高考物理专题_机械能守恒定律

图5-1-1

机械能守恒定律

第1课时 追寻守恒量 功

基础知识回顾

1．追寻守恒量

(1) 能量:简称"能".物质运动的一般量度.任何物质都离不开运动,如引力运动、机械运动、分子热运动、电磁运动、化学运动、原子核与基本粒子运动......等.对运动所能作的最一般的量度就是能量,用数学的语言说,能量是物质运动状态的一个单值函数.相应于不同形式的运动,能量分为机械能、内能、电能、磁能、化学能、原子能等.当物质的运动形式发生转变时,能量形式同时发生转变.能量可以在物质之间发生传递,这种传递过程就是作功或传递热量.例如,河水冲击水力发电机作功的过程就是河水的机械能传递给发电机,并转变为电能.自然界一切过程都服从能量转化和守恒定律,物体要对外界作功,就必须消耗本身的能量或从别处得到能量的补充.因此.一个物体的能量愈大,它对外界就有可能做更多的功.

(2) 机械能:物质机械运动的量度.包括动能、重力势能和弹性势能.

(3) 动能:物体由于运动而具有的能量.

(4) 势能:相互作用的物体凭借其位置而具有的能量.

2．功的概念

（1）定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力做了功. （2）做功的两个必要条件：a 、力； b 、物体在力的方向上发生位移.

（3）功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号J ，其物理意义是：1J 等于1N 的力使物体在力的方向上发生1m 的位移时所做的功. （4）功是标量，只有大小，没有方向.

（5）功是过程量，即做功必定对应一个过程（位移）应明确是哪个力在哪个过程中对哪个物体做功.

3、功的计算

（1）功的一般计算公式： W=Flcos θ （2）条件：适用于恆力所做的功 （3）字母意义：F ——力

l ——物体对地位移

θ——F 、l 正方向之间的夹角

4、正负功的意义

（1）根据功的计算公式W=Flcos θ可得到以下

几种情况：

①当θ＝90o 时，cos θ＝0，则W ＝0即力对物体

不做功；

②当00

≤θ<90o 时， cos θ>0，则W >0，即力对物体做正功；

③当90o <θ≤180o 时，则cos θ<0，即力对物体做负功，也常说成物体克服这个力做功； （2）功的正负既不表示方向，也不表示大小，它表示：正功是动力对物体做功，负功是阻力对物体做功.

5、作用力与反作用力的功

作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功也可能做负功；不要以为作用力与反作用力大小相等，方向相反，就一定有作用力、反作用力的功，数值相等，一正一负.

6、总功的求法

（1）先求外力的合力F 合，再应用功的公式求出W=F 合l cosα （2）先分别求出各外力对物体所做的功W 1、W 2、W 3……，总功即这些功的代数和：W =W 1+W 2+W 3+……

重点难点例析

一、判断力是否做功及其正负的方法：

1.看力F 与l 夹角α——常用于恒力做功的情形.

2.看力F 与v 方向夹角α——常用于曲线运动情形.

若α为锐角做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功.

【例1】如图5-1-1所示，小物体位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物体的作用力（ ）

A.垂直于接触面，做功为零；

B.垂直于接触面，做功不为零；

C.不垂直于接触面，做功为零；

D.不垂直于接触面，做功不为零.

【解析】由于斜面是光滑的，斜面对物体的作用力

只有支持力N ，方向一定垂直于斜面.若斜面固定不动，物体沿斜面运动时，支持力N 与物体位移方向垂直，不做功，但当斜面不固定时，物体沿斜面下滑的同时，在N 的反作用力作用下，斜面要向后退，如图5-1-1所示，物体参与了两个分运动：沿斜面的下滑；随斜面的后移，物体的合位移l 与支持力N 的夹角α大于90°，故支持力N 对物体做负功，做功不为零.选项B 正确. 【答案】B

●

拓展

下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ） A ．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功 B ．平抛运动中，重力对物体做的功

C ．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s ，运动员对杠铃做的功

D ．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功

【解析】：A 引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功.C 杠铃在此时间内位移为零.D 木块的支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功.故A 、C 、D 是正确的. 【答案】ACD

二、求变力的功:

1.化变力为恒力：

(1) 分段计算功，然后用求和的方法求变力

所做的功.

