对称性在各种积分中的定理

对称性在积分计算中的应用

定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于

x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数，

即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(， 则(,)0D

f x y d σ=??；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1

(,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????.

其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域.

同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形.

则由定理2.1.1知32sin 0D

y xd σ=??.

由定理2.1.1可得如下推论.

推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则

⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1

(,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????.

其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥.

⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0D

f x y d σ=??.

当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于

原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0D

f x y d

σ=??；如果),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则1

2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥.

为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义.

定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具

有轮换对称性.

关于区域的轮换对称性，有如下定理.

定理2.1.3[5] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于y x ,具有轮换对称性，则(,)(,)D D

f x y d f y x d σσ=????.

定理2.2.1[6] 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于坐标平面0=x 对称，则

(1) 若),,(z y x f 是关于变量x 的奇函数，则(,,)0f x y z dV Ω

=???；

(2) 若),,(z y x f 是关于变量x 的偶函数，则

1

(,,)2(,,)f x y z dV f x y z dV ΩΩ=??????.

其中1Ω是Ω的前半部分，{}1(,,)|0x y z x Ω=∈Ω≥.

同理可写出Ω关于坐标平面0y =（或0z =）对称时的情形.

与二重积分类似，我们也可得到如下结论.

定理2.2.2 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于原点对称，则

(1) 若),,(),,(z y x f z y x f -=---，(,,)x y z ∈Ω，则(,,)0f x y z dV Ω

=???；

(2) 若),,(),,(z y x f z y x f =---，(,,)x y z ∈Ω，则

123

(,,)2(,,)2(,,)2(,,)f x y z dV f x y z dV f x y z dV f x y z dV ΩΩΩΩ===????????????. 其中{}1(,,)|0x y z x Ω=∈Ω≥，{}2(,,)|0x y z y Ω=∈Ω≥，{}3(,,)|0x y z z Ω=∈Ω≥

为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于,,x y z 的轮换对称性定义. 定义2.2.1[7] 设Ω是一有界可度量的集几何体（Ω可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(,,)x y z ∈Ω，都存在(,,)y z x ∈Ω，存在(,,)z x y ∈Ω，则称Ω关于z y x ,,具有轮换对称性.

关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.

定理2.2.3 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω

关于z y x ,,具有轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)f x y z dV f y z x dV f z x y dV ΩΩΩ

==?????????.

3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用

本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.

定理3.1.1[9] 设平面分段光滑曲线L 关于y 轴（或x 轴）对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则

(1) 若),(y x f 为关于x （或y ）的奇函数，则(,)0L

f x y ds =?； (2) 若),(y x f 为关于x （或y ）的偶函数，则1

(,)2(,)L L f x y ds f x y ds =??. 其中{}1(,)|0(0)L x y L x y =∈≥≥或.

由定理3.1.1可得如下推论.

推论3 设平面分段光滑曲线L 关于x 轴对称且关于y 轴对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则

⑴ 若),(y x f 关于y x ,均为偶函数，则1

(,)4(,)L L f x y ds f x y ds =??， 其中{}1(,)|0,0L x y L x y =∈≥≥.

(2) 若),(y x f 关于x 或y 为奇函数，即),(),(y x f y x f -=-或

),(),(y x f y x f -=-，(,)x y L ∈，则(,)0L

f x y ds =?. 当曲线L 关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理3.1.2 设平面分段光滑曲线L 关于原点对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则

(1) 若),(),(y x f y x f -=--，(,)x y L ∈，则(,)0L

f x y ds =?； (2) 若),(),(y x f y x f =--，(,)x y L ∈，则1

(,)2(,)L L f x y ds f x y ds =??. 其中1L 为L 的上半平面或右半平面.

关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.

定理3.1.3 设平面分段光滑曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则(,)(,)L L f x y ds f y x ds =??.

定理3.2.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，),(),,(y x Q y x P 为定义在L 上的连续函数；

⑴ 当L 关于x 轴对称时：

① 若),(y x P 是关于y 的偶函数，则0),(=?L

dx y x P ； 若),(y x P 是关于y 的奇函数，则1

(,)2(,)L L P x y dx P x y dx =??， ② 若),(y x Q 是关于y 的奇函数，则0),(=?L

dy y x Q ； 若),(y x Q 是关于y 的偶函数，则1

(,)2(,)L L Q x y dy Q x y dy =??； 其中1L 是L 位于x 轴上方的部分.

⑵ 当L 关于y 轴对称时：

① 若),(y x P 是关于x 的奇函数，则0),(=?L

dx y x P ； 若),(y x P 是关于x 的偶函数，则1

(,)2(,)L L P x y dx P x y dx =??； ② 若),(y x Q 是关于x 的偶函数，则0),(=?L

dy y x Q ； 若),(y x Q 是关于x 的奇函数，则1

(,)2(,)L L Q x y dy Q x y dy =??； 其中1L 是L 位于y 轴右方的部分.

⑶ 当L 关于原点对称时：

① 若),(),,(y x Q y x P 关于),(y x 为偶函数，即),(),(y x P y x P =--

且),(),(y x Q y x Q =--，(,)x y L ∈，则0),(),(=+?dy y x Q dx y x P L

； ② 若),(),,(y x Q y x P 关于),(y x 为奇函数，即),(),(y x P y x P -=--

且),(),(y x Q y x Q -=--，则1

(,)(,)2(,)(,)L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+??. 其中1L 为对于轮换对称性，我们有如下定理.

定理3.2.2 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，),(),,(y x Q y x P 为定义在L 上的连续函数.若曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，则??=L L

dy x y P dx y x P ),(),(. L 的右半平面或上半平面部分.

4.1 对称性在第一型曲面积分计算中的应用

在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性（关于坐标面、原点、轮换对称）及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的计算，下面给出相应的定理及例题.

定理4.1.1[11] 设分片光滑曲面∑关于坐标面0=x 对称，且),,(z y x f 在∑上有定义、可积，则

⑴ 若),,(z y x f 为关于x 的奇函数，则(,,)0f x y z dS ∑

=??；

⑵ 若),,(z y x f 为关于x 的偶函数，则1

(,,)2(,,)f x y z dS f x y z dS ∑∑=????.

其中{}1(,,)|0x y z x ∑=∈∑≥.

同理可写出曲面∑关于坐标面0=y （或0=z ）对称的相应结论.

对于轮换对称性，我们有如下定理.

定理4.1.2 设分片光滑曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，且),,(z y x f 在∑上有定义、可积，则(,,)(,,)(,,)f x y z dS f y z x dS f z x y dS ∑∑∑

==??????.

4.2对称性在第二型曲面积分计算中的应用

与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背景（计算流体流量），同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论.

定理4.2.1[12] 设积分曲面∑光滑或分段光滑，且12∑=∑+∑，曲面1∑和2∑的法线方向相反，若曲面1∑和2∑关于xoy 面对称，则

⑴ 若),,(),,(z y x R z y x R =-，则0),,(=??∑

dxdy z y x R ；

⑵ 若),,(),,(z y x R z y x R -=-，则1

(,,)2(,,)R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=????.

其中1∑为∑的0≥z 的部分.

关于轮换对称性，我们有如下定理.

定理4.2.2 设积分曲面∑光滑或分段光滑，函数),,(z y x P 在曲面∑上有定义、可积，若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，则

(,,)(,,)(,,)P x y z dydz P y z x dzdx P z x y dxdy ∑∑∑==??????.