选修2-2 1.6 微积分基本定理练习题
选修2-2 1.6 微积分基本定理
一、选择题
1．下列积分正确的是( )
A.
1227
1
3
=?
x
dx
B.e e dx x e x
-=?
2
1
21 C.()
3
16122ln 0=+?dx e e x
x 222
=?-π
πxdx D.
[答案] A [解析]
122
3
27232
3
32
271
3
227
1
3
127
1
3
=-?===?
?
-
x dx x x
dx
2.
=???
?
?+?-dx x x 2
2421 A.21
4 B.54 C.33
8
D.218
[答案] A
[解析] ??2－2????x 2＋1x 4d x ＝??2－2x 2d x ＋??2－21x 4d x ＝13x 3| 2－2＋????－13x －3| 2－2
＝13(x 3－x －
3)| 2
－2 ＝13??
??8－18－13???
?－8＋18＝214.
故应选A. 3.
?
-1
1
|x |d x 等于( )
A.??1－1x d x
B.?
?1－1d x
C.?
?0－1(－x )d x ＋??0
1x d x
D.?
?0－1x d x ＋??0
1(－x )d x
[答案] C
[解析] ∵|x |＝?
???
?
x (x ≥0)－x (x <0)
∴??1－1|x |d x ＝?
?0－1|x |d x ＋??0
1|x |d x
＝?
?0－1(－x )d x ＋??0
1x d x ，故应选C.
4．设f (x )＝?????
x 2 (0≤x <1)
2－x (1≤x ≤2)，则?
?0
2f (x )d x 等于( )
A.3
4 B.4
5 C.56
D ．不存在
[答案] C
[解析] ??0
2f (x )d x ＝??0
1x 2d x ＋?
?1
2(2－x )d x
取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －1
2x 2， 则F ′1(x )＝x 2，F ′
2(x )＝2－x
∴??0
2f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)
＝13－0＋2×2－12×22－???
?2×1－12×12＝56.故应选C.
5.??a
b f ′(3x )d x ＝( )
A ．f (b )－f (a )
B ．f (3b )－f (3a )
C.1
3[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )]
[答案] C
[解析] ∵????13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝1
3f (3x )，则
??a
b f ′
(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝1
3[f (3b )－f (3a )]．故应选C.
6.??0
3|x 2－4|d x ＝( )
A.21
3 B.223 C.23
3 D.253
[答案] C
[解析] ??0
3|x 2－4|d x ＝??0
2(4－x 2)d x ＋?
?2
3(x 2－4)d x
＝????4x －13x 3| 2
0＋???
?13x 3－4x | 32＝233
. 7.
θθπ
d ?
??
? ??-3
22sin 21 的值为 （ ）
A ．－3
2 B ．－12 C.1
2
D.32
[答案] D
[解析] ∵1－2sin 2θ
2＝cos θ
2
3
sin cos 2sin 213
30302=
==??? ?
?
-∴??π
ππθθθθd d ，故应选D 8．函数F (x )＝??0
x cos t d t 的导数是( )
A ．cos x
B ．sin x
C ．－cos x
D ．－sin x
[答案] A
[解析] F (x )＝??0
x cos t d t ＝sin t | x
0＝sin x －sin0＝sin x . 所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若??0
k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．以上都不对
[答案] C
[解析] ?
?0
k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k
＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝0或1.
10．函数F (x )＝??0
x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0和最小值－32
3 C ．有最小值－32
3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B
[解析] F (x )＝?
?0
x (t 2－4t )d t ＝????13t 3－2t 2| x
0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．
F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：
x (－1,0) 0
(0,4) 4
(4,5) F ′(x ) ＋
0 －
0 ＋
F (x )
极
大值
极
小值
可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－32
3. 又F (－1)＝－73，F (5)＝－25
3 ∴最大值为0，最小值为－32
3.
二、填空题
11．计算定积分： ①?
?1－1x 2d x ＝________
②??23???
?3x －2x 2d x ＝________
③??0
2|x 2－1|d x ＝________
④?
?0－π2
|sin x |d x ＝________
[答案] 23；43
6；2；1
[解析] ①?
?1－1x 2d x ＝13x 3| 1
－1＝2
3
. ②??23????3x －2x 2d x ＝???
?32x 2＋2x | 3
2＝436.
③??0
2|x 2－1|d x ＝??01(1－x 2)d x ＋??1
2(x 2－1)d x
＝????x －13x 3| 1
0＋????13x 3－x | 2
1＝2.
