基于时域有限差分法的软件设计
第一章引言
1.1 时域有限差分法技术的发展
计算电磁学是现代电磁场理论、现代数值计算方法、现代计算机技术相结合所产生的一门交叉学科。计算电磁学以电磁场理论为基础，以高性能计算机技术为工具和手段，运用计算数学提供的各种方法，为电磁场理论的研究提供了有力工具。当前计算电磁学中使用较多的方法主要有两大类：一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法，如矩量法系列；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法，如有限差分法系列。有限差分法简称差分法，这种方法以简单、直观的特点而得到广泛的应用，无论是常微分方程还是偏微分方程、各种类型的二阶线性方程，以致高阶或非线性方程，均可利用差分法转化为代数方程组，而后用计算机求其数值解。特别的，作为一种电磁场数值计算方法，时域有限差分法（Finite-Difference
Time-Domain Method）具有一些非常突出的优点（直接时域计算、节约存储空间和计算时间、适合并行计算、简单），得到了越来越广泛的应用。
1966年，K.S.Yee提出了时域有限差分法的基本原理，他在论文中用后来被称为Yee网格的空间离散方式，把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。这就诞生了后来被称为时域有限差分发（FDTD）的一种新的时域计算方法。近十年来，它倍受专家、学者青睐，被称为90年代重要的电磁场计算方法之一。
在最初20年的发展中，主要解决的是以下一些问题：吸收边界的应用和不断改善；总场区和散射场区的划分；实现稳态场的计算。80年代后期以来，时域有限差分法由成熟转入被广泛接受和应用，在应用中又不断有新的发展。在这一阶段主要解决了以下几个问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线坐标系中的差分格式和非正交变形网格；适于色散介质的差分格式；超吸收边界条件和色散吸收边界条件等。时域有限差分近期发展的另一个特点是迅速扩大了它的应用范围。在80年代中期它还主要应用于电磁场散射问题，到80年代中期首先成功地用到了生物电磁剂量学问题的计算的电磁热疗系统的计算机模拟。到80年代后期，证明了时域有限差分法用于微波电路的时域分析非常成功。进入90年代以来又被用于天线辐射特性的计算问题。随着新技术的不断提出，应用的范围和质量正在不断地扩大和提高。
1.2 时域有限差分法的特点
作为一种电磁场的数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的特点，也是它的优点。
最重要在以下几个方面：
（1）直接时域计算
时域有限差分法把含时间变量的Maxwell旋度方程在Yee氏网格中转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场（或磁场）分
量仅与它相邻的磁场（或电场）分量及上一步该点的场值有关，随时间
步的推进，能够直接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。时
域有限差分法能够直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂
的物理过程描绘出清晰的物理图像。如果需要频域信息，则只需要对时
域信息进行Fourier变换，为获得宽频带的信息，只需要在宽频谱的脉
冲激励下进行一次计算。
（2）广泛的适用性。
由于Maxwell方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对于广泛的问题是不变的，具有最广泛的适用
性，近几年的发展也证实了这点。从具体的算法看，在时域有限差分
法的差分格式中，被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，
因此只需设定相应空间点以适当的参数，就可以模拟复杂的电磁结构。
媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性的等均能很容易的进
行精确模拟。不管是色散、辐射、传输、透射或吸收中的哪一种，也
不论是瞬态问题还是稳态问题，只要能正确的对源和结构进行模拟，
时域有限差分法就能给出正确的解答。此外，吸收边界条件和连接条
件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟跟以上部分没有直接
联系，可以独立进行。因此一个基础的时域有限差分法计算程序，对
广泛的电磁场问题具有通用性，对不同问题或不同计算对象只需要修
改有关部分，而大部分是通用的。
（3）节约存储空间和计算时间。
在时域有限差分法中，所需的存储空间直接由所需的网格空间定，在计算时，每个网格都按同样的差分格式计算，所以所需的时间也与网
格总数N成正比。相比之下，若离散单元是N，则矩量法所需的时间也
与()23N 成正比，而所需的CPU 时间则与()23N 至()3
3N 成正比，当N 较大时，两者之间的差别是明显的。 （4） 适合并行计算。
当代电子计算机的发展方向是运用并行处理技术，以进一步提高计算速度。如前面所指出的，时域有限差分法的计算特点是，每一个网格点上的电场（或磁场）分量仅与它相邻的磁场（或电场）分量及上一步该点的场值有关，这使得它特别适合并行计算。施行并行计算可使时域有限差分法所需的存储空间和计算时间减少为只与1/3N 成正比。 （5） 计算程序的通用性。