(2)用转换研究对象的方法求变力所做的功. 2. 若F 是位移l 的线性函数时，先求平均值

12

2

F F F +=

，由αcos l F W =求其功.

例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?

解：

()

22

kd kd k d d d d '++'?=

∴1)d d

'= 3. 作出变力变化的F －l 图象，图象与位移轴

所围的“面积”即为变力做的功.

在F-l 图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功.对于方向不变，大小随位移变化的力，作出F-l 图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功,上述例题也可用图象法

来求解.因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度

成正比，即F =kd ，其图象为图5-1-2所示.

铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OA B 的面积与梯形ABCD 的面积相等，

即[]')(2

1)(2

1d d d k kd kd d ?'++=?

解得

1)d d '=

【例2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h ，空气的阻力大小恒为F ，则

从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ） A ．0 B ．－Fh C ．－2Fh D ．－4Fh

【解析】从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，

即()()Fh Fh Fh W W W 2-=-+-=+=下上 【答案】C

【点拨】空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做功时，不可简单地套用功的计算公式

αcos Fl W =得出W =0的错误结论.从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程小球路程的乘积.

●

拓展

如图5-1-3在光滑的水平面上，物块在恒力F ＝100Ｎ的作用下从A 点运

动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，Ｈ＝2.4 ｍ，α＝37°，β＝53°，

求绳的拉力对物体所做的功.

【解析】绳的拉力对物体来说是个变力（大小不变，方向改变），但分析发现，人拉绳却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子做的功来求绳对物体所做的功W =F ·l =F (β

α

sin sin H H -)=100 J

【答案】W =F ·l =F (

β

α

sin sin H H -

)=100J

三、分析摩擦力做功:

Kd+d

图5-1-3

不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功.力做功是要看哪个力对哪个物体在哪个过程中做的功，而不是由力的性质来决定的.力做正功还是做负功要看这个力是动力还是阻力.摩擦力可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直.

☆ 易错门诊

【例3】物块从光滑曲面上的P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q

点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图5-1-4所示，再把物块放到P 点自由滑下则（ ） A.物块将仍落在Q 点

B.物块将会落在Q 点的左边

C.物块将会落在Q 点的右边

D.物块有可能落不到地面上

【错解】因为皮带轮转动起来以后，物块在皮带轮上的时间长，相对皮带位移量大，摩擦力做功将比皮带轮不转动时多，物块在皮带右端的速度将小于皮带轮不动时，所以落在Q 点左边，应选B 选项.【错因】学生的错误主要是对物体的运动过程中的受力分析不准确.实质上当皮带轮逆时针转动时，无论物块以多大的速度滑下来，传送带给物块施的摩擦力都是相同的，且与传送带静止时一样，由运动学公式知位移相同.从传送带上做平抛运动的初速度相同，水平位移相同，落点相同.

【正解】物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动.离开传送带时做平抛运动.当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反. 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q 点，所以A 选项正确.

【点悟】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了.

（1）当v 0=v B 物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q 点的右边.

（2）当v 0＞v B 物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q 点右边.

（3）v 0＜v B 当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q 点，第二种落在Q 点的右边.

课堂自主训练

1.如图5-1-5所示，木块A 放在木块B 的左上端，用恒力F 将A 拉至B 的右端．第一次将B 固定在地面上，F 做的功为 W 1；第

二次让B 可以在光滑的地面上自

由滑动，F 做的功为W 2．比较两次做功，应有( )

A ．21

W W < B ．21W W = C ．21

W W > D ．无法比较． 【解析】根据功的定义，力F 做的功只与力的大小及力的方向上发生的位移大小的乘积有关，位移的大小与参考系的选择有关，在没有指定参考系时，一般是以地球为参考系，A 物相对于B 的位移在两种情况下是一样的，但在第一种情况中，B 相对于地面是静止的，故第二次A 对地的位移大于第一次A 对地的位移，即第二次做功多一些．正确选项为A ．

【答案】A

【点悟】功的计算公式αc os Fl W =中的位移l 一般均是以地球为参考系

2．如图5-1-6所示，一个质量为m 的木块，放在倾角为α的斜面体上，当斜面与木块保持相对静止沿水平方向向右匀速移动距离s 的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？合力的功是多少？

