1第一章 运动的描述

第一篇力学基础

第一章运动的描述

教学时间：5学时

本章教学目标：理解运动的绝对性和相对性；理解位置矢量和位移的不同含义；

能够根据运动方程求速度和加速度，能够根据速度和加速度求运动方程的表达式；

掌握伽利略变换公式，能够根据相对运动公式解决相关问题。

教学方式：讲授法、讨论法等

教学重点：能够根据运动方程求速度和加速度，能够根据速度和加速度求运动方

程的表达式。

在经典力学中，通常将力学分为运动学、动力学和静力学。本章只研究运动学

规律。运动学是从几何的观点来描述物体的运动，即研究物体的空间位置随时间的

变化关系，不涉及引发物体运动和改变运动状态的原因。

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§1.1 参考系坐标系物理模型

一、运动的绝对性和相对性

运动是物质的固有属性。从这种意义上讲，运动是绝对的。

但我们所讨论的运动，还不是这种哲学意义上的广义运动。

即使以机械运动形式而言，任何物体在任何时刻都在不停地运动着。例如，地

球就在自转的同时绕太阳公转，太阳又相对于银河系中心以大约250 km/s。的速率

运动，而我们所处的银河系又相对于其他银河系大约以600 km/s。的速率运动着。

总之，绝对不运动的物体是不存在的。

然而运动又是相对的。

因为我们所研究的物体的运动，都是在一定的环境和特定的条件下运动。例如，当

我们说一列火车开动了，这显然是指火车相对于地球(即车站)而言的因此离开特定的

环境、特定的条件谈论运动没有任何意义正如恩格斯所说：“单个物体的运动是不存

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在的——只有在相对的意义下才可以谈运动。” 二、参考系

运动是绝对的，但运动的描述却是相对的因此，在确定研究对象的位置时，必须先选定一个标准物体(或相对静止的几个物体)作为基准；那么这个被选作标准的物体或物体群，就称为参考系。

同一物体的运动，由于我们所选参考系不同，对其运动的描述就会不同。 从运动学的角度讲，参考系的选择是任意的，通常以对问题的研究最方便最简单为原则。研究地球上物体的运动，在大多数情况下，以地球为参考系最为方便(以后如不作特别说明，研究地面上物体的运动，都是以地球为参考系)但是。当我们在地球上发射人造“宇宙小天体”时，则应以太阳为参考系。 三、坐标系

要想定量地描述物体的运动，就必须在参考系上建立适当的坐标系。

在力学中常用的有直角坐标系。根据需要，我们也可选用极坐标系、自然坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等。

总的说来，当参考系选定后，无论选择何种坐标系，物体的运动性质都不会改变。然而，坐标系选择得当，可使计算简化。 四、物理模型

任何一个真实的物理过程都是极其复杂的。为了寻找过程中最本质、最基本的规律，我们总是根据所提问题(或所要回答的问题)，对真实过程进行理想化的简化，然后经过抽象提出一个可供数学描述的物理模型

现在我们所提的问题是确定物体在空间的位置。若物体的线度比它运动的空间范围小很多时，例如绕太阳公转的地球和调度室中铁路运行图上的列车等；或当物体作平动时，物体上各部分的运动情况(轨迹，速度，加速度)完全相同。这时我们可以忽略物体的形状、大小而把它看成一个具有一定质量的点，并称之为质点。 若物体的运动在上述两种情形之外，我们还可推出质点系的概念。即把这个物体看成是由许许多多满足第一种情况的质点所组成的系统。当我们把组成这个物体

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的各个质点的运动情况弄清楚了，也就描述了整个物体的运动。

如果我们研究物体的转动就必定涉及物体的空间方位，此时，质点模型已不适用，因为一个点是无方位可言的。若在我们所研究的问题中，物体的微小形变可以忽略不计时，则可以引入刚体模型。所谓刚体，是指在任何情况下，都没有形变的物体。

