运筹学中的线性规划与整数规划算法
运筹学中的线性规划与整数规划算法运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它集合了数学、计算机科学和经济学等多个学科的理论和方法。其中，线性规划和整数规划是运筹学中最常用的一类问题求解方法。本文将重点讨论运筹学中的线性规划和整数规划算法。
线性规划是一种通过线性数学模型来实现决策优化的方法。在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性关系。目标函数表示要优化的目标，约束条件则限制了决策变量的取值范围。线性规划的基本思想是通过调整决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值。
线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。单纯形法是一种通过在顶点间移动来寻找最优解的方法。它从一个可行解开始，然后通过交替移动到相邻的顶点来逐步优化目标函数值。而内点法则是一种通过将目标函数与约束条件转化为一组等价的非线性方程组，通过迭代方法逼近最优解的方法。内点法相对于单纯形法而言，在求解大规模问题时速度更快。
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。整数规划问题更接近实际问题，因为很多情况下我们只能从离散的选择中进行决策。然而，整数规划的求解难度要远远高于线性规划。因为整数规划问题的解空间是离散的，不再是连续的顶点，这导致了求解整数规划的困难。
为了解决整数规划问题，提出了许多算法，其中最著名的是分支定界法和割平面法。分支定界法是一种通过将整数规划问题分解为一系
列线性规划子问题来求解的方法。它通过将整数规划问题不断分解为
子问题，并利用线性规划的求解方法求解子问题。割平面法则是一种
在单纯形法的基础上引入额外的不等式约束来加强整数规划问题的求
解方法。割平面法通过将不等式约束添加到线性规划模型中，逐步缩
小解空间，最终找到整数规划问题的最优解。
除了分支定界法和割平面法之外，还有一些其他的整数规划求解方法，如启发式算法和元启发式算法。启发式算法是一种基于经验和启
发知识的求解方法，它通过模拟生物进化、社会行为等过程来搜索整
数规划问题的解。而元启发式算法则是一种将多个启发式算法组合起
来来求解整数规划问题的方法。元启发式算法通过综合多个不同的启
发式算法的优点，提高整数规划问题的求解效果。
总之，线性规划和整数规划算法是运筹学中最常用的问题求解方法。线性规划通过优化线性数学模型来实现决策优化，而整数规划则是线
性规划的一个扩展，限制了决策变量的取值为整数。通过不断研究和
改进算法，运筹学在现代社会中得到了广泛的应用，为各行各业提供
了强有力的决策支持。
离散优化中的整数规划与线性规划
离散优化中的整数规划与线性规划离散优化是运筹学中的一个重要分支，研究如何寻找在一定限制条 件下最优解的问题。整数规划和线性规划是离散优化的两个主要方法，本文将对它们进行详细介绍和比较。 一、整数规划 整数规划是一种在决策变量中引入整数限制的优化方法。与线性规 划相比，整数规划更符合实际问题的特性，能够解决更多实际应用中 的优化问题。在整数规划中，决策变量取值只能是整数，这意味着解 集是一个离散的点集，而不是一个连续的区域。 整数规划可以应用于很多领域，如物流问题、生产计划、项目调度等。以物流问题为例，整数规划可以帮助确定最优的货物配送路线， 减少运输成本。整数规划的求解方法主要有分枝定界法、割平面法、 整数规划松弛法等。 二、线性规划 线性规划是整数规划的一种特殊情况，即决策变量可以取任意实数值。线性规划是一种在线性约束条件下寻找最优解的方法。线性规划 在数学上有较为完备的理论基础，并且具有较好的计算性质。 线性规划的应用十分广泛，如资源配置、生产计划、投资组合等。 以资源配置为例，线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，实现 资源的有效利用。线性规划的求解方法主要有单纯形法、内点法、对 偶法等。
三、整数规划与线性规划的比较 整数规划和线性规划在求解方法和应用领域上存在一些差异。首先，在求解方法上，整数规划通常比线性规划更难求解。由于整数规划的 解集是一个离散的点集，所以需要经过更多的搜索和计算才能找到最 优解。 其次，在应用领域上，整数规划更加灵活，可以应对更复杂的问题。整数规划可以通过在决策变量中引入整数限制，更好地满足实际问题 的约束条件。而线性规划则更适用于连续变量的优化问题。 最后，整数规划和线性规划在计算效率上也存在差异。线性规划的 求解方法较为成熟，可以在较短的时间内找到最优解。而整数规划的 求解时间较长，通常需要使用一些特殊的算法来加快计算速度。 四、总结 离散优化中的整数规划和线性规划是两种重要的优化方法。整数规 划通过在决策变量中引入整数限制，能够更好地解决实际问题。线性 规划是整数规划的一种特殊情况，适用于连续变量的优化问题。 整数规划和线性规划在求解方法、应用领域和计算效率上存在一些 差异。整数规划通常更难求解，但更灵活适用于复杂问题。线性规划 的求解方法成熟，计算效率较高。 在实际应用中，根据具体情况选择整数规划或线性规划，能够更好 地解决优化问题，提高决策效果。
运筹学整数规划
运筹学整数规划 运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。 整数规划问题的数学模型可以表示为： max/min c^T x s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 x ∈ Z 其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是 约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。 整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难 的任务。 求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。 分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。 启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。 综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。