【解析】木块发生水平位移的过程中，作用在木块上共有三个力，重力mg ，支持力F 1，静摩擦力F 2，根据木块的平衡条件，由这三个力的大小，物体的位移及力与位移的夹角．即可由功的计算公式算出它们的功．

沿斜面建立直角坐标将重力正交分解，由于物体相对斜面静止而在水平面上做匀速运动，根据力的平衡条件可得：

图5-1-5

图

5-1-4

斜面对木块的支持力 F 1=mg cos а；斜面对木块的静摩擦力 F 2=mg sin а

支持力F 1与位移S 间的夹角为900+а，则支持力做的功为 W 1= F 1S cos(900+а)=－mgS cos аsin а

摩擦力2F 与位移s 的夹角为α，则摩擦力2F 做功为αααcos sin cos 22mg s F W ==

重力与位移的夹角为90°，则重力做的功为

090cos =?=mgs W G

合力做的功等于各个力做功的代数和，即

0cos sin sin cos 21=++-=++=ααααmgs mgs W W W W G

课后创新演练

如图5-1-8所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F 开始提升原来静止的质量为m ＝10kg 的物体，以大小为a ＝2m ／s 2的加速度匀加速上升，求头3s 内力F 做的功.(取g ＝10m ／s 2)

【解析】利用w ＝Fs cos a 求力F 的功时，要注意其中的s 必须是力F 作用的质点的位移.可以利用等效方法求功，要分析清楚哪些力所做的功具有等效关系.物体受到两个力的作用：拉力F ＇和重力mg ，由牛顿第二定律得

ma mg F =-'

所以=+='ma mg F 10×10+10×2=120N

则力2F F '=

=60N 物体从静止开始运动，3s 内的

位移为2

2

1at s ==

2

1×2×32=9m

解法一： 力F 作用的质点为绳的端点，而在

物体发生9m 的位移的过程中，绳的端点的位移为s /＝2s ＝18m ，所以，力F 做的功为 =='=s F s F W 260×18=1080J

解法二 ：本题还可用等效法求力F 的功. 由于滑轮和绳的质量及摩擦均不计，所以拉力F 做的功和拉力F’对物体做的功相等.

即='=='s F W W F F 120×

9=1080J

图5-1-8

第2课时 功率

基础知识回顾

1.功率的概念

（1）功W 跟完成这些功所用的时间t 的比值叫做功率.

（2）物理意义：描述做功的快慢.

（3）单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，符号W.

2.功率的计算

（1）功率的计算公式t

P W =

（2）平均功率与瞬时功率

Fv

P Fv t

s F

t

W P Fs W =====

∴=0

cos cos cos αα

αα

式中当v 是平均速度时，功率P 是平均功率；

当v 是瞬时速度时，功率P 是瞬时功率； 其区别在于：平均功率粗略描述做功的快慢；瞬时

功率精确描述做功快慢.

3.机械的额定功率与实际功率

任何机械都有一个标牌，标牌上所注功率为这部机械的额定功率.它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”.机械运行过程中的功率是实际功率.机械的实际功率可以小于其额定功率(称机械没吃饱)，可以等于其额定功率(称满负荷运行)，还可以在短时间内略大于其额定功率(称超负荷运行).机械不能长时间处于超负荷运行，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命.

重点难点例析

一、 功率的计算

1.平均功率即某一过程的功率，其计算既可用

t

W P =

,也可用P = F ·v

2.瞬时功率即某一时刻的功率，其计算只能用P =

F ·v

【例1】一个质量为m 的物体，从高度为h ，长度为L 的

光滑斜面顶端由静止开始下滑，求物体到达斜面底端时重力做功的功率？

【解析】本题所求重力做功的功率，应为瞬时功率 P =mgv cosα，而速度v 是沿着斜面向

下的.如图5-2-1，设斜面的倾角为θ，根据

θs i n 22gL al v == 而α=（90°

－θ），所以 L

gh mgh

gL mg mgv P /2sin sin 2cos ===θ

θα

【点拨】本题主要考查对瞬时功率的计算，要求同学们对三角关系理解通彻，并且灵活运用公式．

●

拓展

从空中以40m/s 的初速度沿着水平方向抛出一个重为10N 的物体，不计空气阻力，取g=10m/s 2，求（1）

在抛出后3s 内重力的功率.（2）在抛出后3s 时重力的功率(设3s 时未落地).

