《数学分析》第四章多元函数微分学

第四章 多元函数微分学

一、本章知识脉络框图

极 限 连 续

重极限与累次极限 基本概念

有 界 性

极限存在的判别方法

极值和最值 基本性质

极限与连续

介 值 性

偏 导 数

可 微 性

概念

可微和连续

可微的必要条件

可微的充分条件 复合函数微分

隐函数微分

计 算

参数方程微分

多元函数微分学

全微分（三元为例）

df=f x dx+f y dy+f z dz 条件极值

应 用

高阶导数与微分

多元极值

切线、法线、法平面、切平面

泰勒公式

二、本章重点及难点

本章需要重点掌握以下几个方面内容：

● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数

与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.

● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.

三、本章的基本知识要点

(一)平面点集与多元函数

1.任意一点A 与任意点集E 的关系.

1) 内点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的内点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域内既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o

U

A 内部都含有E 中的点，则称点A 是点集E

的聚点。

5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集.

1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的内点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。

4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。

5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2

R 上的完备性定理.

1) 点列收敛定义：设{}2

n P R ?为平面点列，2

0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P

收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞

= 或 ()0,n P P n →→∞.

2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，对一切自然数k ，都有(),n n k P P ρε+<. 3）闭区域定理. 设{}n D 是2

R 中的闭域列，它满足：

(i) 1,1,2,...;n n D D n +?=(ii) (),lim 0n n n n d d D d →∞

==.

则存在唯一的点0,1,2,...n P D n ∈=.

4) 聚点定理. 设2

E R ?为有界无限点集，则E 在2

R 中至少有一个聚点。

5) 有限覆盖定理. 设2

D R ?为一有界闭域，{}α?为一开域族，它覆盖了D （即

D αα

???）

，则在{}α?中必存在有限个开域12,,...m ???，它们同样覆盖了D （即1

m

i D α=???）

。 4. 二元函数

定义：设平面点集2

D R ?，若按照某对应法则f ，D 中每一点(),P x y 都有唯一确定的

实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数（或称f 为D 到R 的一个映射），记作

:f D R →,

P z ，

且称D 为f 的定义域，P D ∈所对应的z 为f 在点P 的函数值，记作()z f P =或(),z f x y =。

（注：其它多元函数与二元函数相似）。 （二）二元函数的极限。

1. 定义 设f 为定义在2

D R ?上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数，

若对0ε?>，都存在一个0δ>，使得()0,o

P U

P D δ∈?时，都有

()f P A ε-<.

则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记作()0

l i m P D

P P f P A ∈→=。有时简记为

()0

lim P P f P A →=。

当P 、0P 分别用()()00,,,x y x y 表示时，上式也可写作()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=.

2. 重要定理及推论.

1）()0

lim P D

P P f P A ∈→=的充要条件：对于D 的任一子集E ，只要0P 是E 的聚点就有

()0

lim P E

P P f P A ∈→=。

2）设1E D ?，0P 是1E 的聚点，若()0

1

lim P E P P f P ∈→不存在，则()0

lim P D

P P f P ∈→也不存在。

3）设1E 、2E D ?，0P 是它们的聚点。若()0

1

1lim P E P P f P A ∈→=，()0

2

2lim P E P P f P A ∈→=，但12A A ≠，

则()0

lim P D

P P f P ∈→不存在。

4）极限()0

lim P D

P P f P ∈→存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件0n P P ≠的点列{}n P ，它所

对应的函数列(){}

n f P 都收敛。 3. 二元函数函数极限的四则运算.

若()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=，

()()

()00,,lim

,x y x y g x y B →=。则

1)

()()()()00,,lim

,,x y x y f x y g x y A B →±=±???

?；2)

()()

()()00,,lim

,,x y x y f x y g x y A B →=?;

3)

()()()()()00,,,lim

,0,x y x y f x y A

B g x y B →=≠.

4. 累次极限.