由于Maxwell 方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对于广泛的问题是不变的。因此一个基础的时域有限差分法计算程序，对广泛的电磁场问题有通用性。 （6） 简单、直观、容易掌握。
由于时域有限差分法直接从Maxwell 方程出发，不需要任何导出方程，这样就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁场的计算方法中最简单的一种。其次，由于它能够直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体作用的物理过程，所以它又是非常直观的一种方法。这样，这一方法很容易得到推广，并在广泛的领域发挥作用。
1.3 时域有限差分法的运用
由于时域有限差分法的特点，到现在为止，它几乎被用到了电磁场工程中的各个方面，而且其应用的范围和成效还正在迅速扩大和提高。下面将时域有限差分法应用的一些主要方面及其所显示的优势加以阐述。
1. 在目标电磁散射特性研究中的应用：
目标的电磁散射特性是一个经典而又经久不衰的研究课题，隐身和反隐身技术的发展把这一问题的研究推向一个新的阶段。在应用中已显示，对于结构复杂或线度达到数个波长的目标散射特性的计算，时域有限差分法具有突出的优越性。时域有限差分法由于对结构模拟的超凡能力，在计算及其复杂目标的电磁散射问题中仍具有巨大潜力。此外，时域有限差分法已被用于逆散射问题。
2. 在电磁兼容问题中的应用：
电磁兼容性越来越受到人们的重视，其中有许多复杂的电磁场计算问题。透入和串扰是两个最具特点的问题。为了计算这些复杂的电磁问题，首
先是对这些复杂结构进行正确模拟，而时域有限差分法正是在这方面具有其突出的优越性。因此，时域有限差分法已被用来计算非常复杂的电磁兼容问题。
3.在天线辐射特性计算中的应用
时域有限差分法用于天线辐射的计算虽然开始较晚，但发展很快。现在已经涉及到多种类型的问题，除线性振子天线之外，还有微带天线、喇叭天线和放射天线等。时域有限差分法用于天线辐射计算的优越性仍然是对复杂结构的模拟能力。它在计算天线的瞬时辐射方面具有突出的优点。此外，时域有限差分法的直接时域计算在天线的宽频带辐射特性的计算中也显示出了突出的优点。
4.在微波电路和光路时域分析中的应用
微波电路和光路的时域分析是时域有限差分法被成功应用的另一个重大方面。随着通信和雷达技术的发展，，高速和宽带器件显得越来越重要，而且需要了解它们的宽频带和包括时间在内的四维信息。在解决这类问题方面，传统的频域方法已显得力不从心，而时域有限差分法不仅能够通过一次运行得到宽频带信息，而且可以了解脉冲信号在电路中的详细传输过程，从而大大加深了对电路工作原理的深刻理解。现在，用时域有限差分法不仅分析了均匀功能器件的传输结构，而且分析了各种非均匀性，甚至诸如定向耦合器，虑波器等一些功能器件的传输特性，不仅包括波导及其器件，还涉及到微带线，共面波导和槽线等。最近随着把时域有限差分法用于光路的分析中，在这方面的应用还具有巨大潜力，必将发挥更大的作用。
此外，时域有限差分法在生物电磁计量学，无限通信信道模型研究等等方面的应用正在受到越来越广泛的重视。
1.4 本次工作的意义
由前面介绍的FDTD的原理和特点，我们可以看出，用时域有限差分法作电磁仿真程序具有很强的通用性和实用性。同时，相对于另外的算法如有限元法（FEM）、矩量法（MoM），FDTD有它自己的优越性。它简便快捷，对含任意物质特性的一般EM结构，都具有卓越的仿真能力。另外，由于没有矩阵的填写和
求解，它在计算时间和内存占用上比其他方法效率高得多，能通过一次的系列仿真提供频带很宽的结果，而这点对于频域技术如FEM 、MoM 是不可能的。
本课题主要是运用Mtalab语言，编程计算方同轴线中主模为阻抗TEM模的场分布，并计算任意尺寸该种方同轴线的特性。并在此基础上，设计两个特性阻抗均为50Ω左右的尺寸不同的方同轴线，计算传输的波形，及两者相连的不连续附近的场分布。
第二章 有限差分法的基本原理
2.1 差分运算的基本概念
在电磁场数值分析的计算方法中，有限差分法是应用最早的一种方法，直至今天，它仍以其简单、直观的特点而被广泛应用者。无论是常微分方程或偏微分方程、初值问题或者边值问题、椭圆型、双曲型或抛物型二阶线性方程，以及高阶或非线性方程，通常均可利用次法将它们转化为代数方程组，再借助计算机求其数值解。
设函数()f x ，其独立变量x 有很小的增量x h ?=，则相应地该函数()f x 的增量为
()()f f x h f x ?=+- （2.1）
它称为函数()f x 的一阶差分，它与微分不同，因是有限量的差，故称为有限差分。而一阶差分f ?除以增量h 的商，即一阶差商
（2.2） 将接近于一阶导数df/dx 。
一阶差分仍是独立变量x 的函数，类似地，按式（2.1）计算一阶差分差分，就得到二阶差分()2f x ?。
显然，只要上述增量h 很小，差分f ?与微分之间的差异将很小。 一阶导数
（2.3）
除以无限小微分 的商，
（前向差分） （2.4）
即有限小的差分()f x ?除以有限小的差分x ?的商，被称为差商。同理，一阶导数还可以近似地表达为
（后向差分） （2.5）
或者
()()f x h f x f
x h
+-?=? ()0
lim x df f x ?→=?
