微分中值定理及应用综述

微分中值定理及应用综述

谢娟 09211045

江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116

摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.

关键词：微分中值定理；关系；应用

引言

微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛.

1 浅谈微分中值定理

1.1 微分中值定理的基本内容

微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下:

1.1.1 罗尔定理

如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导;

( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一

点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即

()/0f ε=

几何分析

在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在

(),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在

平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/

()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助.

（图1）

1.1.2 拉格朗日定理

如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续;

( 2) 在开区间(),a b 内可导, 那么在区间(),a b 内至少有一点()a b εε<< , 使等式

()()()

/f b f a f b a

ε-=

-成立.

几何意义

从（图2）可知, 曲线()y f x =在[],a b 上是连续光滑的曲线(即拉格朗日定理的条件在几何上的反映), 那么曲线弧AB 在(),a b 上至少有一点的切线平行于弦AB (弦AB 的斜率为

()()AB f b f a k b a -=

-,在(),a b ε∈处的切线平行于AB, 则()()()/

AB f b f a f k b a

ε-==-

（图2）

1.1.3 柯西中值定理

如果函数()f x 及()F x 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 对任意(),x a b ∈，()/0F x ≠

那么在区间(),a b 内至少有一点ε ()a b ε<< , 使等式()()()()()

()

//f b f a f F b F a F εε-=

-成立.

2 三个定理之间的关系

在拉格朗日定理中, 如果()()f a f b =, 则变成罗尔定理; 在柯西中值定理中, 如果

()F x x = , 则变成拉格朗日定理.因此, 拉格朗日定理是罗尔定理的推广, 柯西中值定理是拉

格朗日定理的推广.反之, 拉格朗日定理是柯西中值定理的特例, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

3 微分中值定理的应用

微分中值定理主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质, 在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具.中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、拐点等项的重要性质.从而把握函数图象的各种几何特征.

3.1 讨论方程零点（根）的存在性问题

例[10]

1

、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >,试证在(),a b 内，方程

()()()()22/

2x f b f a b a f x -=-????

至少存在一个根. 证明：令()()()()

()222

F x f b f a x b a f x =---????

，显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且 ()()()()22F a f b a b f a F b =-=

根据罗尔定理，至少存在一个ε ，使()()()()22

/

2f b f a b a f εε-=-????.

故在(),a b 内，方程()()()()22

/

2x f b f a b a f ε-=-????

至少存在一个根.

由[10]中的例1，我们可以知道，在我们要讨论的方程中，除了二次方程根的问题容易讨

论之外，如果遇到复杂的方程，往往无从下手时，对于存在性的问题，我们可以分析题设条件，结合已学过的定理进行分析并解决.微分中值定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续、可导（并不要求区间端点可导），再加

一些看似苛刻但实不苛刻的条件,用罗尔定理，就可以解决一些复杂的代数方程的判根问题，其步骤相当简单，一般是：命题条件——构造辅助函数()F x ——验证()F x ——验证()F x 满足罗尔定理的条件——命题结论

3.2 求解不定式的极限

柯西中值定理的一个及其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限. （洛必达法则[5])若函数f 和g 满足： （i ）()0

lim 0x x f x →=，()0

lim 0x x g x →= ；

（ii ）在点0x 的某空心领域()00U x 内两者都可导，且()/0g x ≠；

（iii ）()

()

0//

lim x x f x A g x →=（A 可为实数，也可以为±∞或∞）， 则

()()()

()

00//lim

lim x x x x f x f x A g x g x →→== 证 补充定义 ()()000f x g x ==，使得f 与g 在点0x 处连续。任取()00x U x ∈，在区间[]0,x x （或[]0,x x ）上应用柯西中值定理，有

()()()()()

()

/0/0f x f x f g x g x g εε-=-

即 ()()()

()

//f x f g x g εε= （ε介于0x 与x 之间） 当令0x x →时，也有0x ε→，故得

()()()()()()

000////lim lim lim x x x x x x f x f f x A g x g g x εε→→→=== 注：若将其中0x x →换成0x x +→，0x x -→，x →±∞，x →∞，只要相应地修正条件（ii ）中的条件，也可得到同样的结论.

我们在仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件下可以化成这两个函数的导数的比值，这样就可能使得作为未定型的分式的分子和分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型.由这个思路，我们即得到了洛必达法则.

例[17]

2

．求21cos lim

tan x x

x

π→+

解 容易检验()1cos f x x =+与()2

tan g x x =在点0x π=的条件下满足洛必达法则的

条件，又因

()()/3/2sin cos 1lim lim lim 2tan sec 22

x x x f x x x g x x x πππ→→→-==-= 所以

()()()()//1

lim

lim 2

x x f x f x g x g x ππ→→== 例[17]

3

. 求ln lim

x x

x

→+∞

解 由洛必达法则有

()()

/

/ln ln 1

lim lim lim

0x x x x x

x x

x →+∞→+∞

→+∞===

由[17]中的例2和[17]中的例3，我们可以看出，利用微分中值定理不但可以在理论分析和证明中有着十分重要的作用，而且它也为求某些较难的极限提供了一种简单而有效的方法，其方法就是对极限题中的某些部分使用拉格朗日定理，然后求出其极限，[4],[6],[10]中均提到了微分中值定理在这方面的应用. 3.3 利用微分中值定理的证明

