多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用

参考解答

1、设22

,

y f x y x y x ??+=- ???

，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2

21,

1y

y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x

-

-??+=+-=+=+ ?+?

?

+

，故得 ()2

1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy

f x y xy x y xy

--=-+ 2、求下列各极限：

2242222

2220000

cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2

sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。

()00sin sin (2) lim lim 1x t y a

xy t xy t →→→==

3、证明极限2

2400

lim x y xy x y →→+不存在。

证明：当2

y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2

22420

lim 1y kx x xy k

x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）

4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：

（1）()()()222222

22

ln , 0

,0, 0

x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=??

解：

()()

()()()

()()()2

222,0,0,0,0

lim

,lim

ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→=

++===

故原函数在()0,0点处连续。

（2）()22

22

222, 0,0, 0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

解：222

22lim

1y kx x xy k

x y k =→=

++与k 有关，故原函数在()0,0点处的极限不存在，因而在该点不连续。

5、求下列函数的偏导数： （2）(,,0)z

y u x x y z =>

()()()()11, ln , ln ln z z z z y y z y z

u u u y x x x zy x x y

y x y z

--???===???

其余诸小题略。

6、求函数y

z x =的各种二阶偏导数①。 解：

1y z

yx x

-?=?，ln y z x x y ?=?

211

ln y y z x yx x y x --?=+??，211ln y y z yx x x x y

--?=+?? 7、略。

8、讨论函数()(

)2222

22

0,0, 0

x y x y f x y x y ?++≠?=??+=?在()0,0点处：（1）是否连续；

（2）是否存在偏导数；（3）是否可微；（4）偏导数是否连续。

解：（1）()()

()()()

(

)22,0,0,0,0lim

,lim

sin

x y x y f x y x y →→=

+()20

1

lim sin 00,0t t f t →===

故(),f x y 在()0,0点处连续；

①

本参考解答中，我们将2z

x y

???理解为先对y 再对x 的二阶混合偏导数。

（2）()()()

2

000,00,00,0lim lim

0x x x f x f f x

?→?→+?-===?，

()()(

)

2

000,00,00,0lim lim

0y y y f y f f y

?→?→+?-===?；

故(),f x y 在()0,0点处的两个偏导数均存在；

（3）()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x f y ??+?+?--?+???

()

()22

x y ??=?+???

而

22lim

x y ?→?

→

lim

0x y ?→?→

==，

故()()22

sin

x y o

???+?=?

?

，因此

()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x

f y ??+?+?--?+???o

=

即

()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x

f y ??+?+?-=?+???o

+

因此，(),f x y 在()0,0点处可微。

（4）2

2

0x y +≠

时，求出(),f x

y 的两个偏导数，结合（2）的结果，得

()22

22

2sin 0,0, 0x x x y f x y x y

?+≠?

=??

+=?，

()22

22

2sin 0,0, 0

y y x y f x y x y ?+≠?=??+=?，

尽管函

数2x

和2y 在()0,0点处的极限均存在，但函

数

在()0,0点处的极限均不存在（因为根

据两路径判别法，00

x y →→

和0x y →→均不存在），故极限

00lim 2x y x →→??

?

和

00lim 2x y y →→??

? 均不存在。因此，(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点处不连续！

9、设f 具有一阶连续偏导数，求函数,

x u f xy y ??

= ???

的一阶偏导数。 解：121u yf f x y ?=+?，122u x xf f y y

?=-?

10、设f 具有两阶连续偏导数，2,y z f x y x ??

=

???

，求z 的各种二阶偏导数。 解：()12122222x y y z f f xy f xyf x x ??

=-

+=-+ ???

()22121211y z f f x f x f x x ??

=+=+ ???

()()22111122212222

11122xy y

z f f f x xf xy f f x x x x x ????????=--++++ ? ?????????????

31111222223122y f f yf xf x yf x x

=-

-+++（注意到1221f f =）

11、设二元函数(),z z x y =由方程z

z e xy +=所确定，求2z

x y

???。

解：方程z

z e xy +=两边关于x 求偏导，得z z z e y x x ??+=??，故得1z

z y

x e

?=?+；又方程两边关于y 求偏导，得

z z z e x y y ??+=??，故得1z z x

y e

?=?+。 在方程

z z z e x y y

??+=??两边关于x 求偏导，得22

1z z z z z z e e x y x y x y ????++=??????，于是得 ()()()

22231111111z

z

z z z z z z xy

z z e e e e e xy z x y

x y e e e ??--++-???===??+++ 或直接根据

1z

z x

y e ?=?+得 ()()

()()

2

2

2

111111z

z

z z z z

z z z y e xe e xe z x

x e x y x e e e ?+-+-?????+===

????+??++()()2311z z z e e xy e +-=+。

12、设方程组22

222

x y uv xy u v ?+-=??-+=??确定函数(),u u x y =，(),v v x y =，求u x ??，u y ??，v x ??和v

y

??。 解：方程两边分别关于x 和y 求偏导数，得

220220u v x v u x x

u v y u v x x ???--=?????

