自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计

一、引言

支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

1.1 问题的提出

倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

1.2 倒立摆的控制方法

倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，

需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。

本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。

2 直线倒立摆数学模型的建立

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等容。

鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。

2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）

微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设：

M小车质量m摆杆质量

b小车摩擦系数I 摆杆惯量

F加在小车上的力x小车位置

摆杆与垂直向上方向的夹角

摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

图2-1 直线一级倒立摆模型

系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。

图2-2 小车及摆杆受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N x b F x M --=???

(2-1)

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

)sin (θl x dt d m N +=22

(2-2)

即：

θθθθsin cos 2

?????-+=ml ml x m N

(2-3)

把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：

F ml ml x b x m M =-+++??????θθθθsin cos )(2 (2-4)

为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分

析，

可以得到下面方程：

)cos (θl dt d m mg P 22

=-

(2-5)

θθθθcos sin 2

???--=-ml ml mg P (2-6)

力矩平衡方程如下：

??=--θθθI Nl Pl cos sin (2-7)

注意：方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=

(6)和（3）代入(7)，约去P 和N ，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：

θθθcos sin )(????-=++x ml mgl ml I 2 (2-8)

设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）

相比很小，即1<<φ，则可以进行线性化近似处理：

012=-=-=)(,sin ,cos dt

d θφθθ 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：

?????=-++=-+?????????u

ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ)()(2 进行拉氏变换，得：

???=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()()(s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 22222 （2-9）

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

)()()(s s g ml

ml I s X Φ??????-+=22，即：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222

)()()( （2-10） （10）式称为摆杆角度与小车位移的传递函数

如令??=x v ，则有：

mgl s ml I ml s V s -+=Φ22)()()(

（2-11）

（11）式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制

易于实现在实验中常采用此式。

把（10）式代入（9）式的第二个方程中，得到：

)()()(()()()(s U s s ml s s s g ml

ml I b s s s g ml

ml I m M =Φ-Φ??????-++Φ??????-++22222

q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ)()()()(223 （2-12）

其中，[]

22)())((ml ml I m M q -++=

（12）式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数

2.2 实际系统的模型参数

M ：小车质量

1.096kg m ：摆杆质量

0.109kg b ：小车摩擦系数 0.1N/sec

l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I ：摆杆惯量

0.0034kgm 2 2.3 实际数学模型

把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

1) 摆杆角度和小车位移的传递函数：

2

2()0.02725()0.01021250.26705s s X s s Φ=-

(2-13)

2) 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-

(2-14)

3) 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 32() 2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s U s s s s Φ=+--

(2-15)

4) 小车位置和加速度的传递函数

2()1()X s V s s =

(2-16)

3 开环系统的时域分析

3.1 摆杆角度为输出响应的时域分析

本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传

递函数为

26705.00102125.002725.0)()()(222-=-+=Φs mgl s ml I ml s V s (3-1)

图3.1 摆杆角度的单位脉冲响应曲线图

图3.2 摆杆角度的单位阶跃响应曲线图

3.2 小车位置为输出响应的时域分析

采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，则此时的传递函数

为

2()1()X s V s s (3-2)

图3.3 小车位置的单位脉冲响应曲线图

图3.4 小车位置的单位阶跃响应曲线图

由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，所以系统不稳定，需

要校正。

4 根轨迹法设计

4.1 原系统的根轨迹分析

本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此前已经得出的传递函数为

26705.00102125.002725.0)()()(222-=-+=Φs mgl s ml I ml s V s

(4-1)

运行结果： 闭环零点z =Empty matrix: 0-by-1

闭环极点p =5.1136 -5.1136

图4.1 原系统根轨迹曲线图

可以看出，系统无零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环

传递函数的根轨迹如图2-6，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，

并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意

味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。

4.2 串联超前校正装置设计

对此系统设计控制器，使得校正后系统的要求如下：

调整时间：

0.5(2%)s t s =； 最大超调量：

%

10%≤p σ

4.2.1确定闭环期望极点的位置

由最大超调量 (10%p e ζπσ-=≤

(4.2)

4.2 闭环主导极点所在的极坐标图

在此我们对超调量留有一定余量，令 %5%p σ=

可以得到：0.687710ζ=

由cos ζθ=可以得到： 0.812466θ= (弧度)

其中β为位于第二象限的极点和O 点的连线与实轴负方向的夹角。

又由：4

0.5s n t s ?ω=≤ 对调节时间留有一定余量，令40.5s n t s ?ω=

≤ (±2%的误差带) 取其为0.2s ，可以得到：

29.067500n ω=，于是可以得到期望的闭环主导极

点为： (cos sin )n j ωθθ-+

代入数据后，可得期望的闭环主导极点为：

1,2 19.990010 21.102584S j =-±

4.2.2 超前校正传递函数设计

未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进

行超前校正，设控制器为：

1()(1)1c c

s z Ts K s Ts s p ααα++==≤++ (4-3) 4.2.3 校正参数计算

计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的

相角和为：

211() 4.624226

d i i G s S P ==--=-∑ (4-4)