1) 定义：对于函数(),f x y ，若固定()()0

0,lim ,x x y y f x y y ?→≠=存在，且()0

lim y y y A

?→=也存在，则称A 为(),f x y 在()000,P x y =处先对x 后对y 的累次极限，记为

()00

lim lim ,y y x x f x y →→，类似可定义()00

lim lim ,x x y y f x y →→。

2) 重要定理及推论. ① 若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →与()00

lim lim ,x x y y f x y →→（或()00

lim lim ,y y x x f x y →→）都存在，则它们

相等； ② 若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →，()00

lim lim ,x x y y f x y →→和()00

lim lim ,y y x x f x y →→都存在，则三者相等；

③ 若()00

lim lim ,x x y y f x y →→与()00

lim lim ,y y x x f x y →→都存在但不相等，则

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →不

存在。

（三）二元函数的连续性

1. 定义 设f 为定义在点集2

D R ?上的二元函数，0P D ∈，若对0ε?>，都存在一个

0δ>，只要()0,P U P D δ∈?，就有

()()0f P f P ε-<

则称f 关于集合D 在点0P 连续。若f 在D 上任何点都连续，则称f 为D 上的连续函数。若()()0

000lim ,,0y y f x y f x y →-=????，则称(),f x y 在()000,P

x y =处关于y 连续。同理可定义关于x 连续。

2. 复合函数的连续性定理 设二元函数(),u x y ?=和(),v x y ψ=在()000,P x y =点连续，函数(),z f u v =在点()00,u v 处连续，其中()()00000,,,x y v x y ?ψ=，则复合函数

()()(),,,z f x y x y ?ψ=在点0P 连续。

3. 有界闭域上连续函数的性质.

1）若函数f 在有界闭域2

D R ?上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值； 2）若函数f 在有界闭域2

D R ?上连续，则f 在D 上一致连续；

3）若函数f 在有界闭域2

D R ?上连续,对任意的1P 、2P D ∈，且()()12f P f P <，则

对任何满足不等式()()12f P f P μ<<的实数μ，必存在点0P D ∈，使得()0f P μ=。

4. n 元函数唯一存在与连续可微性定理。

若1）函数12(,,...,,)n F x x x y 在以000012(,,...,,)n P x x x y 为内点的1n +维空间区域D 内连续；

2）偏导数12''''

,,...,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续；

3）000012(,,...,,)0n F x x x y =；

4）'0000

12(,,...,,)0y n F x x x y ≠；

则在P 的某一邻域()U P 内，方程12(,,...,,)0n F x x x y =唯一地确定了一个定义在

000012(,,...,,)n Q x x x y 的邻域()U Q 上的n 元连续函数12(,,...,)n y f x x x =使得:

①121212(,,...,,(,,...,))(),(,,...,)();n n n x x x f x x x U P x x x U Q ∈∈

0012121201(,,...,,(,,...,))0,(,,...,)(),(,...,).n n n n F x x x f x x x x x x U Q y f x x ≡∈=

②12(,,...,)n y f x x x =在()U Q 内连续偏导数：12'''

,,...,n x x x f f f 而且11''',x x y

F f F

=-

22''''''

,...,.n n x x x x y

y F F f f F

F =-

=-

5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）

若：1）(,,,)F x y u v 与(,,,)G x y u v 在以点00000(,,,)P x y u v 为内点的区域4

V R ?内连续； 2）00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==（为初始条件）； 3）在V 内,F G 具有一阶连续偏导数； 4）(,)

(,)

F G J U V ?=

?在点0P 处不等于零。

则在点0P 的某一（四维空间）邻域0()U P V ?内，方程组

(,,,)0

(,,,)0F x y u v G x y u v =??

=?