【解析】 (1)3s 内的功率是指平均功率，3s 内重力做功2

2

1gt mg mgh W c ?

==，

W

gt mg t

W P C 1503102

1102

1=???

=?

==

(2) 3s 时的功率是指瞬时功率，应用αcos Fv P =求解，结合平抛知识得 ===y

mgv

Fv P αcos

mg·gt =10×10×3=300W

二、机车的启动问题

发动机的额定功率是指牵引力的功率，而不是合外力的功率.P =Fv 中，F 指的是牵引力.在P 一定时，F 与v 成反比；在F 一定时，P 与v 成正比. 1.在额定功率下启动

对车在水平方向上受力分析如图5-2-2，由公式P =Fv 和F-f=ma 知，由于P 恒定，随着v 的增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F =f ，a =0，这时v 达到最大值

f

P F P v m m m ==

．

可见，恒定功率的加速一定不是匀加速．这种

θ

图5-2-1

加速过程发动机做的功只能用W =Pt 计算，不能用W =Fs 计算（因为F 为变力）．其速度图象如图5-2-3所示．

2.以恒定加速度a 启动:

由公式P =Fv 和F －f =ma 知，由于a 恒定，所以F 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额定功率P m ，功率不能再增大了．这时匀加速运动结束，此时速度为

m m m v f

P F

P v =<=

'，此后汽车要想继续加速就

只能做恒定功率的变加速运动了，由于机车的功率不变，速度增大，牵引力减小，从而加速度也减小，直到F =f 时，a =0，这时速度达到最大值f

P v m m ==

.

可见，恒定牵引力的加速，即匀加速运动时，功率一定不恒定.这种加速过程发动机做的功只能用W=F ?s 计算，不能用W=P ?t 计算（因为P 为变功率）.其速度图象如图5-2-4所示.

要注意两种加速运动过程的最大速度的区别. 【例2】质量是2000kg 、额定功率为80kW 的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s 2，运动中的阻力不变.求：①汽车所受阻力的大小.②3s 末汽车的瞬时功率.③汽车做匀加速运动的时间。④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功. 【解析】

① 所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出.以最大速度行驶时，根据P =Fv ，可求得F =4000N.而此时牵引力和阻力大小相等. ② 由于3s 时的速度v =at =6m/s ，而牵引力由F —F f =ma 得F =8000N ，故此时的功率为P = Fv =4.8×104W. ③ 设匀加速运动的时间为t ，则t 时刻的速度为v =a t =2t ，这时汽车的功率为额定功率.由P =Fv ，将F =8000N 和v =2 t 代入得t =5s.

④ 匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所 做的功

J

102522

180002

15

2

2

?=???

===J at

F Fs W

【点拨】③中的时间，有的学生用v =at ，得t =v m /a =10s ，这是错误的.要注意，汽车不是一直匀加速到最大速度的.

●

拓展

汽车质量5t ，额定功率为60kW ，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的0.1倍，问：

（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？

（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s 2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？

【解析】(1) 当汽车达到最大速度时，加速度a=0，此时

mg f F μ== ①

m Fv P = ②

由①、②解得s m mg

P

v m /12==

μ

(2) 汽车作匀加速运动，故F 牵-μmg =ma ，解得F 牵=7.5×103N

设汽车刚达到额定功率时的速度为v ，则P = F 牵·v ，得v =8m/s

设汽车作匀加速运动的时间为t ，则v =at 得t =16s

三、利用Pt W =求变力做功问题

如果汽车是以恒定功率起动，则牵引力是变力，发动机做功为变力做功，但抓住汽车的功率不变，由Pt W =可求汽车牵引力做的功.

☆ 易错门诊

【例3】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t 前进距离s ，速度达到最大值v m 。设此过程中发动机功率恒为P ，卡车所受阻力为f ，则这段时间内，发动机所做的功为（ ）

A ．Pt

B ．fs

C ．Pt －fs

D ．fv m t 【错解】功W=FS ,卡车达到最大速度时,牵引力等于阻力,故选B.

