RT V
p V
RT V2
V RT V R p T p
T pV R
T V p R
所以
p V
V T
T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1
例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数 z f(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0) [f(x y0)]x 是截线 z f(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y 是截线 z f(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在 该点连续 例如

f
(x,
y)

xy x2 y
2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0 0)有 fx(0 0) 0 fy(0 0) 0 但函数在点(0 0)并不连续 提示
f (x, 0) 0 f (0, y) 0
fx(0,
0)
d dx
[
f
(x,
0)]
0
f y (0,
0)
d dy
[
f
(0,
y)]
0
当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有
lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0
(x, y)(0,0)
x0
x0
当点 P(x y)沿直线 y kx 趋于点(0 0)时 有
lim
(x, y)(0,0)
xy x2 y2
lim
x0
k x2 x2 k2x2
k 1 k
2
ykx
因此
lim f (x, y) 不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续
(x, y)(0,0)
类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为
z y
f y
zy
或 f y(x, y)
偏导函数的定义式
f y (x,
y) lim
y0
f
(x,
y y) y
f
(x, y)
二 高阶偏导数
设函数 z f(x y)在区域 D 内具有偏导数
z x
fx(x,
y)
z y
f
y
(x,
y)
那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在
是函数 z f(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数
如果函数 z f(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数
则它们的偏导数称为函数 z f(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的
不同有下列四个二阶偏导数
则称它们

x
(xz )
2z x2
fxx(x,
y)
y
( xz )
2z xy
fxy(x,
y)
x
(z ) y
2z yx
f yx (x,
y)
y
(yz )
2z y2
f yy(x,
y)
其中
y
(z ) x
2z xy
f xy (x,
y)
x
(z ) y
2z yx
f yx(x,
y)
称为混合偏导数
x
(
z ) x
2z x2
(z ) 2z y x xy
(z ) 2z x y yx
y
(
z y
)
2 y
z
2
同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
例 6 设 z x3y2 3xy3 xy 1
求 2z 、 3z 、 2z 和 2z x2 x3 yx xy
由例 6 观察到的问题 2z 2z yx xy
定理 如果函数 z f(x y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续 那么在 yx xy
该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数
例 7 验证函数 z ln
x2
y2
满足方程
2z x2
2z y2
0
证 因为 z ln x2 y2 1 ln(x2 y2) 所以 2
z x
x2
x
y2
z y
x2
y
y2
2z x2
(x2 y2) x2x (x2 y2)2
y2 x2 (x2 y2)2

2z y2
(x2 y2) y2y (x2 y2)2
x2 y2 (x2 y2)2
因此
2z x2
2z y2
x2 y2 (x2 y2)2
y2 x2 (x2 y2)2
0
例
8．证明函数
u
1 r
满足方程
2u x2
2u y2
2u z 2
0
其中 r x2 y2 z2
证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
同理
2u y2
1 r3
3y2 r5
2u z2
1 r3
3z2 r5
因此
2u x2
2u y2
2u z2
(
1 r3
3x2 r5
)
(
1 r3
3y2 r5
)
(
1 r3
3z2 r5
)
3 r3
3(x2
y2 r5
z
2)
3 r3
3r 2 r5
0
提示
2u x2
x
(
x r3
)
r3
x
x
r6
(r3)
r
3
x3r r6
2
r x
小结
1.偏导数的概念及有关结论：定义，记号，几何意义，偏导数的存在与连续性； 2.偏导数的计算方法：求导的先后顺序。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意偏导数的定义以及偏导数的求法，特别是求导先后顺序问题是本节的重 点，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
x
1.设 z f (u) ，方程 u (u) p(t)dt 确定 u 是 x, y 的函数，其中 f (u),(u) 可微， y
p(t),(u) 连续，且(u) 1，求 p( y) z p(x) z 。
x
y
2.课后习题：5，6

