华中农业大学 【精品】2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷
华中农业大学2016-2017学年第2 学期
高等数学A 期末考试试卷
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11
(1)n
p
n n ∞
=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是
（ ）
A ．2x y Ce =
B ．22x y Ce =
C ．22y y e Cx =
D ．2y e Cxy = 2．求极限
(,)(0,0)lim
x y →=
（ ）
A ．
14 B ．12- C ．1
4
- D ．12
3．直线:
327
x y z
L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ）
A ．直线L 平行于平面π
B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π
D ．直线L 与平面π斜交
4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，
则D
σ= （ ）
A ．33()2b a π-
B ．332()3b a π-
C ．334()3b a π-
D ．333()2
b a π
-
5．下列级数收敛的是 （ ）
A ．11(1)(4)n n n ∞
=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D
．1
n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
2. 计算二重积分22
D
x y dxdy x y
++??
，其中22
{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y
??+??。
4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方
向。
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6
．判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7．将函数1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=?
??，
求()f x 和()g x 。
参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3
3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分
采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分
得21
()2
x h x e C =+………………5分
故通解为1
2
x x y e Ce -=+………………6分
将初始条件0x =，2y =带入得3
2
C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分
2. 计算二重积分22
D
x y dxdy x y
++??
，其中22
{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分
则1
0,
12
sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以12
12220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθθ+++=+????………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-?………………6分
42
π
-=………………7分
3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z
x y
??+??。
解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)
x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=
?++-?++-……6分 所以
1z z x y
??+=??………………7分
4. 求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针
方向。
解：圆的参数方程为：cos ,
sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤
……………1分
220
()()(cos sin (cos sin )cos )sin L
x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π
π
++-=+-+??
?……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-?
………………4分
2
2
0[sin 2cos 2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
11
1
D
y
dx y -=???………………2分
3
12621
12[(1)63x y -=-?+-?………………4分
13
11(||1)9
x dx -=-
-?………………5分 13
02(1)9x dx =--?………………6分
1
6=………………7分 6.
判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解：(1)11n n n n n -=++1分 ()n n
→∞………………3分 所以级数发散。………………4分
又
(1)1(1)(111n n n n n -=--++
5分
1
n n +=………………6分
显然，交错级数1n n ∞
=
1n
n ∞
=都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
收敛。………………7分
7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
解：
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222
x x
x x =+++<-………………4分
所以
221
11[1()](1)(2)222
x x x x x x =+++
-+++--………………5分
10
1
(1)2
n n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=+
+=??=-+=??=+-=?=++-=?
?………………4分
解得
1
(12
x =
-………………5分
得两个驻点为12
1111(2(222
22P P =---=--
-- …………………6分
………………7分
2. 求幂级数1(1)(1)!
n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
解：因为0!n x
n x e n ∞
==∑，所以0
(1)!n n x
n x e n ∞
-=-=∑，………………1分
00
(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n
n n nx n x S x n n ∞
∞
==--+-==++∑∑………………2分
00
(1)(1)!(1)!n n n n
n n x x n n ∞
∞==--=-+∑∑………………3分
(1)!n n
x n x e n ∞
-=-=∑………………4分 110010010(1)(1)!
11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x x
n x n ∞
+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++??
--=-=--????=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)
x ≠…………5分 所以
1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠
故1
()(1)(0)x x S x e e x x
--=--≠……6分
当0x =时，()0S x =。………7分
另解：
当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞
∞∞===??
---==??++-??
?∑∑∑ 1111001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-??????--??==-??????--????????
??∑∑ 0
01(1)!n x n n x n x x dx ∞=-=-∑?
11x
x
x x
x dx
e x d e x x --=-=??
()1
1x x e e x x
--=
+- 11x x e e x x --=+-
当0x =时，()0S x =。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=?
