数学分析选讲作业

《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误

1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.

2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数.

3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续.

二、选择题

1．设2,1

()3,1

x x f x x x +≤?=?

->?, 则 [(0)]=f f ( )

A 1 ；

B 2 ；

C 3 ；

D 0

2．设函数1,()0,x f x x ?=??

为有理数

为无理数 ， 则

1)=f （ ）．

A 1- ；

B 1 ；

C 0 ； D

1

2

3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；

C 必定有无穷多个 ；

D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．

A 收敛；

B 发散；

C 是无穷大；

D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞

=，则 （ ）

A 数列}{n x 收敛；

B lim 2n n x →∞

=；

C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；

D lim 2n n x →∞

=-；

6．已知 2

lim(

)01

x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D 1,1-=-=b a

三、计算题

1．求极限 8020

100(31)(25)lim (51)

→+∞+--x x x x . 2

．求极限0

x →.

3．

求极限n →∞

++

.

4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x

x

x

x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题

设a a n n =∞

→lim ，b b n n =∞

→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.

数学分析选讲》第一次作业答案

一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（正确 ） 4．（ 正确 ） 5．（错误） 6. （正确 ）

7．（错误） 8．（ 正 确 ） 9．（错误）

二、 选择题

1、A

2、C

3、B

4、B

5、C

6、B

三、计算题

解 1、8020

8020

8020

100100

1001532(31)(25)32lim

lim (51)5

15→+∞→+∞

?

???+- ? ?+-?????==-??- ?

?

?x x x x x x x x

2

、x x →→=0sin 2lim 2x x x →==.

3、解：因

≤

++≤

1n n ==，

故

1n →∞

++

= .

4、 当0x <时，有221

()lim lim 11

x x x x

x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以

1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -

===??>?

.

显然0是f 的间断点，由于0

lim ()1,x f x +

→=0

lim ()1x f x -→=-，所以0是f 的第一类跳跃间断点. 四、证明题

证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2

lim b a a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有

2b a a n +<。 又因为2

lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取

},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b b

a a <+<2

. 单选题

（10.0 分）1. 设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的

A) A ：递增函数

B) B ：递减函数 C) C ：严格递增函数 D) D ：严格递减函数

（10.0 分）2. 设f,g 在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x))

A) A ：都是奇函数

B) B ：都是偶函数

C) C ：一是奇函数，一是偶函数 D) D ：都是非奇、非偶函数

（10.0 分）3. 设f 在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上

A) A ：无界 B) B ：有界

C) C ：有上界或有下界 D) D ：可能有界，也可能无界

（10.0 分）4. 设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn}

A) A ：收敛

B) B：发散

C) C：是无穷大

D) D：可能收敛也可能发散

（10.0 分）5. 设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限

A) A：都存在且相等

B) B：都存在，但不一定相等

C) C：至少有一个存在

D) D：都不存在

（10.0 分）6. 若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则f

A) A：在[a,b]上连续

B) B：在（a,b）上连续

C) C：在（a,b）上不连续

D) D：在（a,b）上可能连续，也可能不连续

（10.0 分）7. 定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数

A) A：在一定的条件下存在

B) B：不存在

C) C：存在且唯一

D) D：存在但不唯一

（10.0 分）8. 一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的

A) A：充分条件，但不是必要条件

B) B：必要条件，但不是充分条件

C) C：充分必要条件

D) D：既不是充分条件，也不是必要条件

（10.0 分）9. y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c))处存在切线的

A) A：充分条件

B) B：必要条件

C) C：充要条件

D) D：既不是充分条件，也不是必要条件

（10.0 分）10.函数f在c处存在左、右导数，则f在c点

A) A：可导

B) B：连续

C) C：不可导

D) D：不连续

判断题

（10.0 分）11.闭区间上的连续函数是一致连续的

正确

错误

（10.0 分）12.若函数在某点可导，则在该点连续

正确

错误

（10.0 分）13.两个收敛数列的和不一定收敛

正确

错误

（10.0 分）14.两个收敛数列的商不一定收敛

正确

错误

（10.0 分）15.两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量正确

错误

（10.0 分）16.两个无穷小量的商一定是无穷小量

正确

错误

（10.0 分）17.区间上的连续函数必有最大值

正确

错误

（10.0 分）18.最大值若存在必是上确界

正确

错误

（10.0 分）19.狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数

正确 错误

（10.0 分）20.若f,g 在区间I 上一致连续，则fg 在I 上也一致连续。

正确 错误

《数学分析选讲》 第二次作业 一、判断下列命题的正误

1. 若函数在某点无定义，则函数在该点的极限一定不存在.

