多元函数微分学及应用
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用
多元复合函数、隐函数的求导法?
(1) 多元复合函数
设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点
),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数
)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且
()()()()
x
y x v v v u f x y x u u v u f x
z y x ?????+?????=
00000000)
,(,,,,00??()()()()
y
y x v v v u f y y x u u v u f y
z y x ?????+?????=
00000000)
,(,,,,00??
多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，
则将z 看成y x ,的函数，有
dy y
z dx x z dz ??+??=
计算
y
v
v f y u u f y z x
v
v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v
f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??=
???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+???
??????+????=??+??=
我们将dv v
f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??=叫做微分形式不变性。
例1 设?
?? ??=x y xy f x z ,
3
，求y
z
x z ????,。 解：??
?
??????
??'+'
+=+?=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213
2
3
2
)(33 ??
?
???-'++'
+=22
13
2(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx x
dy f x f x dx xyf yf x f x ??
? ?
?'+'+??
? ?
?'-'+=221421323
由微分形式不变性， dy f x f x dx xyf yf x f x dy y
z dx x z dz ??? ??'+'+??? ??'-'+=??+??=
221421323 故 ??? ??'
+'=????? ??'
-'+=??22142132,3f x f x y
z xyf yf x f x x
z 。
例2 已知 )
1(1
x
y x
-=，求dy dx
.
解 考虑二元函数 v
u y =, u x v x
==-11,，应用推论得
.dx dv
v y dx du u y dx dy ????+=).ln 1(11)(ln 11
2221x x x u u x vu x
v v -?
?
? ??=+--
-
(2)隐函数 若函数()x y y =, 由方程()0,=y x F 确定，求导之函数？
按隐函数定义有恒等式：()()0,≡x y x F ?
()()0,=x y x F dx
d
， ?()()()()()0,,='?'+'x y x y x F x y x F y x ?()()()()()
x y x F x y x F x y y x ,,''-='。 从这是可见：函数()x y y =可导有一个必要条件是，()0,≠'y x F y .
例3 已知函数y f x =()由方程()
, , 2
2b a y x f by ax +=+是常数，求导函数。
解：方程(
)
2
2y x f by ax +=+两边对x 求导，
??? ?
?
++'=+dx dy y x y x f dx dy b
a 22)(22 )
(2)(22
222y x f y b a
y x f x dx dy +'--+'=
一般来说，若函数()x y y ρ=, 由方程()0,=y x F ρ
确定，求导之函数？ 将y 看作是n x x ,...,1的函数()),...,(1n x x y x y y ==ρ
,对于方程
0)),...,(,,...,(11=n n x x y x x F
两端分别关于i x 求偏导数得到，并解i x f ??,可得到公式 :()()
y x F y x F x y y x i i
,,ρρ''-=??
例4
设函数y(z)y z x x == ),(由方程组???=--+=-++0
120
12
22222z y x z y x 确定， 求
dz
dy dz dx ,. 解 1212
22222?????+=++-=+z y x z y x ????
???=+-=+?z
dy dz y dx
dz x z dy dz y dx dz
x 242222解方程得： ????
?
?????dz dy dz dx =???
???--=??????-??????---xz yz xy z z x x y y xy 8124122222441 由此得到 y
z dz dy
x z dz dx 2,
3-==.
例5 已知函数()y x z z ,=由参数方程:??
?
??===uv
z v u y v
u x sin cos ,给定，试求y z x z ????,.
解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. y x ,是自变量,v u ,是中间变量(v u ,是y x ,的函数), 先由 z uv = 得到
x v
u x u v x v v z x u u z x z ??????????????+=+= y
v
u y u v y v v z y u u z y z ??????????????+=+= u v , 是由方程???==)
,()
,(y x v v y x u u 的x y ,的隐函数，在这两个等式两端分别关于x y ,求偏导数，得
???????+??=??-??=x v v u x u v x v
v u x u v cos sin 0sin cos 1， ???????+??=??-??=y v v
u y u v y v v u y u v cos sin 1sin cos 0 得到 u
v x v v y u u u x v v x u cos ,sin ,sin ,cos =??=??-=??=?? 将这个结果代入前面的式子, 得到
v v v x v
u x u v x z sin cos -=-=?????? 与 v v v y
v
u y u v y z cos sin +=+=??????
