高等数学答案吴赣昌
高等数学答案吴赣昌
【篇一：高等数学Ⅲ(1)教学大纲】
s=txt>课程代码： 050005 课程性质：公共必修总学时：56 学时总学分： 3.5学分开课学期：第一学期适用专业：旅游、经管等专业先修课程：中学数学后续课程：高等数学Ⅲ（2）大纲执笔人：项明寅参加人：高等数学教研室课任教师审核人：胡跃进编写时间： 2009年08月编写依据：黄山学院 2009本科培养方案
（ 2009 ）年版
一、课程介绍
本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）．内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，多元函数微积分学，无穷级数和常微分方程等．
二、本课程教学在专业人才培养中的地位和作用
“高等数学”课程是黄山学院经管学院、旅游学院相关各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的使用型大学本科人才服务的．
通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础．
三、本课程教学所要达到的基本目标
通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础．要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力．
四、学生学习本课程应掌握的方法和技能
本课程的特点是理论性强，思想性强，和相关基础课及专业课联系
较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解
重要概念的思想本质，避免学生死记硬背．要善于将有关学科或生
活中常遇到的名词概念和微积分学的概念结合起来，使学生体会到
学习微积分的必要性．注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业和辅导环节，使学生加深对
课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力．教学
中有计划有目的地向学生介绍学习数学和学习专业课之间的关系，
学习高等
数学是获取进一步学习机会的关键学科．由于学科特点，本课程教
学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习
兴趣．
五、本课程和其他课程的联系和分工
本课程是经、管等相关专业的第一基础课．本课程的学习情况事关
学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向．本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的
学习阶段．
本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课．课程基础性、
理论性强，和相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学测
试统考科目，关系到学生综合能力的培养．本课程的学习情况直接
关系到学校的整体教学水平。
六、本课程的教学内容和目的要求
【第一编】函数、极限、连续（共20学时）1、教学目的和要求：
（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单使用问题
中的函数关系．（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
（3）理解复合函数和分段函数的概念．了解反函数及隐函数的概念．（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．（5）了解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念．
（6）理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小的比较方法．了解
无穷大的概念及其和无穷小的关系．
（7）了解极限的性质和极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算
法则，会使用两个重要极限．
（8）理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判别函数间
断点的类型．（9）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解
闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单使用．
2、教学内容：（1）函数
（2）经济学中的常用函数（3）数列的极限（4）函数极限（5）无穷小和无穷大（6）极限运算法则
（7）极限存在准则,两个重要极限,连续复利（8）无穷小的比较
（9）函数的连续性
（10）闭区间上连续函数的性质 3、教学重点和难点：
（1）重点：函数概念，极限概念，极限的四则运算法则，函数的连
续性（2）难点：复合函数，极限的定义，建立实际问题中的函数关
系式． 4、本章思考题：
指定教材相应章节总复习题
【第二篇】一元函数微分学（共24学时） 1、教学目的和要求：
（1）理解导数的概念及可导性和连续性之间的关系，了解导数的几
何意义和经济意义（含边际和弹性的概念）．会求平面曲线的切线
方程和法线方程．
（2）掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数和隐函数求导法以及对数求导法．
（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
（4）了解微分的概念，导数和微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
（5）理解罗尔（rolle）定理、拉格朗日( lagrange)中值定理、了解柯西（cauchy)中值定理，掌握这三个定理的简单使用．
（6）会用洛必达法则求极限．
（7）掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其使用．
（8）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线．（9）会描述简单函数的图形． 2、教学内容：（1）导数概念
（2）求导法则和基本初等函数求导公式（3）高阶导数
（4）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（5）函数的微分（6）边际和弹性（7）中值定理（8）洛必达法则（9）导数的使用
（10）函数的最大值和最小值及其在经济中的使用
3、教学重点和难点：
（1）重点：导数、微分概念，导数的经济意义，初等函数导数求法（一阶及二阶），拉格朗日定理，洛必塔法则，用导数判断函数的单调性及极值
（2）难点：复合函数、隐函数、参数方程求导，最大值、最小值使用，拉格朗日定理． 4、本章思考题：
指定教材相应章节总复习题
【第三编】一元函数积分学（不定积分部分，共12学时） 1、教
学目的和要求：
（1）理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基
本积分公式；（2）掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法；（3）理解有理函数的积分，了解可化为有理函数的积分；（1）不
定积分的概念和性质（2）不定积分的换元积分法（3）不定积分的换元积分法（4）分部积分法 *（5）有理函数的积分 3、教学重点
和难点：
（1）重点：积分概念，基本积分公式，积分换元法，分部积分法，（2）难点：积分技巧 4、本章思考题：
指定教材相应章节总复习题
七、本课程教学时数分配表
八、教材和主要参考资料
1、指定教材：
《微积分》．吴传生．高等教育出版社，2003年2、主要参考资料：
《高等数学》（少学时(第二版)）上册．同济大学使用数学系．高等