讲课提纲、板书设计
作业 P69: 1（4）（6）（8）,4，6（3），8
§9 3 全微分及其应用
一、全微分的定义
根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有
偏增量与偏微分
f(x x y) f(x y) fx(x y) x
f(x x y) f(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y) x 为函数对 x 的偏微分
f(x y y) f(x y) fy(x y) y
f(x y y) f(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y) y 为函数对 y 的偏微分
全增量
z f(x x y y) f(x y)
计算全增量比较复杂 我们希望用 x、 y 的线性函数来近似代替之
定义 如果函数 z f(x y)在点(x y)的全增量
z f(x x y y) f(x y)
可表示为
z AxByo() ( (x)2 (y)2 )
其中 A、B 不依赖于 x、 y 而仅与 x、y 有关 则称函数 z f(x y)在点(x y)可微分 而 称 A x B y 为函数 z f(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即
dz A x B y 如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分 可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续

这是因为
如果 z f(x y)在点(x y)可微 则
z f(x x y y) f(x y) A x B y o( )
于是 lim z 0
0
从而
lim f (xx, yy) lim [ f (x, y)z] f (x, y)
(x,y)(0,0)
0
因此函数 z f(x y)在点(x y)处连续
定理 1(必要条件)
如果函数 z f(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数 z 、 z 必定存在 且函 x y
数 z f(x y)在点(x y)的全微分为
dz z x z y x y
证 设函数 z f(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点 P
(x x y y) 有 z A x B y o( ) 特别当 y 0 时有
f (x x y) f(x y) A x o(| x|)
上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得
lim f (xx, y) f (x, y) A
x0
x
从而偏导数 z 存在 且 z A
x
x
同理可证偏导数 z 存在 且 z B 所以
y
y
dz z x z y x y
简要证明 设函数 z f(x y)在点(x y)可微分 于是有 z A x B y o( ) 特
别当 y 0 时有
f (x x y) f(x y) A x o(| x|)
上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得
lim f (xx, y) f (x, y) lim [A o(|x|)] A
x0
x
x0
x
从而 z 存在 且 z A 同理 z 存在 且 z B 所以 dz z x z y
x
x
y
y
x y
偏导数 z 、 z 存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 x y
例如

xy
函数
f
(x,
y)

x2 y2
0
x2 y2 0
在 点 (0
x2 y2 0
0) 0 穷小
但函数在(0
0)不可微分
即 z [fx(0
这是因为当( x y)沿直线 y x 趋于(0 0)时
0) 处 虽 然 有 f x(0 0) 0 及 f y(0 0) x fy(0 0) y]不是较 高阶的无
z [
fx(0,
0)x
f y (0,
0)y]
x y (x)2 (y)2
xx (x)2 (x)2
1 2
0
定理 2(充分条件)
如果函数 z f(x y)的偏导数 z 、 z 在点(x y)连续 则函数在该点可微分 x y
定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数
按着习惯
x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分 则函数 z f(x y)
的全微分可写作
dz z dx z dy x y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 u f (x y z) 的全微分为
du u dx u dy u dz x y z
例 1 计算函数 z x2y y2 的全微分
例 2 计算函数 z exy 在点(2 1)处的全微分
例 3 计算函数 u xsin y eyz 的全微分 2
小结
1.全微分的定义； 2. 可微、可导、连续性之间的关系。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意全微分的定义，可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点，要结合
实例，反复讲解。
师生活动设计
1.函数 z f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 可微的充分条件是（）
( A) f (x, y) 在 (x0, y0 ) 连续 ;

(B) fx(x, y) , f y(x, y) 在 (x0 ,在y0()x0 , y0 ) 的某领域内存在； (C) z fx(x, y)x f y(x, y)y 当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量；
(D) z fx(x, y)x f y(x, y)y (x)2 (y)2
当
(x)2 (y)2 0
2.课后习题：5
讲课提纲、板书设计
作业 P75: 1（1）（3），3
时是无穷小量
§9 4 多元复合函数的求导法则
设 z f(u v) 而 u 设 z f(u v) 而 u
(t) v (x y)
(t) 如何求 dz dt
v (x y) 如何求 z 和 z x y
1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理 1 如果函数 u (t)及 v (t)都在点 t 可导 函数 z f(u v)在对应点(u
续偏导数 则复合函数 z f[ (t) (t)]在点 t 可导 且有
dz z du z dv dt u dt v dt
简要证明 1 因为 z f(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有
dz z du z dv u v
又因为 u (t)及 v (t)都可导 因而可微 即有
du du dt dv dv dt
dt
dt
代入上式得
dz
z u
du dt
dt
z v
dv dt
dt
(uz
du dt
z v
dv)dt dt
v)具有连

