第2章信号及其描述
第2章信号及其描述
2．1 知识要点
2．1．1 信号的分类及描述
1．信号有哪些类型？
(1) 按信号随时间的变化规律分类。
?????????
?
??????????
?
?????????????谐波信号
周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号
(2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。
()()()
()???????
????
??
模拟信号信号的幅值与独立变量均连续连续信号一般连续信号独立变量连续信号一般离散信号独立变量离散离散信号数字信号信号的幅值和独立变量均离散 (3) 按信号的能量特征分类。
()()??
?能量有限信号
信号功率有限信号
2．什么是确定性信号与随机信号？各有哪几种类型？其含义是什么？
能明确地用数学关系式描述随时间变化关系的信号称为确定性信号。无法用明确的数学关系式表达的信号称为非确定性信号，又称为随机信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。按一定时间间隔周而复始出现的信号称为周期信号，否则称为非周期信号。随机信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号两种。平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信号，否则为非平稳随机信号。在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经（遍历性）随机信号，它表明一个样本函数表现出各种状态都经历的特征，有充分的代表性，因此只要一个样本函数就可以描述整个随机过程。
3．什么是连续信号与离散信号？什么是模拟信号和数字信号？
在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连续点（第一类间断点）外，都可给出确定的函数值，即时间变量t 是连续的，此类信号称为连续信号。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号。在一定的时间间隔内，只在时间轴的某些离散点给出函数值，此类信号称为离散信号。离散信号又可分为两种：时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且幅值离散（量化）的信号称为数字信号。
4．什么是能量信号与功率信号？ 当信号)(t x 满足
?
+∞
∞
-∞
简称能量信号。若信号)(t x 在区间),(+∞-∞的能量是无限的，即?
+∞
∞
-∞→dt t x )(2，但它
在有限区间),(21t t 的平均功率是有限的，即?
∞<-2
1
)(121
2t t dt t x t t 这种信号称为功率有
限信号，简称功率信号。
5．信号的描述方法有哪些？各有何意义？
信号的描述方法有时间域（简称时域）、频率域（简称频域）、幅值域和时延域。用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述；把时域信号通过数学处理变成以频率f （或角频率ω)为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述，这种描述信号的方法称为信号的频域描述。信号的幅值域描述是以信号幅值为自变量的信号表达方式。以时间和频率的联合函数来同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，称为信号的时延描述。 时域描述是信号最直接的描述方法，它反映了信号的幅值随时间变化的过程，从时域描述图形中可以知道信号的时域特征参数，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。它们反映了信号变化的快慢和波动情况，因此时域描述比较直观、形象、便于观察和记录。频域描述可以揭示信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值、相位与频率的对应关系，因此在动态测试技术中得到广泛应用。信号的幅值域描述反映了信号中不同强度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性，通常用概率密度函数来描述。信号的时延描述是非平稳随机信号分析的有效工具，可以同时反映时间和频率信息，揭示非平稳随机信号所代表的被测物理量的本质，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。 2．1．2 周期信号与离散频谱
1．狄利克雷(dirichlet)条件是什么？
(1)信号)(t x 在一个周期内只有有限个第一类间断点(当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值)；
(2)信号)(t x 在一周期内只有有限个极大值或极小值； (3)信号在一个周期内是绝对可积分的，即
?
-22
00)(T T dt t x 应为有限值。
2．周期信号傅立叶级数有哪几种表示形式？如何用公式表示？
周期信号傅立叶级数有三角函数表达式和复指数表达式。三角函数表达式为：
∑∑∞
=∞=++=++=1
001
000)sin()sin cos ()(n n n n n n t n A a t n b t n a a t x θωωω （2-1）
式中，0a 为信号的常值分量，?
-=
22
000)(1
T T dt t x T a 。
n a 为信号的余弦分量幅值，?
-=
22
00
00cos )(2
T T n tdt n t x T a ω。
n b 为信号的正弦分量幅值，?
-=
22
00
00sin )(2
T T n tdt n t x T b ω。
0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，00/2T πω=，n=1,2,3…
n A 为信号的幅值，2
2n n n b a A +=；n θ为信号的初相位角，)arctan(n n n b a =θ。
复指数表达式为：
t
jn n n
e
C t x 0)(ω∑∞
-∞
==
（2-2）
?
--=
22
000)(1
T T t jn n dt e t x T C ω ???±±=2,1,0n （2-3）
3．周期信号的频谱有什么特点？常见周期信号如何进行时域和频域描述？
周期信号的频谱具有以下特点：
(1) 离散性，频谱图中，每根谱线代表一个谐波成分，谱线的高度代表该谐波成分的幅值大小。
(2) 谐波性，每条谱线只有在其基频整数倍0ωn 的离散点频率处才有值。 (3) 收敛性，谐波分量的幅值按各自不同的规律收敛。
常见周期信号主要有正弦信号、余弦信号、三角波信号、方波信号、锯齿波信号和余弦全波整流信号，它们的时域和频域描述如表2-1所示。
4．周期信号的强度指标有哪些？如何用公式表示？
周期信号的强度通常是以峰值p x 、绝对值x μ、有效值rms x 和平均功率av P 来表述。
峰值用于描述信号在时域中出现的最大瞬时幅值，是指波形上与零线的最大偏离值，峰-峰值是信号在一个周期内最大幅值与最小幅值之差。周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅值对时间的平均，周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值，信号中的有效值就是均方根值，有效值的平方，也就是说均方值就是信号的平均功率。公式表示如式（2-4）和式（2-5）所示。
max )(t x x p =， ?=0
0)(1T x dt t x T μ （2-4） ?
=
20
)(1T rms dt t x T x ，?
=
20
)(1T av dt t x T P （2-5）
2．1．3 瞬变非周期信号与连续频谱
1．傅立叶变换及其反变换的表达式是什么？ 傅立叶变换的表达式为：
?∞
∞
--=dt e
t x X t
j ωω)()(或?∞
∞--=dt e t x f X ft
j π2)()( （2-6）
傅立叶反变换的表达式为：
?