教育出版社，1970年
《微积分》（上）．吴赣昌．中国人民大学出版社，2006年
九、课程考核和成绩评定方法
1、命题要求（1）命题内容要求
以一学期教学的全部内容和和本课程有关的理论知识，技能和科研
成果，并要体现素质教育的要求，对那些指定阅读的书目中相关的
考核内容以教材为主．
（2）命题的覆盖面、难易度、题型结构等要求
命题的覆盖面：一学期教学的全部内容，考核内容以教材为主．试
题难易要求：
容易题约40% 中等难度题约50% 较难题约10%
试卷题型要求：
单项选择题、填空题和解答题．
单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个
正确答案．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理
过程．
解答题包括计算题、使用题和证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．
试卷题型比例：
选择题约15% 填空题约15% 解答题约70%
2、考核方法及用时
测试方式：闭卷笔试(不准使用计算器)．测试时间：120分钟． 3、课程考核成绩构成
期末测试是教学的重要环节，本课程的考核成绩采用期末测试成绩
和平时成绩相结合的方法，满分为100分；期末测试成绩满分为
100分，占总评成绩的70％；平时成绩满分为100分，占总评成绩
的30％．期末测试采用闭卷方式．平时成绩按出勤情况、课堂表现
和完成作业的质量评分．
【篇二：高等数学】
txt>学时数：180
学分数：10
适用专业：理工类本科
执笔：吴赣昌
编写日期：2006年6月
课程的性质、目的和任务
本课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才
服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、向量代数和
空间分析几何、多元函数微积分学、无穷级数（包括傅里叶级数）
和常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后
续课程的学习奠定必要的数学基础。在课程的教学过程中，要通过
各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间
想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模和实践能力以
及自学能力。
课程教学的主要内容和基本要求
一、函数、极限和连续
主要内容：
函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，
初等函数，简单使用问题的函数关系的建立；数列极限和函数极限
的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小和无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限；连续
函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连
续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)。
基本要求：
1、深入理解函数的概念，掌握函数的表示法；
2、熟练掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；
3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；
5、理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极
限和函数极限的区别和联系；
6、熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其使用；
7、理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷
小等价求极限的方法；
8、理解函数连续性(包括左、右连续)和函数间断的概念，了解连续
函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质
（有界性定理、最大值和最小值定理和介值定理），并能灵活运用
连续函数的性质。
二、导数和微分
主要内容：
导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性和连续性
之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数
的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的
导数，相关变化率；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式
的不变性，利用微分进行近似计算。一阶微分形式的不变性微分在
近似计算中的使用
基本要求：
1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的
切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
理量，理解函数的可导性和连续性之间的关系；
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的使用；
3、了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数；
4、会求分段函数的一阶、二阶导数；
5、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
三、中值定理和导数的使用
主要内容：
罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒
中值定理；
函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的
拐点及其求法；渐近线，函数图形的描绘；函数的极值及其求法，
函数最大值和最小值的求法及简单使用；弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆的概念和曲率半径的计算法。
基本要求：
1、理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理；
2、了解并会用柯西中值定理；
3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及
其简单使用；
4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；
5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；
6、了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。
四、不定积分
主要内容：
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；
不定积分的换元积分法和分部积分法；有理函数、三角函数和简单
无理函数的不定积分，以及可化为有理函数的积分。
基本要求：
1、理解原函数的概念、理解不定积分的概念；
2、熟练掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；
3、熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法；
4、会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。
五、定积分
主要内容：
定积分的概念和定积分的近似计算；定积分的性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式；定积分的换