2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一定有最大值．

3. 若)(x f 在(,)a b 上连续，则)(x f 在(,)a b 上一定有最小值．

4. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ=．

5. 初等函数在其定义区间上连续. 6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. 7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根.

二、选择题

1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞

→lim 的定义等价（ ）

A )1,0(∈?ε，0>?N ，N n ≥?，ε≤-||A a n ；

B 对无穷多个0>ε，0>?N ，N n >?，ε<-||A a n ；

C 0>?ε，0>?N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；

D 0>?ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内

2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当x X >时，M x f -<)(，则（ ） A lim ()x f x →+∞

=-∞； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞

→)(lim x f x

3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当>x X 时，()f x a ε-<，则（ ）. A lim ()→-∞

=x f x a ； B lim ()→+∞

=x f x a ； C lim ()x f x a →∞

=； D lim ()x f x →∞

=∞

4．极限=-→x

x x 10

)21(lim （ ）

A 2e ；

B 2e - ；

C 1

e - ； D 1 5．21sin(1)

lim

1

x x x →-=-（ ）

A 1 ；

B 2 ；

C 2

1

； D 0 6．设sin ()x

f x x

=

，则0=x 是f 的（ ）． A 连续点 ； B 可去间断点 ； C 跳跃间断点 ； D 第二类间断点

7．设 =)(x f 1

(13), 0 , 0

x x x k x ??

-≠??=? 在0=x 处连续， 则=k （ ）

A 1 ；

B 0 ；

C e ；

D 3`1

e

8．方程4

10x x --=至少有一个根的区间是（ ） A 1(0,

)2； B 1

(,1)2

； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题

1．求极限 n n

n 3

1

313121

2

121lim 22++++++∞→ 2．求极限 )

111)(110()110()13()12()1(lim 2

222--++++++++∞→x x x x x x x

3． 求极限 1lim(

)2

x

x x x →∞

+- 四、证明题

设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),()<>f a a f b b ，试证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得ξξ=)(f .

《数学分析选讲》第二次作业答案

一、判断题 1．（错误） 2．（正确 ） 3．（ 错误）4．（ 正确）5．（ 正确） 6. （ 正确）7. （ 正确）

二、选择题

1、A

2、A

3、B

4、B

5、C

6、B

7、D

8、D

三、计算题

解 1、23

11313

121121

12

1lim

3

33212

121lim 22=--?

-

-

?

=++++++∞→∞→n n n n n

n . 2、 2222

(1)(21)(31)(101)lim (101)(111)

x x x x x x x →∞++++++++--

2222

2221111

(1)(2)(3)(10)lim

11

(10)(11)12101011217.

1011610112

x x x x x x x

→∞++++++++=--+++??===???

3、1lim()2x x x x →∞+=-11lim 21x

x x x →∞??+ ?= ? ?-??(2)

21(1)lim 2[(1)]x x x x x

→∞--+- 3

2e e e

-=

=.

四、证明题

证 令x x f x F -=)()(,则)(x F 在[,]a b 上连续，且()0,()0)F a F b <>

由根的存在定理知，(,),a b ξ?∈使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .

判断题

（10.0 分）1. 闭区间上的可积函数是有界的

正确

错误

（10.0 分）2. 若函数在某点可导，则在该点的左右导数都存在

正确

错误

（10.0 分）3. 若函数在某点的左右导数都存在，则在该点可导

正确

错误

（10.0 分）4. 可导的偶函数,其导函数必是奇函数

正确

错误

（10.0 分）5. 可导的周期函数,其导函数必是周期函数

正确

错误

（10.0 分）6. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点

正确

错误

（10.0 分）7. 若函数f在区间I上单调,则f在I上的任一间断点必是第一类间断点正确

错误

（10.0 分）8. 不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。

正确

错误

（10.0 分）9. 可导的单调函数，其导函数仍是单调函数。

正确

错误

（10.0 分）10.若函数f在数集D上的导函数处处为零，则f在数集D上恒为常数。

正确

错误

（10.0 分）11.若f在实数集R上是偶函数，则x=0是f的极值点。

正确

错误

（10.0 分）12.若函数f的导函数在区间I上有界，则f在I上一致连续。

正确

错误

（10.0 分）13.若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。

正确

错误

（10.0 分）14.若f是[a,b]上的单调函数，则f在[a,b]上可积。

正确

错误

（10.0 分）15.若f、g在[a,b]上的可积，则fg在[a,b]上也可积正确

判断题

（10.0 分）1. 在级数的前面加上或去掉有限项不影响级数的收敛性正确

错误

（10.0 分）2. 设f在(a,b)内可导,且其导数单调,则其导数在(a,b)内连续正确

错误

（10.0 分）3. 任何有限集都有聚点

正确

错误

（10.0 分）4. 实数集R上的连续周期函数必有最大值和最小值正确

错误

（10.0 分）5. 有限区间上两个一致连续函数的积必一致连续正确

错误

（10.0 分）6. 收敛级数任意加括号后仍收敛

正确

错误

（10.0 分）7. 收敛级数一定绝对收敛

正确 错误

（10.0 分）8. 幂级数的收敛区间必然是闭区间

正确 错误

（10.0 分）9. 条件收敛级数一定含有无穷多个不同符号的项。

正确

错误

（10.0 分）10.不绝对收敛的级数一定条件收敛

正确 错误

（10.0 分）11.处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。

正确 错误

《数学分析选讲》 第三次作业 一、判断下列命题的正误

1. 若函数)(x f 在点0x 处的左、右导数都存在，则)(x f 在0x 处必连续.

2. 若)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处可微．

3. 若两个函数在区间I 上的导数处处相等,则这两个函数必相等.

4. 若)(x f 是可导的偶函数，则(0)0f '=. 5．若0(,)x a b ∈是)(x f 的导函数的间断点，则0x 是()f x '的第二类间断点. 6. 若00()0,()0f x f x '''=≠，则0x 一定是)(x f 的极值点.

二、选择题

1．设f 是奇函数，且0)

(lim

=→x

x f x ， 则 （ ） A )(x f y =在0=x 的切线平行于x 轴； B 0=x 是f 的极大值点；

C 0=x 是f 的极小值点；

D )(x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴

2．设 ()(1)()f x x x ?=-，其中)(x ?在1x =处连续但不可导，则(1)'=f （ ） A (1)?； B (1)'? ； C (1)'-? ； D 不存在 3．设f 可导，则 (sin )=d f x （ ）

A (sin )'f x dx ；

B (sin )cos 'f x x dx ；

C (sin )sin 'f x xdx ；

D (sin )cos '-f x xdx 4．设函数()f x 可导且下列极限均存在，则不成立的是（ ）

A 0()(0)

lim

(0)x f x f f x →-'= ； B 0000(2)()lim ()h f x h f x f x h

→+-'=；

C 0000()()lim

()2h f x h f x h f x h →+--'= ； D 0000()()

lim ()h f x f x h f x h

→--'= 5．设()ln f x x x =，且0()2f x '= ， 则0()f x =（ ）

A

e 2 ； B 2

e

； C e ； D 1 6. 已知()x f e y = ，则y ''=（ ） A ()()f x e f x ''； B ()

x f e

； C ()2{[()]()}f x e f x f x '''+ ； D ()[()()]f x e f x f x '''+

7．下列结论中正确的有（ ）

A 如果点0x 是函数()f x 的极值点，则有0()0f x '=；

B 如果0()0f x '=，则点0x 必是函数()f x 的极值点；

C 函数()f x 在区间(,)a b 内的极大值一定大于极小值；

D 如果点0x 是函数()f x 的极值点，且0()f x '存在， 则必有0()0f x '=

8．设)(x f 可导，则220()()

lim

x f x x f x x

?→+?-=? （ ） A 0 ； B ()f x '； C 2()f x '； D 2()()f x f x '?

三、计算题

1．已知ln(y x =

+，求dy .