(3) 隐函数函数),(y x u u =由方程??
?
??===0
),(0),,()
,,,(t z h t z y g t z y x f u 确定，求y u x u ????, 解： 函数关系分析: 5 (变量) ? 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u ), 二自( x, y ), 二中( z, t )
x f x u ??=??, y
t t f y z z f y f y u ????+????+??=?? ????? ????-?????? ??????-??-?????? ????=?????
? ??????-0),(),(1t g z g z h t g t h t z h g y t y z , z h t g t h z g y g t h z f z h t f y f y u ????-?????????? ??????-????+??=??.
二阶偏导数：一阶导函数的偏导数
例6 ),(y x z z =由2
2
2
2
a z y x =++决定，求y
x z
???2．
解：022=??+x
z
z x ，022=??+y z z y z
y y z z x x z -=??-=??, =???=???x z z y y x z 223z
xy
-
例7 设()()()2
2
,,x x x f x g ?=，其中函数f 于?的二阶偏导数连续，求()2
2dx
x g d 例8 设z f xy x y =(,)，f 二阶连续可微，求2
2x
z
??. 解 记 y
x
v xy u ==,; v f f u f f ??='??='21,, 2
2222211,v
f f u f f ??=''??='',u v f
f v u f f ???=''???=''221
212, 则
211
f y
f y x v v f x u u f x z '+'=?????+?????=??, x f y x f y x z x x
z ?'?+?'?=????
??????=??21221 因为 v
f
f u f f ????='='21,都是以u v ,为中间变量，以y x ,为自变量的函数，所以 x v f x u f x f ??''+??''='12111??1211
1
f y f y ''+''= x v f x u f x f ??''+??''='22212??2221
1
f y
f y ''+''= 将以上两式代入前式得: f y
f f y x z ''+''+''= 222121122212??.
例9 设),(y x z z =二阶连续可微，并且满足方程
022
2222=+?+y
z C y x z B x z A ?????? 若令,?
??+=+=y x v y x u βα 试确定βα,为何值时能变原方程为 02=???v u z
.
解 将y x ,看成自变量，v u ,看成中间变量，利用链式法则得
z v u v z u z x v v z x u u z x z ??? ????+??=??+??=????+????=?? z v u v z u z y v v z y u u z y z ??
? ????+??=??+??=????+????=??βαβα z v u v z v u z u z v z u z x x z 2
22222222??
? ????+??=??+???+??=??? ????+????=?? 2
2
22222222v z v u z u z v z u z y y z ??+???+??=??? ????+????=??βαβαβαz v u
2
??? ????+??=βα ()222222v
z
v u z u z v z u z x y x z ??+???++??=??? ????+????=???ββααβα =z v u
v u ??? ????+?????
????+??
βα 由此可得, 2
222220y z
C
y x z B x z A ??????+?+== =(
)
()()+???++++??++v u z C B A u z C B A 2222
22αββααα()
2
2
22v
z C B A ??++ββ=0 只要选取βα,使得 ?????=++=++0
20
22
2
ββααC B A C B A , 可得
02=???v u z . 问题成为方程022=++t C t B A 有两不同实根，即要求： 02
>-C A B .
令AC B B -+
-=2α,AC B B ---=2β,即可。 此时，02=???v u z ?02=???v u z ?0=?
?? ??????v z u ?()v v
z
?=???()()u f dv v z +=??. ()()()()y x g y x f v g u f z βα+++=+=.
例10
设2
),(C y x u ∈, 又02222=??-??y
u x u ,x x x u =)2,(, 2
)2,(x x x u x =',求
)2,(x x u xx '', )2,(x x u xy '' )2,(x x u yy ''
解: 2)2,(x x x x
u
=??, 两边对x 求导,
x x x y x u
x x x
u 22)2,()2,(222=????+??. (1)
x x x u =)2,(, 两边对x 求导,
()()122,2,=???+??x x y u x x x u , ()2
12,2
x x x y u -=??. 两再边对x 求导,
x x x y
u
x x y x u -=???+???2)2,()2,(222. (2) 由已知 ()()02,2,2
222=??-??x x y
u
x x x u , (3) (1), (2), (3) 联立可解得:
()()()x x x y x u x x x y
u x x x u 35
2,,342,2,22
222=???-=??=??