（中心差分） （2.6）
它们对于一阶导数的逼近度可以通过泰勒公式的展开得知。
很明显的，以上三种差商表达式中以（2.6）式所示的商差的的截断误差最小，其误差将大致和h 的二次方成正比。
对于二阶导数同样可近似为差商的差商，即
（2.10）
（2.11） 显然，二阶差商
（2.12）
在上述标准差分格式中，对自变量的微分dx 我们取dx x h
≈?=。而在广义的差分格式中，我们可取()()2,dx h h O h φλ==+ 0h →，λ固定 （2.13）
（2.16） ()()2,i i h h O h φλ=+ 0h →，λ固定 （2.17）
这种广义的差分格式给我们离散化工作带来了更多的选择方案、更大的自由度。
偏导数也可以仿造上述方法表示为差商，它用各离散点上函数的差商来近似代替该点的偏导数，将需求解的边值问题转化为一组相应的差分方程，而后根据差分方程组（代数方程组），解出位于各离散点上的待求函数值，便可得到相应的数值解。
由上可见，有限差分法（简称差分法）是以差分原理为基础的一种数值方法，它实际上是将电磁场连续域的问题变换为离散系统的问题来求解，也就是通过网格状离散化模型上的各离散点的数值解来逼近连续场域的真实解。
有限差分法的应用范围很广，不但能求解均匀或不均匀线性媒质中的位场，而且还能解决非线性媒质中的场；它不仅能求解恒定场或拟稳场，还能求解时变场。在边值问题的数值方法中，次法是相当简便的，在计算机存储容量允许的情况下，有可能采用较精细的网格，使离散化模型能较精确的逼近真实问题，获得具有足够精度的数值解。
应用有限差分法对电磁场边值问题进行求解，通常所采用的步骤是： （1） 采用一定的网格划分方式离散化场域。常见规则网格有正方形、矩形、
平行四边形、等角六边形和极坐标网格等。
（2） 基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条
件，也包括场域内不同媒质分界面上的边界条件，进行差分离散化处理，给出相应的差分计算格式。
（3） 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求解由上所得对应于边界
问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的解答。
2.2 差分格式的建立
设在一个由边界C 限定的二维场域D 内满足泊松方程
（2.18）
首先应将场域D 离散化，从网格划分着手决定离散点的分布方式。通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。现以矩形网格的节点配置，导出泊松方程的差分方程。设场域内部某节点O 附近的各节点如图2-2所示。这里我们取步长h 不相等的最一般情况。以0?、1?、2
?、3?、4?分别表示在节点0,1,2,3,4处?的函数值。
O 点的一阶偏导数可通过朝前或朝后的差商，由1和3点的值给出 （2.19）
或
（2.20） 显然这种单侧差商误差较大。
图 2-2 矩形网格的节点配置
如果寻求较精确的差分格式，可引入待定常数α，β，由1?和3?的泰勒展开，构造出下面的关系式：
（2.21）
令 项系数为0，得α和β之间应满足
（2.22）
将（2.22）代入（2.21），并舍去高阶项，得到 的另一差分式为 (2.23)
在等步长时，13x h h h == ，有
（2.24） 这就是我们熟悉的中心差商表达式。
二维泊松方程的差分表达式为：
（2.25）
()()
()()10302
22
1
31320
012h h h h x x α??β????αβαβ-+-??????=-+++ ? ??????? 220
x ???? ???? 2321
h h αβ=- 0
x ???? ???? ()()()22
31013001313h h x h h h h ?????---???≈
??+?? 13
02x x h ???-???≈
???? ()()()()()()3101304202402
131324240
2h h h h h h h h h h h h f ???????????
----+-?=+??++??
=
当13x h h h ==，24y h h h ==时，上式化为：
（2.26） 一般地，可用节点的角标将上式写为
（2.27） 这就是,i j ?所满足的差分方程，通常称为“五点格式”或“菱形格式”。特别是当x y h h h ==时，有
21,1,,1,1,,4i j i j i j i j i j i j h f ?????+-+-+++-= （2.28） 对f ＝0的拉氏方程，由上式得到
1,1,,1,1,40i j i j i j i j i j ?????+-+-+++-= （2.29） 在旋转对称场的情况下，拉氏方程为
（2.30）
它的差分表达式对不等矩网格为
（2.31） 在等矩网格情况下的差分格式为
024164????=++ （2.32）
2.3 边界条件的处理
在实际问题中，经常遇到不同介质层的情况，下面就来讨论相对介电常数分别为1r ε和2r ε的两种介质分界面的情况。设空间不存在自由电荷，所以无论在哪种介质内部，电位都满足拉氏方程，其内部节点电位的计算机仍用前面给出的差分方程。
在介质分界面处，由于 电通量的连续性，下面公式成立
()0ε????= （2.33） 以这个公式为基础，就可以导出介质分界面的差分格式。为此，在图2-3中给出了一个中心落在分界面的网格S 。在此网格区域，对（2.33）进行面积分，并利用二维高斯定理可得
（2.34）
103
204022
22x y
f h h ??????-+-++= ()()1,,1,,1,,1,221122i j i j i j i j i j i j i j x y
f h h ??????+-+--++-+= 222
210r r r z ??????++=??? ()()()()0310
241300301
2413
22442401130313222222r h h h h h h r r h r h h h h h h h r h h h r h h h ???????+-+ ???+-=+++++++
()()0
s
l
ds ndl ε?ε????=??=???
式中，n 是垂直于区域s 周边l 的外法线矢量。将s 区域各边上的??用该边中心处的两点差分方式表示，就能够得到（2.34）式左边的线积分分值。 图2-3 直线形介质分界面处的差分网格
（2.35）
利用同样的分析方法，对如图2-4所示的具有角点的介质交界面，可
）
4?