???-+=????，202220

u v y v u y y u v xy u v y y ???--=????????-+=????

即

2 222u v v u x x x

u v u v y x x ???+=?????

???-=????，2u v v u y y y u v u v xy y

y ???+=????????-=???? 解得：

()22242u xv y u x u v ?+=?+，()22242v xu y v

x u v ?-=

?+，222u yv xyu y

u v ?+=?+，222v yu xyv y u v ?-=?+。

13、求曲线(

)2

31x t y t z ?=+??

=??=??

在()1,0,1处的切线和法平面方程。

解：

()21dx t dt =+，23dy

t dt =

，dz dt =。点()1,0,1所对应的参数0t =。故曲线在点()1,0,1处的切线的方向向量为{}0

00,,2,0,0t t t dx dy dz dt dt dt ===??

=????，故切线方程为

11

200x y z --==

（或即01

y z =??=?），法平面方程为10x -=。

14、求曲线2222

22

x y z a

x y ax

?++=??+=??在点()00,0,M a 处的切线与法平面方程。 解：若以x 为参数，则两个方程两边各关于x 求偏导数（将y 和z 看作x 的函数），得

222022dy dz x y z dx dx

dy x y a

dx ?

++=????+=??

解得

222dz

a dx

z dy a x dx

y ?=-???-?=

?? 很遗憾，在()00,0,M a 处，

dy

dx

不存在！因此，可重新考虑以y 为参数，则两个方程两边各关于y 求偏导数（将x 和z 看作y 的函数），得

222022dx

dz x y z dy dy dx dx x y a dy

dy ?++=??

?

?+=??

解得

()222dx y dy a x dz ay dy

x a z ?=?-?

?

?=-?-? 故曲线在点()00,0,M a 处的切线的方向向量为

()(){}0,0,0,0,, 1, 0,1,0a a dx dz dy dy ????=??????

故得切线方程为010x y z a

-==（或即0x z a =??=?

），法平面方程为0y =。

15、求曲面3x

e xy z ++=在点()0,1,2处的切平面与法线方程。

解：设(),,3x

F x y z e xy z =++-，则x x F e y =+，y F x =，1z F =。故得所求切平

面的法向量为

{}

{}(0,1,2)

(0,1,2)(0,1,2)

,,2,0,1x y

z F

F F =

于是得切平面方程为220x z +-=，法线方程为

12

201

x y z --==

。

16、求函数()ln z x y =+在点()1,2处沿从点()1,2

到点(2,2+的方向导数。

解：因1z x x y ?=?+，1

z y x y

?=?+

，{l =r

，1cos ,cos 2αβ==，故得

()()(

)1,21,21,2111cos cos 32326

z z z l x x αβ???=+=?+?=

???

17、求函数()2

2

,f x y x xy y =-+在点()01,1P 处的最大方向导数。

解：(),f x y 在点()01,1P 处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因()()(){}1,11,11,1,1,1f f gradf x y ??????==???????

?，故得

()

(

)

1,11,1f gradf

l ?≤=?。

18、求()

1cos y y z e x ye =+-的极值。

解：由()()1sin 0cos 10y

y y z e x x

z e x y e y

??=-+=??????=-+=???，得cos 1x k y k ππ=??=-?（k 为整数），即驻点为

()2, 0n π和()()21, 2n π--，其中0, 1, 2, 3, n =±±±?。

又因()221cos y

z e x x

?=-+?，()22cos 2y z x y e y ?=--?，

2sin y z e x x y ?=-?? 故在驻点()2, 0n π处，

()222,020n z A x π?==-

22

2,01n z

C y

π?==-?

2

20H AC B =-=>，

因此，函数在驻点()2, 0n π处取得极大值()2,02f n π=。 在驻点

()()21, 2n π--处，

()()22221,210n z A e x π---?==+>?，()()221,20n z B x y π--?==??，()()

22221,2n z C e y π---?==-?

()

22210H AC B e e --=-=-+<， 因此，驻点

()()21, 2n π--并不是函数的极值点，亦即

()()2

2

2

12

1

21, 211f

n e e

e π??--=-++=

- ??

?

不是函数的极值！

19、求函数()(),cos cos cos z f x y x y x y ==++-在闭区域D ：0, 02

2

x y π

π

≤≤≤≤

上

的最值。

解：由

()sin sin 0z

x x y x

?=---=?，()sin sin 0z y x y y ?=-+-=?得

sin sin 0x y +=，

即

2sin

cos 022x y x y

+-= 注意到0, 22

x y x y ππ

π≤+≤-

≤-≤

，故知上述方程在区域D 的内部．．

没有解。因此，函数在D 内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在D 的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。 在002x y π?

?

=≤≤

??

?

上，(),12cos f x y y =+，最大值为3，最小值为1；

在002y x π??

=≤≤

??

?

上，(),12cos f x y x =+，最大值为3，最小值为1；

在022x y ππ?

?

=

≤≤ ?