【错因】学生错误的主要原因是不清楚发动机的牵引力是变力,不能直接用功的计算公式.

【正解】发动机所做的功是指牵引力的功.由于卡车

v

v v 1 2

图5-2-4

v 图5-2-3

v

a

图5-2-2

图5-3-1

以恒定功率运动，所以发动机所做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间，∴A 对.B 项给出的是卡车克服阻力做的功，在这段时间内，牵引力的功不等于克服阻力做功，∴B 错.C 项给出的是卡车所受外力的总功.D 项中，卡车以恒定功率前进，将

做加速度逐渐减小的加速运动，达到最大速度时牵

引力等于阻力，阻力f 乘以最大速度v m 是发动机的功率，再乘以t 恰是发动机在t 时间内做的功.故A D 是正确的.

第3课时 动能及动能定理

基础知识回顾

1、动能的概念

(1)物体由于运动而具有的能叫动能，动能的大小

E k =

2

1mv 2，动能是标量，与速度的方向无关.

(2)动能是状态量，也是相对量，应为公式中的v

为瞬时速度，且与参照系的选择有关.

2、动能定理

(1)动能定理的内容及表达式

合外力对物体所做的功等于物体动能的变化. 即12K K K E E E W -=?= (2)物理意义

动能定理给出了力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的多少由做功的多来量度.

3、求功的三种方法

(1)根据功的公式W = Fscosα(只能求恒力的功). (2)根据功率求功W ＝Pt (P 应是恒定功率或平均功率).

(3)根据动能定理求功：2

12

22

12

1mv mv W -

=

(W 为合外力总功).

重点难点例析

一、动能定理的理解

1.动能定理的公式是标量式，v 为物体相对于同一参照系的瞬时速度.

2.动能定理的研究对象是单一物体，或可看成单一物体的物体系.

3.动能定理适用于物体做直线运动，也适用于物体做曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用.只要求出在作用的过程中各力所做功的总和即可.这些正是动能定理的优越性所在.

4.若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用

动能定理时可以分段考虑，也可以将全过程视为一个整体来考虑.

【例1】一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图5-3-1，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相

同．求动摩擦因数μ．

【解析】 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：mgh mgl W G ==αsin αμcos 1

mgl W

f -=

物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则2

2

mgS

W

f μ-=

对物体在全过程中应用动能定理：ΣW =ΔE k ． 所以 mgl sin α－μmgl cos α－μmgS 2=0 得 h －μS 1－μS 2=0．

式中S 1为斜面底端与物体初位臵间的水平距离．故

S

h S S h =

+=

2

1μ

●

拓展

从离地面H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k （k <1）倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求： （1）小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？

（2）小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

【解析】(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h ，则由动能定理得：mg (H -h )-kmg (H +h )=0 解得

H

k

k h +-=

11

(2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，

所通过的总路程是S ，对全过程由动能定理得

mgH -kmgS =0 解得

k

H S =

【点拨】 物体在某个运动过程中包含有几个运动性

质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化.

二、动能定理的应用技巧

【例2】如图5-3-2所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R =0.8m ，BC 是水平轨道，长S =3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止.求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功. 【解析】

物体在从

A 滑到C 的过程中，有重力、A

B 段的阻力、B

C 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR ，f BC =umg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求.根据动能定理可知：W 外=0，所以mgR -umgS -W AB =0 即W AB =mgR -umgS =1×10×0.8-1×10×3/15=6J 【点拨】如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功.

●

拓展

电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体.绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1 200W ，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m （已知物体在被吊高90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g 取10 m/s 2）

【解析】 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊. 在匀加速运动过程中，加速度为

8

10

8120?-=

-=

m

mg

F a m m/s 2=5 m/s 2，

末速度 120

2001==m

m t

F P v m/s=10m/s ，

上升时间 5

101==

a v t

t s=2s ，

上升高度 5

210

22

2

1?=

=

a

v h t

m=10m.

在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为

10

82001?=

=

mg

P v m m m/s=15m/s ， 由动能定理有 2

2

122

121)(t m m mv mv h h mg t P -

=

--，

解得上升时间 t 2=5.75s.