常用的求解方法包括 分支定界法、割平面法和启发式算法等。这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。 整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。 一、近似算法的概念 近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。 二、近似算法的分类 近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。 1. 线性松弛算法（Linear Relaxation） 线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search） 近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索， 通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。该算法在每一步 都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。 3. 启发式算法（Heuristic Algorithm） 启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜 索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。在解决整数规划问 题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而 节省计算资源和时间。 三、近似算法的应用案例 近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例， 介绍近似算法的应用。 假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库 和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。目标是找到一种最 优的配送方案，使得总配送距离最短。 针对这个问题，可以使用整数规划模型进行建模，并通过近似算法 来寻找最优解。其中线性松弛算法可以将整数规划问题转化为线性规 划问题，通过求解线性规划问题得到最短配送距离，即为近似最优解。 另外，近似局部搜索算法和启发式算法也可以在该问题中应用。近 似局部搜索算法通过多次局部搜索来逐渐改进配送方案，从而得到接
运筹学与最优化方法课程设计
运筹学与最优化方法课程设计 一、背景 本课程是针对大学计算机科学专业大二学生开设的一门课程，主要介绍运筹学和最优化方法的基本概念和应用。从解决实际问题出发，掌握运筹学和最优化方法的基本思想和方法，特别是用线性规划模型、网络模型、整数规划模型以及动态规划模型来解决实际问题。 二、教学目标 1.了解运筹学和最优化方法的基本概念和概念体系； 2.掌握运筹学和最优化方法的基本思想和方法； 3.能够应用线性规划模型、网络模型、整数规划模型以及动态规划模型 来解决实际问题。 三、教学内容及安排 第一章运筹学与线性规划 1.运筹学的概述 2.线性规划的概述 3.线性规划的基本理论 4.单纯形法 5.敏感度分析 6.对偶理论 第二章网络模型 1.网络模型的基本概念 2.最小生成树问题
3.最短路径问题 4.最大流问题 5.匹配问题 第三章整数规划 1.整数规划的概述 2.分支定界法 3.割平面法 4.隐枚举法 5.其他启发式算法 第四章动态规划 1.动态规划的基本原理 2.状态转移方程 3.最优子结构性质 4.条件无后效性质 5.多阶段决策过程 四、课程设计任务 本次课程设计的主要任务是，设计一个实际问题，运用运筹学和最优化方法中的线性规划模型、网络模型、整数规划模型、动态规划模型等方法进行求解，同时需要撰写一份课程设计报告，说明设计的过程和结果。 任务一：问题设计 设计一个实际问题，涉及两个或多个决策变量，要求是一个具有较好的实际意义的问题，并能够运用所学方法进行求解。
任务二：方案求解 根据所设计的问题，选择运筹学和最优化方法中的线性规划模型、网络模型、整数规划模型、动态规划模型等方法进行求解，并分析解的可行性和优越性。 任务三：课程设计报告撰写 根据所设计问题的求解过程，撰写一份课程设计报告，要求结构严谨，内容全面，记录整个解题过程，包括问题的描述、模型的建立、数据的输入、求解算法的设计与实现、结果的分析和讨论等，同时要求表达清晰，语言规范，排版整洁。 五、评分要求 评分将根据以下的标准进行： 1.任务一：问题设计，评分依据涉及问题的实际意义和科学性； 2.任务二：方案求解，评分依据所选方法的科学性和正确性； 3.任务三：课程设计报告撰写，评分依据内容全面、表述清晰、结构严 谨、排版整洁。 六、参考资料 1.《运筹学导论》 2.《线性规划与网络流问题》 3.《整数规划导论》 4.《动态规划导论》
运筹学第五章 整数规划
第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020max x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96max ,0,8.421===z x x 。
50 用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次 遇到“+”号点（ 1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性 规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值 * z 的上界，记为 z ； 而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最 终求得* z 。现举例说明： 例2 求解A 219040max x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下 图）。 ① ② ③ ④ ⑤
《运筹学》知识点总结
