数学分析选讲复习资料参考答案
数学分析选讲复习资料参考答案
一、选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：
1、下列命题中，正确的是：
A 、若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 连续；
B 、若 ()f x 在(,)a b 上连续；则对0,()f x ε?>在[,]a b εε+-上连续；
C 、若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，则()f x 在(,)a b 有界；
D 、函数()y f x =在0x 点连续的充要条件是()f x 在0x 点的左、右极限存在. 答：（ B ） 2、当0x x →时，()f x 以B 为极限，则
A 、0,0,εδ?>?>存在x 满足00,x x δ<-<有()f x
B ε-<; B 、0,0,εδ?>?>00x x δ<-<当时，有()f x B ε-<；
C 、存在00{},(1,2),()n n n x x x n x x n ≠=→→∞L ，使{()}n f x 不以B 为极限；
D 、0x x →时，()f x 的极限存在. 答：（ B D ）
3、设函数()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上有
A 、
()()b
a d f x dx f x dx =?； B 、()()x
a
d f t dt f x dx =?；
C 、；()f x 在[,]a b 上单调；
D 、()f x 在[,]a b 上未必有最大值. 答：（ B ） 4、设级数n u ∑收敛，则
A 、0,N ?> 当n m N >>时，11/2m m n u u u ++++ B 、 {} 1 n n u =∞ 有界； C 、绝对收敛； D 、 lim n n u →∞ 未必存在 答：（ AB ） 5、若数列 {} 1 n n a =∞ 满足lim n n a a →∞ =，则下列说法正确的是（ B ） A 、0,ε?> 0,N ?>当n N >时，都有n a a ε-<。 B 、0,ε?> 0,N ?>当n N >时，都有n a a ε-<。 C 、0,ε?> 0,N ?>当n N >时，都有n a a ε-<。 D 、0,ε?> 0,N ?>当n N >时，都有n a a ε-<。 6、下列定积分为0的是 （ C ） A 、1 1x xe dx -? B 、1 1 cos xdx -? C 、1 21sin 1 x dx x -+? D 、11tan x xdx -? 7、设()f x 定义在[,]a b 上，且()f x 在(),a b 上连续，则（ AC ） A 、()f x 在[,]a b 可积； B 、()f x 在[,]a b 上连续； C 、对*,n N ?∈()f x 在11 [,]a b n n +-上连续； D 、()f x 在[,]a b 上有界。 8、下列说法正确的是（ BD ） A 、若()1n n n u v ∞=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞ =∑收敛； B 、若1n n u ∞ =∑收敛，1n n v ∞=∑收敛，则()1 n n n u v ∞ =+∑收敛； C 、若1n n u ∞ =∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛； D 、若1 n n u ∞ =∑收敛，则数列{}1n n u ∞ =收敛 二、填空题。 1、121sin =1 x dx x -+? 0 2、0sin 2lim x x x →的值为 2 ； 3、若1 1 ,n n n n a a b b ∞ ∞ ====∑∑，()1 =n n n a b ∞ =+∑ a+b ； 4、21lim 1n n n →∞ ?? += ??? 2e . 5 、已知 22 x e dx +∞ --∞ ? ，则 22 =x e dx +∞ -? 2 ； 6、极限1 1lim n n n n +→∞ +?? ??? 的值为 e ； 7、反常积分 2 1 1 dx x +∞ ? 的值为 1 ； 8、设()2 1 1n n x ∞ =+∑收敛，则lim n n x →∞ = -1 。 三、计算题 1 、求不定积分 解：令t =21x t =-，2dx tdt =，则原式21t dt t =-? 21 t tdt t =-? ()111 22122ln 111 t dt dt t t C t t -+==+=+-+--? ?。 （C 为任意常数） 2、设()()31,0,,0, x x x f x ae b x ?+≤?=?+>??试确定,a b 的值，使f 在0x =处可导。 解：要使f 在0x =处可导，则f 在0x =处连续，所以()0lim x x ae b ae b + →+=+ ()0 lim x f x + →=()01f ==，另一方面，f 在0x =处可导当且仅当f 在0x =处的左导数等于右 导数，而 ()'0f -=()()()3 3200001133lim lim lim 3x x x f x f x x x x x x x --- →→→-+-++===， ()()()000000111'0lim lim lim lim lim x x x x x x x x x f x f ae b ae ae ae ae e e f a x x x x x ++++++→→→→→-+-+----===== 0lim 1 x x e a a +→==， 所以3a =，则13b e =-。 3、求极限201sin 2lim 1cos x x x x →- 解：原式22000011111sin sin sin sin 22222lim lim lim lim 1sin 2x x x x x x x x x x x x x x →→→→===01sin 112lim 1222 x x x →==. 4、设()1cos ,0 0,0x x f x x x ? ≠?=??=?，则：(1)()f x 在定义域上是否连续；(2)()f x 在=0x 处的导数值。 解：(1)当0x ≠时，()f x 显然连续；当=0x 时，()()0 1 lim =lim cos 00x x f x x f x →→==，由定义，()f x 在=0x 处连续，从而()f x 在定义域上连续； (2)()() 0001 cos 01lim lim limcos x x x x f x f x x x x →→→-==，该极限不存在，所以()f x 在=0x 处 不可导。 5、求定积分 1 x xe dx ? ； 解： ()1 1 110 =11x x x x xe dx xe e dx e e e e -=-=--=? ? 