元积分法和分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分。基本要求：
1、理解定积分的概念，理解定积分中值定理；
2、掌握定积分的性质、换元积分法和分部积分法；
3、理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱
布尼茨公式；
4、了解反常积分的概念并会计算反常积分；
5、了解定积分的近似计算；
6、掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量。
六、定积分的使用
主要内容：
定积分的微元法及其使用：求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、变力沿直线所作的功等。
基本要求：
理解定积分的微元法，掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量： a、平面图形的面积；
b、旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体的体积；
c、平面曲线的弧长；
d、功、水压力和引力；
e、函数平均值。
七、空间分析几何和向量代数
主要内容：
向量的概念，向量的线性运算；空间直角坐标系，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数和方向余弦；向量的数量积和向量积的概念，两向量垂直和平行的条件，两向量的夹角；
曲面及其方程，球面及其方程，旋转轴为坐标轴的旋转曲面及其方程，母线平行于坐标轴的柱面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，平面和平面、平面和直线、直线和直线间几何位置的判定，点到面和点到直线的距离；常用二次曲面的方程及其图形特征。
基本要求：
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解
两个向量垂直和平行的条件；
3、掌握单位向量、方向数和方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；
4、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关
系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；
5、理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求
以坐标
轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
6、了解空间曲线的参数方程和一般方程；
7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
八、多元函数微分法及其使用
主要内容：
多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，有界闭域
上连续函数的性质；偏导数的概念和计算，高教偏导数；多元函数
全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似
计算中的使用；多元函数的复合函数微分法，全微分形式不变性；
多元函数的隐函数微分法；多元函数微分法在几何上的使用；方向
导数的概念和计算，梯度的概念和计算，等高线的概念；多元函数
的极值及其求法，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分
条件，多元函数条件极值的概念及其求法（拉格朗日乘数法），多
元函数的最大值、最小值及其简单使用。
基本要求：
1、理解多元函数的概念；
2、了解二元函数的极限和连续性的概念；
3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件以及全微分在近似计算中的使用；
4、理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法；
5、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数；
6、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程，了解二元函数的二阶泰勒公式；
7、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的使用问题。
九、重积分
主要内容：
二重积分的概念和性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算，二重积分的使用；三重积分的概念和性质，直角坐标系下三重积分的计算，柱面坐标系下三重积分的计算，球面坐标系下三重积分的计算，三重积分的使用。
【篇三：大学所有课程课后答案】
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【数学】
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【经济/金融/营销/管理/电子商务】 ?
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高数第五版答案(同济)12-2
习题12-2 1. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解 分离变量得 dx x dy y y 1ln 1=, 两边积分得 ??=dx x dy y y 1 ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解 分离变量得 5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得 ? ?+=dx x x dy )53(52, 即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数. (3)2211y y x -='-; 解 分离变量得 2 211x dx y dy -=-, 两边积分得 ??-=-2 211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ). (4)y '-xy '=a (y 2+y '); 解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得 dx x a a dy y --=112 ,
两边积分得 ??--=dx x a a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y ----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得 dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得 ??-=dx x x y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C . (6)y x dx dy +=10; 解 分离变量得 10-y dy =10x dx , 两边积分得 ? ?=-dx dy x y 1010, 即 10 ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C , 故通解为y =-lg(C -10x ). (7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx , 分离变量得 dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得 ??+=-dx e e dy e e x x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y -1)=C .
