数学分析选讲刘三阳-部分习题解答
第一讲 习题解答
习题1-1
1 计算下列极限
① ()1lim 11,0p n n p n →∞
??
??+->?? ???????
解：原式=()1111110lim lim 110
p
p
p n n n n n n
→∞→∞????
+-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()
01p x x p ='=+= ② ()
sin sin lim
sin x a x a x a →--
解：原式=()()()()sin sin sin sin lim
lim
sin x a x a x a x a x a
x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a
x a ='= ③
1x →，,m n 为自然数 解：原式
=
1
1
x x n m
→='
==
④
(
)
lim 21,0n
n a →∞
>
解：原式(
)
()
10
ln 21lim ln 21
1lim
ln 1
lim n x n x a e a n n
x
n e
e e →∞
→?? ??- ?
??-→∞
===
=()(
)
()()0ln 21ln 21
ln 21lim
2ln 20
x a a x
x a a x
x e e
e a ---→'
-====
⑤ lim
,0x a
x a a x a x a
→->- 解：原式=lim
x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a
x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x
a
a x
x
a
x a a a a a x →->-
解：原式lim
lim x a x a
a x a x x a x a x a x a a a a a x a
a x x a a x
→→---==?---(
)lim x a
a a
a a x a
x a
x a a a a a x a
x a
a x
→----=?
-- lim x
a
a
a
a a x a
x a x a a a a a x a x a x a a x →??---=-? ? ?---??lim x
a
a
a
a a x a a a a a x a x a a a a a x a x a
x a x a x a a x →??----=-?? ? ?----??
()
()()()
1ln 1x a
a y a
a y a x a x a a a x a a ===??'
'
'
=-?? ?
?-?
?ln a
a a a =? ⑦ ()()
10
10
11sin lim
sin x tgx x x
→+--
解：原式=()()10
10
11sin lim
sin x tgx x x
x x
→+--?
()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →??
+-+---=-
? ???
()
(
)
()
(
)
10
10
11sin x x tgx x =='
'
=+--20=
⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞
=??
+-??????
∑，m 为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==??????+????=-=+- ? ? ? ? ????????
???∑∑ ()()
()110
111lim 12m
k
k m n i i x i mk k n i i x i n
→∞===?
?+- ?+'??=?=?+=∑∑
2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()
0002
2lim
h f x h f x f x h h
→+-+-。 解：()()()()()
000002002lim lim 2h h f x h f x f x h f x h f x h h h
→→''+-+-+--=
()()()()000001
lim 2
h f x h f x f x h f x h h →''''+---??=+???-??()0f x ''= 3 设()0f x '存在，计算()()
000
lim
x x xf x x f x x x →--
解：原式()()()()00000000
lim
x x xf x x f x x f x x f x x x →---????=-
()()()
()()0
0000000
lim
x x f x f x f x x f x x f x x x →-'=-?=--
4 设()0,a f a '>存在，计算()()1ln ln lim x a
x a f x f a -→??
????
解：原式()()()()
()
()
ln ln ln ln lim
lim
ln ln ln ln x a
x a
af a f x f a f x f a x a
f a x a
x a
x a
e e e
→→'---?
---===
习题1-2
1求下列极限 ①
(
lim sin
x →+∞
解：原式()()lim
211x x x →+∞=+-
-(lim sin 20x ξξ
→+∞='
=?=
ξ介于1x -，与1x +之间。
② ()40cos sin cos lim sin x x x
x
→-？？？？
解：原式()
()40sin sin lim
0sin x x x x
ξξ→--=→ ()32000sin cos 1sin 1lim
lim lim 366
x x x x x x x x x x →→→---+====
③ 3
3
2
0lim sin x x
x e e tgx x -→-?
解：原式()()3333
333000lim lim 2lim 22x x x x x x x x e e e e e x x x ξξ--→→→=--'==?==-- ④ 2
2
2
2
lim ,0x a
x a a x a x a →->- 解：原式22
22
2
2
1lim x a
a a x a a a x a x a x a
x a →????--=-? ? ? ?
?--+?
???
()
()
2
22211
2
11lim lim ln 22x
a
a a
a
x x a
x a a a ξξξξ→→=='
??'