6、求级数13n n n x n ∞ =∑g 的收敛域。 解：13n ρ→∞ ==，则收敛半径1 3R ρ ==。 当3x =时，级数为11 n n ∞ =∑，不收敛。 当3x =-时，级数为()1 1n n n ∞=-∑，是交错级数，而1 1n n ∞ =?? ????单调递减且趋于0， 故()1 1n n n ∞=-∑收敛。因此，1 3 n n n x n ∞ =∑g 的收敛域为[)3,3-。 7 、求极限n 。 解：当n 充分大时，22n n < ≤≤ 故2=n n n n →∞ ≤≤= ，即2n =。 8、求极限()20 2 sin ln 1lim x x x t dt x →++?。 解：由洛必达法则， ()()() 2 2 0001 2cos 2sin ln 12sin cos ln 1sin 2ln 131lim =lim lim lim 2222 x x x x x x x t dt x x x x x x x x x →→→→+ +++++++===?。 9、求极限2lim ln x x xe x -→+∞ 。 解：由洛必达法则，22221 ln ln 1 lim ln =lim lim lim 024x x x x x x x x x x x x xe x e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞+===。 10 、求极限) lim cos n n n π→∞ 。 解 ： ) cos lim cos =0n n n n n n n n π π→∞ == 四、1、判断()()221()1(4) x x f x x x +-= --的不连续点，并指出类型。 解：()()()() ()() 22121()1(4) 122x x x x f x x x x x x +-+-= = ---+-，所以()f x 的不连续点为 1,2,2x =-。 对于1x =，()()()()()()()() 1 1 12121lim lim lim 11(2)21(2)2x x x x x x x f x x x x x x x ++ + →→→+-+-===---+--+， ()()()()()()()() 11 12121lim lim lim 11(2)21(2)2x x x x x x x f x x x x x x x - - - →→→+-+-===--+---+，所以 1x =是 ()f x 的第一类间断点。 对于2x =-， ()()()()()()()()2 2 221211 lim lim lim 1(2)21(2)24 x x x x x x x f x x x x x x x ++ + →-→-→-+-+-===--+---+， ()()()()()()()()2 2 221211 lim lim lim 1(2)21(2)24 x x x x x x x f x x x x x x x -- - →-→-→-+-+-===--+---+， 所以2x =-是()f x 第一类间断点中的可去间断点。 对于2x =， ()()()()()()()() 2 2 22121lim lim lim 1(2)21(2)2x x x x x x x f x x x x x x x ++ + →→→+-+-===+∞--+--+， ()()()()()()()() 2 2 22121lim lim lim 1(2)21(2)2x x x x x x x f x x x x x x x -- - →→→+-+-===-∞--+--+， 所以2x =是()f x 的第二类间断点。 2、写出()x f x e =的（带有拉格朗日余项 ）麦克劳林公式，并且估计e 的值，使其误差不超过6 10-. 解：()x f x e =的（带有拉格朗日余项 ）麦克劳林公式为 2312!3!!(n 1)! n x x x x x e e x n θ=++++++L ，()01θ<<.令1x = 则111112!3!!(n 1)! e e n θ=++++++L ，要估计e 的值，使其误差不超过6 10-， 只需余项不超过6 10-即可。即610(1)!e n θ -≤+.因为()3(1)!1! e n n θ≤ ++，当9n =时， 633 =1010!10!3628800 e θ-≤<. 所以11111 2.7182852!3!9! e ≈++ ++≈L 。 五、A 、证明：当0,2x π?? ∈ ??? 时，()ln 1tan x x x +<<. 解：令()()ln 1f x x x =-+，则当0,2x π?? ∈ ??? 时，()1'1011x f x x x =-=>++， 故()f x 在0,2π?? ??? 单调递增，所以()()00f x f >=，即()ln 1x x +<。 另一方面，令()g tan x x x =-，则0,2x π?? ∈ ???时，()222 1sin g'10cos cos x x x x =-=>，所以，故()g x 在0,2π?? ???单调递增，所以()()00g x g >=，即tan x x < 综上，当0,2x π?? ∈ ??? 时，()ln 1tan x x x +<<. B 、证明：若函数,f g 在区间[],a b 上可导，且()()()()'',f x g x f a g a >=，则在(],a b 内有()()f x g x >。 证：令()()()h x f x g x =-，由已知，()h x 在[],a b 上可导，且 ()()()'''0h x f x g x =->，故()h x 在[],a b 上单调递增，所以在(],a b 上有()()0h x h a >=，即()()f x g x >。 六、A 、设2222 221sin 0(,)00x x y x y f x y x y ? +≠?+=??+=? 1、 证明(,)f x y 在（0，0）点连续 2、 求(0,0),(0,0)x y f f 3、 考察(,)f x y 在（0，0）的可微性. （12分） 解：1、令cos ,sin x r y r θθ==，则 ()()()2 ,0,001 lim (,)lim cos sin 00,0x y r f x y r f r θ→→===，故(,)f x y 在（0，0）点连续. 2()()()2001 sin ,00,00,0=lim lim x x x x f x f x f x x ?→?→??-?=??，不存在； ()()()000,0,000 0,0=lim lim =0y y y f y f f y y ?→?→?--=??. 3、因为()0,0x f 不存在，所以(,)f x y 在（0，0）不可微。 