第三章 时域有限差分法的基本原理
电磁场的有限差分解法，一般是在频域上进行的，随着计算机技术的发展和广泛应用近年来，时域计算方法越来越受到重视。目前，时域有限差分法已日趋完善、应用广泛，显示出其独特的优越性。
时域有限差分法直接求解依赖时间的麦克斯韦旋度方程，利用二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接转换为差分形式，这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压缩。
3.1 Yee 差分格式
我们从麦克斯韦方程组出发，
（3.1） （3.2） （3.3）
（3.4）
其中，E 为电场（伏特/米），H 为磁场（安培/米），D 为电通密度（库仑/米2），B 为磁通密度（韦伯/米2），(),J rt 为电流密度（安培/米2），而(),r t ρ为电荷密度（库仑/米3）。对于时变电磁场，上述麦克斯韦方程方程组的（3.3），（3.4）可由
（3.1），（3.2）导出。例如，对式（3.1）两边取散度即得（3.3），对式（3.2）两边取散度并利用连续性方程
（3.5）
在直角坐标系中，将（3.1）和（3.2）中的电磁场矢量分别写为,,x y z 分量式，有
（3.6.1a ） （3.6.1b ）
（3.6.2a ） （3.6.2b ）
（3.6.2c ）
应当将考察的空间进行离散，也就是建立在空间网格，Yee 采用矩形网格来进行空间离散。
将每个节点进行编号，节点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来
()(),,,,i j k i x j y k z ???? （3.7）
而该点的任意函数(),,,F x y z t 在时刻n t ?的值可以表示为
()(),,,,,n F i j k F i x j y k z n t =???? （3.8）
式中，,,x y z ???分别为沿,,x y z 方向上离散的空间步长，t ?是时间步长。
Yee 采用中心差分来代替对时间和空间的微分，具有二阶精度，
为了获得空间微分的二阶精度，Yee 巧妙的按照图3－1的方式放置每一个网格上的场分量，每个磁场分量由四个电场分量环绕着；反过来，每一个电场分量也由四个磁场分量所环绕。同时，为了获得时间微分的二阶精度，Yee 将E 和H 在时间上相差半个步长交替计算。以式（3.6.1a ）和（3.6.1b ）为例，我们可以将该方程差分为如下结果
(3.11.b)
其他场分量的差分格式与此类似，这里不再赘述，可以参考有关文献。
在Yee的差分格里，每个网格上各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值及该点周围临近点上另一场量的场分量早半个时间步长时刻的值。因此，在任一给定的时刻，场分量的计算可一次计算出一个点，或者用并行批量计
算。通过基本算式，逐个时间步长对模拟区域各网格点的电磁场交替进行计算。在执行到适当的时间步数后，即可获得需要的时域数值结果。
3.2 稳定性条件
在FDTD 法中时间步长t ?和空间步长,,x y z ???不是相互独立的，它们的取值必须满足一定的关系，否则数值结果将不稳定，导致随着时间步数的继续增加，计算结果也无限制地增加。
对于电磁场的任一分量V ，其对时间的微分可以构成本征值方程
（3.12） 对（
,并将其代入方程（3.13）,解得
（3.14）
算法的稳定性要求对于所有的传播模式应当有1q ≤，因此要求 Re 0λ= Im 2t λ≤?
（3.15） 我们现在令
()(){}
0,,exp x y z V i j k V j ik x jk y kk z =?+?+? （3.16）
将上式代入FDTD 的差分方程，结合(3.15)式，可以推导出，为保证数字稳定性，应当保证
这就是FDTF 算法的数字稳定性条件。其中，v =如果仿真区域相速
度不恒定，应当取v 中的最大值。对于二维情况，也可采用上面的式子，只需令无限长方向上空间步长为无穷大，就可得到相应的稳定性条件。
3.3 吸收边界条件
差分格式、解的稳定性、吸收边界条件是FDTD算法的三大要素。前面我们介绍了前两者，本节将概要的说明吸收边界条件的基础知识。
时域有限差分法是在计算机的数据存储空间中对连续的实际电磁波的传播过程在时间进程上进行数字模拟，在电磁场的辐射、散射问题中，边界总是开放的，电磁场将占据无限大空间，由于计算机的内存总是有限的，故只能模拟有限空间。这就是说，时域有限差分网格将在某处被截断。如何处理截断边界，使之与需要考虑的无限空间有尽量小的差异是时域有限差分法中必须解决好的一个重要问题。实际上，这就要求在网格截断处不引起波的明显反射，因而对向外传播的波就象在无限大空间传播一样。另外，中心差分形式的时域有限差分方程由于需要截断边界外场的信息用于边界网格点上场的计算，故也需要适合于截断边界网格点计算的算法。当然，要达到完全无反射是不可能的，但已提出的一些吸收边界条件可达到相当满意的结果。
下面就是几种可以用于时域计算的吸收边界条件。
1.Bayliss-Turkel吸收边界条件
它是从波动方程出发，将其解展为收敛级数，然后根据Sommerfield辐射条件，构造偏微分算子L，如果将L作用于波动方程的解，在R较大时余项可以忽略，那么边界条件就可以由L来得到。我们可以根据问题求解的复杂度和精度来构造合适的偏微分算子。
2.廖氏吸收边界条件
它可以看作利用牛顿后向差分多项式在时空对波函数进行外插的结果，是将边界上的场值用垂直于边界上采样点的场值来表示。为此首先建立采样点区域的内插值表达式，然后将其外插到边界上，就得到边界上的场值表达式。用内插公式作外插通常会带来高阶误差，但是只要牛顿差分多项式中的项数足够多，误差可以控制在允许的范围内。其在网格外边界引起的反射比Mur二阶吸收边界条件要小一个数量级。