唯一地确定了定义在点000(,)Q x y 的某一（二维空间）邻域0()U Q 内的两个二元隐函数(,),(,),u f x y v g x y == 使得：

①000000(,),(,),u f x y v g x y ==且当0(,)()x y U Q ∈时，

0(,,(,),(,))(),x y f x y g x y U P ∈

(,,(,),(,))0,F x y f x y g x y ≡ (,,(,),(,))0,G x y f x y g x y ≡

②(,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内连续；

③(,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内有一阶连续偏导数，且

1(,)1

(,)

,,

(,)(,)

1(,)1

(,)

,,

(,)(,)

u F G v F G x J x v x J u x u F G v F G y J y v y J u y ????=-=-????????=-=-

????

6. （反函数组定理）若函数组(,)

,(,)

u u x y v v x y =??

=?满足如下条件：

1）(,),(,)u x y v x y 均是有连续的偏导数； 2）

(,)

0.(,)

u v x y ?≠?

则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

(,),(,),x x u v y y u v ==且

(,)(,)

. 1.(,)(,)

u v x y x y u v ??=??

(四) 多元微分学的应用

1. 泰勒定理

1) 若(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域0()U P 内存在1n +阶连续的偏导数，则

000(,)()x h y k U P ?++∈，有

00000020000100(,)(,)()(,)1()(,)...2!1()(,)!1()(,)(1)!n n f x h y k f x y h k f x y x y

h k f x y x y h k f x y n x y h k f x h y k n x y

θθ+??

++=++????

+

++????

++????+++++??

其中0

000

()(,)|m m

m p m p p

m P m p p p f h k f x y c h k x y x y --=???+=????∑ 2) 当000,0x y ==时，相应二元函数(,)f x y 的麦克劳林公式为

1(,)(0,0)()(0,0)...1()(0,0)!1()(,).(1)!n n f x y f x y f x y

x y f n x y x y f x y n x y

θθ+??

=+++????

+

+????+++??

2．极值

1）定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y =的某邻域0()U P 内有定义，如果

0(,)()x y U P ?∈ 满足0000(,)(,)((,)(,))f x y f x y f x y f x y ≤≥，则称00(,)f x y 为(,)

f x y 的极大值（极小值），此时点0P 称为(,)f x y 的极大值点（极小值点）。极大值，极小值统称极值。

2）函数(,)f x y 在点0P 的偏导数存在，则f 在点0P 取得极值的必要条件为：

''0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，满足上述条件的点0P 称为稳定点或驻点。

3）极值的充分条件: 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y =的某邻域0()U P 内具有二阶连续的偏导数，且0P 是f 的稳定点。

记''''''

000(),(),()xx xy yy A f P B f P C f P ===则

① 当2

0B AC -<时，函数f 在0P 取得极值，若0A <，则取得极大值，若0A >，

则取得极小值；

② 当2

0B AC ->时，函数f 在点0P 不取极值； ③ 当2

0B AC -=时，不能判断f 在点0P 是否极值；

3．条件极值

1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。

2）拉格朗日乘数法求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的极值步骤如下： ①作相应的拉格朗日函数

(,,)(,)(,).L x y f x y x y λλ?=+

②令'''

0.x y L L L λ===即

''

'

'

(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.

x x y y f x y x y f x y x y x y λ?λ???+=?+=??

=? ③求解上述方程组，得稳定点000(,)P x y =。

④判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。

3) 对于条件极值的一般情形，求函数12(,,...,)n z f x x x =在约束条件

11212

(,,...,)0,.......

(,,...,)0.

n m n x x x x x x ??=??

??=? （其中12,,,...,m f ???均具有一阶连续偏函数，且雅可比（Jacobi ）矩阵

1

111...

............

m m m m x x x x ????????

??

????

??????????????的秩为m)下的极值步骤如下：

①作拉格朗日函数

1122....m m L f λ?λ?λ?=++++

②分别令1212''''''......0.n m x x x L L L L L L λλλ========得到相应的方程组。 ③解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。

(五)多元函数几何应用

1. 平面曲线的切线与法线

平面曲线由方程(,)0F x y =给出，它在点000(,)P x y =的切线与法线的方程为： 切线方程：''000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线方程：''000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=。 2. 空间曲线的切线与法平面

1) 空间曲线L 由参数方程:(),(),(),[,],L x x t y y t z z t t αβ===∈表出，

假定'''000(),(),()x t y t z t 不全为零，则曲线L 在0000(,,)P x y z =处的切线方程式为：

000

'

''000()()()

x x y y z z x t y t z t ---==; 曲线L 在0000(,,)P x y z =处的法平面方程式为：

'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=.