B 、()22 2222221sin 0 (,)00x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 1、证明(,)f x y 在（0，0）点连续 2、求(0,0),(0,0)x y f f 3、考察(,)f x y 在（0，0）的可微性. （12分） 解：1、令cos ,sin x r y r θθ==，则 ()()()22 ,0,001 lim (,)lim sin 00,0x y r f x y r f r →→===，故(,)f x y 在（0，0）点连续. 2、()()()2 2001sin ,00,00,0=lim lim =0x x x x f x f x f x x ?→?→??-?=??； ()()() 22 001 sin 0,0,00,0=lim lim =0y y y y f y f y f y y ?→?→??-?=??. 3、()()0,00,0(0,0)(0,0)x y f df f x y f f x f y ?-=+?+?--?-? ()2222 1 =sin x y x y ?+??+?， 令ρ 22 22220 11 lim sin 0f df x y ρρρ ρρ→?-===?+?，所以(,)f x y 在（0，0）可微. C 、22220(,)0 x y f x y x y +≠=+=? 1、证明(,)f x y 在（0，0）点连续 2、求(0,0),(0,0)x y f f 3、考察(,)f x y 在（0，0）的可微性. 解：1、令cos ,sin x r y r θθ==，则 ()() ()2,0,00sin cos lim (,)lim 00,0x y r r f x y f r θθ →→===，故(,)f x y 在（0，0）点连续. 2、()()()0 0,00,000 0,0=lim lim =0x x x f x f f x x ?→?→?--=??； ()()()0 00,0,0000,0=lim lim =0y y y f y f f y y ?→?→?--=??. 3、()()0,00,0(0,0)(0,0)x y f df f x y f f x f y ?-=+?+?--?-? 令cos ,sin x y ρθρθ?=?= ，则ρ 22 sin cos lim f df ρρθθ ρ ρ→?-=，该极限不存在。所以(,)f x y 在（0，0）的不可微. D 、设22 22 221cos 0(,)00xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 1、证明(,)f x y 在（0，0）点连续 2、求(0,0),(0,0)x y f f 3、考察(,)f x y 在（0，0）的可微性. 解：1、令cos ,sin x r y r θθ==，则 ()() ()22 ,0,00 1 lim (,)lim sin cos cos 00,0x y r f x y r f r θθ→→===， 故(,)f x y 在（0，0）点连续. 2、()()()00,00,000 0,0=lim lim =0x x x f x f f x x ?→?→?--=??； ()()()000,0,000 0,0=lim lim =0y y y f y f f y y ?→?→?--=??； 3、()()0,00,0(0,0)(0,0)x y f df f x y f f x f y ?-=+?+?--?-? 22 1=cos x y x y ???+?，令cos ,sin x y ρθρθ?=?= ，则ρ 222 20 01cos sin cos 1lim lim cos 0x y f df ρρρρθθρ ρρ →→→???-==，所以(,)f x y 在（0，0）可微. 分析数学教案主讲人姜广浩 淮北师范大学数学科学学院 2010年3月1日 第一章 一元函数的极限 § 利用定义及迫敛性定理求极限 设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-?=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞ →.证明*21lim R a n a a a n n ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式). 证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞ →lim ,0>?ε,01>?N ,当1N n >时, 2 ε< -a a n .因此 a n a a a n -+++ 21 n a a a a a a n ) ()()(21-++-+-= n a a a a a a N -++-+-≤121 n a a a a n N -++-+ + 11 21ε?-+≤ n N n n A 2 ε+ 《数学分析选讲》 第二次作业 一、判断下列命题的正误 1. 若函数在某点无定义，则函数在该点的极限一定不存在. 错误 2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一定有最大值．正确 3. 若)(x f 在(,)a b 上连续，则)(x f 在(,)a b 上一定有最小值．正确 4. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使 ()0f ξ=．错误 5. 初等函数在其定义区间上连续. 正确 6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. 正确 7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根.错误 二、选择题 1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞ →lim 的定义等价（ A ） A )1,0(∈?ε，0>?N ，N n ≥?，ε≤-||A a n ； B 对无穷多个0>ε，0>?N ，N n >?，ε<-||A a n ； C 0>?ε，0>?N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ； D 0>?ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内 2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当x X >时，M x f -<)(，则（ A ） A lim ()x f x →+∞=-∞； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞ →)(lim x f x 3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当>x X 时，()f x a ε-<，则（ D ）. A lim ()→-∞=x f x a ； B lim ()→+∞=x f x a ； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞ =∞ 4．