∞
∞
-=
dt e X t x t
j ωωπ
)(21
)(或?∞
∞
-=dt e f X t x ft
j π2)()( （2-7）
2．傅立叶变换有哪些主要性质？ 傅立叶变换主要性质如表2-2所示。
表2-2傅立叶变换主要性质
3．典型信号有哪些？它们的频谱是什么？用图形表示。
典型信号主要有单位脉冲信号、单位直流信号、单位阶跃信号、单位符号函数信号、
单位斜坡信号、方波信号、正弦信号、余弦信号等，它们的频谱及其图形如表2-3所示。
表2-3 典型信号及其频谱
4．非周期信号频谱有何特点？
（1）非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，但它包含了从零到无穷大的所有频率分量。
（2）非周期信号的频谱是连续的。
（3）非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位（即单位频宽内所包含的能量）。
（4）非周期信号频域描述的数学基础是傅立叶变换。
2．1．4随机信号
1．描述各态历经随机信号的主要特征参数有哪些？各有何作用？ (1) 均值、方差、均方值：描述信号强度方面的特征。
(2) 概率密度函数：描述信号在幅值域中的特征，提供随机信号沿幅值域分布的信息； (3) 自相关函数：描述信号在时域中的特征。
(4) 功率谱密度函数：描述信号功率密度沿频率轴的分布。
(5) 联合概率密度函数：描述两个或两个以上各态历经随机信号在幅值域中的特征。 (6) 互相关函数：描述两个或两个以上各态历经随机信号之间的相互依赖程度。 (7) 互谱密度函数：描述相关信号的功率密度沿频率轴的分布。 (8) 相干函数：描述两个或两个以上信号之间的因果性和相干性。 2．随机信号的均值、方差、均方值含义是什么？用公式表示。 均值表示信号的常值分量，各态历经信号的均值x μ为：
1lim
()d T
x T x t t
T μ→∞=? （2-8）
式中，)(t x 为样本函数；T 为观测时间。
方差描述随机信号的波动分量(交流分量)，它是)(t x 偏离均值x μ的平方的均值，即
[]2
20
1lim
()d T x x
T x t t T σμ→∞=-? （2-9）
随机信号的强度可以用均方值2
ψx 来描述，它是)(t x 平方的均值，代表随机信号的平均功率，即
22
1lim
()d T x T x t t
T ψ→∞=? （2-10）
若将均方值开根号，就为均方根值，也称为有效值，即
x T
T rms dt t x T
x ψ==?
∞→0
2)(1
lim
（2-11）
均值、方差和均方值之间的关系为：
222σψμ=-x x x （2-12） 3．什么叫概率密度函数？用公式表示。
随机信号的概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概率。信号)(t x 的幅值落在
],[x x x ?+区间内的时间为x T ，随机信号的概率密度函数)(x p 为
00[()]1
()lim
lim lim x
x x T T P x x t x x p x x x T ?→?→→∞<+?==??≤ （2-13）
2．2 例题解析
【例2.1】周期性三角波时域表达式如式2-14所示，时域图如图2.1所示，试求其傅立叶级数的三角函数展开式及其频谱，式中周期为0T ，幅值为A 。
0000(0)22()(0)
22T A A t t T x t T A A t t T ?
+-???=?
??-??
≤≤≤≤ （2-14）
图2.1 周期三角波信号
解：由于)(t x 为偶函数，故正弦分量幅值0=n b ，而常值分量和余弦分量幅值分别为：
000/2
/2
0/2
01
12()d 2()d 2
T T T At A
a x t t A t T T T -=
=
-
=?
?
000/2
/2
00/2
22222222
22()cos d 2()cos d 41,3,5,24(cos 1)sin 20
2,4,6,T T n T A
a x t n t t A t n t t T T T A n n A A n n n n n ωωπ-=
=
-
?=?ππ?=--==?
ππ?
?=??
?
L L
224||1,3,5,πn n A A a n n ====L
???===5,3,1,2)arctan(n b a n n n πθ
当1=n 时，2
14πA
a =
；当2=n 时，20=a ；当3=n 时，22334π
A
a =时；当4=n 时，
04=a ；当5=n 时，22554πA
a =
；周期性三角波的傅立叶级数的三角函数展开式为： )5cos 5
1
2cos 31(cos 42)(020202???++++=t t t A A t x ωωωπ
其三角函数展开式频谱图如图2.2所示。
图2.2周期三角波的频谱
【例2.2】周期方波如图2.3所示，分别用傅立叶级数的三角函数展开式和复指数展开式求频谱，并作频谱图。
图2.3周期方波
解：周期方波在一个周期内的时域表达式为：
??
?-=A
A t x )( 022000≤≤-≤≤t T T t （2-15） 利用傅立叶级数的三角函数展开式求其幅、相频特性。因该函数)(t x 是奇函数，奇函数在对称区间积分值为0，所以0,00==n a a
)]2/cos(1[4]|cos |cos [2]sin sin )([2sin )(2
00
02/00002/0002/000
2/002
/2/00000000ωωωωωωωωωn T n A
n t n n t n T A tdt n A tdt n A T tdt n t x T b T T T T T T n -=-+=+-==
---???
?
?
?=0/4πn A ...6,4,2...
5,3,1==n n 因此有：
...)5sin 51
3sin 31(sin 4)(000+++=
t t t A
t x ωωωπ （2-16）
根据式（2-16），幅频谱如图2.4所示。幅频谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，且谐波幅值以1/n 的规律收敛；相频谱中各次谐波的初相位n φ均为零。
图2.4周期方波频谱图
利用傅立叶复指数函数展开式求其幅、相频特性
?
-==
2
/2
/0
0000)(1T T dt t x T c
)0(),cos 1()(1)(12/002/2
/2
/0
0000000≠-=
+-=
=???
-----n n jn A
dt Ae dt e A T dt e t x T c T t
jn T t jn T T t jn n ππ
ωωω
∑
∞
-∞
=-=
n t
jn e n A j
t x 0)2()(ωπ
，...5,3,1±±±=n ...5,3,1,2±±±==
n n A
c n π
??
?<>-=-=0,2/0
,2/0/2arctan n n n A n πππ? 周期方波傅立叶级数指数展开式频谱图和相频图如图2.5所示。
图2.5周期方波双边频谱图
解析：三角函数展开形式的频谱是单边谱(ω从0到∞)；复指数展开形式的频谱是
双边谱(ω从-∞到∞)，而且两种形式的幅频谱图有确定的关系
2
21,2
2000n n n n A b a C a A C =+=
== 三角函数展开式中n 次谐波分量)cos(0n n t n A ?ω+=，在复指数展开式中为
)00t jn n t jn n e C e C ωω+--两项(n C 与n C -共轭,即n n C C -=，且n n ??-=-)，双边幅频谱为
偶函数，双边相频谱为奇函数。
【例2.3】矩形窗函数 )(t W R 时域表达式如式2-17所示，时域图如图2.6所示，求其频谱并作频谱图
??
?=0
1
)(t W R
2
/2
/T t T t >< （2-17）
图2.6矩形窗函数
解：利用傅立叶变换求其频谱为：
j2R R j2j2222
2
j πj (j )()e d 11e d e j21sin()
(e e )j2sin c()ft T T ft
ft
T T fT fT W f w t t
t f
fT T f fT T fT ∞
-π-∞-π-π----π==?=-ππ=
-=-ππ=π??