??上，(

),sin cos 4f x y y y y π??=+=+ ???

， 最小值为1；

在022y x ππ?

?

=

≤≤ ?

??上，(

),sin cos 4f x y x x x π??=+=+ ???

， 最小值为1。

因此，函数在区域D 上的最大值为3，最小值为1。

20、设(

)22

22

0,0, 0

x y f x y x y +≠=+=?，讨论(),f x y 在点()0,0处是否连续、存在

偏导数、可微。

解：（1）

()()

()()(

2,0,0,0,00sin cos lim

,lim

lim 0x y x y r r f x y r θθ

→→→=

==()0,0f =

或由

(

)(

)2210,x y f x y +≤=

≤=而

()(

,0,0lim

0x y →=，故得()()()()(

,0,0,0,0lim ,lim 0x y x y f x y →→==()0,0f =，因

此，(),f x y 在()0,0点处连续；

（2）()()()0

00,00,000

0,0lim

lim 0x x x f x f f x x ?→?→+?--===??， ()()()0

00,00,0000,0lim

lim 0y y y f y f f y y

?→?→+?--===??； 故(),f x y 在()0,0点处的两个偏导数均存在；

（3）()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x f y ??+?+?--?+???

=

，

而

()()

22

00

lim

lim

x x y y x y

x y ?→?→?→?→??=?+?不存

在（两路径判别法），

故知

o

≠，因此，(),f x y 在()0,0点处不可微。

21、设(),z f x y =在点()1,1处可微，且()1,11f =，

()

1,12f

x ?=?，

()1,13f y ?=?，()x ?= ()(),,f x f x x ，求

()3

1

x d x dx ?=。 解：

()()()3

23d x x x dx

???='()()()212123,,f x f x x f f f f =++????，故 ()3

1

x d x dx ?==()()()()()()2121231,11,11,11,11,151f f f f f ??++=??

22、设(),,u f x y z =由连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由2xy e xy -=和0

sin x z

x t e dt t -=

?

确定，求du dx

。 解：分别在方程2xy e xy -=和0

sin x z

x t

e dt t

-=?

两边关于x 求偏导数

（y 和z 为x 的函数），得0xy dy dy e y x

y x dx dx

??+--= ?

?

?，()sin 1x

x z dz e x z dx -??=- ?-??，解得： dy y dx x =，()()

1sin x x z e dz dx x z -=-

-

由链式法则，得

()()1231231sin x x z e du dy dz y

f f f f f f dx dx dx x x z ??-=++=++- ? ?-??

23、求由方程组22

33

x u v

y u v z u v =+??=+??=+?

所确定的隐函数点(),z f x y =在点()1,1处的偏导数z x ??，z y ??。

解：由方程组22

x u v

y u v

=+??=+?分别可得： 1 022u v x x u v u v x x ???=+????????=+????，0 122u v y y u v u v y y ???=+????

?

???=+????

， 解得

u v x v u v u x u v ??=???-?

??=??-?，()()

1212u y u v v y v u ??=??-????=

??-? 于是由3

3

z u v =+，得

22333z u v

u v uv x x x

???=+=-???，()2

23332z u v u v u v y y y ???=+=+???

24、设()2x z e f x y -=--，且当0y =时2z x =。求

z

x

??。 解：易知()2x f x e x -=-，故()2x f x e x -'=--，于是

()()()2222x y x x z

e f x y e e x y x

----?=--'-=-++-?

25、在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短。

解：本题即求目标函数()236

13

x y f x +-=在约束条件2244x y +=下的极值。构造

Lagrange 函数

()()()2

22,,23644L x y x y x y λλ=+-++-

由(),,L x y λ关于x ，y 和λ的偏导数为零，得方程组

()()()()()22423620 1623680 2440 3x y L x y x L x y y L x y λλλ?=+-+=??

=+-+=??=+-=??

解得85x =

，35y =，或85x =-，35y =-。故所求点为83, 55?? ???或83, -55??- ???

。 26、证明：曲面y z xf x ??=

???

的所有切平面都经过坐标原点。

证明：设(),,y F x y z xf z x ??

=-

??

?

，则 2x y y y y y y F f xf f f x x x x x x ??????????=+'-=-' ? ??? ? ???????????，y y F f x ??

=' ???

，1z F =-。

于是曲面在点(),,x y z 处的切平面方程为

()()()0y y y y f f X x f Y y Z z x x x x ????????

-'-+'---= ? ? ???????????

或

0y y y y y y y f f X f Y Z xf yf yf z x x x x x x x ??????????????

-'+'--+'-'+= ? ? ? ? ? ???

??????????????

即

0y y y y y f f X f Y Z xf z x x x x x ??????????

-'+'--+= ? ? ? ???

??

???????? 因点(),,x y z 满足方程y z xf x ??

=

???

，故上述方程变为 0y y y y f f X f Y Z x x x x ????????

-'+'-= ? ? ???

??

?????? 显然，这是一个过原点的平面方程。

如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！