上海市2018-2019学年交大附中高三上期末数学期末试卷(详细答案)

交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷

2019.1

一、填空题

1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.

答案：{}

20<

2. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =_____. 答案：25

解析：25;24722=+=z i z

3. 函数()(

)4,4

3,4x x f x f x x -≥??=?+

解析：1)5()2()1(===-f f f

4. 已知1sin 43πα??-= ???，则cos 4πα?

?+ ??

?的值为______.

答案：3

1-

； 解析：3

1

)4(sin ))4(2sin()4cos(-=-=+-=+

αππαππ

α 5. 已知数列{}n a 的前n 项和()

2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______. 答案：12+n

解析：12)1(2)1(2221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n

6、已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥??

+≤??-≥-?

，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.

答案：]6,1[ 解析：

最大值在()2,0A 上取，最小值在()0,1B )1,0(上取得

6. 已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6

x π

=对称，则直

线20ax by ++=的倾斜角α=______. 答案：

π3

2 解析：)2sin()(22?++=x b a x f ， ππ

?π

k +=

+?

2

6

2， ππ

?k +=

6

，

,33tan ==

a b ?则20ax by ++=的倾斜角3

2,3tan παα=-=-=b a . 7. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼

插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90?样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.

答案：41π

41

441

4

Sππ

=?=.

9、已知()()()()()

232

012

1111n n

n

x x x x a a x a x a x n N*

++++++++=++++∈

L L且

012

126

n

a a a a

++++=

L

，那么

n

展开式中的常数项为_____

答案：20

-；

解析：126

)1

2(2

2

1

)

2

1(2

2

2

2

23

2=

-

=

-

-

=

+

+

+

+n

n

n

Λ6

=

n，则常数为20

)

1

()

(3

3

3

6

-

=

-

x

x

C

10、已知正实数x y

、满足2342

xy x y

++=，那么54

xy x y

++的最小值为____

答案：55

解析一：y

x

y

x

y

x

xy

y

x

xy+

+

=

+

+

+

+

=

+

+3

42

3

3

2

4

5

)

14

(3

3

42

)2

(y

y

y

x-

=

-

=

+，

2

)

14

(3

+

-

=

y

y

x

13

9

2

2

144

2

)

16

2

(9

2

)

14

(9

3≥

-

+

+

+

=

+

+

+

-

-

=

+

+

-

=

+y

y

y

y

y

y

y

y

y

x

55

4

5≥

+

+

∴y

x

xy

解析二：()()

23423248

xy x y x y

++=?++=，()()

2

45

45

2

x y

x y

+++

??

++≤ ?

??

11、已知等边ABC ?的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ?=u u u r u u u r

的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____

答案：]0,4

1(-

解析：设)3,0(),0,1(),0,1(B C A -，)11)(0,(≤≤-x x P

λ=+=?x x PB PA )1(

02=-+λx x 在]1,1[-上有两个根，则]0,4

1

(-∈λ

12、过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为A B 、，线段

AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为_________

答案：]2,2

2

(

解析：

第一种方法：作l OC ⊥，

θ=∠POC ，)2

,0[π

θ∈.

θcos 2

=PO ，θ

θθ

θcos 2cos 2cos 21cos 2

1222

2

-=-=-==PO PO PO PA PQ

点Q 到直线l 的距离为

)2,22

[2

cos 22∈-θ 第二种方法：

设),(00y x P ，则AB 方程为100=+y y x x ，OP 方程为x x y y 0

=

， ??

?

??==+x x y y y y x x 00001

，则Q 坐标为),(0

2

000200y x y y x x ++， A

→ →

P

Q

A

B

C

O

Q 到l

的距离为

22

21

2224422222202

002020202000-+-=-+-+=-++x x x x x y x y x 取值范围即为)2,2

2

[

二、选择题

13.已知定义域为R 的函数()()(]23121,22,2,21

,0

55x k x k k k N f x x x *

?---∈-∈?????

=??-≤?

，则此函数图像

上关于原点对称的点有（ ）

A 、7对

B 、8对

C 、9对

D 、以上都不对 答案：B

解析：作出)(x f 的图像，右边是一个周期函数，

为了找对称点，就是求5

1

52+=

x y 与)(x f 的右边的 图像的交点。注意的是，)3,7(是一个交点，而在)7,6(这个区间，靠近)3,7(的还有一个交点.故一共有8对对称点。

14.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它的三视图，则货架上的红烧牛肉

便面至少有（ ）

A.8桶

B.9桶

C.10桶

D.11桶

答案：B

解析：俯视图上看，左上角和右上角各对应3桶，左下角对应1桶，右下角对应1桶。 15.已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ） A.()()33f x f a a -≤+

B.()()5f x f a a -≤+

C.()()24f x f a a -≤+

D.()()()

2

31f x f a a -≤+

答案：C 解析：

4

2323233)3)(()(3))((33)()(22+≤++-≤++-=++≤++-=++-=-+-+=--+=-a a a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x x a f x f

16.若2a b c ===r r r ，且0a b ?=r r

，()()

0a c b c --≤r r r r ，则a b c +-r r r 的取值范围是（ ）

A.

0,222??+??

B.[]

0,2

C.

222,222??-+??

D.

222,2??-??

答案：D

解析：三个向量在一个圆上，c r 在另外两个向量之间劣弧内 或者等于另外两个向量中的一个，a b +r r

方向和大小确定，而

])4

,0[(cos 2884πθθ∈-+=-+c b a ρρρ，故原式范围为222,2??

-??.