幅值频谱为
R |()||sin c()|W jf T fT =π
其相频谱为
22210,1,2,...21200,1,2,...
()22100,1,2,...
21220,1,2,...n n f n T T n n f n T T f n n f n T T n n f n T T ?--?π<<=--??
-?<<=--?=?
+?<<=??++?-ππ<<=?
矩形窗函数的幅频图如图2.7(a)所示，相频图如图2.7(b)所示。
f
(a) 幅频图 (b) 相频图
图2.7 窗函数的频谱
解析：矩形窗函数在时域中有限区间取值，但频域中频谱在频率轴上连续且无限延伸。由于实际工程测试总是时域中截取有限长度(窗宽范围)的信号，其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘，因而所得到的频谱必然是被测信号频谱与矩形窗函数频谱在频域中的卷积，所以实际工程测试得到的频谱也将是在频率轴上连续且无限延伸。
【例2.4】余弦信号如图2.8（a ）所示，窗函数如图2.8（b ）所示，求被截取后的余弦信号[如图2.8(c)所示]的频谱函数，该信号时域的表达式如式（2-18）所示，示意画出该截取信号的幅频图，试分析当0T 增大或减小时，幅频图有何变化。
00
0cos ||()0||ω
>?t t T x t t T （2-18）
解法1：令
R 01||()0||t T w t t T
>?
10()cos ω=x t t
则
R 1()()()x t w t x t =?
而
R R 00()(j )2sin (2)w t W f T C fT ?=π
[]
11001
()(j )()()2x t X f f f f f δδ?=-++
由傅立叶变换的卷积性质、δ函数与其他函数的卷积特性可得
R 1R 1()()(j )(j )w t x t W f X f ???
所以
[]R 100000000(j )(j )(j )
1
2sin (2)()()2
sin 2()sin 2()X f W f X f T C fT f f f f T C f f T C f f δδ=?=π?
-++=π-+π+ )(1t x 、)(t w R 和)(t x 的频谱示意图如图2.8(d)~(f)所示。
又由傅立叶变换的时间改变特性可知，当0T 增加时，其频谱将变窄，即频带宽度以0f f -为中心变窄，而幅值)(f X 将增高；若0T 减小时，则与上述情况相反。
(a) 余弦信号 (b) 窗函数 (c) 被截取后的余弦信号
(d) 余弦信号的幅频图 (e) 窗函数的幅频图 (f) 被截取的余弦信号的幅频图
图2.8 余弦函数被窗函数截取的信号及其频谱
解法2：在
),-00T T （范围内，)(t x 满足狄利克雷条件，则有 0
0j2j20j2j2j2(j )()e d cos e d 1(e e )e d 2ω∞
-π-π-∞
--ππ-π-===
+???T ft ft T T f t f t ft
T X f x t t t
t 0
j2()j2()11e d e d 22π-π+----=+??T T
f f t f f t T T t t
00
j2()j2()00000000
0000
0000001e 1e 2j2()2j2()sin 2()sin 2()2()2()sin 2()sin 2()-π+-π---=+
π+-π-π+π-=
+
π+π-=π++π-T T
f f t f f t T T
f f t f f t T f f T T f f T f f T f f T T C f f T T C f f T
解析：截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数，即R 0()()cos x t w t t ω=?，因为
R ()w t 和0cos ωt 为特殊函数，其傅立叶变换R ()W f 和1()X f 都为已知，所以由傅立叶变换的卷积性质和δ函数与其他函数的卷积性质，就可方便地求出()X f 。第二种解法虽然可直接求得结果，但积分比较复杂，而第一种方法解题过程简单，既避免了繁杂的纯数学运算，又可加深对信号定义、傅立叶变换性质以及典型信号频谱的理解与掌握，通过灵活地运用各基本概念，使解题时思路开阔。
【例 2.5】信号)(t x 的傅立叶变换为)(jf X ，其图形如图 2.9(a)~(b)所示。试求函数
)2cos 1)(()(0t f t x t f π+=的傅立叶变换)(jf F ，并画出其图形。
(a) 时域信号x (t ) (b) x (t )的幅频图
(c) f (t )的幅频图
图2.9 信号x (t )及其频谱
解：该题为求两个信号相乘后的频谱及其图形，根据余弦函数的频谱函数和傅立叶变换的卷积性质可方便地求出结果。
由于[])()(2
1
2cos 000f f f f t f -++?
δδπ 则[])()(2
1
)()()2cos 1)((000f f f f f X f X t f t x -++*+?+δδπ
而)()()(00t t x t t t x ±=±*δ
所以00(j )()()/2()/2F f X f X f f X f f =+++- )(jf F 的图形如图2.9(c)所示。
解析：由上述计算过程可知，为了使解题过程简单明了，熟悉和灵活应用基本概念、性质及典型函数的傅立叶变换结果是非常重要的。
【例 2.6】求符号函数?
??-=11
)sgn(t 00<>t t 如图 2.10(a)所示和单位阶跃函数
?
??<>=0001
)(t t t u 如图2.11(a)所示的频谱。
解法1：(1)因为符号函数不满足绝对可积条件，但却存在傅立叶变换，为广义傅立叶变换，可以把符号函数看作为双边指数衰减函数如式所示：
?????-=-at at
e e t x )( 0,00,0≥><>t a t a 0
→a （2-19）
其傅立叶变换为：?
∞
∞
--=
dt e t x X t j ωω)()(
?????
??+?-=??∞-∞
---→000lim dt e e dt e e t j at t j at a ωω
??
????++
--→=→ωωj a j a a a 11lim 0
?
??=02ωj 00
=≠ωω 其幅值谱为：ωω2)(=X ，相位谱为：???????-=2
2
)(ππω? 00<>ωω
图2.10(b)所示为符号函数的幅值谱和相位谱图
(a) (b)
图2.10符号函数及其频谱
(2)阶跃函数)(t u 可表示为：)]sgn(1[21
)(t t u +=
由于)(2)1(ωπδ=F ，ωj t F 2
)][sgn(=，所以阶跃函数)(t u 的频谱为：
ω
ωπδωωπδj j t u F 1
)(]2)(2[21)]([+=+=
阶跃函数)(t u 的频谱图如图2.11(b)所示，相频特性当0>ω，2
)(π
ω?-
=，当
0<ω，
2
)(π
ω?=
。
图2.11阶跃信号的频谱
解法2：由于符号函数的导数为
)(2)
(t dt
t dx δ=，根据式傅立叶变换的微分性质有：)(])([
ωωX j dt t dx F =，而2)](2[)
([==t F dt
t dx F δ，所以2)(=ωωX j ，从而可得符号函数的傅立叶变换为：ωωj X 2
)(=
由于单位阶跃信号不满足绝对可积条件，不能直接由定义式给出其频谱，可把它看成当0→α时的指数信号t α-e 在时域上的极限，其频谱为at -e 的频谱在0→α时的极限。
单边指数信号在时域上可表示为??