因此校正装置提供的相角为：

3.14(

4.624226) 1.482633φ=---=

(4-5)

又已知 0.812466θ=

对于最大的α值的γ角度可由下式计算得到：

1=() 0.4232462

γπθφ--=

(4-6) j ω

S

γ

θ

p Z c Z O

图4.3直线一级倒立摆根轨迹计算图

由于角度都已求出，线段SO 的长度即为自然频率的大小，故可用正弦定理计算，

求出超前校正装置的零点和极点（正弦定理）

分别为：

p = -66.835473z

c z = -12.641783

4.2.4 超前校正控制器

校正后系统的开环传递函数为：

20.02725(12.641783)

()0.01021250.2670566.835473K s G s s s +=-+ (4-7) 由幅值条件()()1d d G s H s =，并设反馈为单位反馈，所以有K=729.65

对相应参数保留五位有效值，于是我们得到了系统的控制器：

729.65(12.642)

()66.835c s G s s +=+

(4.8)

4.2.5 matlab 环境下串联超前校正后的根轨迹图

在 MATLAB 中编写如下的m 文件,对系统进行仿真,运行即可以得到以上的计

算结果，校正后系统的跟轨迹如下图所示：

图4.4 串联超前校正后系统的根轨迹图

从图4.4中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的K 就可以稳定系统。

4.2.6 simulink环境下对串联超前校正的仿真

图4.5 串联超前校正simulink流程图

图4.6 串联超前校正后的阶跃响应曲线

4.3 串联滞后-超前校正装置设计

4.3.1 控制器的设计

可以看出，系统在 0.5s 的时间可以稳定，响应比较迅速，超调比较小。为使系

统满足相应的要求，减少稳态误差，在超前校正的基础上可以引入滞后校正装置。

滞后校正的传递函数采用

22

()0.1s Gc s s +=+ (4-9) 则此时总的超前-滞后校正传递函数为

22729.65(12.642)

()()0.166.835s s Gc s Gc s s s ++=++ (4-10) 4.3.2 simulink 环境下对串联超前校正的仿真

图4.7 串联滞后-超前校正simulink流程图

图4.8 串联超前校正后的阶跃响应曲线

由上图可以看出，加入滞后环节中超调量增加不是很大，但是稳态误差已经明显减少了,所以说串联滞后-超前装置对于改善系统性能来说作用比较理想

5 频域法设计

5.1 系统频域响应分析

系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，在一定围改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯特图，表示的是当ω从0 变化到无穷大时，向量()

G jω的矢端轨迹。奈奎斯稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。

根据式（2-17）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：

()()20.027250.01021250.26705s V s s Φ=-

其中输入为小车的加速度()V S ,输出为摆杆的角速度()S φ。利用Matlab 绘制系统

的Bode 图（图5.1）和Nyquist 图（图5.2）如下。

图 5.1 直线一级倒立摆系统的Bode 图

图 5.2 直线一级倒立摆系统的Nyquist 图

由4.1节中的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点，其中一个极点

位于S 平面的右半部分。根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件

是：当ω由-∞→+∞变化时， ()()G j ωH j ω曲线逆时针包围[]GH 平面上()

-1,j0点的次数R 等于开环传递函数右极点个数P 。对于直线一级倒立摆，由图5-1和

图5-2我们可以看出，开环传递函数在S 右半平面有一个极点。因此，

()()G j ωH j ω曲线逆时针包围()-1,j0点的次数R=1。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围

()-1,j0点一圈即1R ≠。因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。

5.2 频域法控制器设计

直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：

考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：

()()20.027250.01021250.26705s V s s Φ=-

设计控制器()c G s ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50，增益

裕量等于或大于10dB 。

5.2.1 控制器的选择

根据图5-1和图5-2可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满

足设计要求，设超前校正装置为：

()1

111c c c s Ts T G s K K Ts s T ααα+

+==++ （5-1）

则已校正系统具有开环传递函数()()c G s G s ，设

()()120.027250.0102125-0.26705

K G s KG s s ?==

（5-2） 其中c K K α=。

5.2.2 系统开环增益的计算

根据稳态误差要求计算增益K ()()2001

0.02725lim lim 1010.010215-0.26705p c c s s s T K G s G s K s s T α→→+

==?=+ (53)- 可以得到：

98c K K α== （5-4）

于是有：

120.0272598()0.01021250.26705G s s ?=

- （5-5）

5.2.3 校正装置的频率分析 利用MATLAB 画出()1G s 的Bode 图和Nyquist 图，如图5.3、图5.4所示。