=-?
=- ??
? ⑤ 2
lim 1n a a n arctg
arctg n n →+∞
??- ?+??
解：原式()21lim
11
n a a
arctg
arctg an n n a a n n n n →+∞
-+=?+-
+()0lim x arctgx a a ξξ→='=?= ⑥
(
(()
1
1
111lim 1n x x -→-L
解：原式1111lim 111x x x x
→=---
1111lim 111
x x x x →=?---
L
11lim !
x n →'
''=?=L
⑦
lim
x
解：原式lim x x →+∞
=
lim
211x x x →+∞=+-- ??
?
11lim 23x ξξ
→='
=?=
⑧
()
2lim
ln 1n n n →∞
+
解：原式()()11
ln 1ln 21lim ln 1n n n n n e e n n ++→∞??-????=+()()
2ln 1ln 1lim ln 1n n n n
n n n →∞+??- ?+??=+
()()()()21ln 1ln lim 1ln 1n n n n n n n n →∞++-=++()()
()()22ln 1ln ln 1lim 1ln 1n n n n n n n n n →∞+-++=++
()()()
21ln 1ln 1lim 1ln 1n n n n n n n →∞??+++ ???=++()
()()21ln 1lim 1ln 1n n n n n n n →∞++=++
()()
1ln 1lim
1ln 1n n n n n →∞++=?++=1 2 设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算1lim 1n
n f a n f a n →∞
???
?+ ??
?
???
?=????
- ??????
?
解：原式1ln 1lim f a n n f a n n e
??
+ ?
?
?
??- ???
→∞
=11ln ln .211lim f a f a n n a a n n n e
????+-- ? ?
????????+-- ? ?????
→∞
==()()2f a f a
e '
习题1-3
1 求下列极限
① ()()0
11lim ,011
x x n x λ
μ→+-≠+- 解：原式()()011lim 11x x x λλ
μμ
→+-==+-（也可利用对数等价关系求解）
②
x →
解：利用等价代换可得
原式0
lim x →=()
1
22
ln cos cos 2cos lim ln 1x x x nx
x
→???=-
+
20ln cos ln cos 2ln cos 2lim
x x x nx
x
→++???+=- 2220cos 1cos 21
cos 12lim x x x nx x x x →?
---???=-++???+
? ????
? 21222
2n ????=---+???+- ? ?????222
12n =++???+()()11216n n n =++
③ 01
1lim 1x x x e →??-
?-??
解：原式()
200111
lim lim 21x x x x x e x e x x x e →→----===-
④ ()112
lim 1x x x x x x →∞
??
+-????
解：原式()
()11
ln 12
ln 211lim lim ln 1ln x x x x x x x e e x x x x
x +→+∞→+∞????=-=+-????????
()1ln 1lim ln 1ln lim 11
x x x x x x x
→+∞→+∞??
+ ???=+-==????
⑤ 3
01
2cos lim 13x x x x
→??+??-?? ???????
解：原式()3200ln 2cos ln 312cos 1
lim ln lim 36x
x x x x x x →→+-+??===- ???
⑥
2
0x x -→解：原式
2
cos 11x x x e -→---=，而2
11cos 2
x x -:
，21x e -→，cos 1x →，()0x →且2
20112lim 12x x
x →=-≠--。故原式222126112
x x x
-==- 3计算下列极限 ① 2
2
2
1cos ln cos lim
sin x x x x x e e
x
-→----
解：211cos 2
x x -:，()()
2222222
2,sin x x e e x x x x x ----=::，且2202lim 21x x x →=-≠--，
故原式1=。
②
0x →解：原式=()()01
sin 2
3
lim sin 3
x tgx x x x x →+=---
③ ()()()0
ln 2sin lim
sin 2sin x x x e x tgx tgx tgx
→++--
解：原式可如下考虑：若0x →时，()()sin 22sin 222tg x tg x tg x x :::， 又02,lim
21x x
tgx x x
→--=-≠--:，()ln 12sin 2x x x e x e x x ++-:::
且01lim
112x x x e x →+-=≠-，故原式012lim 42x x x e x
x x
→+-+==-。 ④ ()()()()
011lim
,2sin ax bx
x ax bx a b
tg x x x x →+-+≠-+
解：原式()()
()()0ln 1ln 1lim 2ax bx x e ax e bx x x x x →+-+=-+
()()2222
0ln 1ln 1lim 222x ax bx a b a b ax bx →++??-=-=????