2) 空间曲线L 由方程式组(,,)0

:(,,)0F x y z L G x y z =??=?

给出.

当

(,)(,)(,)

,,(,)(,)(,)

F G F G F G x y z x y z ??????中至少一个不为零时，

曲线L 在点0P 的切线方程为：

000

000()()()

(,)(,)(,)

|||(,)(,)(,)P P P

x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==??????，

曲线L 在点0P 的法平面方程为：

000000(,)(,)(,)

|()|()|()0(,)(,)(,)

P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ???-+-+-=???。

3. 空间曲线的切平面与法线

设曲面由方程(,,)0F x y z =给出，0000(,,)P x y z =是曲面上一点，并设函数(,,)F x y z 在

偏导数在该点连续，且不同时为零，则 曲面上点0P 处的切平面方程为：

'''

000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-=，

曲面上点0P 处的法线方程为：

000

'''000()()()

x y z x x y y z z F P F P F P ---==。

四、基本例题解题点击

【例1】设(,)f x y 是区域:1,1D x y ≤≤上有界的k 次齐次函数（1k ≥）。问极限

lim[(,)(1)]y x y f x y x e →∞→∞

+-是否存在？若存在，试求其值。

【提示】(,)f x y 是k 次齐次函数是指(,)(,)k

f rx ry r f x y =

【解】 令cos ,sin x r y r θθ==。同时设(,),(,)f x y M x y D ≤∈。 则(,)(cos ,sin )(cos ,sin )k k f x y f r r r f r M θθθθ==≤. 因0

lim 0k

r r M →=，故0

lim (,)lim (cos ,sin )0x r y f x y f r r θθ→∞→→∞

==.

从而lim[(,)(1)]y x y f x y x e →∞→∞

+-=lim(1) 1.y

x y x e →∞→∞

-=-

【例2】证明(,)f x y xy =

在点(0,0)两个偏导数存在，但在点(0,0)不可微。

【证明】显然，'

(,0)(0,0)

(0,0)lim 0x x f x f f x

→-==，'0(0,)(0,0)(0,0)lim

0y y f y f f y →-==。 因此(,)f x y xy =在点(0,0)两个偏导数存在且等于零.若(,)f x y xy =在点(0,0)可

微，则有

''22(,)(0,0)(0,0)(0,0)()x y f x y f f x f y x y -=+++.

即22(,)()((,)0)f x y xy x y x y =

=+→，但如果沿直线y x =趋于零，有

22

00

1lim

2

x y xy x y →→=

+ 故22(,)()((,)0)f x y xy x y x y =≠+→，因此(,)f x y 在点(0,0)不可微。 ■

【例3】设()f x 是连续的可导函数，证明2n

y z x f x ??

=

???

满足方程2z z x y nz x y ??+=??。 【证明】 设2

y t x

=

，则13'

2'()2(),()n n n z z nx f t x yf t x f t x y ---??=-=??. 于是2'2'2()2()2()()n n n n z z

x

y nx f t x yf t x yf t nx f t nz x y

--??+=-+==??。 ■ 【例4】设()u f r =，其中222r x y z =

++和f 为可微分两次的函数. 证明：

()u F r ?=， 其中 222222u u u

u x y z

????=++???，?为拉普拉斯算子.

