人教版小学数学五年级下册《因数和倍数》教材分析

《因数和倍数》教材分析

一．教学内容：本单元的内容是数与代数板块中数的认识，本单元的主要学习内容包括：因数与倍数，2、5和3的倍数的特征，质数与合数。

二．这些内容分为三节，各节的内容编排体系如下表：

三．教学目标：

1.理解因数与倍数的概念，能举例说明。

2.通过自主探索，掌握2、5和3的倍数的特征，能正确判断2、5和3的倍数，促进数感的发展。

3.了解质数（素数）与合数，在1～100的自然数中，能找出质数和合数，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数。

4.知道有关概念之间的联系和区别，在建立概念、运用概念的过程中，逐步发展数学的抽象能力和推理能力。

5.了解奇数和偶数，能正确判断奇数和偶数，通过探索奇数和偶数相加结果是奇数还是偶数（奇偶性），丰富解决问题的策略。

本单元的教学重点是：因数和倍数的概念；2、5、3的倍数的特征；质数和合数的概念。教学难点是概念之间的联系和区别，在建立概念、运用概念的过程中，逐步发展数学的抽象能力与推理能力。

四．《因数与倍数》课标解读

（一）课标要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“知道2，3，5的倍数的特征”“在1—100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数”“了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数”。

（二）课标解读

结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的学段目标和课标内容，教师在本单元教学中要着重做好以下几方面的工作：

1.注重概念的建立，关注由具体到抽象、由特殊到一般的概括、归纳过程

本单元中概念的建立，多需要经历由具体到一般的抽象概括过程。只有将概念融入到具体的例子中，学生才能较为容易的理解和掌握。例如，因数与倍数的概念的建立，首先是观察9个除法算式，找出它们的异同，然后在分类的基础上，抽象概括出其中一类具有“商是整数而没有余数”的共同属性。由整除的本质，过渡到因数和倍数的概念。再结合具体的实例，表明因数和倍数的相互依存性。又如，通过一些具体的例子，总结出任何一个数的因数的个数是有限的，而倍数的个数是无限的等规律性的认识。这些过程，对于学生逐步形成抽象概括与归纳推理能力，都是非常有益的。

2.加强对概念间相互关系的梳理，促进学生从本质上理解与记忆概念

由于这部分内容较为抽象，而且所涉及到的概念又多，有些概念如质数与合数，很难结合儿童生活的实例诠释其意义，因此学生理解起来有一定的难度。相应的教学对策之一，就是加强概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，避免死记硬背。

例如，因数和倍数是两个最基本的概念，理解了因数和倍数的含义，就容易理解一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，所以一个数的因数个数一定是有限的；一个数的最小倍数是它本身，乘1，乘2，乘3……可以无限进行下去，所以一个数的倍数个数必然是无限的，因此没有最大的倍数。

又如，偶数、奇数概念是由倍数概念引出的，质数、合数概念是由因数概念引出的，这些概念之间有着直接的关联。以是否是2的倍数为标准，可以将自然数分为偶数、奇数两类；以所含因数的个数为标准，可以将大于0的自然数分为1、质数、合数三类。这些认识，能够有效地帮助学生将所学概念串联起来，形成概念链，从而依靠理解来促进记忆。

3.给予学生独立思考、交流合作的机会，让学生经历探究、发现、总结的完整过程

在这一单元的内容中，2、5、3的倍数的特征，100以内的质数表，以及两数之和的奇偶性等，都是比较典型的适合小学生开展探究学习的课题。教学时，应该放手让学生尝试，让他们经历从举例考察到分析综合，从猜想到验证，最后归纳总结的过程，从中积累数学活动的经验。在观察、发现、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。同时学会独立思考，体会一些数学的基本思想。经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。

4.处理好概念教学的阶段性与连续性的关系

由于五年级学生还没有学习负整数，因此，本单元的整数与自然数同义。整数与自然数都包括0，根据因数和倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。特别地，因为0是2的倍数，2是0的因数，所以0是偶数。

但是，考虑到以后研究最大公因数和最大公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论。例如，讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义。再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。因此，为了避免不必要的麻烦，教材指出本单元所说的数指的是自然数（一般不包括0）。有了这一规定，教学时就不必处处强调“大于0”。在学习负数之前，学生说“整数”或“自然数”都可以的。五．与旧教材的联系与区别：