?><≥=-)
0(0
,
00,
e )(ααt t t x t
如图2.12（a ）所示其傅立叶变换为
ω
αωωαωαωj 1
d e d e e d e )()(0
)j (0
j j +=
==
=
?
?
?
+∞
+-+∞
--+∞
∞
--t t t t x X t t t t
其幅度谱、相位谱分别为2
21
)(ωαω+=
X ，)(arctg )(α
ωωφ-=
频谱图如图2.12（b ）、（c ）所示。把单边指数信号的频谱分解为实频与虚频两部分，有
)(j )(j j 12
222ωωω
αω
ωααωαωB A X +=+-+=+=
）（ 设当0→α时，实频)(ωA 和虚频)(ωB 的极限分别为)(ωεA 和)(ωεB 为，有
????
?=∞→=≠==→→0)(lim )(00
)(lim )(00
ωωωωωωεαε
εαεA A A A 而πarctg lim )
(1)(d lim d )(lim
0200==+=∞+∞
-→∞+∞-∞+∞-→→?
?αωα
ωαω
ωωαααA ，可以看出，)(ωεA 为一种脉冲函数，且)(π)(ωδωε=A ，并有??
??
?
===≠-==→→0
)(lim )(01)(lim )(00ωωωωωωωαεαεB B B B
因此阶跃信号的频谱为ω
ωδωωωεεj 1
)(π)(j )()(+
=+=B A X
解析：符号函数可以看作用来切换极性的开关函数，它是由不同极性的阶跃信号（单边直流信号）组成，由于存在极性的跳变，因而不仅具有丰富的低频分量，还有高频分量。单位阶跃信号的幅频特性在0=ω有个冲激，说明主要成分为直流，另外由于0=t 有突跳，所以在0≠ω还存在其它频率成分，不过随着频率的增加而较快的衰减。 【例2.7】一时间函数)(t f 及其频谱函数图如图2.13所示，已知函数t t f t x 0cos )()(ω=，设m ωω>0 [m ω为)(t f 中最高频率分量的角频率]，试画出)(t x 和)(ωj X 的示意图形，当m ωω>0时，)(ωj X 的图形会出现什么样的情况？
x (t )
图2.12单边指数信号及其频谱
(a) (b) (c)
(a)
()f t 的时域波形 (b) ()f t 的频谱
图2.13
)(t f 的时域波形及其频谱
解：()x t 的图形如图2.14(a)所示，t t x 01cos )(ω=为余弦信号，其频谱如图2.14(b)
所示，根据脉冲信号和傅立叶卷积特性，t t f t x 0cos )()(ω=的频谱如图2.14(c)所示，当m ωω<0时，两边图形在中间位置发生混叠，导致失真，如图2.14(d)所示。
(a) ()x t 的时域波形 (b) 10()cos ω=x t t 的频谱
(c) ()x t 的频谱 (d) 0m ωω<时的()x t 的频谱
图2.14
)(t x 及其频谱
【例2.8】求正弦信号t x t x ωsin )(0=（00>x ）的绝对均值x μ和均方根值rms x 。
解：??=
=20
000sin 2sin 1T T
tdt T x dt t x T x ωωμ 00200cos 2)(sin 2T T t Tw x wt td Tw x ωω-==? ＝
π
π002)11(22x
x =--- ???=-===T T T rms x dt t T x tdt T x dt t x T x 02
02002
2020022)cos 2121(sin )sin (1ωωω
02
2
x x rms =
【例2.9】求余弦信号)cos()(0?ω+=t x t x 的均值x μ、均方值2
x ψ和概率密度函概数)(x P 。
解：对周期信号，只取一个周期分析，该信号周期为ωπ2=T ，均值0=x μ
均方值dt t T
x dt t x T T
T x
)]2cos(21
21[)(cos 102
02
0202φωφω?++=
+=??＝220x
概率密度函数)(x p 为
00[()]1
()lim
lim lim x
x x T T P x x t x x p x x x T ?→?→→∞<+?==??≤
余弦信号)cos()(0?ω+=t x t x 为周期信号，其概率密度函数等于一个周期内该信号
概率密度函数,当0→?x 时，dx x =?，而dt t x dx )sin(0?ωω+-=，所以
2
2
020
2
0200212)
(cos 12)sin(22x x dx
x
x x dx
t x dx
t x dx dt T x -=
-=
+-=
+==ωω?ωω?ωω
从而可得2
2
2
201221)(x
x x
x dx dx x p -=
-?=ω
πω
【例2.10】已知周期方波的傅立叶级数如式（2-20）所示，求该方波的均值、频率组成及各频率的幅值，并画出频谱图。
)10cos 516cos 312(cos )(0000
4???++-=
t f t f t f t x A ππππ
（2-20）
解：由所给傅立叶级数知：00=a ，所示均值0=x μ
)(t x 由,7,5,3,0000f f f f ……等频率的余弦信号组成，对应于0nf 频率的幅值是
n
A 1
40
?