习题1—4
1求2
1lim 1x x x e x -→+∞
??=+
???
解：原式21n 1lim x l x
x x e
??+- ???
→+∞
=22211102lim x x
x x x x e
????-+- ? ????
?→+∞
=22111
022
lim x x x e
e ??
-+-
???
→+∞
==
2 求33
01lim sin 6x ex x x
→--
解：原式()6
3
63
6010112lim 2
x x x x x x →+++--== 3 设()f x 在0x =处可导，且()20sin lim 2x f x x x x →??
+= ???
，求()()0,0f f '及()01lim x f x x →+ 解：因()20sin lim x x xf x x →+?? ???()()()()()34
20003!lim x x x o x x f f x o x x →'-++++= ()()()3
2
2
01003!
lim 2x x f x f x x →'++-==
故()()01,02f f '=-=
()()()()()()0001100lim
lim lim 02x x x f x f f x o x o x f x x x →→→'++++?
?'==+=???
? 4
求()012lim
ln 1x
x x
x xe -→-
+-
解：原式()012lim ln 1x x x x xe -→-=+-()()()()()2
220211112211222lim 12
x x x x o x x
x o x x x o x →??- ???+++--
=-+-+-+ ()()22201
18lim 4
2
x x o x x xo x →-+==-- 5
求)1
lim
ln n n
n
→∞
解：原式1lim 1ln n n n →∞011lim 1ln x
x x x x →??- ???=?? ???
，而01
ln
lim 11ln 000
1lim lim 1x x x x x x x x e e e x →→→??
==== ???
故()11ln 10x x
x x x ????
-→ ? ?????
:，故原式=1。
6 设()f x 在0x =处可导，()()()()()00,00,20f f af h bf h f '≠≠+-若在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值。
解：()()()
020lim
0h af h bf h f h
→+-=
即 ()()()()()()()()()
0000220lim
0h a f f h o h b f f h o h f h
→''+++++-=
即 ()()()()()()0
10022lim
h a b f f h a b ao h bo h h
→'+-++++=
故102
201
a b a a b b +-==????
?
+==-??
7 求2
1lim 1sin
n n n n →∞
??- ???
解：原式302
1
1sin
sin 1lim
lim 16
n x n x x n x n →∞
→--===，利用()3
4sin 3!x x x o x =-+
8求221lim 1n n n e n →∞
??
??-+?? ???????
解：原式2211lim
1
n
n e n n
→∞??-+ ?
??=()22
01lim
x
x e x x
→-+=()2
ln 12
0lim x x
x e e
x +→-=
()2
2
0lim
x ox x
x e e
x
+→-=()()
22
lim
x o x x
x e e
x
+→-=()()02
2ln 1lim 2x x x e x
ξξ→-+=→2e = 9求1lim 11n n n e n -→∞
??
??+-?? ???????
解：原式()1
011
lim
x
x e x x
-
→+-=()1
ln 10
1
lim
x x
x e e
x
-+→?-=()1
1ln 10
1
lim
x x
x e
x
-+→-=
()()011ln 1lim 0x x x e x ξξ→??-+????=→112
e -= 10设()0
f x '''存在，求极限()()()()0000301
lim
33233n f x h f x h f x h f x n →+-+++-???