3.梅－方超吸收边界条件
梅－方超吸收概念自身并不是一个吸收边界条件，其基本思路是将一种吸收边界条件例如Mur吸收边界条件用于计算边界面上的电场和退后半个空间步长处的磁场，由于边界面上的电场已知，因而还可以通过普通FDTF差分网格形式计算退后半格处的磁场，通过这两次计算的磁场进行适当地运算可以消掉边界引入的误差，得到边界面上磁场的理论计算值，从而改善所采用吸收边界条件的吸收效果。
4.Berenger 完全匹配层（PML）
PML的概念是最近才提出的。它将电、磁场分量在吸收边界区分裂，并能分别对各个分裂的场分量赋以不同的损耗。通过构造这样一种非物理的媒质，使从任何方向入射的电磁波进入区域后都被无反射地全部被吸收。不过，Berenger 的完全匹配层的理论体系是非麦克斯韦方程的，物理机制模糊。同时，其电磁分量分裂技术增加了计算机内存的使用和数值实现的难度。
第四章 程序总体说明
4.1 方同轴线中的相关问题
方同轴线中主模为TEM 模的电压分布与圆同轴线的基本相同，而圆同轴线是最常见的，现在就先运用圆同轴线的相关原理来分析一下。
设内导体外半径为a ，外导体内半径为b ，内外导体理想导电，其间填充介质参数为με的无耗介质。
（4.1） 同轴线因结构具有圆对称性，故位函数φ不随?坐标变化，即
上式简化为
（4.2）
（4.3）
（4.4）
对式（4.2）积分两次可得 ln A r B φ=+由边界条件可得
沿z ±
式中
现在来看看传播ＴＥＭ波的同轴线的横截面上具体满足什么条件。 因为只有能建立二维静场的系统才能传播ＴＥＭ波，因此给出二维拉普拉斯 方程：
()2
T T φ?= （4.5）
()20T T ??= （4.6）
（4.5
（4.7）
如右图，由差分原理可得
把上面两式代入（4.5）式中，且1234h h h h h ==== 得到 1,,
1,11,40i j i j i
j i j i j φφφφφ+-+
-+++-=
由于方同轴线和圆同轴线一样具有对称性，只要绘出１／４部分的电场和磁场分布就可以了，其余部分可以利用对称原理进行绘制。
对于如上图的方同轴线，引入边界条件的差分 当（x,y ）在AE 上时，,1i j φ= 当（x,y ）在DC,CB 上时, ,0i j φ=
当（x,y ）在ED 上时，在边界ED 外增加一排网格，令1,1,i j i j φφ-+= 则可迫使边界满足0n φ??=，游五点式可得边界点
()
,1,,1,1142i j i j i j i j φφφφ+-+=++
当（x,y ）在AB 上时，同理可得(),,1,1,1421i j i j i j i j φφφφ+-=+++
对于传输ＴＥＭ波同轴线，在横截面上t e 的横向旋度为零，因而t e
从一导体至另一导体的线积分是唯一的，且与积分路径无关，这就说明同轴线传输ＴＥＭ波是具有单值电压特性。
由于同轴线上存在单值的电压波和电流波，因而由电压和电流定义同轴线的特性阻抗c Z 为
c Z U I
c Z 称为特性阻抗，它等于两导体间的行波电压于一导体上的行波总电流之比值。
其中行波电压以及行波总电流可以运用累加的方式来计算环路积分。
有限差分法
对所学有限差分法的总结 和其一些应用 07410301班 邓齐波 20032471
一：有限差分方法的总结 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网各界点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 分类 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
在所学课程‘力学计算’中《偏微分方程数值解》，我们主要学习了一维抛物型方程、二维和三维抛物型方程、一维双曲型方程以及二维线形二阶椭圆型方程。 流体力学有限差分法与结构力学有限元法区别 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 二、有限差分法的一些应用 Ⅰ有限差分法求解静电场问题 在李国生的《Solving Electric Field Problem with Finite-difference Method》中，简介了有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM 对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制
时域有限差分法的Matlab仿真
时域有限差分法的Matlab仿真 关键词: Matlab 矩形波导时域有限差分法 摘要：介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab仿真，对矩形波导谐振腔中的电磁场作了模拟和分析。 关键词：时域有限差分法；Matlab；矩形波导；谐振腔 目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法［1］作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。 Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用［2］。用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。 下面将采用FDTD法，利用Matlab仿真来分析矩形波导谐振腔的电磁场，说明了将二者结合起来的优越性。 1FDTD法基本原理 时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。FDTD 空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。 电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且