多元微分的应用: 几何应用，物理应用
极值与条件极值问题
?????
??????????????????????条件极值无条件极值极值切平面法线曲面法平面切线曲线几何多元微分的应用 空间曲面
(1)空间曲面的表达式 显函数表示： ()y x f z ,= 隐函数表示: ()0,,=z y x F
参数表示：2),(),()
,(),(R D v u v u z z v u y y v u x x uv ?∈??
?
??===
(2)空间曲面的切平面与法线
空间曲面S 由显函数表示()y x f z ,=，设 ()000,y x f z =，空间曲面S 过()000,y x P 切平面方程为
()()()
()()0,,000000=---??+
-??z z y y y
y x f x x x y x f
法线方程是
()()1,,0
000000--=
??-=??-z z y y x f y y x y x f x x 法向量为 ()()???
?
??-????=1,,,,0000y y x f x y x f n ρ 空间曲面S 存在切平面的条件：若曲面S 由显函数表示()y x f z ,=在点()00,y x p 可微, 则曲面S 在点()00,y x p 有不平行z 轴的切平面.
若曲面S 由隐函数()0,,=z y x F 表示, 曲面S 过()
0,00,z y x 切平面方程为
()()()()+-??+-??00000000,,,,y y y z y x F x x x z y x F ()()0,,0000=-??+z z z
z y x F
法线方程为
()()()
z
z y x F z z y z y x F y y x z y x F x x ??-=
??-=??-0000
00000000,,,,,, 法向量 ()()
()???
?
????????=z z y x F y z y x F x z y x F n ,,,,,,ρ 若曲面S 由参数表示：2),(),()
,()
,(R D v u v u z z v u y y v u x x uv ?∈??
?
??===，其切平面为
???
?
?
????
-??+-??=--??+-??=--??+-??=-)
)(,())(,(),())(,())(,(),())(,())(,(),(0
00000000000000000000000v v v u v z u u v u u z v u z z v v v u v y u u v u u y v u y y v v v u v x u u v u u x v u x x 或
[][]
[]0
),(),(),(00)
,(00)
,(00)
,(000000=-????????+-????????+-????????v u z z v
y u
y v x u x v u y y v x u x v z u z v u x x v
z u z v y u y v u v u v u
法线方程为
[][][])
,(00),(00),(00000000),(),(),(v u v u v u v
y u
y v x u x v u z z v
x u
x v z u z v u y y v
z u
z v y u y v u x x ????????-=????????-=????????-
法向量 ??????
?
?????????????????????????=),(),(),(000000,,v u v u v u v
y u
y v x u x v x u
x v z u z v z u
z v y u y
n ρ
例11
求曲面S :12222
2=+-z y x 上切平面与直线?
??=++=--0523:z y x z y x L 平行的切点
的轨迹。
解: (1) 直线??
?
??--=+==5554:x z x y x
x L 的方向：=τρk j i k j i ρρρρρρ54111123+--=--.
切点为()z y x P ,,处曲面S 的法向：k j y i x n ρρρρ
244+-=.
(2)所求轨迹：τρ
ρ⊥n ?010164=++-=?y x n τρρ,
轨迹为空间曲线：???=+-=-?12225822
2z y x y x ()()
??
?
??+--=-==?576060522
x x z x y x
x 例12 证明球面R z y x S 22221:=++与锥面z a y x S 222
22:=+正交.