π
，按所给级数形式，可画出单边频谱图如图2.15所示：
幅频谱图 相频谱图
图2.15周期方波的频谱
2．3 习题
1．判断题
2-1两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号； 2-2所有随机信号都是非周期信号； 2-3所有周期信号都是功率信号； 2-4所有非周期信号都是能量信号；
2-5模拟信号的幅值一定是连续的；
2-6离散信号就是数字信号。
2-7凡频谱是离散的信号必然是周期信号。
2-8满足狄氏条件的周期信号可以用傅氏级数展成余弦信号和的形式。
2-9任何周期信号都由频率不同，但成整倍数的离散的谐波叠加而成。
2-10周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。
2-11周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲。
2-12非周期信号是周期为无穷大的周期信号。
2-13非周期变化的信号就是随机信号。
2-14单边频谱和双边频谱是信号等价的描述方法。
2-15脉冲信号的频谱等于常数。
2-16非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。
2-17非周期信号不是确定性信号。
2-18周期信号各次谐波的频率只能是基波频率的整数倍。
2-19周期信号的谐波分量是依一定规律集中在一些离散的频率上，非周期信号则是依一定密度分布在０到无穷的连续频带内。
2-20各态历经随机过程是平稳随机过程。
2．选择题
2-21描述周期信号的数学工具是。
A.相关函数；
B.傅氏级数；
C.拉氏级数；
D.傅氏变换
2-22如果一个信号的频谱是离散的，则该信号频率成分是。
A.有限的；
B.无限的；
C. 可能是有限的，也可能是无限的
2-23描述非周期信号的数学工具是。
A.三角函数；
B.拉氏变换；
C.傅氏变换；
D.傅氏级数
2-24连续非周期信号的频谱是。
A. 离散、周期的；
B. 离散、非周期的；
C.连续、非周期的；
D. 连续、周期的
2-25时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分。
A.不变；
B.增加；
C.减少；
D.变化不定
2-26时域信号持续时间延长，则频域中高频成分。
A.不变；
B.增加；
C.减少；
D.变化不定
2-27任意函数和δ函数的卷积，就是。
A．将该函数在自己的横轴上分散到δ函数所对应的位置；B．将该函数在自己的横轴上平移到δ函数所对应的位置；C．将δ函数平移到该函数所对应的位置；D．将δ函数分散到该函数所对应的位置
2-28将时域信号进行时移，则频域信号将会。
A.扩展；
B.压缩；
C.不变；
D. 仅有相移
2-29不能用确定的函数关系描述的信号是。
A.复杂周期信号；
B.瞬态信号；
C.随机信号；
D.离散信号
2-30平稳随机过程必须是。
A.连续的；
B.各态经历的；
C.集合平均统计特征与时间无关；
D.时间平均统计特征等于集合平均统计特征
2-31概率密度函数是在域、相关函数是在域上来描述的随机信号。
A.时间；
B.空间；
C.幅值；
D.频率
现代测试技术习题解答--第二章--信号的描述与分析---副本
第二章 信号的描述与分析 补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2 x ψ和概率密度函数 p (x )。 解答： (1)0 00 11lim ()d sin()d 0T T x T μx t t x ωt φt T T →∞== +=? ? ，式中02π T ω = —正弦信号周期 (2) 2 222 2 2 0000 1 1 1cos 2() lim ()d sin ()d d 22 T T T x T x x ωt φψx t t x ωt φt t T T T →∞-+== += = ? ? ? (3)在一个周期内 012ΔΔ2Δx T t t t =+= 000 2Δ[()Δ]lim x x T T T t P x x t x x T T T →∞<≤+=== Δ0Δ000 [()Δ]2Δ2d ()lim lim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+==== 正弦信号 x
2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。 2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。
2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。
2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。 补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n|–ω和φn–ω
图，并与表1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00 (0)2 () (0) 2 T A t x t T A t ? --≤
测试技术试题 信号及其描述
第一章 信号及其描述 一、知识要点及要求 (1)了解信号的分类，掌握信号的时频域描述； (2)掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； (3)掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质； (4)掌握随机信号的特点，了解随机信号的时域统计描述（与周期信号的强度描述相对照），概率密度函数描述，相关函数和功率谱。 二、重点内容及难点 (一)信号的分类 (二)信号的时域—频域描述 信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。 (三)周期信号与离散频谱 周期信号频谱的三个特点： (1)离散性：即周期信号的频谱是离散的。 (2)谐波性：即每条谱线只出现在基频的整数倍上。 (3)收敛性：即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。 (四)非周期信号与连续频谱 非周期信号： (1)准周期信号：但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。如 )2s i n ( )s i n ()(00t t t x ωω+=，频谱是离散的。 (2)瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。 频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。 (五)随机信号的描述 1、随机信号（又称随机过程），不能用确定的数学关系式来描述，只能用概率统计的方法来描述。 平稳随机过程，其统计特征参数不随时间而变化，是一个常值；否则，非平稳随机过程。 各态历经的随机过程，即在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征；否则，非各态历经的随机过程。 各态历经的随机过程必然是平稳随机过程，而平稳随机过程不一定是各态历经的随机过程。 工程上所遇到的很多随机信号都具有各态历经性，即可以用时间平均来代替集合平均。 2、时域统计特征参数 (1)均值?∞→=T T x dt t x T )(1 lim μ，表示信号的常值分量。 (2)均方值（平均功率）?∞→=T T x dt t x T 0 22 )(1 lim ψ，表示信号的强度。
第2章习题 测试信号的描述与分析
第2章习题 测试信号的描述与分析 一、 选择题 1.描述周期信号的数学工具是（ ）。 A.相关函数 B.傅氏级数 C. 傅氏变换 D.拉氏变换 2. 傅氏级数中的各项系数是表示各谐波分量的（ ）。 A.相位 B.周期 C.振幅 D.频率 3.复杂的信号的周期频谱是（ ）。 A ．离散的 B.连续的 C.δ函数 D.sinc 函数 4.如果一个信号的频谱是离散的。则该信号的频率成分是（ ）。 A.有限的 B.无限的 C.可能是有限的，也可能是无限的 5.下列函数表达式中，（ ）是周期信号。 A. 5cos10()0x t ππ ≥?= ? ≤?当t 0 当t 0 B.()5sin 2010cos10)x t t t t ππ=+ (-∞<<+∞ C .()20cos 20()at x t e t t π-= -∞<<+∞ 6.多种信号之和的频谱是（ ）。 A. 离散的 B.连续的 C.随机性的 D.周期性的 ７.描述非周期信号的数学工具是（ ）。 A.三角函数 B.拉氏变换 C.傅氏变换 D.傅氏级数 ８.下列信号中，（ ）信号的频谱是连续的。 A.12()sin()sin(3)x t A t B t ω?ω?=+++ B.()5sin 303sin x t t =+ C. 0()sin at x t e t ω-=? ９.连续非周期信号的频谱是（ ）。 A.离散、周期的 B.离散、非周期的 C.连续非周期的 D.连续周期的 10.时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分（ ）。 A.不变 B.增加 C.减少 D.变化不定
11.将时域信号进行时移，则频域信号将会（ ）。 A.扩展 B.压缩 C.不变 D.仅有移相 12.已知 ()12sin ,()x t t t ωδ=为单位脉冲函数，则积分 ()()2x t t dt π δω ∞ -∞ ?- ? 的函数值为（ ）。 A ．6 B.0 C.12 D.任意值 13.如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（ ），则也可以满足分析要求。 A.放快 B.放慢 C.反复多放几次 14.如果1)(??t δ，根据傅氏变换的（ ）性质，则有0)(0t j e t t ωδ-?-。 A.时移 B.频移 C.相似 D.对称 15.瞬变信号x （t ），其频谱X （f ），则∣X （f ）∣2表示（ ）。 A. 信号的一个频率分量的能量 B.信号沿频率轴的能量分布密度 C.信号的瞬变功率 16.不能用确定函数关系描述的信号是（ ）。 A.复杂的周期信号 B.瞬变信号 C.随机信号 17.两个函数12()()x t x t 和，把运算式12()()x t x t d ττ∞ -∞ ?-? 称为这两个函 数的（ ）。 A.自相关函数 B.互相关函数 C.卷积 18.时域信号的时间尺度压缩时，其频谱的变化为（ ）。 A.频带变窄、幅值增高 B.频带变宽、幅值压低 C.频带变窄、幅值压低 D.频带变宽、幅值增高 19.信号()1t x t e τ -=- ，则该信号是( ). A.周期信号 B.随机信号 C. 瞬变信号 20.数字信号的特性是（ ）。 A.时间上离散、幅值上连续 B.时间、幅值上均离散 C.时间、幅值上都连续 D.时间上连续、幅值上量化
第2章 信号分类及频谱分析
