论文 椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
江西省上犹中学 刘鹏
关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即
212
=1AB k x x +-或者2
112=1+()
k AB y y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：
22222cos ab AB a c θ
=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.
下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.
解法一：根据弦长公式直接带入解决.
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
椭圆方程122
22=+b
y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，
直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：
222222222
()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=
∴24
1212222222
2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴
2424222
22
112222222
2222244(1)=1+()1()1()k
mcb b a b m AB y y m
m b m a b m a b m a +-=+-+=++++
∴()22
222
21ab AB m b m a
=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90
,则1
tan m θ
=
，则有： ()222
2222
222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ
??=+=+ ?+??+,
由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2
222
2cos ab AB a c θ
=-……②. （2）若=90θ
，则0m =，带入()22
222
21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
()222232222222
2222222222
22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 2
2，故可知通径是最短的焦点弦，.
综上，焦点弦长公式为2
2222cos ab AB a c θ
=-.
解法二：根据余弦定理解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在
12AF F ?中，由余弦定理得
222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2
cos b x a c θ=-，在
12BF F ?中，由余弦定理同理可得2
cos b y a c θ=
+，则弦长 222
22
22=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.
解法三：利用焦半径公式解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：由解法一知222121212222222
22=()22m cb a c
x x my c my c m y y c c b m a b m a
++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-
故222221212222
22
2222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++
后面分析同解法一.
解法四：利用仿射性解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：利用仿射性，可做如下变换''x x
a y y
b =???=??
，则原椭圆变为222
(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，
a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为a
k b
.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过
变换后变为2
12''1()a
AB k x x b
=+-，带入，得变换前后弦长关系为
22
2
2
1=
''b k AB AB b a k
++……③
而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为
()a
y k x c b
=
-，圆心到直线的距离为2
1()
a kc b
d a k b
=+，根据半径
为a ，勾股定理求得弦长为
2
2222222
2(
)
(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b
+-=++，将此结果带入③中，
得
22
2222222222222222211(1)2(1)
=
''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k
++++++++，由tan k θ=，带入得 2
2222cos ab AB a c θ
=-.
上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：2
222
2cos ab AB a c θ
=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.
例1
已知椭圆
22
12521
x y +=，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.
解：由题，2
2
5,21,4=3a b c π
θ===，,带入2
222
2cos ab AB a c θ
=-得=10AB . 例2
已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与
椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；
（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN AB P ，2
AB
W MN
=
,试判断W 是否为定值？若是定值，
求出这个定值，若不是，说明理由.
分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得
2219
14a b
+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22
143
x y +=. （2）假设(,)A m n ，则2
2
2AB m n =+，设倾斜角为θ，则22
cos m m n
θ=
+，根据过焦点的
弦长公式则2
22
22
22
22
2
2
21234cos 12()4ab m n MN m a c m n m n θ
+===-+-+，故2
22=443AB m n W MN =+（）=4. 例3
如图，已知椭圆22
143
x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且123
4
F PF π∠=
，求四边形ABCD 的
面积的最大值.
分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234
F PF π
∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.
解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为
3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ
=-, 2124cos ()
4
BD π
θ=
--，221221212=
2244cos 4cos ()
4
S AC BD πθθ???=??---, 设2
2
()(4cos )(4cos ())4
f π
θθθ=---
71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448
θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ??+=∈-??