证明 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直. 记z a y x z y x G R z y x z y x F 222
2222
2),,( ,),,(-+=-++= 曲面1S 上任一点M x y z (,,)处的法向量是
T
z y x z y x gradF )2,2,2(),,(= 或者T
z y x v ),,(1=ρ
曲面2S 上任一点M x y z (,,)处的法向量为T
z a y x v ),,(22-=ρ
. 设点M x y z (,,)是两曲面的公共点，则在该点有
0),,(),,(2222221=-+=-?=?z a y x z a y x z y x v v T ρ
ρ
即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交. 例13 过直线0,272210=-+=-+z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平
面，求该切平面的方程．
解：设切平面过曲面2732
2
2
=-+z y x 上的),,(000z y x 点，则切平面的法向量为 )2,2,6(000z y x -
过直线0,
272210=-+=-+z y x z y x 的平面可以表示为
()()0272210=-++--+z y x z y x λ
其法向量为 )2,2,10(λλλ--++
002222610z y x ---=+=+λ
λλ （１）
),,(000z y x 是曲面273222=-+z y x 上的点，
2732
02020=-+z y x （２）
()()0272210000000=-++--+z y x z y x λ
（３）
联立（１），（２），（３），解得)1,1,3(),,(000=z y x ，或)17,17,3(),,(000---=z y x ， 切平面方程为
0279=--+z y x ，或02717179=+-+z y x
例14
通过曲面:S 3=+-+z y x e
z
y x 上点)1,0,1(的切平面（ B ）
（A ）通过y 轴； （B ）平行于y 轴； （C ）垂直于y 轴； （D ）A ，B ，C 都不对. 解题思路 令3),,(-+-+=z y x e
z y x F xyz
.则S 在其上任一点M 的法向量为
)(grad M F M z
F
y F x F ),,(
??????= 于是S 在点M )1,0,1(的法向量为
)1,0,1()1,1,1()1,0,1(=+-+xyz xyz xyz xye xze yze
因此, 切平面的方程为0)1()1(=-+-z x . S 在)1,0,1(的法向量垂直于y 轴，从而切平面平行于y 轴．但是由于原点不在切平面，故切平面不含y 轴. 例15
已知f 可微，证明曲面0,=??
?
??----c z b y c z a x f 上任意一点处的切平面通过一定点，
并求此点位置． 证明：设y
f f x f f ??=??=
'2'
1,，于是有： ??
? ??-?'=????
?
??-?'=??c z f y f c z f x f 1,121, .)()(2221c z y
b f
c z x a f z f --?'+--?'=?? 则曲面在),,(0000z y x P 处的切平面是：
+--'+--'c z y y P f c z x x P f 00020001)()
(0)()()()()(0200
022
0001=-???
?
??--'+--'z z c z y b P f c z x a P f
可以得到：
+--+--))()(())()((000'2000'1y y c z P f x x c z P f
.0))()(())()((000'2000'1=--+--z z y b P f z z x a P f
易见当b y c z a x ===,,时上式恒等于零。于是知道曲面0,=??
?
??----c z b y c z a x f 上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为),,(b c a ． 例16
S 由方程()
222z y x G cz by ax ++=++确定, 试证明：曲面S 上任一点的法线
与某定直线相交。
证明: 曲面上任意一点),,(000z y x P 的法线为
)
(2)(2)(22
0202000
2020200020202000z y x G z c z z z y x G y b y y z y x G x a x x ++'--=++'--=++'-- 设相交的定直线为
γ
β
α
1
1
1
z z y y x x -=
-=
-, 与法线向交:
()
)(2),(2),(22
02020020202002020200z y x G z c z y x G y b z y x G x a ++'-++'-++'-不平
行于()γβα,,
()()[]
()0
,,,,)(2),(2),(201010120202002020200202020
=---??++'-++'-++'-z z y y x x z y x G z c z y x G y b z y x
G x a γβα0)
(2)(2)(20
10
10
12
02020020202002020200=---++'-++'-++'-z z y y x x z y x G z c z y x G y b z y x G x a γ
β
α
0)(21
1
1
00
2
020200
10
10
1=++'+---z y x z y x z y x G z z y y x x c
b a γβ
α
γ
β
α
只要取())0,0,0(),,(),
,,(,,111==z y x c b a γβα即可.
例17
求过直线???=++=--0
523:z y x z y x L 且与曲面852222
2=+-z y x 相切的平面的方程.
解：直线L 平面F 可表示为 0)(523=+++---z y x z y x λ，设曲面为G
则相切处有
)2,4,4()1,2,3(y x k gradG k gradF -?=?=--+=λλλ
解得
??