??，
求()f x 和()g x 。 解：由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分
由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分
又由(0)1f =，(0)0g =得， 2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分
高等数学上册教案
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word
word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：
高等代数II期末考试试卷及答案A卷
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
高等数学(下册)考试试卷1——5
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ??≤++1 ||||22 )ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 22≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
高等数学大一上学期知识要点
高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论
结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',
且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。
高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,, ,n λλλ，()f x 为任一多项式， 则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是 12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
(完整版)高数_大一_上学期知识要点
总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（）
A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则
济南大学大一上学期高等数学试题
高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案 一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、设函数(1)y z xy =+，则dz = 2、曲面2222223x y y z z x ++=在点(1,1,1)--处的切平面方程为____ 3、2 1122 2 0()x x I dx x y dy - =+??= . 4、曲面积分()()22 2x y z dydz y dzdx z z dxdy ∑ -++++?? ò= ，其中，∑ 为z 与()0z h h =>所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧. 5、幂级数()102n n n x ∞ -=-∑的收敛域为 . 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、函数22z x y =+在（1,1）点沿()1,1l =--v 方向的方向导数为（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 最小 (D) 最大 2、函数24242 42,00,0x y x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)处（ ）. (A)不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在 (C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在 3、计算22()()L x y dx x y dy x y +--+??=（ ），其中L 为222x y a +=（按逆时针方向绕行）． (A)0 (B)2π- (C) 2π (D) π 4、设(,)f x y 连续,且(,)(,)D f x y xy f u v dudv =+??,其中D 由 20,,1y y x x ===所围 成,则(,)f x y =（ ）. (A) xy (B) 2xy (C) 1xy + (D) 18 xy + 5、设级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和为S ，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于（ ）. （A ）1S a + （B ）2S a + （C ）12S a a +- （D ）21S a a +- 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分) 1、设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，计算z x ??，z y ??. 2、计算22 ()L x y ds +?，其中，L 为曲线(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-， (0,02)a t π>≤≤．
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等数学下册期末考试试题附标准答案75561
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．
高等代数试题库上课讲义
高等代数试题库
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是 （ ）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为 D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案.docx
