初一奥林匹克数学竞赛训练试题集

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（15）收藏试卷下载试卷试卷分析显示答案

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1、用代数式表示“x与y的差的平方减去x与y的平方差”应是（）

A、（x2-y2）-（x-y）2

B、（x-y）2-（x2-y2）

C、（x-y）2-（x-y2）

D、（x-y2）-（x-y）2

考点：列代数式．专题：计算题．分析：先表示出x与y的差的平方，即（x-y）2，再表示出x与y的平方差，即x2-y2，再作差即可．解答：解：根据题意，代数式为（x-y）2-（x2-y2）．故选B．点评：本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式要分清语言叙述中关键词语的意义，理清它们之间的数量关系．本题解题的关键是准确区分“差的平方”与“平方差”．

答题：mengcl老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错2、除以m得商k余1的数是（）A、mk+m B、C、mk+1 D、

考点：列代数式．分析：让除数m乘以商k再加上余数1即可．解答：解：所求的数为mk+1，故选C．点评：用到的知识点为：被除数=商×除数+余数．

答题：lanchong老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错3、化简（4xn+1yn）2÷[（-xy）

2]n得（）

A、16x2

B、4x2

C、4xn

D、16xn

考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：先算积的乘方，再算除法．解答：解：原式=16x2n+2y2n÷x2ny2n=16x2．

故选A．点评：本题考查了整式的混合运算．在乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后

乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

答题：HJJ老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错4、计算=（）

A、B、C、D、

考点：因式分解的应用．专题：转化思想；因式分解．分析：观察式子发现，，，…，，=

至此问题解决．解答：解：，

= …，

= ，

= ，

= ，

= ．

故选D．点评：本题考察因式分解．巧妙利用如，来解题．

答题：jingyouwang老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错5、一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小1，若分子和分母都减去1，则所得分数为小于的正数，则满足上述条件的分数共有（）

A、5个

B、6个

C、7个

D、8个

考点：一元一次不等式的整数解；一元一次不等式组的应用．专题：计算题．分析：根据一

个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小1，即可设分子是a，则分母是a+1，即可表示出这个分数，根据若分子和分母都减去1，则所得分数为小于，即可列出不等式，即可求得a的值，进而求解．解答：解：设a是正整数，该分数表示为．

依题意得：＜，

所以a可取1，2，3，4，5，6六个值．

因此，满足上述条件的分数共有五个：，，，，．

故选A．点评：本题主要考查了不等式的实际应用，正确列出不等式以及解不等式是解题关键．

答题：zhjh老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错6、已知：|x-1|+|x-5|=4，则x的取值范围是（）

A、1≤x≤5

B、x≤1

C、1＜x＜5

D、x≥5

考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：分别讨论①x≥5，②1＜x＜5，③x≤1，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：

第一种：当x≥5时，原方程就可化简为：x-1+x-5=4，解得：x=5；

第二种：当1＜x＜5时，原方程就可化简为：x-1-x+5=4，恒成立；

第三种：当x≤1时，原方程就可化简为：-x+1-x+5=4，解得：x=1；

所以x的取值范围是：1≤x≤5．

故选A．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是分类讨论x 的取值范围．

答题：xiaoliu007老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错7、比较m= 和n= 的大小是（）

A、m=n

B、m＞n

C、m＜n

D、不能确定

考点：有理数大小比较．分析：运用作差法可判断出m和n的大小．解答：解：m-n= - ＞0，∴m＞n．

故选B．点评：本题考查有理数大小的比较，有一定难度，关键是掌握做差法的使用．

答题：workholic老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错8、某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将付给他一套工作服和70元钱，但他工作了20天，由于另有任务，他中止了合同，工厂只付给他一套工作服和20元钱，那么这套工作服值（）A、50元B、60元C、70元D、80元

考点：二元一次方程组的应用．分析：根据总报酬=工作服款+工资的等量关系，可得到两个方程，解方程组即可得到工作服的价值．解答：解：设一套工作用共需x元，且学生干一天活可得y元，则依题意得：