1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 3105120106max 21212 1x x x x x x z 2.将下述线性规划问题化成标准形式。 （1）?????? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 4,03,2,12321422245243min 43214 32143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 解：令z z -='，' '4' 44x x x -= ???????≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214 2222455243'max 6 5''4'43216' '4'43215' '4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应
图解法中的可行域的哪个顶点。 ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 2 121212 1x x x x x x x x z 解：①图解法： ②单纯形法：将原问题标准化： ??? ??≥=++ =+++=0,,,825943510max 4 32142 13 212 1x x x x x x x x x x x x z C j 10 5 0 0 θ 对应图解法中的点 C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0 x 4 8 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10 x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10 x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj 35/2 -5/14 -25/14 最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。 一、线性规划 线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。线性规划模型一般可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到
交点来确定最优解。而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐 步接近最优解。 二、整数规划 整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。整数规划模型可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 由于整数规划中决策变量的取值范围更为限制，整数规划的求解更加困难。常用的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法和整数规 划启发式算法等。 三、线性规划与整数规划的应用 线性规划和整数规划在实际应用中有着广泛的应用。以下列举几个常见的应用领域：
第六章运筹学整数规划案例
第六章运筹学整数规划案例 第六章整数规划 6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。 1、 max z=3x1+2x2 S.T. 2x1+3x2≤12 2x1+x2≤9 x1、x2≥0 解： 2、 min f=10x1+9x2 S.T. 5x1+3x2≥45 x1≥8 x2≤10 x1、x2≥0
6.2 求解下列整数规划问题 1、 min f=4x1+3x2+2x3 S.T. 2x1-5x2+3x3≤4 4x1+x2+3x3≥3 x2+x3≥1 x1、x2、x3=0或1 解：最优解（0，0，1），最优值：2 2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3 S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2 -2x1+4x2+2x2+4x2≥4 x1+x2-x2+x2≥3 x1、x2、x3、x3=0或1 解：此模型没有可行解。 3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4 S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30 2x1+5x2-x2+3x2≤20 -x1+3x2+5x2+3x2≤40
3x1-x2+3x2+5x2≤25 x1、x2、x3、x3=正整数 解：最优解（0，3，4，3），最优值：47 4、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+ 5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19 约束条件x1 + x2+x3≤30 x4+ x5＋x6-10 x16≤0 x7+ x8＋x9-20 x17≤0 x10+ x11＋x12-30 x18≤0 x13+ x14＋x15-40 x19≤0 x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30 x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20 x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20 x i为非负数（i=1,2…..8） x i为非负整数（i=9,10…..15） x i为为0－1变量（i=16,17…..19） 解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860 6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表： 公司办公会决定选择原则如下： （1）B5、B3和B7只能选择一个。 （2）选择了B1或B14就不能选B6。 （3）B2、B6、B1、B12，最多只能选两个。 （4）B5、B7、B10、B8，最少要选两个。
运筹学实验一线性规划求解、运输问题、整数规划求解