还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。 1.1Maxwell方程的差分形式 旋度方程为： 将其标量化，并将问题空间沿3个轴向分成若干网格单元，用Δx，Δy和Δz 分别表示每个网格单元沿3个轴向的长度，用Δt表示时间步长。网格单元顶点的坐标（x，y，z）可记为： 其中：i，j，k和n为整数。 同时利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，即可得到如下FDTD基本差分式： 由于方程式里出现了半个网格和半个时间步，为了便于编程，将上面的差分式改写成如下形式：
一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法
一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法 3 魏 兵 葛德彪 王 飞 (西安电子科技大学物理系,西安 710071)(2007年12月17日收到;2008年4月11日收到修改稿) 色散介质的介电系数是频率的函数,使本构关系在时域成为卷积关系.这就给用时域有限差分方法计算色散介质中波的散射和传播带来了困难.现有算法往往要针对不同色散介质模型推导相应的递推公式,算法的通用性较差.本文完善和发展了移位算子2时域有限差分方法,使之成为一种处理色散介质电磁问题的通用方法.首先,证明了常见的三种色散介质模型(德拜模型、洛伦兹模型和德鲁模型)的介电系数均可以写成适于移位算子法计算的有理分式函数形式.然后,用9Π9t 代替j ω,过渡到时域,再引入时域移位算子z t 代替时间微分算子来处理有理分式函数形式的介电系数,给出离散时域本构关系的表示式,进而导出时域有限差分方法当中电位移矢量和电场强度之间的关系.最后,计算了几种色散介质的电磁散射,数值结果表明了本文方法和程序的通用性和正确有效性. 关键词:时域有限差分方法,色散介质,移位算子 PACC :4110H ,5170,5210 3国家自然科学基金(批准号:60871070)和国家博士后科学基金(批准号:20070421109)资助的课题. E 2mail :bwei @https://www.360docs.net/doc/7415114319.html, 11引言 近十几年来,随着国内外对时域有限差分(finite difference time domain ,FDT D )方法研究的深入,将该方法用于处理色散介质电磁问题引起人们的关注.1990年,Luebbers 等人[1] 提出了适用于Debye 模型的 递归卷积FDT D 方法(recursive conv olution FDT D ,RC 2 FDT D ),然后将该方法推广到等离子体介质[2] 和N 阶色散介质 [3,4] .Hunsberger 等人[5] 将RC 2FDT D 方法 推广用于磁化等离子体介质.Luebbers 等人[6]研究了色散介质球的电磁散射问题.K elley 等人[7] 用电场的分段线性(piecewise linear )近似(P LRC 2FDT D 方法改善了RC 2FDT D 方法)的计算精度.Siushansian 等人[8] 采用离散的梯形递归卷积(TRC 2FDT D )方法改善了RC 2FDT D 方法的计算精度.此外,处理色散介质电磁问题的FDT D 方法还有辅助方程(ADE )法 [9—11] ,Z 变换法 [12—14] ,电流密度卷积(J EC )法[15] , Y oung 氏直接积分法 [16—18] ,分段线性电流密度卷积 (P LJ ERC )算法[19,20]等.近年来,对色散介质的研究 已逐步深入到各向异性介质的情形[21—24] . 上述几种方法中,RC 法将电位移矢量写成电场 强度的卷积,离散该卷积成迭代求和式,再联立电场 强度和磁场强度的迭代式,实现时域迭代计算.J EC 法将极化电流密度表示为电场强度的卷积并离散得到迭代方程,再联立电场强度和磁场强度的迭代式,实现时域迭代计算.P LRC 法和P LJ ERC 法分别在RC 法和J EC 法的基础上引进分段线性近似以改善计算精度.ADE 法将Maxwell 方程和介质所满足的相关方程直接差分,得到一个包含多个量的差分方程组,从而实现场量的时域迭代计算.Z 变换法把频域本构关系变换到Z 域,然后再通过Z 域得到时域递推式.RC 法,P LRC 法,J EC 法和P LJ ERC 法等需进行复杂卷积计算.ADE 法和Z 变换法的数学过程也比较繁琐.总的来讲,现有方法往往需要对不同的色散介质推导相应的递推公式,并编制相应计算程序,算法和程序的通用性较差. 2002年,葛德彪等人 [25] 提出了处理色散介质电 磁问题的移位算子2时域有限差分(shift operator finite difference time domain ,S O 2FDT D )方法并讨论了该算 法在非磁性等离子体中的应用.本文完善和发展了文献[25]所提出的S O 2FDT D 方法,使之成为色散介质电磁问题处理的通用算法.首先,证明了常见的三 种色散介质模型(德拜模型、洛伦兹模型和德鲁模 第57卷第10期2008年10月100023290Π2008Π57(10)Π6290208 物 理 学 报 ACT A PHY SIC A SI NIC A V ol.57,N o.10,October ,2008 ν2008Chin.Phys.S oc.