从而 dz z du z dv dt u dt v dt
简要证明 2 当 t 取得增量 t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量 u、 v 及 z
v)、u (t)及 v (t)的可微性 有
z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()
u v
u dt
v dt
(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u v
z z du z dv (z z) o(t) o() t u dt v dt u v t t
令 t 0 上式两边取极限 即得
dz z du z dv dt u dt v dt
由 z f(u
注
lim
t 0
o( ) t
lim
t 0
o()
(u)2 (v)2 0
t
(du)2 (dv)2 0 dt dt
推广 设 z f (u v w) u (t) v (t) w (t) 则 z f[ (t) (t) (t)]对 t
的导数为
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
上述 dz 称为全导数 dt
2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函数
z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [ (x y) (x y)]在点(x y)
的两个偏导数存在 且有
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
推广 设 z f(u v w ) u (x y) v (x y) w (x y) 则
z z u z v z w z z u z v z w x u x v x w x y u y v y w y
讨论
(1)设 z f(u v) u
提示 z z u x u x
(x y) v
(y)
则 z x
z y
z z u z dv y u y v dy

(2)设 z f(u x y) 且 u (x y) 则 z z x y
提示 z f u f z f u f x u x x y u y y
这里 z 与 f 是不同的 z 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不变而对 x 的偏导
x x
x
数 f 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数 z 与 f 也朋类似的区别
x
y y
3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形
定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v (y)在点 y 可
导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (x y) (y)]在点
(x y)的两个偏导数存在 且有
z z u x u x
z z u z dv y u y v dy
例 1 设 z eusin v u xy v x y 求 z 和 z x y
例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 而 z x2 sin y 求 u 和 u x y
例 3 设 z uv sin t 而 u et v cos t 求全导数 dz dt
例 4 设 w f(x y z xyz) f 具有二阶连续偏导数 求 w 及 2w x xz
例 5 设 u f(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式
(1) (u)2 (u)2 x y
(2)
2u x2
2u y2
解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u f(x y) f( cosθ sinθ) F(
其中 x cosθ y sinθ x2 y2
应用复合函数求导法则 得
θ)
arctan y x
u x
u
x
u
x
u
x u
y 2
u
cos
u
ysin
u y
u
y
u
y
u
y
u
x 2
u
sin
u
cos
两式平方后相加 得

(u x
)2
(u y
)2
(u
)2
1 2
(u
)2
再求二阶偏导数 得
2u x2

( u ) x x

( u ) x x

(u
cos
u
sin
)cos

(u
cos
u
sin
) s in
2u 2
cos2
2
2u
sin cos
2u 2
sin 2 2
同理可得
u
2sin cos 2
u
sin2
2u y2
2u 2
sin2
2
2u
sin cos
2u 2
cos 2 2
u
2sin cos 2
u
cos2
两式相加 得
2u x2
2u y2
2u 2
1
1 2
2u 2
1 2
[

(
u
)
2u 2
]
全微分形式不变性
设 z f(u v)具有连续偏导数 则有全微分
dz z du z dv u v
如果 z f(u v)具有连续偏导数 而 u (x y) v (x y)也具有连续偏导数 则
dz z dx z dy x y

(z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v y
z (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x y
由此可见
z du z dv u v
无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数
它的全微分形式是一样
的 这个性质叫做全微分形式不变性
例 6 设 z e usin v u x y v x y 利用全微分形式不变性求全微分
解 dz z du z dv e usin vdu e ucos v dv u v
e usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)
( ye usin v e ucos v)dx (xe usin v e ucos v )dy
e xy [y sin(x y) cos(x y)]dx e xy [x sin(x y) cos(x y)]dy
小结
1.复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”； 2. 全微分形式不变性。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”， 全微分形式不变性，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
1.
已知
f
(x,
y)
| yx2
1，
f1 (x,
y)
| yx2
2x
，求
f
2
(
x,
y)
| yx2
2.
设函数 z
f (x, y) 在点 (1,1) 处可微，且
f (1,1)
1 ， f x
|(1,1)
2 ， f y
|(1,1) 3 ，
(x)
f (x,
f
(
x,
x))
，求
d dx
3
(
x)
|
x
1
讲课提纲、板书设计
作业 P82: 2，4，6，9，10