2．设ln(y x =+

，求

dy

dx

． 3．设???<+≥=3

3

)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导．

4．求极限 )1

11(

lim 0

--→x x e x . 四、证明题

证明： 方程 c b a cx bx ax ++=++2342

3

在)1,0(内至少有一个实根。

《数学分析选讲》第三次作业答案

一、判断题 1．（正确） 2．（正确 ） 3．（ 错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确）6. （ 正确）

二、 选择题

1、A

2、A

3、B

4、B

5、C

6、C

7、D

8、D

三、计算题

解 1、因为1

122112222

2++++

-

+='x x x x

x x

y 1

11

11

2

2

2

+-=

+-

+=x x x x x .

所以

dy dx ==

.

2

、dy dx =

=3、要使f 在3=x 可导，f 在3=x 必连续，于是必左连续。

9)3(3)(lim )(lim 3

3==+=+=-

-

→→f b a b ax x f x x ，从而a b 39-=。 f 在3=x 的右导数为

633lim 3

)3()(lim )3(2

233=--=--='++→→+x x x f x f f x x 。

f 在3=x 的左导数为

a x a ax x

b ax x f x f f x x x =---+=--+=--='-

--→→→-3

9

39lim 33lim 3)3()(lim )3(3233， 只要6=a ，则f 在3=x 的左导数与右导数相等，从而可导。这时9-=b .

4、00001

111lim lim lim lim 1(1)12x x x x x x x x x x x x x e x e e x e x e e xe e xe →→→→---??-=== ?---++??

011

lim 22

x x →==+. 四、证明题

证 令 x c b a cx bx ax x f )()(234++-++=,则f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，由罗尔中值定理知，至少存在一点),1,0(∈ξ使得,0)(='ξf 即

c b a c b a ++=++ξξξ23423

故方程 c b a cx bx ax ++=++2342

3

在)1,0(内至少有一个实根。

《数学分析选讲》 第四次作业

一、判断下列命题的正误

1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. 2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2()f x 在[,]a b 上也可积.

3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数. 4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积. 5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使

()()()b a

f x dx f b a ξ=-?

.

二、选择题

1．对于不定积分?dx x f )( ,下列等式中（ ） 是正确的.

A

)()(x f dx x f dx

d

=?； B ?=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =?

； D ?=

)()(x f dx x f d

2．若

?+=c e x

dx x f x 22

)(，则=)(x f （ ）

A x

xe 22 ； B x

e x 22

2 ； C x

xe 2 ； D )1(22x xe x

+

3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则

?='dx x f )(（ ）

A c x +-sin 5 ；

B c x +cos 5 ；

C 5sin x ；

D x sin 5-

4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=?f x dx （ ）

A

1

(41)4

++f x c ； B ()f x c +； C (41)++f x c ； D 4(41)++f x c 5．若

?+=c x

dx x f 2

)(，则?=-dx x xf )1(2（ ）

A c x +-2

2)1(2 ； B c x +--2

2)1(2； C c x +--

22)1(21 ； D c x +-22)1(2

1

6．

=+?x dx

cos 1 （ ）

A tan sec x x c -+ ；

B csc cotx x -+；

C tan 2x c + ；

D tan()24

x π

-

7．=-?

)d(e x

x （

）

A c x x

+-e

； B c x x x +---e e ； C c x x +--e ； D c x x x ++--e e

8． 已知x e f x +='1)( ，则=)(x f （ ） A 1ln x c ++ ； B 212x x c +

+ ； C 21

ln ln 2

x x c ++ ； D ln x x c + 三、计算题

1．求不定积分(2)x x

e e dx -?.

2．求不定积分sin x xdx ?

．

3．求不定积分2

1

+?x dx x ．

4．求不定积分?

dx .

四、证明题

设f 为连续函数.证明:

(sin )(sin )2x f x dx f x dx ππ

π

=

?

?.

《数学分析选讲》第四次作业答案

一、判断题 1．（正确） 2．（正确 ） 3．（错误） 4．（ 正确 ） 5．（正确）

二、 选择题

1、A

2、D

3、B

4、A

5、C

6、C

7、D

8、D

三、计算题

解 1、2

(2)(2)(2)(2)2

x x

x

x

x

e e e dx e d e c --=--=

+?? . 2、sin cos x xdx xd x =-?? [cos cos ]x x xdx =--?

cos sin x x x c =-++ .