所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m ，所需时间为 t=t 1+t 2=2s+5.75s=7.75s.

三、多物体多过程动能定理的应用技巧

如果一个系统有两个或两个以上的物体,我们称为多物体系统.一个物体同时参与两个或两个以上的运动过程,我们称为多过程问题.对于多物体多过程问题,我们可以有动能定理解决.解题时要注意:多过程能整体考虑最好对全过程列动能定理方程,不能整体考虑,则要分开对每个过程列方程.多个物体能看作一个整体最好对整体列动能定理方程,不能看作整体,则要分开对每个物体列动能定理方程.

☆ 易错门诊

【例3】质量为M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h =0.20m ，木块离台的右端L =1.7m.质量为m =0.10M 的子弹以v 0=180m/s 的速度水平射向木块，并以

v =90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s =1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为μ.

【错解】木块离开台面后的平抛阶段，

图5-3-2

图5-3-3

由g

h v s

22

= 解得:v 2=8m/s 对子弹和木块组成的整体在整个过程中用动能定理有:

20

2

2

2

212

121mv

mv

Mv

MgL -

+

=

-μ 代入数据可得: μ=69.6

【错因】本题的物体有两个:子弹和木块, 物理过程可以分为三个阶段:子弹射木块;木块在台面上滑行;木块飞出台面平抛. 在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段.故不能对子弹和木块组成的整体在整个过程中用动能定理.

【正解】本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段.所以本题必须分三个阶段列方程：

子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v 1，mv 0= mv +Mv 1……①

木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v 2，

有：222

12

121Mv

Mv MgL -

=

μ……②

木块离开台面后的平抛阶段，

g

h v s 22

=……③

由①、②、③可得μ=0.50

【点悟】从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理.

从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理.在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功.如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉.

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拓展

总质量为M 的列车，沿平直轨道匀速前进.末节车厢质量为m ，在行驶中途脱钩，司机发现后关闭发动机时，机车已经驶了L ，设运动阻力与质量成正比，机车发动机关闭前牵引力是恒定的，则两部分停止运动时，它们之间的距离是多少?

【解析】本题有两个研究对象，可分别对它们应用动能定理.

对列车部分有：

2

1)(2

10)(v m M gs m M K FL --

=-- .①

对脱钩车厢有：

2

2

2

10mv

Kmgs

-

=- ②

列车匀速行驶有：KMg F = ③

由①②③可解得： L

m

M M s s s -=

-=?21

另解：从整体角度出发，把两部分作为一个系

统来分析：若脱钩时立即关闭发动机，则车头部分和脱钩车厢应前进同样距离，现在之所以在停止时拉开一定距离，是因为牵引力F 在L 的路程上做了功，机车的动能多了一些，能够克服阻力多走一段距离，可见F 在L 路程上做的功应等于阻力在ΔS 距离上做的功.即

s g m M K FL ?-=)(

又 K M g F = 解之得L

m

M M s -=

?

【点拨】所得的结果与前面一样，可见，一道习题可以有不同的解法，有的简单，有的复杂，差别是很大的.希望同学们在平时的练习中要多想一想，该题除了自己做的方法之外，是否还会有其它的，并从中找出比较简洁的方法来，这样既开拓了思路，锻炼了求异思维，又能够使学到的知识融会贯通.

课堂自主训练

1.下列说法正确的是（ ）

A 做直线运动的物体动能不变，做曲线运动的物体动能变化

B 物体的速度变化越大，物体的动能变化也越大

C 物体的速度变化越快，物体的动能变化也越快

D 物体的速率变化越大，物体的动能变化也越大 【解析】 对于给定的物体来说，只有在速度的大小（速率）发生变化时它的动能才改变，速度的变化是矢量，它完全可以只是由于速度方向的变化而引起．例如匀速圆周运动.速度变化的快慢是指加速度，加速度大小与速度大小之间无必然的联系. 【答案】D

2.物体由高出地面H 高处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑h

停止(如图5-3-4所示).求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？

【解析】 选物体为研究对象， 先研究自由落体过程，只有

重力做功，设物体质量为m ，落到沙坑表面时速度为v ，根据动能定理有

图5-3-4