当然，我们也可以把刚体看作一个各质元之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。

质点和刚体是我们在力学中所遇到的最初物理模型。

综上所述：选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标系，以定量地描述物体的运动；提出较准确的物理模型，以确定所提问题最基本的运动规律。

§1.2运动的描述

一、位矢、位移、速度、加速度在直角坐标系中的表示式 1、位置矢量

点P 在直角坐标系中的位置可由P 所在点的三个坐标x ，y ，z 来确定，

或者用从原点0到P 点的有向线段r 来表示，矢量r 叫做位置矢量(简称位矢，又称矢径)。

在直角坐标系中，位矢r 可以表示成 r = xi + yj + zk

式中i ，j ，k 分别表示沿x ，y ，z 三轴正方向的单位矢量。 位矢r 的大小为

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| r | = r =

位矢的方向余弦：

质点的机械运动是质点的空间位置随时间变化的过程。这时质点的坐标x ，y ，z 和位矢r 都是时间t 的函数。表示运动过程的函数式称为运动方程，（轨道的参数方程）可以写作

x = x ( t ), y = ( t ), z = z( t ). r = r ( t )

知道了运动方程，就能确定任一时刻质点的位置，从而确定质点的运动。

质点在空间的运动路径称为轨道。质点的运动轨道为直线时，称为直线运动。质点的运动轨道为曲线时，称为曲线运动。

轨道方程和运动方程最明显的区别，就在于轨道方程不是时间t 的显函数。例如，已知某质点的运动方程为

式中t 以s 计，x ，y ，z 以m 计。从x ，y 两式中消去t 后， 得轨道方程

22y x + = 9，z = 0

其表明质点是在z=0的平面内，作以原点为圆心，半径为3 m 的圆周运动。 2．位移

如图所示，

2

22

z y x

++.

cos ,cos ,cos r

z r y r x ===γβα0

,6

cos 3,6sin 3===z t y t x ππ

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设质点沿曲线轨道AB 运动，在t 时刻，质点在A 处，在t+△t 时刻，质点运动到B 处，A 、B 两点的位矢分别由r 1和r 2表示，

质点在△t 时间间隔内位矢的增量 |△r| = r 2 -- r 1

我们就称之为位移，它是描述物体位置变动大小和方向的物理量。 位移是矢量，它的运算遵守矢量加法的平行四边形法则(或三角形法则)。 如图所示，位移的模只能记作|△r|，不能记作△r 。△r 通常表示位矢的模的增量， 即 △r = | r 2 | - | r 1 | ,