三、解答题

17.在ABC ?中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知()cos23cos 1A B C -+=. （1）求角A 的值；

（2）若2a =，求ABC ?周长的取值范围。 答案：（1）1cos 32cos =+A A ，

→

02cos 3cos 22=-+A A 故2

1cos 2cos =

-=A A 或， 故3

π

=

A .

（2）)sin (sin 3

342sin sin sin sin 2C B C A a B A a c ++=++

= )6

sin(3cos 23sin 23sin 21cos 23sin )32sin(

sin sin sin π

π+=+=++=-+=+B B B B B B B B C B ]1,2

1

()6sin(∈+

π

B 故]6,4(∈c .

18.如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点。

（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -体积与圆柱体积的比.

19、交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边ABC ?田地（如图）建立芳香植物

生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路MN 、AP ，其中M 、N 分别为AC 、BC 的中点，点P 在CN 上.规划在小路MN 和AP 的交点O （O 与M 、N 不重合）处设立植物精油体验点，图中阴影部分为植物精油提炼处，空白部分为芳香植物生长区，A N 为出入口（小路宽度不计）.为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供芳香植物培育之用，费用忽略不计，为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元。

解析：（1）C A 1与AB 的所成角即为11B CA ∠

由题意，可以设2=AB ，则2,61111===B A C B C A

6

621

cos 11

111=

=∠C A B A B CA ，即所成角为66arccos

（1）若拟建的小路AO

百米，求小路ON 段的建造费用；

（2）设BAP θ∠=，求cos θ的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小，并求出最小建造总费用（精确到元）.

（1）2

1

4722cos 22222-=-+=?-+=

∠MO MO MO AM AO MO AM AMN ， 1=MO ，则1=ON ，则ON 段的建造费用为3万元.

（2）总费用（万元）为

θ

θπθθπθsin cos 3334932sin sin 24)]3sin(sin 22[3-+=?+--

?=y ， 21)2

tan 12tan 7(232cos 2sin 2cos 2sin 7232cos 2sin 2sin 32cos 32cos 42sin 423sin cos 33342

22222≥+=+=+-+=

-θ

θθθθ

θθθθθθθθθ，

故219min +=y 造价最小值为135826元，取最小值时，4

3cos =

θ 20、过抛物线2:2C y px =（其中0p >）的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点的纵坐标之积为16-. （1）求抛物线C 的方程；

（2）当AF BF ≠时，求OF OF AF

BF

+的值；

（3）对于x 轴上给定的点(),0D n （其中2n >），若过点D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点。

解：（1）设AB 方程为2

p

x ky -

= ??

??

?-==222p x ky px

y 020)2(22

22=--?=+-?p pky y p ky p y 由题意，162=-p 而0>p ，则4=p ，C 方程为x y 82=

（2）和（1）一样的设法，并设),(),,(2211y x B y x A 则

116

164

642))(1(4)(121,1)2

(22

2122122122

2122

121=++=-+-++=+=++=+=+-=k k y y k y y y y k p BF AF BF AF OF BF OF AF OF y k BF y k y p x AF

（3）BD 方程为)(22n x n x y y --=

，P 坐标为))2(,2(22n n x y

----， PA 方程为)(2

)2(1122

11x x x n n

x y y y y -+----

=

-，

当0=y 时，则有)(22122

2112111x x n

x ny y ny y x y y x --++-=

--，

21211112122112112111212)2(22y nx y x y nx y x x x ny y ny y x ny y x y nx y x x --+-++-=+-+-

x ny y ny y x y nx y x ny y x )2(222221122121112++-=+++-

x ny y ny y ky y ky n y ky ny y ky ]2)2[()2()2(22)2(2221122121112++-+=++++++- x ny ny k k ny nk y k ny y k ]1616[2164322432212211+-+-=+-+-+- x ny ny y y )(442112+-=-

n

x 4=

∴， 所以直线AP 与x 轴交于一定点为)0,4(n

.

21.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，公比为q ，n S 为数列{}n a 的前n 项和。

（1）若3520a a +=，求

8

4

S S ； （2）若调换5a 、6a 、7a 的顺序后能构成一个等差数列，求q 的所有可能值；

（3）是否存在正常数c 、q 使得对任意正整数n ，不等式

2n

n S S c

>-总成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（1）2042=+q q 则42=q

17144

8

=+=q S S （2）46556422q q q q q q =+=+或

即0201222=-+=+-q q q q 或

则212

1或或-=q

（3）

022>-+-c

S c

S S n n n 则c S c n 2<<

c c 21<<则12

1

<

c q

c 211

<-<

，0>q c

q c 21

111-<<-

，0>q 则)2

1

,0(∈q

20-（3）的同类题

1、已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-.

（1）求抛物线C 的方程；

（2）已知点()4,0D ，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点.

解析：（1）24y x =；

（2）解法一：设()()

22,2,,2A m m B n n ，则1mn =-， 直线DB ：()2244

n y x n =

--，则2101,4n P n ??

--

?-??， 设定点为(),0H h ，则2

21024,1

AH HP

n m n k k h m h

-=

=+- 又,1AH

HP k k mn ==- ，22

10241n m

n h m h

-=+-，化简得14h =. 解法二：联立24,1y x x ty ==+，可得12124,4y y y y t =-+=， 因D B P 、、三点共线，22

225,

,544

p PD BD p y y y k k y x x -==

=---， 因A M P 、、三点共线，111

11,

,1p p AM MP P

y y x y y k k m x m m y y ---===-+-，故

()()()()()2

11

21211221211212121212

12122112212112211221215511445454514544534531

5353444

y x y y ty ty y y x y x x y y m y y x y y y ty y y y x y y y y ty y y y y y ty y y y y y y y y y -+-++--+===

-++-++--++++++-=

===

+--++--