第2章 信号分类及频谱分析 一、知识要点及要求 1） 了解信号的分类，掌握信号的时频域描述； 2） 掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； 3） 掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质； 4） 了解信号处理的目的和分类，及数字信号处理的基本步骤； 5） 掌握模拟信号数字化出现的问题、原因和措施； 二、重点内容及难点 1.教学重点： 信号的分类；信号的时域、频域描述；采样定理； 2.教学难点： 信号的时域/频域转换；数字信号处理的步骤；采样定理；混叠；泄露；窗函数； 三、教学内容 （一） 信号的分类 1. 按信号随时间的变化规律分类 确定性信号与非确定性信号 2．按信号幅值随时间变化的连续性分类 根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续信号和离散信号。 3．按信号的能量特征分类 根据信号用能量或功率表示，可把信号分为能量信号和功率信号。 当信号()x t 在(-∞，∞)内满足 2()d x t t ∞ -∞ <∞ ? (2-6) 时，则该信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。例如，图 2.6 所示的信 号都是能量信号。 若信号()x t 在(-∞，∞)内满足 2()d x t t ∞ -∞ →∞ ? (2-7) 而在有限区间12(,)t t 内的平均功率是有限的，即 2 1 2211 ()d t t x t t t t <∞-? (2-8) 则信号为功率信号。例如，图2.2中的正弦信号就是功率信号。 综上所述，从不同角度对信号进行分类，常用分类法归纳如下： (1) 按信号随时间的变化规律分类。 ????? ???? ?? ????????? ? ??????? ??????谐波信号周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号 (2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。
测试习题集 第一章 信号及其描述
第一章信号及其描述 1 试判断下述结论的正误。 （ 1 ）凡频谱是离散的信号必然是周期信号。 （ 2 ）任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。（ 3 ）周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。 （ 4 ）周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。 （ 5 ）非周期性变化的信号就是随机信号。 （ 6 ）非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。（ 7 ）信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。 （ 8 ）各态历经随机过程是平稳随机过程。 （ 9 ）平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计持征。（ 10 ）两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号。 （ 11 ）所有随机信号都是非周期信号。 （ 12 ）所有周期信号都是功率信号。 （ 13 ）所有非周期信号都是能量信号。 （ 14 ）模拟信号的幅值一定是连续的。 （ 15 ）离散信号即就是数字信号。 2 对下述问题，选择正确答案填空。 （ 1 ）描述周期信号的数学工具是( ) 。 A. 相关函数 B. 傅氏级数 C. 拉氏变换 D. 傅氏变换 （ 2 ）描述非周期信号的数学工具是( ) 。 A. 三角函数 B. 拉氏变换 C. 傅氏变换 D. 傅氏级数
（ 3 ）时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分( ) 。 A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 变化不定 （ 4 ）将时域信号进行时移，则频域信号将会( ) 。 A. 扩展 B. 压缩 C. 不变 D. 仅有相移 （ 5 ）概率密度函数在( )域、相关函数是在( )域、功率谱密度函数是在( )域上来描述的随机信号 A. 时间 B. 空间 C. 幅值 D. 频率 3 指出题图 3 所示的信号时域波形时刻与时刻频谱（幅值谱）有无变化，并说明原因。 题 3 图题 6 图 4 判断下列序列是否是周期函数。如果是，确定其周期。 （ 1 ）；（ 2 ）。 5 有一组合信号，系由频率分别为 724Hz 、 44Hz 、 5005410Hz 及 600Hz 的相同正弦波叠加而成。求该信号的周期 T 。 6 求题 6 图所示，非对称周期方波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。 7 求题 7 图所示三角波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。
信号与系统课后习题答案—第1章
第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。 1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。 解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则 y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)| 即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： )()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()() (2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=? 解：（a ）① 线性 1）可加性 由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则 ???+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+??? 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。
V52信号描述
Signal Description, V52-850 kW History of this Document Changes in this document: Rev.no.: Date: Description of change Updated 1 2002-02-14 2 2004-06-02 AGO option on S750 & S751 added Related Documentation Item no. T itle
Contents...........................................................................................................................Page 1.Gr.1 - Grid (3) 2.Gr.2 - Yawing (3) 3.Gr.3 - Hydraulic (4) 4.Gr.4 - Ambient (5) 5.Gr.5 - Rotation mech (6) 6.Gr.6 - Generator/VCS (7) 7.Gr.8 - Pitch (10) 8.Gr.9a - Emergency and various (10) 9.Gr.9b - User defined (10)
Grid - 1. Gr.1 Input Assembly Module no Terminal LED Wire Name Function A1 VCS: A3 CT 294 X12.3 3 Voltage, Grid, L1-N Low VAC A2 VCS: A3 CT 294 X12.5 5 Voltage, Grid, L2-N Low VAC A3 VCS: A3 CT 294 X12.7 7 Voltage, Grid, L3-N Low VAC A4 VCS: A3 CT 294 X13X.1 1 Current, Grid, I1 Low VAC A5 VCS: A3 CT 294 X13X.3 3 Current, Grid, I2 Low VAC A6 VCS: A3 CT 294 X13X.5 5 Current, Grid, I3 Low VAC S7 VCS: A3 CT 294 X14.8 * 8 Circuit breaker, Q7 High = connect. High = connect. S8 Gnd: A1 X1 CT 291 DI1 A7 7 Main circuit breaker, Q8 Main Circuit breaker, Q7 S9A Gnd: A1 X1 CT 291 DI3 A8 8 OVP, Grid, Ground High = OK S9B Top: A2 X5 CT 3133 DI16 B0 * 20 OVP, Grid, Top High = OK Output Assembly Module no Terminal LED Wire Name Function Q8 Gnd: A1 X1 CT 291 DO1 A3 3 Trip main circuit breaker, Q8 High = trip. - Yawing 2. Gr.2 Input Assembly Module no Terminal LED Wire Name Function High = connect. S100A Top: A2 X2 CT 3133 DI1 A3 * 3 Feedback yawing CW, M100A/B F100A Top: A2 X2 CT 3133 DI7 A6 * 6 Thermal relay, yawmotor High = OK M100A High = OK F101A Top: A2 X2 CT 3133 DI8 B6 * 16 Thermal relay, yawmotor M100B High = connect. S101A Top: A2 X2 CT 3133 DI2 B3 * 13 Feedback yawing CCW, M100A/B S102 Top: A2 X2 CT 3133 DI3 A4 * 4 Twist sensor, CW High = twisted S103 Top: A2 X2 CT 3133 DI4 B4 * 14 Twist sensor, CCW High = twisted S104 Top: A2 X2 CT 3133 DI5 A5 * 5 Twist stop Low = tw.stop S105 Top: A2 X2 CT 3133 DI6 B5 * 15 Yaw pulse High = Pulse Output Assembly Module no Terminal LED Wire Name Function K100 Top: A2 Y1 CT 3153 DO1 A3 * 3 Contactor, yawmotors CW High = connect. K101 Top: A2 Y1 CT 3153 DO2 B3 * 13 Contactor, yawmotors CCW High = connect.