西华大学上机实验报告 一、实验目的 掌握线性规划求解的基本方法，熟悉灵敏度分析的步骤和内容；掌握运输问题的模型，概念，求解方法；掌握整数规划的算法。在熟悉lingo软件基本功能基础上，能熟练操作，正确完成模型求解过程及分析过程。 二、实验内容或设计思想 1．lingo软件和运筹学实验软件的安装及菜单熟悉了解. 2．lingo软件和运筹学实验软件应用内容之：任选几种不同类型的LP输入计算程序，运行求解；完成产销平衡的运输问题求解；求解任一整数规划。 三、实验环境与工具 计算机，lingo软件，运筹学软件 四、实验过程或实验数据 1、用lingo求解线性规划 用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。 max=50*desks+30*tables+20*chairs; 7*desks+6*tables+chairs<=46; 4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20; 2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8; tables<=5; Global optimal solution found. Objective value: 272.0000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost DESKS 0.000000 6.000000 TABLES 1.600000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 272.0000 1.000000 2 25.20000 0.000000 3 0.000000 12.00000 4 0.000000 4.000000 5 3.400000 0.000000 2、用LINGO软件计算运输问题 model: sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets min=@sum(links: cost*volume); @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end Global optimal solution found. Objective value: 638.0000 Total solver iterations: 16 Variable Value Reduced Cost
运筹学实验6整数规划
实验六、用EXCEL 求解整数规划 用单纯形法求解线性规划问题，最优解可能是整数，也可能不是整数，但在很多实际问题中，要求全部或部分变量的取值必须是整数，如所求的解是安排上班的人数，按某个方案裁剪钢材的根数，生产设备的台数等等。对于整数解的线性规划问题，不是用四舍五入或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以解决，如分枝定界法和割平面算法。这些算法比单纯形法更为复杂，因此，一般的学习者要想掌握整数规划的数学算法有一定的困难。然而事实上，由于Excel 的[工具][规划求解]可以求解整数规划问题，所以，对于一个真正有志于运用运筹学方法解决生产经营中问题的管理者来说，算法将不是障碍因素。 一、实验目的 1、 掌握如何建立整数线性规划模型，特别是0～1逻辑变量在模型中的应用。 2、 掌握用Excel 求解整数线性规划模型的方法。 3、 掌握如何借助于Excel 对整数线性规划模型进行灵敏度分析，以判断各种可能 的变化对最优方案产生的影响。 4、 读懂Excel 求解整数线性规划问题输出的运算结果报告和敏感性报告。 二、 实验内容 1、 整数规划问题模型 该问题来自于《运筹学基础及应用》（第四版）胡运权主编P126习题4.13,题目如下: 需生产2000件某种产品，该种产品可利用A 、B 、C 、D 设备中的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用、生产该产品时的单件成本以及每种设备限定的最大加工数量（件）如表1所示，问企业应该如何安排设备生产该产品才能使得总的生产成本最少，试建立该问题的数学模型并求解。 该产品可以利用四种不同的设备加工，由于采用不同的设备加工需要支付不同的准备结束费用，而如果不采用某种设备加工，是不需要支付使用该设备的准备结束费用的，所以必须借助于逻辑变量来鉴定准备结束费用的支付。 再设 ，种设备加工的产品数量 为利用第设;4,3,2,1=j j x j ⎪⎩⎪⎨ ⎧=>=）种设备生产（即，若不使用第 ）种设备生产（即若使用第000,1j j i x j x j y 4,3,2,1=j 则问题的整数规划模型为： 43214321281624207008009801000min x x x x y y y y z +++++++= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨ ⎧==≥≤≤≤≤=+++4 ,3,2,110,01600120010009002000..4 43322114321 j y x y x y x y x y x x x x x t s j j ，或
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划 整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。 整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。 本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。 第一节整数规划问题及其数学模型 一、问题的提出 在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。 整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。先来看下面的例子。 例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？ 表4－1 12 量都要求为整数，建立模型如下：
运筹学中的线性规划和整数规划
运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。 一、线性规划 线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。其数学模型可以表示为： $\max c^Tx$ $s.t. Ax \leq b,x\geq 0$ 其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。