而|△r|则是位矢增量的模(即位移的模)。 而且在通常情况下 |△r | ≠△r 。

必须注意，位移表示物体位置的改变，并非质点所经历的路程

一般说来， | d r | = d s

显然，只有在△t 趋近于零时，才有| d r | = d s 应当指出，即使在△t 趋于0时，也没有| d r | = d r 这个等式成立。

在直角坐标系中，位移的表达式为

位移的模为

位移和路程的单位均是长度的单位，国际单位制(SI 制)中为m 。 3、速度：质点运动的快慢程度。

如上图，在时刻t 到t+△t 这段时间内，质点的位移为△r ，那么△r 与△t 的比

值，称为质点在t 时刻附近△t 时间内的平均速度

平均速度的方向与位移△r 的方向相同，平均速度的大小与在相应的时间△t 内

zk yj xi k z z j y y i x x r ?+?+?=-+-+-=?)()()(1212122

12212212)()()((z z y y x x r -+-+-=?t

r

t AB ??=?=

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每单位时间的位移大小相同。

质点在某时刻或某位置的瞬时速度，等于该时刻附近△t 趋近于零时平均速度的极限值，数学表示式为

可见速度等于位矢对时间的一阶导数。

速度的方向就是△t 趋近于零时，平均速度或位移△r 的极限方向，即

沿质点所在处轨道的切线方向，并指向质点前进的一方。

速度是矢量，具有大小和方向描述质点运动时，我们也常采用一个叫做速率的物理量。

速率是标量，等于质点在单位时间内所行经的路程，而不考虑质点运动的方向。

即瞬时速率就是瞬时速度的模 在直角坐标系中，速度可表示成 这时速度的模可以表示成

速度和速率在量值上都是长度与时间之比，国际单位制(SI)中为m/s 。 4．加速度

加速度就是描述质点的速度(大小和方向)随时间变化快慢的物理量如图所示，v A 表示质点在时刻t 、位置A 处的速度，v B 表示质点在时刻t+△t 、位置B 处的速度，从速度矢量图可以看出，在时间△t 内质点速度的增量为 t

r t r v t d d lim

=??=→?v

dt dr

t s t

s v t ===??=→?d d lim 0k

v j v i v k t z j t y i t x t v z y x ++=++==d d d d d d d dr 2

22z

y x v v v v v ++==A

B v

v v -=?

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与平均速度的定义相类似，比值称为t 时刻附近△t 时间内的平均加速度，即

平均加速度只是反映在时间△t 内速度的平均变化率.

为了准确地描述质点在某一时刻t(或某一位置处)的速度变化率，须引入瞬时加速度.

质点在某时刻或某位置处的瞬时加速度(简称加速度)等于该时刻附近△t 趋近于

零时平均加速度的极限值，其数学式为 可见，加速度是速度对时间的一阶导数，或位矢对时间的二阶导数

在直角坐标系中，加速度的表示式为

加速度的模:

加速度的方向:当△t 趋于0时，平均加速度或速度增量的极限方向。

例：一质点在XOY 平面上运动，运动方程为x=2t ; y=19-2t 2，式中x 、 y 单位为m ，t 单位是s 。

（1） 计算并图示质点的运动轨迹；

（2） 计算t=1s 末到t=2s 末之间的平均速度； （3） 计算2s 末的速度和加速度；

t

v

t v v a A B ??=?-=

220d d lim dt r d t v t

v a t ==??=→?k

a j a i a k t

z

j t y i t x t a z y x ++=++==22222222d d d d d d d r d 2

22z

y x a a a a a ++==

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解：（1）由质点的运动方程x=2t 及y=19-2t 2，消去t 得质点的轨道方程为

（2）当t=1s 时，位置坐标为x 1=2m ，y 1=17m 。

当t =2s 时，位置坐标为x 2=4m ，y 2=11m 。

1秒末到2秒末的位移为△x= x 2- x 1=2m ，△y= y 2- y 1= -6m 。 所以1秒末到2秒末的平均速度为

(3)由分速度公式得 所以2秒末的速度为v = 2i – 8j 大小为 方向与X 轴的夹角 为 由加速度公式得

所以2秒末的加速度为 a = - 4j

故 ，方向沿Y 轴, 负方向。

二、曲线运动的描述

1、一般的平面曲线运动

为运算方便起见，常采用平面自然坐标系予以讨论，即将加速度沿着质点所在处轨道的切线方向和法线方向进行分解，这样得到的加速度分量分别叫做切向加速度和法向加速度。

设质点的运动轨道如图所示：

2

2

119x y -

=j i t

yj xi t r v 62-=??+?=??=

t

dt

dy v dt dx v y x 4,2-====1

2225.8)8(2-?=-+=s m v θ

76)4()28(11-=-=-=--tg tg θ4

,0-====dt

dv a dt dv a y y

x x 2

4-?==s m a a

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t 时刻质点在P 1点，速度为v 1；

t+△t 时刻，质点运动到p 点，速度为v 2，

P1，P2两点的邻切角为△θ，在△t 时间内，速度增量为△v 。 图b 表示了v 1，v 2，△v 三者之间的关系。 图中△v 就是 矢量

如果在

上截取 则剩下的部分

即

反映了速度模的增量。连结 ，并记作 ，其反映了速度方向的增量。于是速度增量△v 所包含的速度大小的增量和速度方向的增量这两个方面的含义，通过 和 得到了定量的描述。即