同济第五版高数习题答案
习题11?1 1. 写出下列级数的前五项: (1); 解. 解. (2); 解. 解. (3); 解. 解. (4). 解. 解. 2. 写出下列级数的一般项: (1); 解一般项为. (2);
解一般项为. (3); 解一般项为. (4). 解一般项为. 3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解因为 , 所以级数发散. (2); 解因为 , 所以级数收敛. (3). 解
. 因为不存在,所以不存在,因而该级数发散. 4. 判定下列级数的收敛性: (1); 解这是一个等比级数,公比为 ,于是 ,所以此级数收敛. (2); 解此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数 也收敛,矛盾. (3); 解因为级数的一般项 , 所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散. (4); 解这是一个等比级数,公比 ,所以此级数发散. (5). 解因为和都是收敛的等比级数,所以级数 是收敛的.
习题11?2 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性: (1); 解因为 ,而级数发散,故所给级数发散. (2); 解因为 ,而级数发散, 故所给级数发散. (3); 解因为 ,而级数收敛,故所给级数收敛. (4); 解因为 ,而级数收敛, 故所给级数收敛. (5). 解因为 , 而当a>1时级数收敛,当0 所以级数当a>1时收敛,当0 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 习题12?1 1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x (y ′)2 ?2yy ′+x =0; 解 一阶. (2)x 2 y ′?xy ′+y =0; 解 一阶. (3)xy ′′′+2y ′+x 2 y =0; 解 三阶. (4)(7x ?6y )dx +(x +y )dy =0; 解 一阶. (5) ; 解 二阶. (6) . 解 一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy ′=2y , y =5x 2 ; 解 y ′=10x . 因为xy ′=10x 2 =2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2 是所给微分方程的解. (2)y ′+y =0, y =3sin x ?4cos x ; 解 y ′=3cos x +4sin x . 因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x ?4cos x =7sin x ?cos x ≠0, 所以y =3sin x ?4cos x 不是所给微分方程的解. (3)y ′′?2y ′+y =0, y =x 2e x ; 解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ′′?2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x ?2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0, 所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ′′?(λ1 +λ2 )y ′+λ1λ2 y =0, . 解 , . 因为 =0, 所以是所给微分方程的解. 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: 习题7-1 1. 设u =a ?b +2c , v =?a +3b ?c . 试用a 、b 、c 表示2u ?3v . 解 2u ?3v =2(a ?b +2c )?3(?a +3b ?c )=2a ?2b +4c +3a ?9b +3c =5a ?11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; , 而, , 所以. 这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形. 3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1 、D 2 、D 3 、D 4 , 再把各分点与点A 连接. 试以、 表示向量、、A 3、A 4. 解 , , , . 4. 已知两点M 1 (0, 1, 2)和M 2 (1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a =(6, 7, ?6)的单位向量. 解 , 平行于向量a =(6, 7, ?6)的单位向量为 或 . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, ?2, 3); B (2, 3, ?4); C (2, ?3, ?4); D (?2, ?3, 1). 解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, ?1, 0). 解 在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(?a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , ?b , c ). (2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , ?b , ?c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(?a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(?a , ?b , c ). (3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(?a , ?b , ?c ). 9. 自点P 0 (x 0 , y 0 , z 0 )分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0 , 0)、(0, y 0 , z 0 )和(x 0 , 0, z 0 ). 在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0 , 0, 0), (0, y 0 , 0)和(0, 0, z 0 ). 10. 过点P 0 (x 0 , y 0 , z 0 )分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点 的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0 , y 0 , z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0 ). 11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为 , 所以立方体各顶点的坐标分别为 , , , , , , , . 12. 求点M (4, ?3, 5)到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 . 点M 到y 轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(0, ?3, 0)之间的距离, 即 . 点M 到z 轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即 . 13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, ?2, ?2)和C (0, 5, 1)等距离的点. 