如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解 方法来确定决策变量的最优值。线性规划的求解方法一般分为单 纯形法和内点法两种方法。 单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的 情况。 内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数 值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解 在可行域内部，直到找到最优解为止。这种方法对大规模问题求 解能力强，使用较多。 二、整数规划 整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过 程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。
与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。 分支定界是一种常用的整数规划求解方法。它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。 总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。未来，在更加复杂的实际应用场景下，这两种技术也将不断发展和创新，为各种决策分析和优化问题提供更加高效和精确的解决方案。
线性规划在运筹学中的应用
线性规划在运筹学中的应用 线性规划，在运筹学中是一个非常重要的数学方法，它可以解决许多实际问题。线性规划是一种最优化的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下，合理地分配资源，达到最大化效益的目的。 1.线性规划的定义 线性规划是一种用于求解优化问题的数学方法，它能够求解包含线性目标函数和线性约束条件的最优化问题。与其他优化方法相比，线性规划具有计算简单、适用范围广等优点。 线性规划的基本形式可以表示为： 目标函数：$max(c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n)$ 约束条件：$ax_1+b_1x_2+...+d_nx_n≤r$ $x_1,x_2,...,x_n≥0$ 其中，$c_i$是每个决策变量的价值，$a,b,...,d$是线性约束条件中每个变量的系数，$r$是约束条件的界限。 2.线性规划的应用领域 线性规划在实际应用中，有着非常广泛的应用领域。 2.1生产调度
在生产过程中，生产的目标通常是在资源和时间有限的条件下 最大化利润。线性规划可以帮助企业制定最优生产计划，达到最 大化效益的目标。 2.2运输问题 在运输问题中，通常需要确定如何分配运输物资以最小化运输 成本。线性规划可以帮助解决这类问题，以确定最佳运输成本。 2.3设施选址 在设施选址问题中，需要确定在哪里建造设施以最大程度地利 用资源。线性规划可以帮助制定最优的设施选址计划。 2.4资源分配 在资源分配问题中，需要确定如何最好地利用资源以达到最大 效益。线性规划可以帮助解决这个问题，以确定最佳资源分配。 3.线性规划的优缺点 3.1 优点 线性规划具有计算简单、适用范围广、柔性、可扩展性等优点。 计算简单：线性规划的求解方法非常简单，常用的线性规划求 解软件有MATLAB、LINGO、GAMS、EXCEL等，大多数软件 都提供了直观的界面和演示讲解，即使没有专业知识也可以轻松 使用。
线性规划的求解算法
线性规划的求解算法 线性规划（linear programming ）是运筹学中的一个重要分支，在现代工业、农业、商业、交通运输、国防军事及经济管理等诸多领域都有着广泛重要的应用。在数学系的竞赛数学建模中，也多次应用线性规划来建模从而解决实际问题。在这里介绍单纯性法和对偶单纯形法两种求解线性规划的方法。 一、单纯形法算法主体思想 标准线性规划简记如下： LP-max LP-min s.t {0Ax b x =≥ s.t {0 Ax b x =≥ 这里只以LP-min 为例。 1、算法思想 单纯形法是在已知一个可行基的前提下采用的解决线性规划的算法。步骤如下： （1）输入初始矩阵：0102 0,111121,112 ,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。 用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。 （2）求{}0min |0,1j j a j n t >≤≤@ 若t 不存在，则得到最优解；(i) ,1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0，停。否则，转到（3）。 （3）求,1min{ |0,1}i n it it a a i m a λ+>≤≤@。 若λ不存在，则 LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求
,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭ @，转到（4）。 （4）sj sj st a a a ⇐，（j=1，2....n+1） ij ij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1), (s)t R ⇐,转到（2）. 二、对偶单纯形法 对偶单纯形法是在已知一个正则基的条件下的求解线性规划的方法。步骤如下: (1)输入初始矩阵：0102 0,111121,112 ,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。 用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。 (2)求{}0min |0,1j j a j n s >≤≤@ 若s 不存在，则得到最优解；(i) ,1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0， 停。否则，转到（3）。 (3)求,1min{|0,1}i n it it a a i m a λ+<≤≤@。 若λ不存在，则LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求 ,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭ @，转到（4）。 (4)sj sj st a a a ⇐，（j=1，2....n+1） ij ij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1), (s)t R ⇐,转到（2）.