时域有限差分法发展综述
时域有限差分法发展综述 潘忠 摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD 法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。 关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析 A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad Zhong Pan Abstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn. Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis 1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。
基于时域有限差分法的软件设计
第一章引言 1.1 时域有限差分法技术的发展 计算电磁学是现代电磁场理论、现代数值计算方法、现代计算机技术相结合所产生的一门交叉学科。计算电磁学以电磁场理论为基础，以高性能计算机技术为工具和手段，运用计算数学提供的各种方法，为电磁场理论的研究提供了有力工具。当前计算电磁学中使用较多的方法主要有两大类：一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法，如矩量法系列；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法，如有限差分法系列。有限差分法简称差分法，这种方法以简单、直观的特点而得到广泛的应用，无论是常微分方程还是偏微分方程、各种类型的二阶线性方程，以致高阶或非线性方程，均可利用差分法转化为代数方程组，而后用计算机求其数值解。特别的，作为一种电磁场数值计算方法，时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method）具有一些非常突出的优点（直接时域计算、节约存储空间和计算时间、适合并行计算、简单），得到了越来越广泛的应用。 1966年，K.S.Yee提出了时域有限差分法的基本原理，他在论文中用后来被称为Yee网格的空间离散方式，把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。这就诞生了后来被称为时域有限差分发（FDTD）的一种新的时域计算方法。近十年来，它倍受专家、学者青睐，被称为90年代重要的电磁场计算方法之一。 在最初20年的发展中，主要解决的是以下一些问题：吸收边界的应用和不断改善；总场区和散射场区的划分；实现稳态场的计算。80年代后期以来，时域有限差分法由成熟转入被广泛接受和应用，在应用中又不断有新的发展。在这一阶段主要解决了以下几个问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线坐标系中的差分格式和非正交变形网格；适于色散介质的差分格式；超吸收边界条件和色散吸收边界条件等。时域有限差分近期发展的另一个特点是迅速扩大了它的应用范围。在80年代中期它还主要应用于电磁场散射问题，到80年代中期首先成功地用到了生物电磁剂量学问题的计算的电磁热疗系统的计算机模拟。到80年代后期，证明了时域有限差分法用于微波电路的时域分析非常成功。进入90年代以来又被用于天线辐射特性的计算问题。随着新技术的不断提出，应用的范围和质量正在不断地扩大和提高。
LED-FDTD LED时域有限差分方法
Efficiency enhancement of homoepitaxial InGaN/GaN light-emitting diodes on free-standing GaN substrate with double embedded SiO2 photonic crystals Tongbo Wei,* Ziqiang Huo, Yonghui Zhang, Haiyang Zheng, Yu Chen, Jiankun Yang, Qiang Hu, Ruifei Duan, Junxi Wang, Yiping Zeng, and Jinmin Li Semiconductor Lighting Technology Research and Development Center, Institute of Semiconductors, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100083, China *tbwei@https://www.360docs.net/doc/7415114319.html, Abstract: Homoepitaxially grown InGaN/GaN light emitting diodes (LEDs) with SiO2 nanodisks embedded in n-GaN and p-GaN as photonic crystal (PhC) structures by nanospherical-lens photolithography are presented and investigated. The introduction of SiO2 nanodisks doesn’t produce the new dislocations and doesn’t also result in the electrical deterioration of PhC LEDs. The light output power of homoepitaxial LEDs with embedded PhC and double PhC at 350 mA current is increased by 29.9% and 47.2%, respectively, compared to that without PhC. The corresponding light radiation patterns in PhC LEDs on GaN substrate show a narrow beam shape due to strong guided light extraction, with a view angle reduction of about 30°. The PhC LEDs are also analyzed in detail by finite-difference time-domain simulation (FDTD) to further reveal the emission characteristics. ?2014 Optical Society of America OCIS codes: (230.0230) Optical devices; (230.3670) Light-emitting diodes; (160.5298) Photonic crystals; (220.4241) Nanostructure fabrication. References and links 1. B. Monemar and B. E. Sernelius, “Defect related issues in the “current roll-off” in InGaN based light emitting diodes,” Appl. Phys. Lett. 91(18), 181103 (2007). 2. G. Verzellesi, D. Saguatti, M. Meneghini, F. Bertazzi, M. Goano, G. Meneghesso, and E. Zanoni, “Efficiency droop in InGaN/GaN blue light-emitting diodes: Physical mechanisms and remedies,” J. Appl. Phys. 114(7), 071101 (2013). 3. K. Akita, T. Kyono, Y. Yoshizumi, H. Kitabayashi, and K. Katayama, “Improvements of external quantum efficiency of InGaN-based blue light-emitting diodes at high current density using GaN substrates,” J. Appl. Phys. 101(3), 033104 (2007). 4. Y. Yang, X. A. Cao, and C. H. Yan, “Rapid efficiency roll-off in high-quality green light-emitting diodes on freestanding GaN substrates,” Appl. Phys. Lett. 94(4), 041117 (2009). 5. C.-L. Chao, R. Xuan, H.-H. Yen, C.-H. Chiu, Y.-H. Fang, Z.-Y. Li, B.-C. Chen, C.-C. Lin, C.-H. Chiu, Y.-D. Guo, J.-F. Chen, and S.-J. Cheng, “Reduction of Efficiency Droop in InGaN Light-Emitting Diode Grown on Self-Separated Freestanding GaN Substrates,” IEEE Photon. Technol. Lett. 23(12), 798–800 (2011). 6. M. J. Cich, R. I. Aldaz, A. Chakraborty, A. David, M. J. Grundmann, A. Tyagi, M. Zhang, F. M. Steranka, and M. R. Krames, “Bulk GaN based violet light-emitting diodes with high efficiency at very high current density,” Appl. Phys. Lett. 101(22), 223509 (2012). 7. X. A. Cao, S. F. LeBoeuf, M. P. D’Evelyn, S. D. Arthur, J. Kretchmer, C. H. Yan, and Z. H. Yang, “Blue and near-ultraviolet light-emitting diodes on free-standing GaN substrates,” Appl. Phys. Lett. 84(21), 4313 (2004). 8. Y. J. Zhao, J. Sonoda, C.-C. Pan, S. Brinkley, I. Koslow, K. Fujito, H. Ohta, S. P. DenBaars, and S. Nakamura, “30-mW-class high-power and high-efficiency blue (1011) semipolar InGaN/GaN light-emitting diodes obtained by backside roughening technique,” Appl. Phys. Express 3, 102101 (2010). 9. Y.-K. Fu, B.-C. Chen, Y.-H. Fang, R.-H. Jiang, Y.-H. Lu, R. Xuan, K.-F. Huang, C.-F. Lin, Y.-K. Su, J.-F. Chen, and C.-Y. Chang, “Study of InGaN-based light-emitting diodes on a roughened backside GaN substrate by a chemical wet-etching process,” IEEE Photon. Technol. Lett. 23(19), 1373–1375 (2011). #209568 - $15.00 USD Received 4 Apr 2014; revised 23 May 2014; accepted 26 May 2014; published 2 Jun 2014 (C) 2014 OSA30 June 2014 | Vol. 22, No. S4 | DOI:10.1364/OE.22.0A1093 | OPTICS EXPRESS A1093