? 解：()()()()()()()()()
233
00000113333326
f x h f x f x h f x h f x h o h ''''''+=++++
类似可得()()002,f x h f x h ++的表达式代入化简，可将原式()06f x '''=+。
习题1—5
1 列极限
①
n
解：令1n n x y =+
+???+=，利用stolz 公式可得原式2=
②
n
解：令n n x y ==stolz 公式可得原式0=
③ 2212lim ,1n
n n a a na a na
+→∞+++???> 解：令22
12,n n n n x a a na y na +=+++???+=，利用stolz 公式可得原式2
1
a a
=
- 2设lim n n a a →∞
=，求
① 122
2lim
n
n a a na n →∞++???+
解：令2
12,2n n n y n x a a na ==++???+，则()()1
22
11lim
21n n n a a n n +→∞
+=
+-，故原式12
a = ②
n n k = 解：令n x
=
n y
原式n
=n =
2n a ==
③ 11lim ln n k
n k a n k
→∞=∑ 解：令12
ln ,12n n n a a a y n x n
==
++???+ 原式12
1
2lim ln n
n a a a n n →∞++???+=()
()11
11lim lim 1ln 1ln 1ln 1n n n n a a a n n n n e n n ++→∞→∞++==+-??++ ???
④ 12lim
,0,1,2,111
i n n
n a i n a a a →∞
≠=???++???+
解：原式1
2111
1
lim n n a a a n a
→∞++???+==，故原式a =
12111,n n
n x y n a a a ??=++???+= ???
3 设()2lim 0,n n n x x -→∞-=求1lim
,lim n n n n n x x x
n n
-→∞→∞-
解：令lim ,n n x A n →∞=则1lim lim 1
n n n n x x
n n -→∞→∞+-2A=()()112lim lim n n n n n n x x x x ---→∞→∞-+-=
()12lim 0n n n x x --→∞
-==，故0A =
类似的可考虑对1lim
,n n x n -→∞利用stolz 公式可得1lim 0n n n x x
n
-→∞-=
4 设110x q <<
，其中01q <≤，并且()11n n n x x qx +=-，证明1lim n n x q
→∞=
证明：可以验证n x 为单调递减，且极限为0的数列故
1
n
x →+∞，由stolz 公式可得原式()1
1lim
11n n n n n x x →∞----
=()()1
11111111lim lim 1n n n n n n n n n n n n x qx x x x x x x x qx ----→∞→∞-----=---=()111
lim 1n n qx q q -→∞-== 5 设()()110,ln 11,2,n n x x x n +>=+???，证明lim 2n n x →∞
==
可证明0n x ]
，利用()0,ln 1x x x >+<
lim n n nx →∞
()
1
1lim
11n n n n n x x →∞---=-
()()()()11011ln 1ln 1lim lim 2ln 1ln 1n n n x n n x x x x x x x x --→∞→--++===-+-+（洛必达法则） 6 证明设{}n x ，{}n y 都是无穷小，且{}n y 严格减小，如果1
1
lim
n n n n n x x a y y -→∞
--=-，（a 为
有限数，或,+∞-∞），则lim
n
n n
x a y →∞
=。 证明：当a 为常数时，0,N ε?>?，当n N >时，有1
1
n n n n x x a a y y εε++--<<+-
即 ()()()()111n n n n n n a y y x x a y y εε+++-<-<-<+- ()()()()
n n p n n p n n p a y y x x a y y εε+++-<-<-<+- 令p →∞，得()()n n n a y x a y εε-≤≤+
故lim
n
n n
x a y →∞
=。 当a =+∞时，0,G N ?>?，当n N >时，有
()1
1
n n n n p n n p n n x x G x x G y y y y ++++->?->--
令p →+∞，便可得n n x Gy ≥，即
()n
n
x G n N y ≥?> 故lim
n
n n
x y →∞
=+∞。 当a =-∞，只要令n n x x '=-，便可转化为a =+∞的情况。
习题1—6
1设()f x 在(),a +∞内可微，且()
lim
n f x A x
→+∞=，则当()lim n f x →+∞'存在时，证明()lim n f x A →+∞
'=。
证明：直接利用广义洛必达法则可得。
2 设()f x 在(),a +∞内二阶可导，且()lim "x f x A →+∞
''=。
证明()()2lim
,lim 2
n n f x f x A
A x x →+∞
→+∞'==。 证明：直接可用广义洛必达法则。
3 设()f x 在(),a +∞内可微，()()lim ,lim n n f x f x →+∞
→+∞
'存在，证明()lim 0n f x →+∞
'=。
证明：设()()
()()()lim lim
lim n n n xf x A f x f x xf x x
→+∞
→+∞→+∞'===+
故()()lim 0lim 0n n xf x f x →+∞
→+∞
''=?=
4 设()f x 在(),a +∞上连续，()()lim x
a
n f x f x dt A →+∞
??+
=???