，

解得x=80，

即一套工作服80元，

故选D．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

答题：workeroflaw老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错

二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

9、已知|x-3|+ = ．考点：代数式求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：由题意|x-3|+（2x-y）2=0，根据非负数的性质可以求出x和y的值，然后代入求解．解答：解：∵|x-3|≥0，（2x-y）2≥0，又|x-3|+（2x-y）2=0，

∴x-3=0，2x-y=0，

∴x=3，y=6，

∴= =- ，

故答案为：- ．点评：此题主要考查绝对值的性质，当x＞0时，|x|=x；当x≤0时，|x|=-x，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．

答题：yuanyuan老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错10、化简：（x+|x|）+（x-|x|）+x ?|x|+ = ．考点：绝对值．专题：计算题；分类讨论．分析：本题考查了绝对值的定义，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值，题中应考虑当x大于0和当x小于0两种情况，具体分析具体解答．解答：解：原式=x+|x|+x-|x|+x?|x|+ =2x+x?|x|+ ，

当x＞0时，|x|=x，原式=2x+x2+1，

当x＜0时，|x|=-x，原式=2x-x2-1，

故答案为2x+x2+1或2x-x2-1．点评：本题主要考查了绝对值的性质，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值，难度适中．

答题：冯延鹏老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错11、已知方程2（x+1）=3（x-1）的解为a+2，那么方程2[2（x+3）-3（x-a）]=3a的解为．考点：一元一次方程的解．分析：将方程2（x+1）=3（x-1）的解求出来使之等于a+2，可求出a的值，再将a的值代入可得出所求方程的解．解答：解：对于方程2（x+1）=3（x-1），其解x=5，即a+2=5，

∴a=3

将a=3代入2[2（x+3）-（3-a）]=3a，

得：2[2（x+3）-3（x-3）]=3×3，

4x+12-6x+18=9，

∴x=10 ．

故填10 ．点评：本题考查一元一次方程解的定义，要求熟练掌握方程的解即是能使方程两边相等的未知数的值．

答题：caicl老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错12、若n为自然数，使-1的值是质数的n为．考点：质数与合数．专题：计算题；分类讨论．分析：因为-1= ，且n为自然数，使-1的值是质数，将0代入不符合条件，舍去；将2，3代入，可得2与5，符合题意；当n≥4，如果n是偶数，则（n+2）可被2整除，则可得合数，如果n是奇数，则（n-1）可被2整除，也可得合数；所以n的值为2，3．解答：解：∵当n=2时，-1=2，是质数，当n=3时，-1=5，是质数，

当n≥4时，-1= 是合数，

∴若n为自然数，使-1的值是质数的n为2，3．点评：此题考查了学生对合数与质数意义的理解，还考查了因式分解的内容．解此题的关键是注意分类讨论思想的应用．

答题：zcx老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错13、若x2-x-1=0，则1995+2x-x3的值为．考点：因式分解的应用；代数式求值．专题：计算题．分析：由已知，得x2-x=1，再利用因式分解的知识对要求的代数式进行降次，进行整体代入求解．解答：解：∵x2-x-1=0，∴x2-x=1，

∴1995+2x-x3

=-x（x2-x）-x2+2x+1995

=-x2+x+1995

=-（x2-x）+1995

=1994．

故答案为1994．点评：注意此题的整体代入思想，能够运用因式分解的知识对代数式进行降次．

答题：心若在老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错14、关于y的不等式（2a-b）y+a-5b

＞0的解为y ，那么关于y的不等式ay＞b的解为．考点：解一元一次不等式．专题：计算题．分析：首先根据不等式（2a-b）y+a-5b＞0的解为y ，解得a、b的值，然后代入不等式ay＞b解得解集．解答：解：∵（2a-b）y+a-5b＞0的解集是y ，

∴x＜，

解得a=- ，b=- ，

∴- y＞- ，

∴y ．

故答案为：y ．点评：本题主要考查了解不等式．当题中有多个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应改变不等号的方向．

答题：HJJ老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错15、设n= 是990的倍数，那么= ．考点：整数的十进制表示法．分析：先根据n= 是990的倍数，可得c=0，再根据990是9或11的倍数，可得a+b=6或a+b=15，且a-b=11-13，从而求解．解答：解：∵990|n= ，即10|n，∴c=0．