1.与实验教材相比，修订后的教材不再出现整除的概念，因数和倍数的概念由整数除法算式

引出，而不是乘法，这样便于学生感知因数与倍数的本质内涵，领悟这两个概念不是针对整数乘法，而是反映整数除法中余数为0的情况，为后面找一个数的因数和倍数做准备。

2.与实验教材相比，修订后的教材更加明确了因数与倍数的相互依存的关系。

3.与实验教材相比，在学习2、5、3的倍数的特征时，修订后的教材均采用了百数表，这样使学生的探究学习更加开放，有利于提高学生独立学习的能力和发展学生的创造性思维。

4.与实验教材相比，修订后的教材增加了两数之和的奇偶性的探讨，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。

六．已有的知识基础：

本单元的内容是在学生已经学了一定的整数知识（包括整数的认识，整数的四则运算及其应用）的基础上，进一步认识整数的性质。

七．建设与畅想：

1、因数和倍数的概念

例1：因数和倍数的概念

例1教材给出9个除法算式，让学生试着分类；接着出示以“商是整数且没有余数”为分类标准分成两类的一种结果。在此基础上由第一类中的整数除法，引出因数和倍数的概念，并举例说明。

从具体的整数除法等式到抽象的数学概念，再由抽象的概念回到具体，举例说明概念。这样的思维转换过程有利于学生认知概念，切实掌握概念。通过让学生说一说第一类中每个算式，谁是谁的因数，谁是谁的倍数，进一步体会“因数和倍数是互相依存的”。

在例1的最后，教材指出了本单元中的数的研究范围是大于0的自然数。

例2：一个数的因数的求法

例2直接提出问题：“18的因数有哪几个？”引导学生利用因数的概念从小到大依次写出，然后再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集图表示两个数的公因数打下基础，并使学生初步体会一个数的因数个数是有限的。

例3：一个数的倍数的求法

例3教材直接提出问题：“2的倍数有哪些？”因为被除数相当于积，所以求2的倍数可将2和任意非零自然数相乘得到。学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。接着也用集合图表示出2的倍数，为后面学习交集图表示两个数的公倍数奠定基础。

最后引导学生抽象概括出一个数的最小、最大因数和最小倍数分别是什么，总结出一个数的因数、倍数的个数的结论，在其中渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳思想方法。突破建议：

1．引导学生从本质上理解概念，同时结合具体的例子降低难度，避免死记硬背。因数和倍数是最基本的两个概念，只有真正理解了它们的含义，后面的概念理解才会水到渠成。教材从整除的本质出发，给出了9个除法算式，放手让学生根据自己的理解将除法算式进行分类。学生可能会出现分成三类的现象，即将类似于8÷3=2……2和9÷5=1.8各分为一类。此处，教师应该让学生讨论，为什么商是小数没有余数、商是整数有余数这两种情况应归为一类？让学生理解，其实例如9÷5=1.8这样商是小数没有余数的除法算式，可以写成这样的9÷5=1……4商是整数有余数的除法算式。因此，应该将它们归为一类。然后顺利过渡到因数和倍数。

2．引导学生明确因数和倍数这一概念的前提与概念间的相互依存性。教学时，应该使学生明确：（1）因数和倍数这一概念的前提是被除数、除数、商都是大于0的自然数。（2）因数与倍数概念间的相互依存性，因数、倍数都不能单独存在，在描述因数和倍数的时候必须说清楚谁是谁的因数，谁是谁的倍数。及时纠正“2是因数，12是倍数”这样的说法。至于辨

析“倍数”和以前所学习的“几倍”，可以放在学生对因数与倍数有了较为全面深刻的认识之后再来具体比较，这样不容易混淆，也有利于学生的巩固。

二、2、5、3倍数的特征

例1：2、5的倍数的特征

例1教材采用了百数表，让学生画圈、画框、观察、发现、总结。比如，将5的倍数圈起来，学生马上就能发现5的倍数都集中在两列上，特征也非常明显，一列个位都是5，另一列个位都是0，因此学生能顺利的归纳出5的倍数的特征。同样道理，将2的倍数框起来，也能够显而易见地发现其特征。

为了便于学生总结自己的发现，教材以学生对话的形式，给出5、2倍数的特征的不完整描述，让学生把特征填写完整。在总结了2的倍数的特征的基础上，教材引出了偶数、奇数的概念。完成了做一做，学生能够归纳出既是2的倍数也是5的倍数的数的特征。