【提示】计算u ?时要计算三个二阶偏导数，而()u f r =中,,x y z 地位是一样的，故可以考虑利用对称性，从而减少计算量。

【证明】 '

()u x f r x r ?=?，2222"'223()()u x r x f r f r x

r r ?-=+?. 由对称性即得

2222"'223()()u y r y f r f r y r r ?-=+?，2222"'

223

()()u z r z f r f r z r r ?-=+?. 于是

222"'

2221()2()()u u u u f r f r F r x y z r

????=++=+=???. ■

【例5】设(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===为由(,,)0F x y z =所定义的函数.证明

1x y z

y z x

?????=-???. 【证明】 由((,),,)0F x y z y z =得'

'0x

y x F F y ?+=?，于是有''y x

F x y F ?=-?， 同理可得

''z y F y

z F ?=-?，''x z

F z x F ?=-?.

注意的是上式一切000000(,,),(,,)0x y z F x y z =成立.因此

''''''1y x z x y z

F F F x y z

y z x F F F ?????=-?-?-=-???. ■

【例6】设(,)z z x y =为由方程组

,,u v u v x e y e z uv +-===

（其中,u v 为参数）所定义的函数，求当0,0u v ==时dz 和2

d z . 【证明】(),(),u v

u v dx e

du dv dy e du dv dz udv vdu +-=+=-=+

2222d z udv vdu dudv =++.

当0,0u v ==时，

2,,0,2dx du dv dy du dv dz d z dudv =+=-==，

解出,du dv 得11

(),()22

du dx dy dv dx dy =

+=-，因此 222

12()2

d z dudv dx dy ==-. ■

【例7】 求函数2

2

2

.f x y z =++在1ax by cz ++=下最小值。 【解】 作拉格朗日函数

222(,,,)(1).L x y z x y z ax by cz λλ=++-++-

令'

'

'

'

0x y z L L L L λ====，即

2020201

x a y b z c ax by cz λλλ+=??+=?

?

+=??++=? 解得唯一驻点

222,a x a b c =

++222,b y a b c =++222,c z a b c =++222

2

.a b c

λ-=++ 将它们代入222

f x y z =++得222

1f a b c =++。

因此222

.f x y z =++在1ax by cz ++=下最小值为min 222

1f a b c =++。 ■

【例8】设(,)f x y 在全平面上二次可微且恒不为零，证明(,)()()f x y g x h y =的充分必要

条件是(,)f x y 满足方程

"''yx x y f f f f ?=?.

【证明】 必要性是显然的.现在证明充分性，由于(,)f x y 在全平面上二次可微且恒不等于零，不妨设(,)0f x y >，令(,)ln (,)F x y f x y =，则有

"'''

'"

2

,0yx x y x x xy f f f f f F F f f ?-?===.

下面证明(,)ln (,)()()F x y f x y p x q y ==+，实际上由"

0xy F =可得'()x F p x =，因此

ln (,)(,)()()f x y F x y p x dx q y ==+?.

这说明结论成立. ■ 【例9】求函数(,)z z x y =一阶和二阶的偏导数，其中z

x y z e ++=. 【证明】等式两边微分，得

z dx dy dz e dz ++= ①

故有 11()()11

z

dz dx dy dx dy e x y z =

+=+-++-. 于是，

11

z z x y x y z ??==??++-.再将①式微分一次，得222

z z d z e d z e dz =+. 故有 ()()

()

2232

2

21

1dy dxdy dx e e dz e e z d z z z z ++--=--=.

于是 ()

()332222211

-++++-=--=??=???=??z y x z

y x e e y z y x z x z z z . ■ 【例10】设可微函数(,)z f x y =对任意实数t (0t >)满足(,)(,)f t x t y t f x y =, 点0(1,2,2)P -是曲面上一点，且(1,2)4x f -=. 求此曲面在点0P 处的切平面方程。

【提示】 (,)f x y 是一次齐次函数，弄清楚齐次函数的导函数的特征很重要。 【解】由已知，对任意的点00(,)x y 有，0000(,)(,)f tx ty tf x y =.................(*) 将(*)两边对t 求导得：00000000(,)(,)(,)x y x f tx ty y f tx ty f x y +=...................(**) 在(**)中令1t =得：00000000(,)(,)(,)x y x f x y y f x y f x y +=

故当00(,)(1,2)x y =-时，(2)(1,2)(1,2)1(1,2)24 2.y x f f f -?-=--?-=-=- 故(1,2) 1.y f -=

令(,,)(,)F x y z f x y z =-, 则法线方向为(,,1)x y n f f =-. 故0P 处法线方向为0(4,1,1)n =-.