信号与系统第一章答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为
信号及其描述考试
第一章 信号及其描述 （一）填空题 1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来 传输的。这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。 2、 信号的时域描述，以 时间(t) 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率（f ） 为独立变量。 3、 周期信号的频谱具有三个特点： 离散性 ， 谐波性 ， 收敛性 。 4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态非周期 信号。 5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值x μ，均方值2 x ψ，方差2 x σ 6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 偶 对称，虚频谱（相频谱）总是 奇 对称。 （二）判断对错题（用√或×表示） 1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。（ √ ） 2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。（√ ） 3、 非周期信号的频谱一定是连续的。（× ） 4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（× ） 5、 随机信号的频域描述为功率谱。（ √ ） （三）简答和计算题 1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。 2、 求正弦信号)sin()(0?ω+=t x t x 的均值x μ，均方值2 x ψ，和概率密度函数p(x)。 3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。 000 22000 00 224211()d sin d sin d cos T T T T x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T T ωT ωπ ====-== ? ?? rms x ====0 2πT ω = 012ΔΔ2Δx T t t t =+=000 2Δ[()Δ]lim x x T T T t P x x t x x T T T →∞<≤+===
第二章信号及其描述
第二章 信号及其描述 第一节 信号分类与描述 一、信号的概念 信号是信息的载体，是包含和传递信息的一种物理量，是客观事物存在状态或属性的反映，即包含着反映被测物理系统的状态或特性的某些有用的信息，它是我们认识客观事物的内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。例如，回转机械由于动不平衡而产生振动，那么振动信号中就包含了该回转机械动不平衡的信息，因此它就成为研究回转机械动不平衡的信息载体和依据。 二、信号的分类 （一）确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 按信号的运动规律和有无确定性可分为确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 两大类。 1．确定性信号 若信号随时间有规律变化，可用数学关系式或图表来确切地描述其相互关系，即可确定其任何时刻的量值，这种信号称之为确定性信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。 ①周期信号 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为 )()(0nT t x t x += （???=,3,2,1n ） （2-1） 式中 0T ——周期（s ）。 周期信号又可分为简谐信号和复合周期信号： ⊙简谐信号 即简单周期信号或正弦信号，只有一个谐波。例如，集中参数的单自由度振动系统(图2-1)作无阻尼自由振动时，其位移)(t x 就是一个简谐信号，它可用下式来确定质量块的瞬时位置，即 )cos( )(00?+?=t x t x m k （2-2） 式中 x 0——初始幅值； 0?——初始相位角； k ——弹簧刚度； m ——质量； 图2-1 单自由度振动系统
t ——时间。 ⊙复合周期 信号 由多个谐波构成的 周期性复合函数，用傅立叶展开后其相邻谐波的频 率比n n ωω/1+为整数倍。 ②非周期信号 常称为瞬变信号，能用确定的数学关系表达，但其值不具有周期重复特性的信号称为非周期信号。如指数信号、阶跃信号等都是非周期信号。非周期信号又可分为准周期信号和瞬变信号： ⊙准周期信号 由有限个周期信号合成的确定性信号，但周期分量之间没有公倍关系，即没有公共周期，因而无法按某一确定的时间间隔周而复始重复出现。这种信号往往出现于通信、振动等系统之中，其特点为各谐波的频率比为无理数。例如：t t x 003sin 2sin ωω+= 就是准周期信号。工程实际中，由不同独立振动激励的系统的输出信号，往往属于这一类。 ⊙瞬变信号 在一定时间区域内存在，或随时间t 增大而衰减至零。如机械脉冲信号、阶跃信号和指数衰减信号等(见图 2..5)。 图2-1所示的振动系统，若加阻尼装置后，其质点位移x (t )可用下式表示 )sin()(000?ω+=-t e x t x at (2-3) 其图形如图2.4所示，它是一种非周期信号，随时间的无限增加而衰减至零。常见的非周期信号如图2.5所示。
第2章信号及其描述
第2章信号及其描述 2．1 知识要点 2．1．1 信号的分类及描述 1．信号有哪些类型？ (1) 按信号随时间的变化规律分类。 ????????? ? ?????????? ? ?????????????谐波信号 周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号 (2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。 ()()() ()??????? ???? ?? 模拟信号信号的幅值与独立变量均连续连续信号一般连续信号独立变量连续信号一般离散信号独立变量离散离散信号数字信号信号的幅值和独立变量均离散 (3) 按信号的能量特征分类。 ()()?? ?能量有限信号 信号功率有限信号 2．什么是确定性信号与随机信号？各有哪几种类型？其含义是什么？ 能明确地用数学关系式描述随时间变化关系的信号称为确定性信号。无法用明确的数学关系式表达的信号称为非确定性信号，又称为随机信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。按一定时间间隔周而复始出现的信号称为周期信号，否则称为非周期信号。随机信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号两种。平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信号，否则为非平稳随机信号。在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经（遍历性）随机信号，它表明一个样本函数表现出各种状态都经历的特征，有充分的代表性，因此只要一个样本函数就可以描述整个随机过程。 3．什么是连续信号与离散信号？什么是模拟信号和数字信号？
在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连续点（第一类间断点）外，都可给出确定的函数值，即时间变量t 是连续的，此类信号称为连续信号。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号。在一定的时间间隔内，只在时间轴的某些离散点给出函数值，此类信号称为离散信号。离散信号又可分为两种：时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且幅值离散（量化）的信号称为数字信号。 4．什么是能量信号与功率信号？ 当信号)(t x 满足 ? +∞ ∞ -∞