解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则 习题1-4 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, ) ()(x x βα不是无穷小. 2. 根据定义证明: (1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x x y 1sin =当x →0时为无穷小. 证明 (1)当x ≠3时|3|3 9||2-=+-=x x x y . 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有 εδ=<-=+-=|3|3 9||2x x x y , 所以当x →3时3 92+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x x y . 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有 εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x x y , 所以当x →0时x x y 1sin =为无穷小. 3. 根据定义证明: 函数x x y 21+= 为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？ 证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+ 高等数学答案吴赣昌 【篇一：高等数学Ⅲ(1)教学大纲】 s=txt>课程代码： 050005 课程性质：公共必修总学时：56 学时总学分： 3.5学分开课学期：第一学期适用专业：旅游、经管等专业先修课程：中学数学后续课程：高等数学Ⅲ（2）大纲执笔人：项明寅参加人：高等数学教研室课任教师审核人：胡跃进编写时间： 2009年08月编写依据：黄山学院 2009本科培养方案 （ 2009 ）年版 一、课程介绍 本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）．内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，多元函数微积分学，无穷级数和常微分方程等． 二、本课程教学在专业人才培养中的地位和作用 “高等数学”课程是黄山学院经管学院、旅游学院相关各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的使用型大学本科人才服务的． 通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础． 三、本课程教学所要达到的基本目标 通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础．要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力． 四、学生学习本课程应掌握的方法和技能 本课程的特点是理论性强，思想性强，和相关基础课及专业课联系 较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解 重要概念的思想本质，避免学生死记硬背．要善于将有关学科或生 活中常遇到的名词概念和微积分学的概念结合起来，使学生体会到 学习微积分的必要性．注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业和辅导环节，使学生加深对 课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力．教学 中有计划有目的地向学生介绍学习数学和学习专业课之间的关系， 学习高等 数学是获取进一步学习机会的关键学科．由于学科特点，本课程教 学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习 兴趣． 五、本课程和其他课程的联系和分工 本课程是经、管等相关专业的第一基础课．本课程的学习情况事关 学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向．本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的 学习阶段． 本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课．课程基础性、 理论性强，和相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学测 试统考科目，关系到学生综合能力的培养．本课程的学习情况直接 关系到学校的整体教学水平。 六、本课程的教学内容和目的要求 【第一编】函数、极限、连续（共20学时）1、教学目的和要求： （1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单使用问题 中的函数关系．（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 习题12-3 1. 求下列齐次方程的通解: (1)022=---'x y y y x ; 解 原方程变为 1)(2--=x y x y dx dy . 令x y u =, 则原方程化为 12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 11 12=-, 两边积分得 C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12, 将x y u =代入上式得原方程的通解 Cx x y x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+. (2)x y y dx dy x ln =; 解 原方程变为x y x y dx dy ln =. 令x y u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得 ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将x y u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0; 解 这是齐次方程. 令x y u = , 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=, 两边积分得 u 2=ln x 2+C , 将x y u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ). (4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0; 解 这是齐次方程. 令x y u = , 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-, 两边积分得 C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312x C u - =, 将x y u =代入上式得原方程的通解 x 3-2y 3=Cx . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy x y x dx x y y x y x ; 解 原方程变为x y x y dx dy +=th 32. 令x y u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得 3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x y u = 代入上式得原方程的通解 22sh Cx x y =. (6)0)1(2)21(=-++dy y x e dx e y x y x . 