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计 80 分 ) 1、 (本小题 5 分 ) 求极限 lim x 3 12 x 16 3 9x 2 12x 4 x 2 2x 2、 (本小题 5 分 ) 求 x x 2 ) 2 dx. (1 3、 (本小题 5 分 ) 求极限 limarctan x arcsin 1 x x 4、 (本小题 5 分 ) 求 x d x. 1 x 5、 (本小题 5 分 ) 求 d dx x 2 1 t 2 dt ． 6、 (本小题 5 分 ) 求 cot 6 x csc 4 x d x. 7、 (本小题 5 分 ) 2 cos 1 dx ． 求 1 12 x x 8、 (本小题 5 分 ) 设 x e t cost 2 确定了函数 y y( x), 求 dy ． y e 2t sin t dx 9、 (本小题 5 分 ) 3 求 x 1 x dx ． 10、 (本小题 5 分 ) 求函数 y 4 2 x x 2 的单调区间 Y 11、 (本小题 5 分 ) 求 2 sin x ． 8 sin 2 dx x 12、 (本小题 5 分 ) 设 x t ) e kt (3cos t 4 sin t ，求 dx ． ( ) 13、 (本小题 5 分 ) 设函数 y y x 由方程 y 2 ln y 2 x 6 所确定 , 求 dy ． ( ) dx 14、 (本小题 5 分 ) 求函数 y e x e x 的极值 2 15、 (本小题 5 分 ) 求极限 lim ( x 1)2 (2x 1)2 ( 3x 1) 2 (10x 1)2 x (10x 1)(11x 1) 16、 (本小题 5 分 )
2019高数(下)试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
第二学期高数模拟试题
1 高等数学 期末模拟题 1、设级数 a n x ?1 n ∞n=0在x=2处是条件收敛的，则幂级数 a n y n ∞n=0的收敛半径为 。 2、设a = 2,1,2 ,b = 4,?1,10 ,c =λb +a ,a ⊥c ,则λ= 。 3、lim x →0y →0 1+xy 1 x = 。 4、设D.x 2+y 2≤4,且 f x,y dxdy =a,D 则 f x,y +2x 2y dxdy D = 。 5、微分方程y ∕+2xy 2=0的通解为 。 6、幂级数 (?1) n n ∞n=1x n 的收敛区间是 。 7、设u =xy 2z ，M (3,2,1)，则gradu|M = ; ?u ?x + ?u ?y + ?u ?z |M = 。 8、z=xcos （xy ），则dz| π4,π 4 = 。 9、求I= （x 2+y 2）dv Ω其中Ω是由曲面z=x 2+y 2，平面z=a （a>0）所围成的闭区域. 10、改变积分次序 dy 3 0 f （x ，y ）dx 3y y 2= 。 11、微分方程y"—4y ˊ+3y=8e 5x 的特解可设为 。 12、幂级数 nx n+1 ∞n=1的和函数为 。
13、设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f x y ,xy,求 ?2z ?x2 . 14、计算二次积分I=x2+y2dxdy D ,常数a>0，其中D由y=2ax?x2,y=0围成。 15、设C是位于第一象限的半圆弧x?22+y2=4由点A(4,0)到点O（0，0）的弧段， （1）判断曲线积分I=xe2y dx+x2e2y+1dy C 与路径无关；（2）求I的值。 16、D是由y2=x,y+x=2所围成的闭区域，计算xydσ D . 17、设曲面为下半球面z=? a2?x2?y2(a>0)的下侧，试用高斯公式计算曲面积分 I=xdydz+ydzdx+zdxdy. Σ 18、在曲面z=x2+y2上求一点M0(x0,y0,z0)，使该点处的法线垂直于平面2x+2y-z=1，并写出该法线 方程. 19、求微分方程的通解 y/+ 2y x = sin x x2 . 20、制造一个容积为V的长方体得无盖箱子，问当长、宽、高各取多少时，才能使所用材料最省？ 21、某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销量收入R万元与电视广告费用X万元及报纸广 告费用y万元的关系为：R（x,y）=15+14x+32y-2x2-10y2，如果提供的广告费用为2.5万元，求最佳广告策略。 22、证明：曲面xyz=a3（a>0）上任意一点处切平面在三坐标轴上的截距之积为一常数。 2
长江大学下学期高数期末考试试题及答案
1.（4分）级数U n收敛的必要条件是 ____________________ n 1 1 y 2.（4分）交换二次积分的次序0dy °f （x, y）dx= ________________ 3. （4分）微分方程y 4y 4y 2xe2x的一个特解形式可以设 为__________________ . 4. （4分）在极坐标系下的面积元素d ____________________ . 二、选择题（每题4分，共16分） 2 2 1. （4分）已知曲面z 4 x y上点P处的切平面平行于平面
2x 2y z 1 0,则点P 的坐标是（ ). A. (1,-1,2)； B. (-1,1,2); 1 2. (4分)级数 (1)n1 3为( n 1 n 2 B.条件收敛; 是锥面x 2 A.绝对收敛; 3. （4分）若 （ y 2)dS ( ). C. (1,1,2)； C.发散; D. (-1,-1,2). D.收敛性不确定. z 2被平面z 0与z 1所截下的部分，则曲面 1 2 A. 0 d 0r rdr ; B. 0 r 2 rdr ; C. ^2 0d 0r 2 rdr ; D. d 0 「2 rdr . 4. （4分）幕级数 （1）n —的收敛半径为（ 、n ). A. 1. R 2; B. R -; 2 解答题(每题7分，共63分) (7 分)设 z sin(x y) e xy ,求 dz . C.R 3; D. R 2. （7分）计算三重积分I xdxdydz 其中 为三个坐标面及平面
x 2y z 1所围成的闭区域? 3. (7分)求I (1 y z)dS ,其中 是平面y z 5被圆柱面 x 2 y 2 25截出的有限部分. 4. (7分)求幕级数 (1) (x 1)"的收敛域. n 1 n 1 5. (7分)将f(x) 2展开为麦克劳林级数? 2 x x 6. (7 分)求曲线积分 I L (e x siny y)dx (e x cosy 1)dy ,其中 L 为 x 2 y 2 ax 上从A(a,0)到0(0,0)的上半圆周. 7. (7分)求微分方程y 2xy 4x 在初始条件y x 0 3下的特解. 8. (7 分)求曲面积分 I Q (X 1)dydz (2y 2)dzdx (3z 3)dxdy , 其中为 曲面x 2 y 2 z 2 4的内侧. 9. (7 分)计算曲线积分 I (x y)ds ,其中 L 是以 0(0,0) ,A(1,0),B(0,1) L 为顶点的三角形折线. 四、(5分)试确定参数t 的值，使得在不含直线y 0上点的区域上，曲线积分 2( 2 2) t x (x 2 y ) dy 与路径无关，其中C 是该区域上一条 y 评分标准 1 1 光滑曲线，并求出当 C 从 A(1,1)到 B(0,2)时 I 的值. / 2 2、t ,x(x y ), I dx C y 1.lim u n 0; n