第二章 信号分析
第二章 信号分析 2.1 信号定义及其分类 在通信、广播、电视或遥控遥测等系统中进行着信息的传递。信息通常用语言、文字、图像和数据形式来表示。为了便于传输和处理，往往讲信息变换为另一形式的变化着的物理量，如光、声、电等，这些形式通称为信号。因此信号的变化即表现为物理量的变化。作为信号的多种物理量中，电信号是最常见和应用广泛的物理量，因为电信号容易产生和控制，并且与非电量之间的转换也比较容易。电信号通常是随时间变化的电压和电流，某些情况下可以是电荷和磁链。 信号的分类一般是按照信号的波形特征来划分的。从信号描述上可以分为确定性信号和不确定性信号（规则性信号和不规则性信号）；从信号的幅值上分能量信号和功率信号；从分析域上可以分为时域和频域；确定性信号，可以用明确的数学公式描述的信号， 否则为非确定性信号。能量信号，瞬态信号，能量为有限值的信号。满足条件? ∞ ∞ ∞<-2)(dt t x ；功 率信号，时间持续无限值，研究平均功率更有意义。 规则信号是指按一定规则变化 的、可以用确定的数学函数式或波形进行描述的信号。规则信号根据其变化时有无重复性的特点分为周期性信号和非周期信号；按信号的存在时间是 否为连续的特点又可分为连续时间信号和离散时间信号。通常将输入电路的信号称为激励，而把经过电路传输和处理后的输出信号称为响应。 时域信号，在某一时间范围内有定义，其余为0；频域有限信号：在某一频率范围内有定义，其余频率为0 一、基本信号 1、指数信号（at Ee t f =)(） a 为实数
右图为单边指数衰减信号，与单边指数衰减信号相对应的为双边指数衰减信号，其表示式为t a Ee t f -=)(，波形为左右对称。 指数信号的一个重要特征是它对时间的微粉和积分仍然是指数形式 2、复指数信号（指数为复数，可以通过欧拉公式转化为正弦余弦函数） 其表达式为t j Ee t f )()(ωσ+=，可以借助欧拉公式将信号分解为： t jEe t Ee t f t t ωωσσsin cos )(+= σ>0时为增幅振荡，σ＝0时为等幅振荡；w 则表示正弦和余弦振荡的角频率。 复数指数在实际中生产出来，但它概况了多种情况，可以用它来描述上述的各种基本信号。Hia 可以利用复制数信号简化很多运算和分析。 正弦信号的拉普拉斯变换式为 2 2]s i n (ωω ω+= s A t A L 3、单位斜变信号 从某一时刻开始随时间正比增长的信号，且变化率为1。其表达 式为： ? ??≥<=)0() 0(0)(t t t t R 其拉普拉斯变换式 2/1)](1[s t t L =? 大型船闸匀速升降时，主拖动系统发出位置信号、数控机床加工斜面时的进给指令，均可看作斜坡作用。 4、单位阶跃信号（简称阶跃信号，电路中常用来测试系统响应的快慢） 其拉普拉斯变化式为 s t /1)](1[L = 其物理意义是，当u(t)作为电路的电源时，相当于该电路在 t ＝0时刻接入单位直流电源。还有指令的突然转换、负荷的突变均可视为单位阶跃作用。是评价系统动态性能时应用较多的一种典型作用。 阶跃信号可以表示任何矩形脉冲(门信号)。如右图可以表示为： x(t)=u(t-τ)-u(t-3τ)
第一章 信号及其描述自测题带答案石油大学机电检测
第一章信号及其描述自测题 1-2-1、描述周期信号的数学工具是______ B .傅氏级数 1-2-2、时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分_______ B .增加 1-2-3、模拟信号的特征是_________ B、独立变量和幅值都连续的信号 1-2-4、非电量电测法的优点有_________ A . 易检测 B . 易传输 C. 易处理 1-2-5、瞬态信号的频谱具有_______ C. 连续性 1-2-6、下列哪些是描述各态历经随机信号的主要特征参数_______ B .方差 D. 概率密度函数 1-2-7、相关函数和功率谱密度函数分别是从域上来描述随机信号 B、时间和频率 1-2-8 1-2-9、下列哪些说法是正确的_________。 A、连续信号的特征是变量的取值是连续的 D、模拟信号肯定是一个连续信号 1-2-10、关于信号的描述哪些是正确的_________。 A、信号是信息的表达形式，也是信息的载体 B、信号是一个个具体的物理量 D、信号是确定被测物属性的一种量值 1-2-11、一12位A/D转换器输入电压的范围为0~10V，其输出电平值（数字量）为2048，问对应的实际电压值为___________。 5 V
1-2-12、下列哪些是描述各态历经随机信号的主要特征参数_______ B .方差 D. 概率密度函数 1-2-13、对于余弦信号，按采样定理，采样时间间隔应____________，才能保证信号不失真。 C、小于10ms 1-2-14、下列哪些是傅里叶变换具有的持性 A 比例性 B 时移特性 C 时间尺度改变性 1-2-15、一个完整的A/D转换过程包括____________四个过程 B、采样、保持、量化、编码 1-2-16、对随机信号描述正确的是_________。 A、随机信号必须用概率和统计的办法来描述 B、其任何一次观察值的变动服从统计规律 D、其概率密度函数表示幅值落在指定区间内的概率 1-2-17、信号预处理主要是把信号变成适于数字处理的形式，主要包括_________。 A、电压幅值调理，以便于采样 B、必要的滤波，滤去高频噪声 C、隔离信号中的直流分量 1-2-19、瞬态信号x(t)的频谐为X（f),则x(kt)的频谱为 1-2-20 1-2-21
信号与系统第一章答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 1[ )
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ
现代测试技术习题解答第二章信号的描述与分析-副本
第二章 信号的描述与分析 补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2 x ψ和概率密度函数 p (x )。 解答： (1)0 00 11lim ()d sin()d 0T T x T μx t t x ωt φt T T →∞== +=? ? ，式中02π T ω = —正弦信号周期 (2) 2 222 2 2 0000 1 1 1cos 2() lim ()d sin ()d d 22 T T T x T x x ωt φψx t t x ωt φt t T T T →∞-+== += = ? ? ? (3)在一个周期内 012ΔΔ2Δx T t t t =+= 000 2Δ[()Δ]lim x x T T T t P x x t x x T T T →∞<≤+=== Δ0Δ000 [()Δ]2Δ2d ()lim lim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+==== 正弦信号 x
2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。 2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。
2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。
2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。 补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n|–ω和φn–ω
图，并与表1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00 (0)2 () (0) 2 T A t x t T A t ? --≤