例2：3的倍数的特征

例2教材仍采用百数表，让学生先圈数，再根据提示，观察、思考，回答问题，获得新的发现。3的倍数的特征比较隐蔽，且容易受2和5倍数特征的观察定式、思维定式的影响。为了尽量避免已学知识对新知识学习的负迁移，教材第（2）条指导语，提出两个问题，启发学生排除只看到个位的定式，然后通过第（3）条指导语，提示变换观察的角度。

两个女孩的对话，说出了探究过程中思维转换的关键内容。小精灵的提示，引导学生进一步验证规律。

突破建议：

1．让学生自主探究、合作交流，从而获得新知。教材提供了百数表，让学生通过圈数、观察、发现、总结，最后陈述2、5、3的倍数的特征。由于5、2的倍数的特征比较明显，学生很容易发现，所以放手让学生自主探究，效果应该比较好。再由2的倍数引出了奇数和偶数，其实这些数对学生来说并不陌生，只是在称呼上与以往所接触的有所不同。因此，为了使学生更好地掌握奇数和偶数的概念，这里的教学可以试着和生活中的奇数和偶数的应用结合起来。例如，打开数学课本，左边是偶数，右边是奇数等。

2．打破思维定式，改变观察角度，重新探索。受到2、5的倍数的特征的影响，学生会观察3的倍数的个位上是否存在特征，结果发现没有什么规律，从而产生了认知冲突。因此，教学时教师应该结合例2（2）的指导语中的两个问题，使学生明确，原来的经验失效了，必须改变观察的角度，重新探索。然后让学生独立观察圈起来的数的分布，试着斜着看。尽管发现各位上的数的和的特征确实比较困难，但教师还是得耐心地引导学生发现：十位上的数依次减少1，个位上的数依次增加1，但相加的和不变。从而继续观察发现其他斜行。

三、质数和合数的概念

教材首先让学生找出1—20各数的全部因数，然后按照每个数的因数的个数进行分类。在此基础上给出质数、合数的概念。同时指出1既不是质数，也不是合数。在小学阶段学生可以理解为1只有一个因数，质数有两个因数，合数有三个及多因数。

例1：找出100以内所有的质数

例1教材又采用了百数表，让学生找出100以内的所有质数。通过学生的对话，介绍了两种操作方法。其中依次划去每个质数本身之外的所有倍数的方法，叫做“筛法”，它是数论中有着广泛应用的一个初等方法。

由于小学用到的质数比较少，所以教材中只要求学生找出100以内的所有质数。这些质数不必要求学生都背熟，但是熟悉20以内的质数还是必要的。

例2：探索两数之和的奇偶性

例2是以探索两数之和的奇偶性为例，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。

教材根据奇数、偶数相加的三种情况，提出了三个问题。“阅读与理解”环节给出了三个问题的一种表征方式，即用算式表示。“分析与解答”环节提示了三种获取结论的方法，即举例、说理、图示。事实上，这三种方法结合使用，可以提高结论的可靠性，增强学生对结论的理解和确信感。“回顾与反思”环节给出了用大数试一试的检验方法，并提出问题，请学生思考其他的验证方法。也就是启发学生联系加减法的关系想到：如果“奇数+偶数=奇数”是对的，那么一定有“奇数—奇数=偶数”“奇数—偶数=奇数”。这样既验证和的奇偶性，又获得了差的奇偶性的结论。作为教师必须清楚，举例验证本质上只是不完全归纳，不是证明。

突破建议：

1．注重概念的形成过程。教学时，可以先复习因数的概念，再让学生找出1—20各数的所有因数，引导学生观察这些数的因数有什么不同，可以怎么分类。引导学生将注意点集中在因数的个数上，而且1和它本身也比较特殊，在分类的基础上，引出质数、合数的概念。说明只有1和它本身两个因数的数叫做质数，有两个以上因数的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数。为巩固概念，教师可以请个别学生出示几个数，让学生判断是质数还是合数，也可以由学生自己分别写出几个质数和几个合数，然后同桌交流，以此巩固对质数合数的概念的理解。

2．让学生自主选择方法，制作质数表。教学时，首先给学生一个明确的任务，找到100以内的所有质数。然后放手让学生自己去尝试，可以处理得开放些。通过独立思考，再小组讨论，明确有哪几种方法，再各自实践。也可以让学生先看书，理解课本介绍的两种方法，然后学生根据自己的喜好，再选用其中之一进行实践。学生一般都会先用“筛法”（也就是我们平常所说的“排除法”），画完后，还可以让学生体会一下画到几的倍数就可以了。