从而曲面在点0P 处的切平面方程为4(1)(2)(2)0x y z -++--=.

即40x y z +-=. ■

五、扩展例题解题点击

【例1】设(,)f x y 在2

2

{(,):1}G x y x y =+<上定义，若(,0)f x 在点0x =处连续，而且

'(,)y f x y 在G 上有界，则(,)f x y 在（0,0）处连续。

【证明】 由中值定理，得

'(,)(,0)(,)(0)y f x y f x f x y ξ-=-（其中(0)y ξ∈，）

由'

(,)y f x y 在G 上有界，知0,M ?>使'

(,)M y f x y ≤｜｜.

0,ε∴?>取12M

ε

δ=

当1|0|y δ-<时有

|(,)(,0)|.2

f x y f x ε

-< （1）

由(,0)f x 在0x =处连续，知20,δ?>当2|0|x δ-<时，有

|(,0)(0,0)|.2

f x f ε

-< （2）

取12min{,}δδδ=，当|0|x δ-<，|0|y δ-<时，由（1），（2）得

|(,)(0,0)||(,)(,0)||(,0)(0,0)|f x y f f x y f x f x f ε-≤-+-<

(),f x y ∴在

00（，）处连续。 ■

【例2】设(,,)M f x y z =在闭立方体,,,a x b a y b a z b ≤≤≤≤≤≤上连续。令

(){min (,,)}max a z b

a y b

x f x y z ?≤≤≤≤=。试证：()x ?在区间[,]a b 上连续。

【证明】 令(,)min (,,),a z b

g x y f x y z ≤≤= 可得(,)g x y 在[,][,]D a b a b =?上连续。

令(,,)(,)F x y z g x y =且,a z b ≤≤ 可得max (,,)a y b

F x y z ≤≤在[,][,]a b a b ?上连续。

max (,,)a y b

F x y z ≤≤∴在关于x 在[,]a b 上连续。

因为()max (,,)a y b

x F x y z ?≤≤=，所以()x ?在[,]a b 上连续。 ■

【例3】设22

22

22()sin(),0,(,)0,0.x y xy x y x y f x y x y +?+≠?+=??+=? 证明：(,)f x y 在点(0,0）处连续但不可微。

【证明】 由于2222

()sin()()||||||

|

|||.222

x y xy x y xy x y x y x y x y +++≤≤≤+++ 故对0,ε?>取δε=，当||,||x y δδ<<时，

22)sin()||||

|(,)(0,0)|||22

x y xy x y f x y f x y ε+-=<+<+（,

即

(,)(0,0)

lim (,)(0,0)0.x y f x y f →==

故(,)f x y 在点(0,0）处连续，下证(,)f x y 在点(0,0）处不可微。

'0

(,0)(0,0)

(0,0)lim

0,0

x x f x f f x →-==-同理'(0,0)0.y f =

令

()''22

()(,)(0,0)(0,0)(0,0)sin().x y w t f x y f f x f y

x y xy x y ?=--?-?+=

+

且

2

3

222333220

02

2222200()sin()

lim

lim

()()sin()(1)sin()(1)

lim

lim ()(1)(1)y kx y kx

w

x y xy x y x y xy k kx k k x y k x k ρρρρρ

==→→→→?+=++++===+++

与k 有关。

所以(,)f x y 在点(0,0）处不可微。 ■

【例4】设 23

22

222222,0,(,)()0,0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=?