例[8]

4、 设()f x 定义于[]0,c ，()/f x 存在且单调下降，(0)0f =，试证明对于

0a b a b c ≤≤≤+≤，恒有()()()f a b f a f b +≤+。

分析：

()()()f a b f a f b +≤+?()()()()0f a b f b f a f +-≤-?()()()()//120f a b b f a εε+-≤-?()()//12f f εε≤，()1,b a b ε∈+，

()20,a ε∈?12εε≥

证明：由已知条件可知()f x 在区间[],b a b +和[]0,a 上均满足拉格朗日定理，于是()1,,b a b ε?∈+使得：()()()()/

1f a b f b f

a b b ε+-=+-，即

()()()/1f a b f b f a ε+-=。()20,a ε?∈，使得：()()()/20(0)f a f f a ε-=-，

即()()()/

20f a f f

a ε-=。

由于12εε≥，所以由已知()/

f

x 存在且单调下降，可得：()()//12f f εε≤，从

而有()()()()0f a b f b f a f +-≤-?()()()f a b f a f b +≤+

例[15]

5

、求证：当1x >时，13x

>-

。

证明 设辅助函数()f t =，在区间[]1,x 上对()f t 使用拉格朗日中值定理，则

()()()()/11f x f f x ε-=- ，()1,x ε∈

即

)21x

=-

由于()1,x ε∈，则有 1

x

>

> 因此

)1

21x x

x

-=->

整理可得

13x

>-

不等式的证明是高等数学的难点和重点，[15]中提到常用的方法是利用导数判断函数的单调性进而证明不等式，由例题5，我们可以总结下利用微分中值定理证明不等式的方法.

首先给出使用微分中值定理证明不等式的步骤：

（1） 构造辅助函数()f x ；

（2） 构造微分中值定理需要的区间[],a b ； （3） 利用(),a b ε∈，对()/

f

ε进行适当的放缩。

4 结束语

由上综述，我们对微分中值定理的理解和内在联系，在解题的时候会利用微分中值定理和几何意义思考解题，讨论方程零点（根）的存在性，求极限和证明不等式等方面的应用.微分中值定理的应用，除了本文介绍的几个方面，还有[8],[12],[15]中提到的其他最值、凹凸性等多方面的结论，所以深入研究微分中值定理，有助于加深对这些定理的理解，清楚这些定理的证明，能促使我们掌握微分中值定理的具体应用.

参考文献

[1] 党艳霞，浅谈微分中值定理及其应用. 廊坊师范学院学报.(自然科学报)2010(10):10-1. [2] 纪华霞, 微分中值定理的几个推广结论. 高等函授学报( 自然科学版)2006(06): 19-6. [3] 郭军, 微分中值定理之探讨. 兵团职工大学学报1999(06):2

[4] 孙学敏,微分中值定理的应用[J].数学科学研究,2009,28（10）：61-63 [5] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1991，3:113.

[6] 谭璐芸, 微分中值定理的应用. 辽宁师专学报.2007(03):9-1

[7] 庞永锋,赵验晖, 利用微分中值定理证明不等式. 高等数学研究.2009(09)

[8] 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究。1999.2（3）：29-32

[9] 无良森.数学分析学习指导（上）[M].北京：高等教育出版社，2004

[10] 王宝艳.微分中值定理的应用[J].雁北师范学院学报，2004.21（20）59-61

[11] 李成章，黄玉民.数学分析（上）[M]北京：科学出版社，2004

[12] 林添华，试论微分中值定理的证明和应用.佳木斯教育学院学报，2010.6.102

[13] 项明寅，方辉平，微分中值定理的不等式形式及其应用.新乡学院学报）自然科学版）.2009.26.1

[14] 王秀玲，微分中值定理的另类证明与应用.安庆师范学院学报（自然科学版）.2010.11

[15] 邢建平，徐湘云.微分中值定理的解题应用[J].中小企业管理与科技（上旬刊）.2010(08)158

[16] 刘章辉.微分中值定理及应用[J].山西大同大学学报,2007,23(2):79-81.

[17] 孙本旺.数学分析中的典型例题和解题方法[M]长沙：湖南科技出版

Differential Mean Theorem and Its Application

Xie Juan 09211045

Department of Mathematics, Jiang su Normal University, Xuzhou, 221116

Abstract:The differential mean value theorem is a general term for a series of mean value theorem, a powerful tool to study the function, Which including the Fermat's theorem, Rolle’s theorem, Lagrange theorem, Cauchy theorem, Taylor theorem, and L'Hospital rule. A group consisting of Rolle mean value theorem, Lagrange theorem of mean value theorem and Cauchy mean value theorem is the basic principle of the differential calculus, which is not only communicate the relationship between the function and its derivatives, but also build the bridge and foundation of application of differential theory. Firstly, this paper gives a description of some conditions in differential mean value theorem and introduces three differential mean value theorem and its relations. Secondly, on the basis of this, they author summering the differential mean value theorem in the study of function, discussing some equations zero (root) of existence, solving the problem of ultimate, and proving some inequality.

Key words: differential mean value theorem relationship application