?
?， 证明：()()lim
,lim 0x
a
n n f x dt A f x →+∞→+∞
==?
证明 令()()x
a
F x f x dt =
?，则()()F x f x '=，故有()()lim x F x F x A →+∞
'+=?
???，由例1.6.2可得()()lim ,lim 0n n F x A f x →+∞
→+∞
==
5设()f x 在(),a +∞上可导，且对任意的0α>，()()()lim
x f x xf x αβ→+∞
'+=。证明
()lim n f x βα
→+∞
=
。 证明：()()()()lim lim x n x
f x xf x f x f x β
αβαα
→+∞→+∞??''+=?+=???????
?
，由例1.6.4的结论可得()lim n f x β
α
→+∞
=
。 6 设()f x 在(),a +∞上存在有界的导函数，证明()
lim
0ln x f x x x
→+∞= 证明：原式()
lim
ln 1
n f x x →+∞'=+，利用夹逼准则可证()M f x M '-<<
7 设()f x 在(),a +∞上可导，0a >，若有(
)()lim x f x x l α→+∞
??'+=??
证明()lim n l f x a
→+∞
=
证明：取()3
243
ax g x e =，利用前面的结论类似可证。
数学分析选讲
分析数学教案主讲人姜广浩 淮北师范大学数学科学学院 2010年3月1日
第一章 一元函数的极限 § 利用定义及迫敛性定理求极限 设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-?=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞ →.证明*21lim R a n a a a n n ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式). 证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞ →lim ,0>?ε,01>?N ,当1N n >时, 2 ε< -a a n .因此 a n a a a n -+++ 21 n a a a a a a n ) ()()(21-++-+-= n a a a a a a N -++-+-≤121 n a a a a n N -++-+ + 11 21ε?-+≤ n N n n A 2 ε+
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
西南大学网络教育《数学分析选讲》 第二次 作业
《数学分析选讲》 第二次作业 一、判断下列命题的正误 1. 若函数在某点无定义，则函数在该点的极限一定不存在. 错误 2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一定有最大值．正确 3. 若)(x f 在(,)a b 上连续，则)(x f 在(,)a b 上一定有最小值．正确 4. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使 ()0f ξ=．错误 5. 初等函数在其定义区间上连续. 正确 6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. 正确 7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根.错误 二、选择题 1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞ →lim 的定义等价（ A ） A )1,0(∈?ε，0>?N ，N n ≥?，ε≤-||A a n ； B 对无穷多个0>ε，0>?N ，N n >?，ε<-||A a n ； C 0>?ε，0>?N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ； D 0>?ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内 2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当x X >时，M x f -<)(，则（ A ） A lim ()x f x →+∞=-∞； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞ →)(lim x f x 3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当>x X 时，()f x a ε-<，则（ D ）. A lim ()→-∞=x f x a ； B lim ()→+∞=x f x a ； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞ =∞ 4．极限=-→x x x 10)21(lim （ BC ） A 2e ； B 2e - ； C 1e - ； D 1 5．21sin(1)lim 1 x x x →-=-（ C ） A 1 ； B 2 ； C 21 ； D 0
[0088]《数学分析选讲》
[0088]《数学分析选讲》 第一次作业 [论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. 2. 收敛数列必有界. 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1 ()3,1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2 2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的（ ）. A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
2016年数学分析第四次作业