?-=-===-=-===24
/5,12/5,6/5,78/15,4/1,2/3,3z y x or
z y x λλ 因此切平面方程为 0)8/15(2)4/1()2/3(6=++++-z y x 或
0)24/5(6)12/5(5)6/5(10=++++-z y x
例18
在椭球面x a y a z c
22222
21++=上求一点，使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的正向
成等角。
解：椭球面在此点的法线矢量为)1,1,1(，设该点为),,(000z y x ，则有
)1,1,1()2,2,2(
20
2020),,(000k c
z b y a x gradF
z y x == 该点坐标为),,(12222
22c b a c b a ++
空间曲线的切线和法平面
(1)空间曲面的表达式
空间曲面的参数方程: )(
)()()
(βα≤≤???
??===t t z z t y y t x x 参数方程又可以写作 ()()()())( ;)(βα≤≤==t t z t y t x t r r T
ρρ
空间曲线的交面式：一条空间曲线L ，可以看作通过它的两个曲面1S 与2S 的交线，若设1S 的方程为0),,(=z y x F ，2S 的方程为0),,(=z y x G ，则L 的方程是
??
?==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
(2)空间曲线的切线与法平面
空间曲面的参数方程表示，其切线为 ??
?
??-'+=-'+=-'+=)
)(())(())((000000000t t t z z z t t t y y x t t t x x x
切向量为：
())(),(),(000t z t y t x '''
法平面为： 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x
空间曲线的交面式表达方式，其切线为
),,(0
),,(0)
,,(0000000000z y x z y x z y x y G y G x
F x F z z x
G x G z F z F y y z G
z
G y F y F x x ????????-=
????????-=????????- 切向量为： ??????
? ?
?????????????????????????),,(),,(),,(000000000,,z y x z y x z y x y
G y
G
x F x F x
G x
G
z F z F z
G z
G y F
y F 法平面为：
()()()00)
,,(0)
,,(0)
,,(000000000=-????????+-????????+-????????z z y
G y G x F
x F
y y x
G x G z F z F x x z
G z
G y F y F
z y x z y x z y x
例19 求螺线 ??
?
??===ct
z t a y t
a x sin cos ；)0,0(>>c a ,在点)4,2,2(
c a a M π 处的切线与法平面.
解 由于点M 对应的参数为4
0π=t ，所以螺线在M 处的切向量是
),2,2())4(),4(),4((c a a
z y x v -='''=πππρ
因而所求切线的参数方程为 ()???
?
???+=+=-=,4,22,22t c c z t a a y t a a x π
法平面方程为 (
)
(
)
()0)4()2(2)2(2=-+-+--c z c a
y a
a
x a
π.
例20 求曲线 ???=--=-++0
622
222y x z z y x ,在点)2,1,1(0M 处的切线方程. 解: 取6),,(2
22-++=z y x z y x F ，y x z z y x G 22),,(--=，则 )1,2,2()( ),4,2,2()(00--==M gradG M gradF
所以曲线在0112M (,,)处的切向量为 )0,10,10()()(00-=?=M gradG M gradF v ，
于是所求的切线方程为 ??
?
??=-=+=2101101z t y t x
例21 设曲线3
2
,,t z t y t x ===，求曲线上一点，使曲线在该点的切线平行于平面
42=++z y x ．
解：曲线3
2
,,t z t y t x ===的切线方向为)3,2,1(2
t t ．曲线在该点的切线平行于平面
42=++z y x 可知
03412=++t t
1,3
1
--=t
所求的点为()1,1,1,271,91,31--???
?
?---．
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全
多元函数微分学习题
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -
答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
高等数学习题详解第7章多元函数微分学(精品文档)
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1235y x z + +=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
多元函数微分学及其应用
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
《多元函数微分学》练习题参考答案
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
高等数学题库第08章(多元函数微分学)
第八章 多元函数微积分 习题一 一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ，则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二 一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=，则 y x x z 1 2+=?? （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则 该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ） 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f （ ） 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 （ ） 二、填空题
1. 设2 ln y x z = ，则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数： 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2： 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=，证明：.3 1=??+??y z y x z x 习题三 一、填空题 1．xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2．2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz
多元函数微分学习题
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式
高等数学多元函数微分法
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
多元函数微分学练习题
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第七章多元函数微分高等数学
第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。