同时9|n，且11|n，

∴a+b=6或a+b=15，且a-b=11-13，

∴相应的有a=2，b=4，或a= ，b= （不含题意，舍去）

∴=240．

故答案为：240．点评：本题考查了整数的十进制表示法，解题的关键是熟悉9，10，11的倍数的特征，有一定的难度．

答题：HJJ老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错16、如果在7个连续偶数中，最大数恰好是最小数的3倍，那么最大的一个数等于．考点：一元一次方程的应用．专题：常规题型．分析：想要求最大的数，就要先设出未知数，再通过理解题意可知本题的等量关系，最大数为最小数的3倍，而且最大数比最小数大12，根据等量关系列方程求解．解答：解：设7个连续偶数依次为n-6，n-4，n-2，n，n+2，n+4，n+6，

则由题意可知n+6=3（n-6），

∴解得n=12．

所以最大的偶数为n+6=18．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出本题中题目所给出等量关系，并且列出方程求解．

答题：499807835老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错

三、解答题（共3小题，满分48分）

17、证明：32不可能写成n个连续自然数的和．考点：整数的奇偶性问题．专题：数字问题．分析：假设32可以写成几个连续自然数的和，这n个连续自然数依次为k，k+1，，k+n-1，则k+k+1++k+n-1=32．

=32即n（2k+n-1）=64=26

∴n与（2k+n-1）都应为偶数．

则n为偶数，且2k为偶数，

∴n-1为奇数，

∴n为奇数，矛盾．

∴假设错误．解答：解：连续N个自然数的和为S=n+（n+1）+（n+2）…+（n+m）=（2n+m）（m+1）/2 若m为奇数，则2n+m为奇数若m为偶数，则m+1为奇数则N个自然数的和必为奇数*偶数或奇数*奇数32=25无论怎么分除了1和32之外分不出这样的奇数*偶数，1和32非连续偶数，所以32不可能写成n个连续自然数的和点评：此题是通过奇偶数知识点解决的问题．主要考查学生对奇偶数正确运用，关键是奇偶数推理论证．

答题：马兴田老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错18、一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台级，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法？考点：加法原理与乘法原理．分析：首先从简单情况入手，若有1级台阶，则只有惟一的迈法，若有2级台阶，则有两种迈法，若有3级台阶，则有4种迈法，若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知a3=4种万法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a2=2种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有a1=1种，然后依次求出a5、a6、…a10．解答：解：从简单情况入手：

（1）若有1级台阶，则只有惟一的迈法：a1=1；

（2）若有2级台阶，则有两种迈法：一步一级或一步二级，则a2=2；

（3）若有3级台阶，则有4种迈法：①一步一级地走，②第一步迈一级而第二步迈二级，③第一步迈二级而第二步迈一级，④一级迈三级，a3=4；

（4）若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知a3=4种万法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a2=2种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有a1=1种．∴a4=a1+a2+a3=7（种）

相应有

a5=a4+a2+a3=13（种）

a6=a5+a4+a3=24（种）

a7=a6+a5+a4=44（种）

a8=a7+a6+a5=81（种）

a9=a8+a7+a6=149（种）

a10=a9+a8+a7=274（种）

∴共有274种迈法．点评：本题主要考查加法原理和乘法原理的知识点，解答本题的关键是从简单情况入手，依次求出n级台阶的迈法，此题难度不大．

答题：yangjigang老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错19、把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．考点：抽屉原理．专题：证明题．分析：把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，在各行、各列，两格对角线数字和中，最小的为10，最大的为30，共有21种取值．

而10行，10列，加2条对角线共22个和．根据抽屉原理，即可证明结论．解答：证明：由于每个格内数字为1，2，3，

则在各行、各列，两格对角线数字和中，最小的为10，最大的为30，共有21种取值，

实际上，10行，10列，加2条对角线共22个和．

所以由抽屉原理，必有两个和是相等的．点评：本题考查了抽屉原理，解题的关键是得出把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，各行、各列，两格对角线数字和中，共有多少种取值．及10×10的方格内，10行，10列，加2条对角线共多少个和．

答题：HJJ老师显示解析体验训练收藏试题试题纠错