3、22111(1)111

-+==-+++-???x x dx dx x dx x x x 2

ln |1|2

=-+-+x x x C

4、令

=u ，则22()21)==-+=+??u u u dx e u du e u e C C

四、证明题

证 令t x -=π ，则

(sin )xf x dx π

?

?---=0

)][sin()(π

ππdt t f t

()(sin )t f t dt π

π=

-?

(sin )(sin )(sin )(sin )f t dt t f t dt f x dx xf x dx

π

π

ππ

ππ=-=-????

故

(sin )(sin )2xf x dx f x dx ππ

π

=

?

?. 《数学分析选讲》 第五次作业

一、判断下列命题的正误

1. 若)(x f 与()g x 在],[b a 上都可积，则()()f x g x 在],[b a 上也可积. 2．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在(,)a b ξ∈，使

()()()b a

f x dx f b a ξ=-?

．

3．若)(x f 在],[b a 上有无限多个间断点，则)(x f 在],[b a 上一定不可积. 4．广义积分2

11

dx x +∞

?

是收敛的. 5．广义积分

1

01

?dx x 是收敛的.

6．若

∑∞

=1

n n

u

收敛，则lim 0n n u →∞

=.

7．若lim 0n n u →∞

=，则

∑∞

=1

n n

u

收敛.

8．若

()a

f x dx +∞

?

收敛，则lim ()0x f x →+∞

=.

二、选择题

1．)(x f 在],[b a 上连续是

()b a

f x dx ?

存在的（ ）

A 充分条件；

B 必要条件；

C 充要条件 ；

D 既不充分也不必要条件 2．若10

()2x k dx +=?

，则k =（ ）

A

2

3

； B 1 ； C 1- ； D 0 3．设0

()(1)(3)x F x t t dt =

--?

,则=')2(F ( )

A 3- ；

B 1- ；

C 3 ；

D 1

4．设)(u f ''连续，已知 12

(2)()n xf x dx tf t dt ''''=?

?，则n 应是（ ）

A

4

1

； B 4 ； C 1 ； D 2 5．函数)(x f 是奇函数，且在],[a a -上可积，则（ ） A ??

=-a a

a

dx x f dx x f 0

)(2)( ； B ??-=-a

a a dx x f dx x f 0

)(2)(；

C 0)(=?

-a

a dx x f ； D )(2)(a f dx x f a

a

=?-

6．

2

x xe dx +∞-=?

( )

A 0 ；

B 1 ； C

12 ； D 12

- 7．若级数

1

1

1

p n n

∞

-=∑收敛，则必有（ ）.

A 2p ≤ ；

B 2p ≥ ；

C 2p < ；

D 2p >

8．幂级数12

n

n

n x n ∞

=?∑的收敛半径是 ( ) A 4 ； B

21 ； C 1

4

； D 2 三、计算题

1．求定积分

?

.

2．求定积分 1

01

x x dx e e -+?.

3．求定积分

?

10

dx e

x

4．求定积分

3612

1

sin 1

1--+?

x x dx x

四、证明题

设f 在],[b a 上连续，?

-=

x a

dt t x t f x F ))(()(． 证明 )()(x f x F =''，],[b a x ∈．

数学分析选讲》第五次作业答案

一、判断题 1．（正确） 2．（正确 ） 3．（错误） 4．（正确 ）5．（错误） 6．（正确） 7．（错误） 8．（错误）

二、 选择题

1、A

2、A

3、B

4、B

5、C

6、C

7、D

8、D

三、计算题

解 1、令sin x t =，则

22

2001cos (1cos 2)2==+?

??t dt t dt π

π1sin 2()2224

=+=t t π

π.

2、

4

arctan arctan 11110

1021

0π

-

==+=+??-e e de e dx e e x

x x x x .

3、令t x =， 则

11

1

22t

t

dx e t dt t e dt ==?

??11

2()2(1)2t t te

e e e =-=-+=.

4、

3636

1112

221

11sin 1sin 1111----=-+++?

??x x x x dx dx dx x x x 1

1

2111arctan 12

dx x x π--=-=-=-+?

. 四、证明题

证 ))(())(())()((

)('-'='-='????

x

a

x a

x a

x a dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf x F

??=-+=x a

x

a

dt t f x xf x xf dt t f )()()()(

所以 )())(()(x f dt t f x F x

a

='=''?．