运筹学的优化算法
运筹学的优化算法 运筹学是一门研究如何对复杂问题进行优化的学科，通过利用数学、 统计学和计算机科学等方法，运筹学可以帮助解决各种决策和优化问题。 在该领域中，存在着许多不同的优化算法，下面将介绍其中几种常见的算法。 1. 线性规划（Linear Programming，LP）：线性规划是一种常见的 数学规划方法。它的目标是优化一个线性目标函数，同时满足一组线性约 束条件。通过将问题转化为标准形式（即将约束条件和目标函数都表示为 线性等式或不等式），线性规划可以使用诸如单纯形法、内点法等算法进 行求解。 2. 整数规划（Integer Programming，IP）：整数规划是一种在线性 规划的基础上，引入了变量为整数的约束条件。这样的问题更具挑战性， 因为整数约束使得问题成为NP困难问题。针对整数规划问题，常用的方 法包括分支定界法、回溯法、割平面法等。 3. 非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）：与线性规划不同，非线性规划的目标函数或约束条件至少有一个是非线性的。非线性规划的 求解需要使用迭代算法，例如牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。这些算法 通过逐步优化解来逼近最优解。 4. 动态规划（Dynamic Programming，DP）：动态规划通过将问题分 解为子问题，并使用递归方式求解子问题，最终建立起最优解的数学模型。动态规划方法常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。例如，背 包问题、最短路径问题等。
5. 启发式算法（Heuristic Algorithm）：启发式算法是一种近似求 解优化问题的方法，它通过启发式策略和经验知识来指导过程，寻找高质 量解而不必找到最优解。常见的启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等。 6. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡洛模拟是一 种基于概率的数值模拟方法，用于评估随机系统中的不确定性和风险。它 通过生成大量随机样本，并使用这些样本的统计特征来近似计算数学模型 的输出结果。 7. 随机优化方法（Stochastic Optimization）：随机优化方法采用 了随机性质的优化算法，特别适用于存在不确定性的问题。这些方法包括 遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。随机优化方法通过引入随机性，能够跳出局部最优解，提高全局能力。 总之，运筹学的优化算法有多种多样，不同的问题需要选择适当的算 法来求解。这些算法通过不同的数学模型和算法策略，为我们提供了强有 力的工具来解决各种实际问题，促进决策的科学化和优化化。
运筹学知识点
运筹学知识点： 绪论 1.运筹学的起源 2.运筹学的特点 第一章线性规划及单纯形法 1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。 2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。 3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。 线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。 4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负 5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量 6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系 7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解 8.用图解法只有解决两个变量的决策问题 9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。 10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。 11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。 12.单纯形法的计算过程，可能出计算题 13.入单纯形表前首先要化成标准形式。 14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。 15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。 16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表 17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合
运筹学总结
运筹学总结 概述 运筹学是一门运用数学、统计学和计算机科学等方法来解决实际问题的学科。它主要关注如何做出最佳决策和优化资源分配，包括最大化利润、最小化成本、最优化市场等。本文将总结运筹学的基本概念和一些常见的问题求解方法。 基本概念 最优化问题 在运筹学中，最优化问题是其中一类重要的问题。最优化问题的目标是寻找一个解使得目标函数取得最优值。例如，对于一个生产计划问题，最优化问题的目标可能是最大化利润或者最小化成本。 线性规划 线性规划是运筹学中最常见的问题求解方法之一。它的目标是在一组线性等式和不等式的约束下，找到一个使得目标函数最优的解。线性规划通常使用单纯形算法进行求解。 整数规划 整数规划是线性规划的扩展，它要求变量的值必须为整数。整数规划问题在实际应用中较为常见，例如货物装载、员工排班等。整数规划问题的求解方法包括分支定界法和割平面法等。 排队论 排队论是研究等待时间和资源利用率的理论。它在实际问题中有广泛的应用，如交通流量控制、服务系统优化等。排队论通过对到达率、服务率等参数的建模，计算平均等待时间、系统利用率等性能指标。 求解方法 线性规划求解方法 线性规划问题可以使用单纯形算法进行求解。单纯形算法是一种迭代的方法，不断在可行域内移动，逐步靠近最优解。此外，还可以使用整数规划求解器对线性规划问题进行求解。整数规划求解器采用分支定界法等算法，能够求解包含整数变量的线性规划问题。