④
()1cos sin sin 02
2
2
==-=-
--
??
π
ππ
x
dx x dx x
12..________2cos 2sin 2
20=??? ?
?
+?dx x x π
[答案] 1＋π2
[解析]()()12cos sin 12cos 2sin 2
202
20+=-=+=??? ?
?+??ππ
ππ
x x dx x dx x x 13．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．
[答案] 1
3
[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝?
?0
13x 2dx ＝x 3| 1
0＝1，则P ＝S 1S 阴＝1
3. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若?
?1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.
[答案] －1或1
3
[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴?
?1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，
∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.
即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或1
3.
三、解答题
15．计算下列定积分： (1)??052x d x ；(2)??0
1(x 2－2x )d x ；
(3)??
2(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)
?
?1
2x 2＋2x －3
x d x .
[解析] (1)??0
52x d x ＝x 2| 5
0＝25－0＝25. (2)??01(x 2－2x )d x ＝??01x 2d x －??0
12x d x
＝13x 3| 10
－x 2| 10＝13－1＝－2
3. (3)??02(4－2x )(4－x 2)d x ＝??0
2(16－8x －4x 2＋2x 3)d x
＝???
?16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 2
0 ＝32－16－323＋8＝403.
(4)??1
2x 2＋2x －3x d x ＝??1
2?
???x ＋2－3x d x ＝???
?12x 2＋2x －3ln x | 2
1＝72－3ln2.
16．计算下列定积分：
(1)?46
2cos π
πxdx (2)dx x x 2
3
21?????
??+ (3) ()?+2
sin 3π
dx x x (4)?
b
a
x dx e
[解析] (1)取F (x )＝1
2sin2x ，则F ′(x )＝cos2x
∴???
??-=?6)4(2cos 46
πππ
πF F xdx
＝12? ????1－32＝1
4(2－3)．
(2)取F (x )＝x 2
2＋ln x ＋2x ，则 F ′(x )＝x ＋1
x ＋2.
∴??23
? ????x ＋1x 2d x ＝??23?
???x ＋1x ＋2d x ＝F (3)－F (2)
＝????92＋ln3＋6－???
?12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln 32.
(3)取F (x )＝3
2x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x
∴()()18302sin 3220+=-??
?
??=+?πππ
F F dx x x
(4)取()x
e x F =，则x
e x F =)('
∴a b b
a
x
b
a
x e e e dx e -==?
17．计算下列定积分：
(1)??0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝
，求?
?3
－1
f (x )d x 的值．
[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝
∴?
?0－4|x ＋2|d x ＝－??－4
－2(x ＋2)d x ＋?
?0－2(x ＋2)d x
＝－????12x 2＋2x | －2
－4＋????12x 2＋2x | 0
－2
＝2＋2＝4.
(2)∵f (x )＝
∴??3－1f (x )d x ＝?
?0－1f (x )d x ＋??01f (x )d x ＋??12f (x )d x ＋??23f (x )d x ＝??01(1－x )d x ＋??1
2(x －1)d x
＝????x －x 22| 10＋????x 2
2－x | 21 ＝12＋1
2＝1.
18．(1)已知f (a )＝??0
1(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；
(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0
1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．
[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－1
2a 2x 2 则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝??0
1(2ax 2－a 2x )d x
＝F (1)－F (0)＝23a －1
2a 2
＝－12????a －232＋29 ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.
(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而??01f (x )d x ＝??0
1(ax 2＋bx ＋c )d x
取F (x )＝13ax 3＋1
2bx 2＋cx 则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c
∴??0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋1
2b ＋c ＝－2③
解① ② ③ 得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1 11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ? 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： （1）2 11dx x ?； （2）3211(2)x dx x -?。 解：（1）因为'1(ln )x x =， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 （2））因为2''211()2,()x x x x ==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习：计算 120x dx ? 解：由于313 x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 1 / 2 1.6 微积分基本定理 自主探究学习 1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()b a f x dx F b F a =-?. 2. 定积分的性质：()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+< 第十四节 定积分与微积分基本定理（理） 时间：45分钟分值：75分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1 2x 2dx , S 2= ；dx , S 3 = 2e x dX ，贝U S i , 1 1 1 B . S 2牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
定积分及微积分基本定理练习题及答案
§1.6微积分基本定理
要点讲解：微积分基本定理
(完整版)2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(2015年高考总复习)