极限=-→x x x 10)21(lim （ BC ） A 2e ； B 2e - ； C 1e - ； D 1 5．21sin(1)lim 1 x x x →-=-（ C ） A 1 ； B 2 ； C 21 ； D 0 [0088]《数学分析选讲》 第一次作业 [论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. 2. 收敛数列必有界. 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1 ()3,1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2 2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的（ ）. A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在； 《数学分析选讲》 第四次作业 一、判断下列命题的正误 1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. (正确) 2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2 ()f x 在[,]a b 上也可积. (正确) 3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数. (错误) 4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积. (正确) 5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()b a f x dx f b a ξ=-? .(正确) 二、选择题 1．对于不定积分?dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的. A )()(x f dx x f dx d =?； B ?=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =? ； D ? =)()(x f dx x f d 2．若 ?+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ D ） A x xe 22 ； B x e x 222 ； C x xe 2 ； D )1(22x xe x + 3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则 ?='dx x f )(（ B ） A c x +-sin 5 ； B c x +cos 5 ； C 5sin x ； D x sin 5- 4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=?f x dx （ A ） A 1 (41)4 ++f x c ； B ()f x c +； C (41)++f x c ； D 4(41)++f x c 5．若 ?+=c x dx x f 2 )(，则?=-dx x xf )1(2（ D ） A c x +-2 2)1(2 ； B c x +--2 2)1(2； C c x +-- 22)1(21 ； D c x +-22)1(21 6． =+? x dx cos 1 （ C ） 第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分. (1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 . 《数学分析选讲》课程教学大纲 一、 课程性质、目标、任务 课程的基本特性: 数学分析专题选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识. 课程的教学目标:该课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的及其应用,函数积分学,数值级数与无穷积分, 函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学的核心内容. 课程的总体要求:主要要求学生系统拓展和加深极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的极其应用, 函数积分学,数值级数,函数级数与含参变量无穷积分的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 二、课程学时分配 章次 教学内容 讲课 实践 教学 其他 合计 第一章 函数极限与数列极限 4 4 第二章 函数的连续性与一致连续性 12 12 第三章 微分与微分学基本定理 12 12 第四章 不定积分与定积分 8 8 第五章 无穷、瑕、重、曲线、曲面积分 12 12 第六章 级数 14 14 总计 62 62 课程编码： 课程性质： 学科专业选修课程 教学对象： 数学与应用数学 学时学分： 62学时 4学分 编写单位： 铜仁学院数学与计算机科学系 编 写 人： 审 定 人： 编写时间： 2013年8月 二、教学内容 第一章函数极限与数列极限（4学时） 1、教学目标 掌握：函数极限和数列极限的求法，柯西准则，tolz定理 理解：函数极限和数列极限的概念 了解：柯西准则，tolz定理的应用 2、本章重点 函数极限和数列极限的求法。 3、本章难点 柯西准则，tolz定理的应用 4、讲授内容 第一节数列极限 第二节收敛数列 第三节函数极限 第四节函数极限定理 第二章函数的连续性与一致连续性（12学时） 1、教学目标 掌握：函数连续性和一致连续性的性质和应用 理解：函数连续性和一致连续性的概念 了解：不动点定理，函数方程 2、本章重点 函数连续性和一致连续性的性质和应用及证明 3、本章难点 不动点问题和函数方程 4、讲授内容 第一节连续函数 第二节连续函数的性质 第三节函数的连续性与一致连续性（一） 第四节函数的连续性和一致连续性（二） 第五节不动点问题 第六节函数方程 第三章微分与微分学基本定理（12学时） 1、教学目标 掌握：一元函数的导数和微分；多元函数的偏导和全微分；微分学基本定理 1、若函数f是奇函数，且在[-a,a]上可积，则 2、任意给定M>0，总存在X>0，当x<-X时，f(x)<-M，则（） 3、极限（） 1 e -1 1/e 4、设f可导，则 f'(sinx)dx -f'(sinx)cosxdx f'(sinx)sinxdx f'(sinx)cosxdx 5、. 