证明：(,)f x y 在点(0,0）处连续但不可微。

【证明】 由23

2222

221|(,)(0,0)|||4()

x y f x y f x y x y -=≤++ 0,ε?>4,δε?=当2

2

x y δ+<时，

2

21|(,)(0,0)|4

f x y f x y ε-≤

+< 故

(,)(0,0)

lim (,)(0,0)0.x y f x y f →==

从而(,)f x y 在点(0,0）处连续。

又'

(,0)(0,0)

(0,0)lim

0.0

x t f x f f x →-==-同理'(0,0)0.y f =

令'

'

(,)(0,0)(0,0)(0,0).x y w f x y f f x f y ?=--?-? 考虑

22242

22222422000lim lim lim ()(1)(1)y kx y kx

x w

x y k x k x y k x k ρρρ==→→→?===+++， 即0

lim

w

ρρ

→?不存在。

所以(,)f x y 在点(0,0）处不可微。 ■

【例5】设(,)f x y 在区域:||1,||1D x y ≤≤上Ω上的函数，且 1）对每个(,)x y ∈Ω的x 存在0

lim (,)()y y f x y g x →=；

2）0

lim (,)()x x f x y h y →=，关于(,)x y ∈Ω中的y 一致。

试证：00

00

lim lim (,)lim lim (,).x x y y y y x x f x y f x y →→→→=

【证明】 由条件(2)，得

1120,0.,,x x εδ?>?>?∈Ω

当121100||,0||x x y y δδ<-<<-<时

12|(,)(,)|f x y f x y ε-< （1）

在上面（1）式两边令0y y →，则

12|()()|g x g x ε-≤

lim ()x x g x →∴存在，令0

lim ().x x g x a →=

由条件2），得20δ?>.当020||x x δ<-<时

|()(,)|3

h y f x y ε

-<

. （2）

由条件1），得30δ?>.当030||y y δ<-<时

|(,)()|3

f x y

g x ε

-<

. （3）

由0

lim ().x x g x a →=，得40δ?>.当040||x x δ<-<时有|()|3

g x a ε

-<

.

取1234min{,,,}δδδδδ=，当00||x x δ<-<，00||y y δ<-<时

|()|,h y a ε-<

lim ().y y h y a →∴= 即0000

lim lim (,)lim lim (,).x x y y y y x x f x y a f x y →→→→== ■

例6】证明微分中值定理

设二元函数(,)z f x y =在凸区域D 上两个偏导数'

'

,x y f f 都存在，则对于D 内 任何两点00(,)x y ，000(,)()x x y y U P +?+?∈有

''000001020102(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x x y y x f x x y y y

θθθθ+?+?-=+?+???++?+???其中1201,0 1.θθ<<<< 【证明】

000000000000(,)(,)

[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y +?+?-=+?+?-+?++?- （1）

令0()(,)x f x y y ?=+?，则由一元函数的中值定理有：

'0001()()()x x x x x x ???θ+?-=+??? （101θ<<），

即'0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y x θ+?+?-+?=+?+??? （101θ<<）， 同理令0()(,)y f x y ?=，可得

'0000002(,)(,)(,)y f x y y f x y f x y y y θ+?-=+??? （201θ<<）

代入（1）式即可证明。 ■ 【例7】设二元函数(,)f x y 在区域{(,)|1}D x y x y =+≤上可微，且对

(,)x y D ?∈，有|

|1,||1,f f x y

??≤≤??证明：对任意1122(,),(,)x y D x y D ∈∈成立： 22112121|(,)(,)|||||f x y f x y x x y y -≤-+-。

【证明】 应用微分中值定理，有

()()22112221211122212111''212121212121|(,)(,)||(,)(,)(,)(,)||(,)(,)||(,)(,)||,||||,|||||||

y x f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y y f y x x x x y y ξξ-=-+-≤-+-≤-+-≤-+-