解 原方程变为y x y x e e y x dy dx 21)1(2+-=. 令y x u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+-=+, 即u u e e u dy du y 212++-=, 华南理工大学网络教育学院 2017–2018学年度第二学期 《高等数学B(上)》作业 1 、求函数y = 解: 1012[1,2220 -?≥??≤<-??-≠?x x x x 要求，即定义域为)。 2 、设函数y =dy 。 解：dy dx '== 3、设方程0y e xy e +-=所确定的隐函数为()y y x =，求dy dx 。 解：两边关于x 求导： 0y e y y x y ''++= 即 y y y x e '=- + 4、 求极限011lim 1sin x x e x →??- ?-?? 。 解：0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x →--=-原式 20s i n (1)l i m x x x e x →--= 0c o s l i m 2x x x e x →-= 0s i n x l i m 2 x x e →--=1-2= 5、求函数x y xe -=的单调区间和极值。 解：连续区间为(,)-∞+∞ (1)x x x y e xe x e --'=-=- 令01y x '=?= 10;10;x y x y ''><<>当时，当时， 即当11;x x ><时，单调减；当时，单调增 11(1)x y e -==为极大值点，极大值为。 6、求1(13ln ) dx x x +?。 解：11= (13ln )31+3ln d x x +?原式 1=l n 13l n 3x C ++ 7、求20 sin x xdx ?π 。 解：[]222000=(cos )cos cos xd x x x xdx ππ π-=-+??原式 []200sin x π =+ 1= 8、 D 若是由曲线2y x =与2x y +=所围，求D 的面积。 解：先求交点：2 212 y x x x x y ?=?=-=?+=?或 D 的面积为：1 122322119(2)2232x x dx x x x --??--=--= ???? 习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y ''+y '-y =2e x ; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+r -1=0, 其根为211= r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =2e x , 解得A =1, 从而y *=e x . 因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y ++=-2211. (2)y ''+a 2y =e x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+a 2=0, 其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos ax +C 2sin ax . 因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2 11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为 2 211sin cos a e ax C ax C y x +++=. (3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+5r =0, 其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=. 因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax 2+Bx +C ), 代入原方程并整理得 15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25 75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575 33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+3r +2=0, 其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e -x +C 2e -2x . 因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax +B )e -x , 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32 3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323 (2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2-2r +5=0, 其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为 Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ). 因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=xe x (A cos2x +B sin2x ), 代入原方程得 《高等数学（一）》作业 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； X>=0 （2）)1ln(+=x y 。 X+1>0 X>-1 （1）;11 x y -=(<>是不等于的意思) 1-x<>0 X<>1 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x -1<=x-1<=1 [ 0,2 ] (3）41≤+x ； -4<=1+x<=4 [ -5,3 ] 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1( lim +∞ → (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4))12(lim 2 1x x x + - ∞ →; (5) x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6) 12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1 ---→x x x x (10）)1 3(lim 3 n n + ∞ →； (11）x x x 55sin ) sin(lim ∞→； (12）x x x 3tan lim ∞→； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; 习题9?1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设,其中D 1 ={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2}; 又,其中D 2 ={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2 的关系. 解I 1表示由曲面z=(x 2 +y 2 ) 3 与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I 2表示由曲面z=(x 2 +y 2 ) 3 与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V 1 的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V 1 是V位于第一卦限中的部分,故 V=4V 1, 即I 1 =4I 2 . 