由图可看出，即在极限条件△v n 的方向垂直于过P 1点的切线，亦即沿曲线在P 1点的法线方向；

的极限条件下 就是v 1 的方向，亦即沿P 1点的切线方向 时，

，如果以n 0表示P 1点内法线方向的单位矢量,以 表示P 1点切线方向（且指向质点前进方向）的单位矢，则有

BC AC 1

v ==v

v v v AC ?=?=-==τ12τv ?n v ?n v ?η

n v v v ?+?=?τv v ?=?τ0→?θτv ?

0→?θθ?=?v v n 0τ

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由于 ，式中 为过P 1点的曲率圆的曲率半径，则上式可

式中 即为加速度的切向分量和法向分量

，反映速度大小的变化；

，反映速度方向的变化。

加速度的模为

在国际单位制中，加速度的单位是2-?s m 。 2．圆周运动

质点作圆周运动时，由于其轨道的曲率半径处处相等，而速度方向始终在圆周的切线上，因此对圆周运动的描述，常常采用以平面自然坐标系为基础的线量描述和以平面极坐标系为基础的角量描述. 在自然坐标系中，位矢r 是轨道s 的函数，即 r = r ( s ) d r = d s 0

圆周运动中的切向加速度和法向加速度为

000

00lim lim lim n dt d v dt dv t v t v t v a n t t t θττ+=??+??=??=→?→?→?ρθθ1v dt ds dt d dt d ==ρn a a n v dt dv a +=+=τρ

τ0200

2

0,n v a dt dv a n ρ

ττ==dt dv a =τρ

2v a n =n

a a a 22

+=τ0

0ττv dt ds dt dr v ===??

?

?

?

?

?

====02

020220n R v n v a dt s d dt dv a n ρτττ

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如前述引进速度、加速度的方法一样，我们也可以引进角速度和角加速度.

当质点作圆周运动时，R=常数，只有角位置是t 的函数 匀速圆周运动中：

在圆周运动中，线量和角量之间存在如下关系

00000lim lim lim n dt d v dt dv t v t v t v a n t t t θ

ττ+=??+??=??=→?→?→?dt

d t t θθω=

??=→?lim 0

2

20lim dt d dt d t

t θ

ωωβ==??=→???

?

?

?

?

?

-=-++=+=)(221002

22000θθβωωβωθθβωωt t t

????

??

?

?

???

=========2

2

ωβωωθ

θ

τR R v a R dt

d R dt dv a R dt d R dt ds v Rd ds n

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角速度的方向就是角位移矢量的方向，如图1-11所示。按照 矢量的矢积法则，角速度矢量与线速度矢量的关系为 v = ω × r

例 一飞轮以转速n = 1500转每分（rev · min -1）转动，受制动后而均匀地减速，经t = 50s 后静止。（1）求角加速度β和从制动开始到静止飞轮的转数N ；（2）求制动开始后t = 25 s 时飞轮的角速度ω；（3）设飞轮的半径R = 1 m ，求t = 25s 时飞轮边缘上任一点的速度和加速度。

解 （1）由题知ω0 =2лn = 2л× =50л rad ·s -1，当t = 50 s 时ω = 0，故由

（2）t = 25 s 时飞轮的角速度为：ω = ω0 + βt =50л-25л = 25л rad ·s -1 （3）t = 25 s 时飞轮边缘上任一点的速度为：

v = R ω = 1×25л =78.5m ·s -1 相应的切向加速度和向心加速度为： α = R β = -л = -3.14 m ·s -2

αn = R ω2 = 1×（25л）2 = 6·16×103m ·s -2 三、刚体定轴转动的描述

如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动。

这条直线称为转轴(这根轴可以在物体之内，也可以在物体之外的某固定处)。 若转轴的方向或位置在物体运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置便称为该时刻的转动瞬轴。