，
则2
sin 41t θ=-,带入得2
4971()+(1)448
f t t t =
-- 即21797()848
f t t t =
-+ min 99142
()8
f t -=
,此时2t =， 即sin 2cos22θθ+=，得到=
8
πθ. 综上，四边形ABCD 的最大值为2882
=
5.1499142
S ≈-.此时
=
8πθ，得到2l 的倾斜角为78
π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
椭圆的焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而 22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的 准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22 222 πc a ab -=5 16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为 3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22 222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12 AB x -或 者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭 圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程12222=+b y a x 可化为02 22222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222 221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式 求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为 ，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b 为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二 . 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理 ，则可求得弦长 （2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则， ，由余弦定理可得，
整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三 其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的 倾斜角为，求弦长|AB|？（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得
即 则 同理的焦点弦长为 的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一
椭圆的焦点弦长公式
在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点， 设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即 α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5 2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得 θ2222cos 2c a ab -=54a ， 因tan θ=3，得3 πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262 2=+y x 。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、 短半轴长和焦半距，则有θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及题设可得： 24c o s 816)22(422 2 =-??α ，解得 αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴， 直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π ，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的 方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为 1)1() 3(2 2 2 2 =-+ --b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线 为Y 轴，故有 32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有 3 cos 22 2 2 2 πc a ab -= 5 16 （2） 又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为 13 ) 1(4) 4(2 2 =-+ -y x 。 例3、已知椭圆C ： 12 22 2=+ b y a x （0>>b a ），直线1l ： 1=- b y a x 被椭圆C 截得的
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 AB = 1 k 2 x 1 x 2 或者 AB= 1+( k 1 )2 y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab 2 AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 . a 2 c 2 cos 2 下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 . 解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 . 22 题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB . 22 椭圆方程 x 2 y 2 1可化为 b 2x 2 a 2y 2 a 2 b 2 ??①， a 2 b 2 直线 l 过右焦点，则可以假设直线为： x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得： (b 2m 2 a 2)y 2 2mc b 2 y b 2 c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 2 2mcb 2 y b 4 ∴ y 1 y 2 b 2m 2 2mcb 2 2 ,y 1y 2 a b 4 b 2m 2 a AB = 1+( k 1 )2 y 1 y 2 1 m 2 ( 2 2 bm 2mcb 2 ) 2 2) a 4b 4 2 2 2 b m a 1 m 2 4a 2 b 4 (1 m 2 ) 2 2 2 2 (b m a ) ∴ AB 2ab 2 2 2 2 b m a 1m 1)若直线 l 的倾斜角为 ，且不为 90o ,则 1 tan ，则有： AB b 2m 2a 2b a 2 1 m 2 b m a 2ab 2 2 1 2 b 2 a tan 1 tan 2 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为 AB 2ab 2 2 2 2 a c cos ②. 2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB 2 2ab 2 2 2 2 b m a 1 m 2 ,得通径长为 2b 2 ，同样满足②式 .并且由 a
椭圆的焦点弦长公式(1)
椭圆的焦点弦长公式 θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长 AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。
圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22sin 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，
α 2cos ||H AB = . 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点， 设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长 解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即 α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5 2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得 θ2222cos 2c a ab -=54a ， 因tan θ=3，得3 πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262 2=+y x 。
论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应 用 江西省上犹中学 刘鹏 关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2 F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程122 22=+b y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y y -==
∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ= ，则有： ()222 2222 222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 2222cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式. 并且由 ()222232222222 2222222222 22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 2 2，故可知通径是最短的焦点 弦，. 综上，焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-. 解法二：根据余弦定理解决 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2 F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
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椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 江西省上犹中学 刘鹏 关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：2 2222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带 来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的 右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程122 22=+b y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得， 222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 12122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222221ab AB m b m a =++
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为 ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短 2ab 2 ~2 2 2 a c cos 上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭 圆于P 、Q 两点，设 PF 1X （0 长？ ），当 取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴 PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦 厂譬 —及题设可得： 2 4（2 ?斗 4 2，解得 a c cos 16 8cos 2 2 2 a c cos — 3 cos 2 2，即 arc cos . 2 2 或 arc cos . 2 2。 例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为 已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16 ，求椭圆 3 5 E 的方程。 分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（ X c 3） (y 21) 1，又椭圆 b 2 E 相应于 F 的准线为丫 轴，故有 a 2 （1），又由焦点弦长公式有 2ab 2 16 (2)又 a 2 b 2 (3) 。解由 （1）、 2 （2）、（3）联列的方程组得：a 2 4，b 2 从而所求椭圆 E 的方程为 (x 4)2 (y 1)2 F i F 2 2 2a b 2及其应用 a c cos 分析：由题意可知 点弦长公式F 1F 2 半轴长和焦半距，则有
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 2 2sin 1||e H AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 cos ||H AB = .
典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件