3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积); 证明由二重积分的定义可知, 其中Δσ i 表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以 . (2)∫∫ (其中k为常数); 证明 . (3), 其中D =D 1 ∪D 2 , D 1 、D 2 为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1 和D 2 分别任意分为n 1 和n 2 个小闭区域 和, n 1 +n 2 =n , 作和 . 令各 和 的直径中最大值分别为λ1 和λ2 , 又λ=ma x (λ1λ2 ), 则有 , 即 . 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线 x +y =1所围成; 解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3 ≤(x +y )2 , 从而 ≤. (2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x ?2)2 +(y ?1)2 =2 所围成; 解 区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2 , 因而 . (3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有 第一章函数、极限与连续 习题1-1 1．求下列函数的定义域： 知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥ ④ arcsin （[]1,1-∈）等 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明： （1） 偶函数+偶函数=偶函数 奇函数+奇函数=奇函数； （2） 偶函数?偶函数=偶函数 奇函数?奇函数=偶函数 偶函数?奇函数=奇函数。 知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。 思路：讨论定义域D 是否关于原点对称 定义证明 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1） 11x y x -=+ （2） 1 22+=x x y 知识点：反函数求法； 思路：解出x 的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量； 注意定义域的讨论。 8．已知()[]x x f cos 1+=?，()2 sin x x =?，求()x f 。 知识点：函数复合； 思路：换元法①令()()t x t x 1-=?=??（此种方法要求x 易解），x 、()x ?分别用()t 1-?、t 代； 换元法②将()[]x f ?的表达式化成用()x ?表达的式子（需要技巧） ，再令()t x =?代换； 9． ()x x f sin =，()()21x x f -=? ，求()x ? 及其定义域； 知识点：函数的复合及定义域； 解： ()()()()()()π???k x x x x x f 21arcsin 1sin 22+-=?-==， ()x ?的自然定义域为1112≤-≤-x ，即22≤≤-x 习题1-4 解题思路： 数列极限定义（N -ε）：任意给定正数ε（无论多小），总存在正整数N =----，使得对于N n > 时的一切n x ，总有 ε<-a x n 成立，则a x n n =∞ →lim ； 大学高等数学课后习题答案 总习题六 23???1(求由曲线与纵轴所围图形面积。 y,(4,x) 233/2思路:曲线关于x轴对称，又曲线的一条分支是关于的减函 yxx,,,(4),(4)yx,,(4)x 数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。 y 8 x04 ,8 图6-1 2/3解:曲线表达为，它和y轴的交点:() x,4,y0,,8 88831282/32/35/3? (4)2(4)2(32S,,ydy,,ydy,,y,,,,80550???2(求介于直线之间、由曲线和所围成的平面图形的面积。 x,0,x,2,y,sinxy,cosx 2,解: S,sinx,cosxdx,0 ,/45,/42, ,(cosx,sinx)dx，(sinx,cosx)dx，(cosx,sinx)dx,42,,,0/45/4,, 22???3(直线将椭圆分成两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的y,xx， 3y,6yA/B 值。 22思路:由于和的交点为及，，因此面积较小的一y,x(0,0)(3/2 , 3/2)x， 3y,6y3/2,1 部分用y型做较简单，见图6-3 y y,x B 3/2 A 1 x 3/23/2 图6-3 ,,0y3/2,解:较小部分区域表达为:: D,A2y,x,6y,3y, xt,3cos yt,，sin1,3/2/693322则， Ayyydytdt,,,,,,,,(63)3cos,,0/2,,834 33233433,,，? ,,，,，,,,AB/,B33434833，,112222???4(求椭圆和公共部分的面积。 x，y,1x，y,133 122思路:由图形的对称性可得所求面积是和及所围在第一象限内区域面积Dy,xx,0yx，,113 的8倍，见图6-4 y 122 y，x,13 y,x D1 x 图6-4 ,03/2,,y ,2解: : D,1yyx,,,1,3, ,2yt,3sin3/2y226? ,,,,,,,,SSydytdt88(1)83cos33D,,10033 33???5(求由曲线所围图形面积。 x,acost,y,asint 习题1-8 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1)???≤<-≤≤=2 1 210 )(2x x x x x f ; (2)? ??>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f . 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 1 1=-=++→→x x f x x 所以1)(lim 1 =→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, )1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 1 1-=-==++-→-→f x x f x x , 所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续. 综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)2 3122+--=x x x y , x =1, x =2; (2)x x y tan =, x =k , 2 ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?); (3),1cos 2x y = x =0; (4)? ??>-≤-=1 31 1x x x x y , x =1. 解 (1)) 1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→2 31lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;关于高等数学课后习题答案
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