601500

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若转动轴固定不动，即既不改变方向又不平移，则这个转轴称为固定轴，这种转动称为定轴转动。

平动和转动是刚体运动中两种基本形式。无论刚体作多么复杂的运动，总可以把它看成是平动和转动的合成运动。

§1—3 相对运动

当我们定义了静止参考系后，对于一个处于运动参考系中的物体，我们就把它相对于静止参考系的运动称为绝对运动，把运动参考系相对于静止参考系的运动称为牵连运动，把物体相对于运动参考系的运动称为相对运动。显然，这些称谓也是相对的。

如下图所示，设s 为静止参考系，S ＇为运动参考系。

为简单计，假定相应坐标轴保持相互平行，S ＇相对于S 沿x 轴作直线运动。 这时两参考系间的相对运动情况，可用S ＇系的坐标原点O ＇相对于S 系的坐标原点O 的运动来代表。

设有一质点位于S ＇中的P 点，它对S 的位矢为r (即为绝对位矢)， 对S ＇的位矢为r ＇(即为相对位矢)，

而O ＇点对O 点的位矢为r 0 (即为牵连位矢)。由矢量加法的三角形法则可知，r ，r ，r 0之间有如下关系： r = r 0 + r ˊ

即绝对位矢等于牵连位矢与相对位矢的矢量和。 两边对时间求导，即可得v = v 0 + v ˊ

式中v 为绝对速度，v 0为牵连速度，v ＇为相对速度。

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将v 式两边对时间再次求导，可得α= α0 +αˊ

式中a 为绝对加速度，a 0为牵连加速度，a ＇为相对加速度. 对相对运动的理解应当注意：

1.绝对运动、相对运动和牵连运动都是质点相对于不同参照系的运动，对于平动，牵连运动才等于动系对静系的运动。

2．上面的变换关系式仅适用于低速物体的运动，当质点运动的速度接近光速时是不适用的，关于这一点将在狭义相对论中论述。

例 无风时雨滴从空中竖直下落，已知其速度为10.0m/s ，车的速度为8.0m/s ，求雨点相对于车的速度.

解 以地面为绝对参考系，车为运动参考系。则雨点相对于地面的速度为v 绝，车相对于地面的速度为v 牵，雨点相对于车的速度就是v 相。根据速度变换式

v

绝

= v

牵

+ v 相

由上式作矢量图 可以求出雨点对于车的相对速度的大小为

v 相 = 方向可用v 相与竖直线的夹角α表示，即

tg α=

α= 38o40′

1

22228.12810-?=+=+s m v v 牵绝8.010

8

=

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1、思考题：

(1)位移和路程有何区别， (2)速度和速率有何区别，

(3)瞬时速度和平均速度的区别和联系是什么， 2、回答下列问题并举出符合你的答案的实例： (1)物体能否有一不变的速率而仍有变化的速度，

(2)速度为零的时刻，加速度是否一定是零？加速度为零的时刻，速度是否一定是零？

(3)物体的加速度不断减小。而速度却不断增大，可能吗？

(4)当物体具有大小、方向不变的加速度时，物体的速度方向能否有改变？ 3、下列说法是否正确？

(1) 质点作圆周运动时，加速度指向圆心： (2) 匀速圆周运动的加速度为恒量； (3) 只有法向加速度的运动定是圆周运动； (4) 只有切向加速度的运动定是直线运动。

作业：教材赵近芳 主编 大学物理学（上）P19. 1、3、5、7、12

参考书

赵近芳 主编 大学物理学（上） 北京邮电大学出版社 2002.8

程守洙，江之永 编 《普通物理学》高等教育出版社 1982修订本

聂东山等主编 物理学 内蒙古大学出版社 1999.8

漆安慎 等主编 力学基础 高等教育出版社 1982