优化算法 除了线性规划外，还存在许多其他的优化算法。例如，遗传算法、模拟退火算 法等。这些算法经常用于求解非线性规划问题或者没有明显的数学模型的问题。优化算法通常基于随机搜索，通过不断迭代来寻找最优解。 模拟仿真 在一些复杂的实际问题中，模拟仿真是一种常用的求解方法。模拟仿真通过建 立系统模型，模拟系统运行过程，得到系统的性能指标。它对系统的运行过程进行了较为真实的描述，能够帮助决策者评估方案的可行性和风险。 应用领域 生产管理 运筹学在生产管理中起到了重要的作用。生产计划、库存管理、生产线优化等 问题都可以通过运筹学的方法进行求解。通过优化生产资源的利用，提高生产效率，降低成本。 供应链管理 供应链管理涉及到原料采购、生产、物流配送等环节。运筹学的方法可以帮助 优化供应链中的各个环节，减少库存、提高交付效率，降低成本。 能源管理 能源管理是一个复杂的问题，涉及到能源供应、能源转换和能源利用等方面。 运筹学可以帮助优化能源的分配和利用方式，提高能源利用效率，减少能源消耗。 结论 本文对运筹学的基本概念、求解方法和应用领域进行了总结。运筹学作为一门 跨学科的学科，可以帮助解决各种实际问题，优化资源分配，提高效率。随着计算机技术的发展和运筹学方法的不断改进，运筹学在实际应用中的价值将会越来越大。
运筹学(简化)
第一部分 运筹学 一、什么是运筹学？ 实例：一公司有： 三个工厂：A 、B 、C 。 各工厂分别有140吨、120吨、50吨产品待运； 三个仓库：甲、乙、丙。甲库可存货60吨，乙库可存货100吨，丙库可存货150吨； 直观思路：1、距离最短A －丙。（140吨）； 2、B －丙。（10吨）；依此类推。 可得调运方案： 总吨公里数＝140＊1.5＋60＊12＋50＊13.5＋10＊3＋50＊4.5＝1860。 最佳方案： 对该问题如果利用数学符号（即建立数学模型）来表示,可如下讨论： 设工厂A 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为11x 、12x 、13x ，工厂B 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为21x 、22x 、23x ，工厂C 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为31x 、32x 、 33x ，则调运货物的总吨公里数（相当于运输费用）为 33323133222113121195.4635.13125.169x x x x x x x x x z ++++++++=
现在需要求该函数的最小值，而限制条件为： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=++=++=++=++0,,,,,,,,150 100 6050120 14033 323123222113121133231332 2212 312111333231232221 131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 运筹学：以系统为研究对象，把系统的功能和特点用模型表示，通过对模型的定量分析，从总体上寻求最优策略，为决策和揭露新问题提供数量根据，并以研究结果的应用为目的，保证系统高效运行。 运筹学建立模型的最终目的是实现系统的最优化，帮助管理者作出正确的决策，使系统正常有效地运行。这里的最优化是指在一定条件下求最优解（可以是求最大值，也可以是求最小值）。 运筹学研究系统的基本方法由以下5个阶段构成： 第一阶段：观察所要研究的系统，确定存在的问题、影响问题的因素、约束、假设以及准备优化的目标。 第二阶段：对系统进行描述――建立模型。 模型的复杂程度视具体问题而定，过份简单则不能准确反映系统的实质，过份复杂则造成求解的困难。模型是所研究系统的一个理想（简化的）表达形式。一个现实系统的性质可能受到许多因素的影响，但是一般只有一小部分因素真正支配着系统的特性。建模时应该抓住这些支配系统的因素，从现实系统中抽象出一个“假想的现实系统”，然后把这些因素之间的关系确定下来，并简化成一个适合于分析的形式，这种形式就是模型。 第三阶段：根据实际条件对模型进行检验。 模型一旦确定，就应该根据实际条件对模型的正确性、可靠性进行分析检验。一般可按照下述三种情况之一处理：（1）给出有关方程的统一的精确解法；（2）如果没有统一解法，则可以代入具体数据进行测算，分析测算结果是否和实际情况相符；（3）如果该模型不能用任何正规的数学方法处理，则可以用类比方法进行模拟处理。 第四阶段：分析模型。按优化目标的要求选取最优解，即在模型规定的约束条件下求出符合目标函数要求的最优条件组合。 这一阶段还需要检验在这些约束条件下最优解的敏感程度，即弄清楚当约束条件之一稍有变化时最优解会不会改变。经过检验，就可以知道最优解对各个约束条件的依赖程度。 第五阶段：贯彻执行。 二、规划问题的几个基本概念： 决策变量：规划问题需要求解的一组变量，这组变量的每一组定值就对应规划问题的一个具体实施方案。如上例中的ij x ； 目标函数：规划问题一定有一个要求目标，并且这个要求目标可以表示为决策变量的函数，问题的解决归结为寻求一组决策变量的值，使目标函数实现最大或最小；如上例中的函数z ； 约束条件：每一个规划问题中，决策变量都要满足一定的约束条件，这些条件可用包