时域有限差分法(姚伟)介绍
伊犁师范学院硕士研究生 ————期末考核 科目：电磁波有限时域差分方法 姓名：姚伟 学号：1076411203009 学院：电子与信息工程学院 专业：无线电物理
时域有限差分法 1 选题背景 在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。 2 原理分析 2.1 FDTD 的Yee 元胞 E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理 t t ??=??=??E D H ε t t ??-=??-=??H B E μ 图1 Yee 模型 如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]： 1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。 2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。 3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的
FDTD(时域有限差分法)算法
% Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@https://www.360docs.net/doc/7415114319.html, % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step, and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. % %*********************************************************************** clear %*********************************************************************** % Fundamental constants
时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真
时域有限差分法对平面TE波的 MATLAB仿真 摘要 时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。 由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。 文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。得到了相应的磁场幅值效果图。 关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图
目录 摘要 (1) 目录 (3) 第一章绪论 (4) 1.1 课题背景与意义 (4) 1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4) 2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7) 2.2 FDTD的基本差分方程 (9) 2.3 时域有限差分法相关技术 (11) 2.3.1 数值稳定性问题 (11) 2.3.2 数值色散 (12) 2.3.3 离散网格的确定 (13) 2.4 吸收边界条件 (13) 2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14) 2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17) 2.4.3 完全匹配层 (19) 2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23) 第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25) 3.1 MATLAB程序及相应说明 (25) 3.2 出图及结果 (28) 3.2.1程序部分 (28) 3.2.2 所出的效果图 (29) 第四章结论 (31) 参考文献 (32)
FDTD(时域有限差分法)算法的Matlab源程序
% 3-D FDTD code with PEC boundaries %*********************************************************************** % % Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@https://www.360docs.net/doc/7415114319.html, % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % % The computational domain is truncated using PEC boundary % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step, and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. %
辛算法在电磁计算中的应用
辛算法在电磁计算中的应用 摘要 近几年，随着计算机性能的飞速发展和计算物理中各种新型算法的出现，各种电磁场数值方法层出不穷，但很多算法面临着计算时间长、储存空间不足及计算精度低等方面的困难。Hamilton系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。一切守恒的物理过程，总能表示成适当的Hamilton系统。辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有一般数值方法无可比拟的计算优势。 本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，然后介绍了辛算法。接着，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的计算式。最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。 关键词：电磁计算；辛算法；Hamilton系统；Maxwell方程 一．引言 电磁场理论的应用遍及地理学、生命科学、医学、材料科学和信息科学等几乎所有技术学科领域。计算电磁学是以电磁场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学。因此，开展计算电磁学的研究不仅可以产生国际水平的基础研究成果，更重要的是可以促进我国民用和军用电磁学相关领域的发展。 早在1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组，它包括微分形式和积分形式。简单地说，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题。计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今40余年。纵观整个电磁理论发展的过程，电磁学的发展可以分为两个阶段。以20世纪60年代为分界点，之前可以称为经典电磁学阶段，在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的
时域有限差分法论文
时域有限差分法 1 选题背景 在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。 2 原理分析 2.1 FDTD 的Yee 元胞 E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理 t t ??=??=??E D H ε t t ??-=??-=??H B E μ 图1 Yee 模型 如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]： 1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。 2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。 3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。 5）3个空间方向上的时间步长相等，
时域有限差分法
Problem 5.1 In this illustrative solution, the electric-field hard source condition of (5.1) is implemented at the far-left grid boundary. The source time function has an amplitude of 1.0 V/m and a frequency of 10 GHz. The reflecting barrier (PEC) is implemented at the far-right grid boundary. The computational domain represents a physical length of 15 cm. Matlab code: %*********************************************************************** % 1D FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN SOLUTION: PLANE WAVE PROPAGATION %*********************************************************************** % % Program author: % Prof. Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % hagness@https://www.360docs.net/doc/7415114319.html, % %*********************************************************************** clear; %..........Material Parameters............ cc=2.99792458e8; %speed of light in free space muz=4.0*pi*1.0e-7; %permeability of free space epsz=1.0/(cc*cc*muz); %permittivity of free space eps=[1.0]; %relative permittivity sig=[0.0]; %electric conductivity mur=[1.0]; %relative permeability sim=[0.0]; %magnetic loss media=length(eps); %..........Space, Time, and Source Parameters... S=1.0; freq=10e9; %frequency of sinusoidal excitation = 10 GHz E0=1.0; %amplitude of sinusoidal excitation = 1.0 V/m lambda=cc/freq; length=0.15; %physical length of grid (in units of m) dx=lambda/20; %grid resolution of 20 cells per wavelength dt=S*dx/cc; ie=round(length/dx)+1; %number of Ez samples in grid ih=ie-1; %number of Hy samples in grid nmax=3*round(ie*S); source(1:nmax)=E0*sin(2*pi*freq*(1:nmax)*dt); %..........Initial Conditions........... ez(1:ie)=0.0; hy(1:ih)=0.0;