1 -1 2 6、函数为 ( ) 基本初等函数 初等函数 复合函数 分段函数 7、设，则 1 -1 -3 2 8、若,则 A. 数列{xn}发散 数列{xn}收敛于0 数列{xn}可能收敛，也可能发散 A，B，C都不正确 9、设，则是的（） 可去间断点 连续点 第二类间断点 跳跃间断点 10、若为连续函数，则 f(x)+C 1/2 f(2x+1)+C f(2x+1) 2f(2x+1)+C 11、设可导，则 f'(cosx)dx f'(cosx)cosxdx -f'(cosx)sinxdx f'(cosx)sinxdx 12、设，则 1 2 -1 13、设函数在上连续,则 D. f'(x)dx f(x)dx f(x)+c f(x) 14、设5sinx是f(x)的一个原函数，则 5cosx+c -5sinx 5sinx+c -5sinx+c 15、若，则函数在点处（） E. 一定有极大值 没有极值 一定有极小值 不一定有极值 16、定义域为[1,2],值域为（-1，1）的连续函数（） 存在 存在且唯一 不存在 可能存在 判断题 17、若数列有界，则数列收敛. A.√ B.× 18、若函数在[a,b]上可积，则该函数在[a,b]上有界. A.√ B.× 19、设数列{an} 与{bn}都发散，则数列一定发散. A.√ B.× 20、若实数A是非空数集S的下确界，则A一定是S的下界. A.√ B.× 《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x +≤?=?->? , 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数1,()0,x f x x ?=??为有理数为无理数 ， 则 1)=f （ ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 12 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞ =，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞ =； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞ =-； 6．已知 2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ） 三、计算题 1．求极限 90 20 70) 15() 58()63(lim --++∞ →x x x x . 解: 90 20 70 90 20 70 90 20 70 5 8 3 155863lim ) 15() 58() 63(lim ?= ? ?? ? ? -? ?? ? ? -? ?? ? ?+=--++∞ →+∞ →x x x x x x x x 2．求极限 21 1lim ( ) 2 x x x x +→∞ +-. 解：21 1lim ( ) 2 x x x x +→∞ +=-21111lim 22 11x x x x x x →∞ ? ???++ ? ??= ? ? ? ? --? ? ??211lim 21x x x x →∞? ? + ?= ? ?-?? 2 (4) 2 1[(1)] lim 2[(1) ] x x x x x →∞ - -+ - 2 6 4 e e e -= =. 3． 求极限 1 111lim (1)2 3 n n n →∞ + + ++ 解：由于11 1111(1)2 3 n n n n ≤+ + ++ ≤ ， 又lim 1n →∞ =， 由迫敛性定理 1 111lim (1)12 3 n n n →∞ + + ++ = 4．考察函数),(, lim )(+∞-∞∈+-=--∞ →x n n n n x f x x x x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 解： 当0x <时，有221()lim lim 11 x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞ →∞ --===-++；同理当0x >时，有()1f x =. 第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->- 《数学分析选讲》第三`次作业 1．叙述交错级数n n u ∑--1)1(（n u >0）收敛性的莱布尼茨判别法。 答：未必收敛. 考查交错级数 . 这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数 收敛 . 而 . 由该例可见 , 在Leibniz 判别法中 , 条件 单调是不可少的. 2．叙述函数列)}({x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义。 答： 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切的D x ∈，都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作： )(x f n )(x f )(∞→n ， D x ∈。 3．讨论级数∑n n n n !3的收敛性 ()() ()()()()1111111 31!3!,,131!lim lim 3!131lim 1lim 31313!n n n n n n n n n n n x x n n n x n x n n n n a a n n n a n a n n n n n n n e n n ++++++→∞→∞+→∞→∞+==++=?++=+??= ?+?? =>∴∑Q 答:发散. 4．设∑2n a 收敛，证明：∑n a n 绝对收敛。 2222221:,,11121n n n n n a n n N a a n n a n a n ???∈≤+????+∑∑ ∑∑Q g 证明收敛收敛有已知收敛2 则绝对收敛. 5．求幂级数∑2n x n 的收敛域。 解：由于 2 12 1()(1)n n a n n a n +=→→∞+，所以收敛半径为1R =。即收敛区间为（-1，1），而当1x =±时，有() 22211n n ±=，由于级数21n ∑收敛，所以级数∑2n x n 在1x =±时也收敛，从而这个级数的收敛域为[-1，1]。 习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 0088《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确 （正确） 2. 函数()2cos 1f x x =-为(,)-∞+∞上的有界函数 （正确）. 3．