《数学分析选讲》 第四次作业 一、判断下列命题的正误 1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. (正确) 2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2 ()f x 在[,]a b 上也可积. (正确) 3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数. (错误) 4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积. (正确) 5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()b a f x dx f b a ξ=-? .(正确) 二、选择题 1．对于不定积分?dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的. A )()(x f dx x f dx d =?； B ?=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =? ； D ? =)()(x f dx x f d 2．若 ?+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ D ） A x xe 22 ； B x e x 222 ； C x xe 2 ； D )1(22x xe x + 3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则 ?='dx x f )(（ B ） A c x +-sin 5 ； B c x +cos 5 ； C 5sin x ； D x sin 5- 4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=?f x dx （ A ） A 1 (41)4 ++f x c ； B ()f x c +； C (41)++f x c ； D 4(41)++f x c 5．若 ?+=c x dx x f 2 )(，则?=-dx x xf )1(2（ D ） A c x +-2 2)1(2 ； B c x +--2 2)1(2； C c x +-- 22)1(21 ； D c x +-22)1(21 6． =+? x dx cos 1 （ C ）
《数学分析选讲》课程教学大纲()
《数学分析选讲》课程教学大纲 一、 课程性质、目标、任务 课程的基本特性: 数学分析专题选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识. 课程的教学目标:该课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的及其应用,函数积分学,数值级数与无穷积分, 函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学的核心内容. 课程的总体要求:主要要求学生系统拓展和加深极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的极其应用, 函数积分学,数值级数,函数级数与含参变量无穷积分的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 二、课程学时分配 章次 教学内容 讲课 实践 教学 其他 合计 第一章 函数极限与数列极限 4 4 第二章 函数的连续性与一致连续性 12 12 第三章 微分与微分学基本定理 12 12 第四章 不定积分与定积分 8 8 第五章 无穷、瑕、重、曲线、曲面积分 12 12 第六章 级数 14 14 总计 62 62 课程编码： 课程性质： 学科专业选修课程 教学对象： 数学与应用数学 学时学分： 62学时 4学分 编写单位： 铜仁学院数学与计算机科学系 编 写 人： 审 定 人： 编写时间： 2013年8月
二、教学内容 第一章函数极限与数列极限（4学时） 1、教学目标 掌握：函数极限和数列极限的求法，柯西准则，tolz定理 理解：函数极限和数列极限的概念 了解：柯西准则，tolz定理的应用 2、本章重点 函数极限和数列极限的求法。 3、本章难点 柯西准则，tolz定理的应用 4、讲授内容 第一节数列极限 第二节收敛数列 第三节函数极限 第四节函数极限定理 第二章函数的连续性与一致连续性（12学时） 1、教学目标 掌握：函数连续性和一致连续性的性质和应用 理解：函数连续性和一致连续性的概念 了解：不动点定理，函数方程 2、本章重点 函数连续性和一致连续性的性质和应用及证明 3、本章难点 不动点问题和函数方程 4、讲授内容 第一节连续函数 第二节连续函数的性质 第三节函数的连续性与一致连续性（一） 第四节函数的连续性和一致连续性（二） 第五节不动点问题 第六节函数方程 第三章微分与微分学基本定理（12学时） 1、教学目标 掌握：一元函数的导数和微分；多元函数的偏导和全微分；微分学基本定理
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
[0088]《数学分析选讲》
1、若函数f是奇函数，且在[-a,a]上可积，则 2、任意给定M>0，总存在X>0，当x<-X时，f(x)<-M，则（） 3、极限（） 1 e -1 1/e 4、设f可导，则 f'(sinx)dx -f'(sinx)cosxdx
f'(sinx)sinxdx f'(sinx)cosxdx 5、. 1 -1 2 6、函数为 ( ) 基本初等函数 初等函数 复合函数 分段函数 7、设，则 1 -1 -3 2 8、若,则
A. 数列{xn}发散 数列{xn}收敛于0 数列{xn}可能收敛，也可能发散 A，B，C都不正确 9、设，则是的（） 可去间断点 连续点 第二类间断点 跳跃间断点 10、若为连续函数，则 f(x)+C 1/2 f(2x+1)+C f(2x+1) 2f(2x+1)+C 11、设可导，则 f'(cosx)dx f'(cosx)cosxdx -f'(cosx)sinxdx f'(cosx)sinxdx
12、设，则 1 2 -1 13、设函数在上连续,则 D. f'(x)dx f(x)dx f(x)+c f(x) 14、设5sinx是f(x)的一个原函数，则 5cosx+c -5sinx 5sinx+c -5sinx+c 15、若，则函数在点处（） E. 一定有极大值 没有极值 一定有极小值
不一定有极值 16、定义域为[1,2],值域为（-1，1）的连续函数（） 存在 存在且唯一 不存在 可能存在 判断题 17、若数列有界，则数列收敛. A.√ B.× 18、若函数在[a,b]上可积，则该函数在[a,b]上有界. A.√ B.× 19、设数列{an} 与{bn}都发散，则数列一定发散. A.√ B.× 20、若实数A是非空数集S的下确界，则A一定是S的下界. A.√ B.×
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
《数学分析选讲》 第一次 作业