其中112212(,),(,)x x y y ξξ∈∈。 ■ 【例8】设(0)y

x z x x =>求

,z z

x y

????。 【解】 由(0)y x z x x =>两边取对数ln ln y

z x x = (1) 两边对x 求导有111ln y y z

x yx x z x

--?=+?。 则

1111(ln )(ln )y y y x y y z

z x yx x x x yx x x

----?=+=+?。 同样在（1）式两端对y 求导有：

21(ln )y z

x x z y

?=?。 则

2(ln )y y x z

x x x y

?=?? ■

【例9】证明不等式ln 0,(1,0).y

e x x x xy x y +--≥≥≥ 【证明】令(,)ln .y

f x y e x x x xy =+--

则我们只须证明函数(,)f x y 在区域{(,)|D x y = 1,0}x y ≥≥ 上的最小值0即可。

令''

0.x y f f ==得,y x e =由此可见函数(,)f x y 的最小值只能在曲线y x e =上达到，且

(,)

0.y y y y

y

f e y e e y e e y =+--

=

因此，在D 上(,)0f x y ≥，即证。 ■

【例10】设ABC ?的外接圆半径为一定值，且C B A ∠∠∠,,所对的边长分别为,,,c b a 试证

明

0cos cos cos =++C

dc

B db A da 【证明】 如图1，设AB

C ?的外接圆半径为R ，圆心为O ，则由于

D A ∠=∠（同弧上圆周角）

有 R

a

BD a D A 2sin sin =

== A R a sin 2= A

同理 C R c B R b sin 2,sin 2== D 因此 AdA R da cos 2=

C d C R dc BdB R db cos 2,cos 2== O

C

dc

B db A da cos cos cos ++.

C ()dC dB dA R ++=2 B

()C B A Rd ++=2 图1

02==πRd ■ 【例11】设),(y x f 有一阶连续偏导数，22y x r +=，试证：若1lim =????

?

???+??∞→y f y x f x r ，则),(y x f 有最小值.

【证明】由题设，

,0>?a 当a r ≥时，0>??+??y

f

y x f x 。 令cos ,x r θ=，sin ,y r θ= {}cos ,sin e θθ=则有

θθsin cos y

f

x f e f ??+??=?? y 0M L 01>???

?

????+??=y f y x f x r O θ x

如图2，设0M 是圆a r =上的点，L 是过O ，0M 的射线，

则当L M ∈，且0OM OM >时，有()()0M f M f >. 图2

因此，当a r ≥，),(y x f 在2

2

2

a y x =+上取得最小值.又),(y x f 在有界闭区域

222a y x ≤+上有最小，则该最小值也是),(y x f 在全平面上的最小值. ■

六、训练题提示点评

【训练题1】考虑二元函数22222200(,)0

sin()x y f x y xy

x y x y ?+=?

=?+≠?+?

，问此函数在(0,0)处是否

连续？

【提示及点评】考虑点(,)x y 延y kx =趋于零时(,)f x y 的极限。 ■

【训练题2】考虑二元函数22222200(,)1

sin 0

x y f x y xy x y x y ?+=?

=?+≠?+?

在(0,0)处的可微性.

【提示及点评】先计算得(0,0)(0,0)0x y f f ==.再计算

2

2

2

2

(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]

(0,0)

0x y f x y f f x f y f x y x y

x y

++--+++=

→++

因此，(,)f x y 在(0,0)处可微. ■ 【训练题3】若,u v 是,x y 的函数，cos ,sin x r y r θθ==。试由

,u v x y ??=??u v

y x

??=-??证明等式：

11,u v v u

r r r r θθ

????==-????。 【提示及点评】 利用

;u u x u y u x v y

r x r y r x r x r

?????????=+=-?????????

.v v x v y v x u y x y x x θθθθθ

?????????=+=+????????? ■ 【训练题4】证明：二元函数0(,)sin 0

y x f x y xy

x x

=??

=?≠??在平面上处处连续但不一致连续。

【提示及点评】连续性主要考虑0x =时。取01

2

ε=

及特殊点列()(),,,n n n n x y u v 使得()()lim ,,0n n n n n x y u v →∞

-=及()()0,,1n n n n f x y f u v ε-=≥. ■

【训练题5】函数(,)z z x y =由方程222

z x y z yf y ??

++=

???

给出，其中f 可微，求证：