函数()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数. （正确） 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2 {}n a 也收敛. （正确） 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 不一定收敛. （正确） 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. （正确） 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. （错误） 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确） 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定有定义. 二、选择题 1．设???>-≤+=1 ,31,1)(x x x x x f , 则 5 [()]2f f =( A ) A 23 ； B 25 ； C 29 ； D 2 1- 2．设函数1,()0,x f x x ?=?? 为有理数 为无理数 ， 则 (0)f f -=（ A ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 1 2 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ C ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； (单选题)1: 如图所示A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)2: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)3: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)4: 题面见图片A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)5: 题目如图A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 标准解答: (单选题)6: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)7: 如题 A: A C: C D: D 标准解答: (单选题)8: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)9: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)10: 如题A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)11: 如题A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)12: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)13: 如题A: A B: B C: C 标准解答: (单选题)14: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)15: 如图所示A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)16: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)17: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)18: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)19: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. (正确) 2. 收敛数列必有界. (正确) 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. (错误) 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. (正确) 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确) 二、选择题 1．设2,1()3, 1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( A ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2 2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的（ A ）. A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ C ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在； D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 《数学分析选讲》课程教学大纲 一、《分析选讲》课程说明 课程代码：0741123110 课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis 开课对象：数学与应用数学本科生 课程的性质：考试 学时：72 数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。 本课程的前导课程为数学分析。 教学目的： 通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 教学内容： 本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。 教学时数 教学时数：７2学时 学分数：学分 教学时数具体分配： 教学方式 课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。 二、讲授大纲与各章的基本要求 第一章 函数与极限 教学要点： 本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。 教学时数：8学时。 教学内容： 第一节 函数 1.1 求函数的定义域与值域 1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式 1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程 第二节 极限 2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法 2.3 确定极限存在性的方法 考核要求： 通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。 第二章 实数的连续性 教学要点： 本章主要研究 《数学分析选讲》第二次作业 一．叙述下列定理 1.闭区间套定理； 答：若]},{[n n b a 是一个区间套，则存在唯一一点ξ，使得 Λ,2,1],,[=∈n b a n n ξ或Λ,2,1,=≤≤n b a n n ξ 2.聚点定理； 答：实轴上的每一个有界无穷点集必有聚点. 3.有限覆盖定理 答：闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. 4.积分第一中值定理 答：若f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得 ()()().a b f dx x f b a -=?ξ 二．求积分 （1）?-+-dx x x x )11(323 331233 :(111324 x x dx dx xdx x dx x x x x -+=-+-=-+-????解 （2）?+22d x x 222221 d 1112:d d arctan 222221122 x x x x x x x ===+++???解 （3）dx e e x x 3)1(+? **** 3341:(1)(1)(1)(1)4 x x x x x e e dx e d e e +=++=+??解 （4）?-357x dx *** ()()() 1322331:75755133755210x d x x x -=---=-?=--=?解 （5）? xdx x arctan ()2222222222222211:arctan arctan arctan arctan 22 1111arctan arctan 21211111arctan 1arctan 212111(1)arctan 22 x xdx x xdx x x x x x x x x dx x x dx x x x x dx x x dx dx x x x x x C ==-????+-=-=- ? ?++??????????=--=-+ ? ? ?++??? ???=+-+????????解 （6）? 'dx x f e x f )()( ()()()():()f x f x f x e f x dx e df x e c '==+??解 （7）?2ln e e x x dx 2222ln ln ln 1:ln ln ln ln ln 2ln ln e e e e e x e e e dx d x x x x ===-=??解 （8）? -1024dx x :32π=+? 解 （9）?-1 22d ||x x x 1 1 2222||d ||d x x x x x x --=??解: 三．讨论无穷积分dx x p ?+∞ 11的收敛性。 解：当1p ≠时 《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1．设2,1 ()3,1 x x f x x x +≤?=? ->?, 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数1,()0,x f x x ?=?? 为有理数 为无理数 ， 则 1)=f （ ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 1 2 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞ =，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞ =； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞ =-； 6．已知 2 lim( )01 x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D 1,1-=-=b a （0088）《数学分析选讲》网上作业题答案1：第一次作业 2：第二次作业 3：第三次作业 4：第四次作业 5：第五次作业 1：[判断题]两个无穷小量的和一定是无穷小量 参考答案：正确 1、应注意写出要点； 2、注意检查语法和拼写错误； 3、文理通顺，中心突出。 2：[判断题]两个无穷大量的和一定是无穷大量 参考答案：错误 1、应注意写出要点； 2、注意检查语法和拼写错误； 3、文理通顺，中心突出。 3：[单选题]设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x)) A：都是奇函数 B：都是偶函数 C：一是奇函数，一是偶函数 D：都是非奇、非偶函数 参考答案：A社会实践是检验认识是否具有真理性的唯一标准，这是由真理的本性和实践的特点所决定的。 第一，真理的本性是主观同客观相符合。要判明认识是否具有真理性的标准，只能通过一种能够把主观同客观联系、沟通起来的桥梁，这就是人们的社会实践，舍此别无它路。它成为“实践是检验真理的唯一标准”的内在根据。 第二，实践的过程是一个主体能动地使自己的目的物化或对象化的过程，因而它具有直接现实性。因此实践可以使主观与客观相对照，从而直接检验出主观认识是否与客观相符合以及符合的程度。 4：[判断题]闭区间上的连续函数是一致连续的 参考答案：正确 1、应注意写出要点； 2、注意检查语法和拼写错误； 3、文理通顺，中心突出。 5：[单选题]设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} A：收敛 B：发散 C：是无穷大 D：可能收敛也可能发散 参考答案：D 马克思主义认为，劳动创造了人本身，同时也就创造了人类社会。因此，只有实践，才是社会生活的真正本质。说实践是社会的本质，主要理由是： 首先，实践是社会关系的发祥地。 其次，实践构成了社会生活的基本领域。 最后，实践构成了社会发展的动力。 6：[判断题]最大值若存在必是上确界 参考答案：正确 1、应注意写出要点； 2、注意检查语法和拼写错误； 3、文理通顺，中心突出。 7：[判断题]若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。 参考答案：错误 1、应注意写出要点； 2、注意检查语法和拼写错误； 3、文理通顺，中心突出。数学分析选讲
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