《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x +≤?=?->? , 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数1,()0,x f x x ?=??为有理数为无理数 ， 则 1)=f （ ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 12 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞ =，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞ =； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞ =-； 6．已知 2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ）
数学分析选讲刘三阳-部分习题解答
第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->-
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?《数学分析选讲》第三次作业大题
《数学分析选讲》第三`次作业 1．叙述交错级数n n u ∑--1)1(（n u >0）收敛性的莱布尼茨判别法。 答：未必收敛. 考查交错级数 . 这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数 收敛 . 而 . 由该例可见 , 在Leibniz 判别法中 , 条件 单调是不可少的. 2．叙述函数列)}({x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义。 答： 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切的D x ∈，都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作： )(x f n )(x f )(∞→n ， D x ∈。 3．讨论级数∑n n n n !3的收敛性
()() ()()()()1111111 31!3!,,131!lim lim 3!131lim 1lim 31313!n n n n n n n n n n n x x n n n x n x n n n n a a n n n a n a n n n n n n n e n n ++++++→∞→∞+→∞→∞+==++=?++=+??= ?+?? =>∴∑Q 答:发散. 4．设∑2n a 收敛，证明：∑n a n 绝对收敛。 2222221:,,11121n n n n n a n n N a a n n a n a n ???∈≤+????+∑∑ ∑∑Q g 证明收敛收敛有已知收敛2 则绝对收敛. 5．求幂级数∑2n x n 的收敛域。 解：由于 2 12 1()(1)n n a n n a n +=→→∞+，所以收敛半径为1R =。即收敛区间为（-1，1），而当1x =±时，有() 22211n n ±=，由于级数21n ∑收敛，所以级数∑2n x n 在1x =±时也收敛，从而这个级数的收敛域为[-1，1]。
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
西南大学数学分析作业答案
三、计算题 1．求极限 90 20 70) 15() 58()63(lim --++∞ →x x x x . 解: 90 20 70 90 20 70 90 20 70 5 8 3 155863lim ) 15() 58() 63(lim ?= ? ?? ? ? -? ?? ? ? -? ?? ? ?+=--++∞ →+∞ →x x x x x x x x 2．求极限 21 1lim ( ) 2 x x x x +→∞ +-. 解：21 1lim ( ) 2 x x x x +→∞ +=-21111lim 22 11x x x x x x →∞ ? ???++ ? ??= ? ? ? ? --? ? ??211lim 21x x x x →∞? ? + ?= ? ?-?? 2 (4) 2 1[(1)] lim 2[(1) ] x x x x x →∞ - -+ - 2 6 4 e e e -= =. 3． 求极限 1 111lim (1)2 3 n n n →∞ + + ++ 解：由于11 1111(1)2 3 n n n n ≤+ + ++ ≤ ， 又lim 1n →∞ =， 由迫敛性定理 1 111lim (1)12 3 n n n →∞ + + ++ = 4．考察函数),(, lim )(+∞-∞∈+-=--∞ →x n n n n x f x x x x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 解： 当0x <时，有221()lim lim 11 x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞ →∞ --===-++；同理当0x >时，有()1f x =.
2014秋涟水进修学校西大2015年0088《数学分析选讲》作业解答
0088《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确 （正确） 2. 函数()2cos 1f x x =-为(,)-∞+∞上的有界函数 （正确）. 3．函数()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数. （正确） 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2 {}n a 也收敛. （正确） 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 不一定收敛. （正确） 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. （正确） 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. （错误） 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确） 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定有定义. 二、选择题 1．设???>-≤+=1 ,31,1)(x x x x x f , 则 5 [()]2f f =( A ) A 23 ； B 25 ； C 29 ； D 2 1- 2．设函数1,()0,x f x x ?=?? 为有理数 为无理数 ， 则 (0)f f -=（ A ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 1 2 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ C ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ；