非齐次边界条件问题(10.30)

（10.30）非齐次边界条件问题

问题1

, (,0)(), (0,)0, (,)(0)t xx u ku u x f x u t u l t A A ====≠

求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t 无关的解0()u x ，将其代入原方程后可得

[][]00()0()t xx u x k u x ==

解得

0()u x px q =+

式中，p 、q 为待定系数。根据边界条件可得

0(0)0u q ==

0()u l A pl q ==+

解得

, 0A p q l

== 所以

0()A u x x l

=

构造函数 0(,)()(,)u x t u x v x t =+

代入原方程可得

[][]00()()t t xx t xx u u x v k u x kv =+=+

化简后可得

t xx v kv =

又由初始条件可得

0()(,0)()(,0)f x u x u x v x ==+

所以

0(,0)()()v x f x u x =-

由边界条件还可以得到

(0,)(,)0v t v l t ==

因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解

0, (,0)()(), (0,)(,)0t xx v kv v x f x u x v t v l t ==-==

由变量分离法，首先假设

(,)()()v x t X x T t =

进而有

()'()"()()X x T t kX x T t =

移项整理得

''()'()()()

X x T t A X x kT t =≡ 其中A 是与x , t 都无关的常数，于是有

'()()T t AkT t =

"()()X x AX x =

分别求解，对于()T t

d ()d ()T t Ak t

T t =??

所以

0()Akt

T t C e =

对于()X x ，当0A ≥时，都可以得到()0f x ≡，与题设不符。当0A <时，此微分方程所

对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为

012()()X x e C C =+

由边界条件有

(0)()0, ()()0X T t X l T t ==

因为()T t 不恒为0，所以有

(0)0, ()0X X l ==

将上式代入()X x 的通解可得

10C ==

因此

22

2, n n A l ππ==-

其中n 为整数。所以

2()sin n X x C x l π=

2202()exp n k T t C t l π??=- ???

进而有

222(,)sin exp n n n n k v x t C x t l l ππ??=- ???

由上式可知，对于每个不同的n ，都有一个(,)n v x t 与之对应。而0(,0)()()v x f x u x =-，而()f x 和0()u x 都是给定的函数，所以此处得到的(,)n v x t 仍然不是方程的解。