数学建模_电梯控制优化调度模型

太原工业学院数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了太原工业学院数学建模竞赛的竞赛规则与赛场纪律。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是（从A/B/C中选择一项填写）：A

［注］答卷评阅前由主办单位将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“评阅

编号。

日期：2011 年5_月22 日

电梯调度方案问题

摘要

本文的目的是设计电梯控制的优化调度模型以解决师生等待时间长的问题。

前期准备阶段通过对教学主楼电梯的运行情况和学生使用电梯的情况进测量、调

查研究，得到建立模型的相关数据。通过对实际情况作合理假设，将问题归结为：（一）减少师生等待电梯、乘坐电梯以及爬行楼梯所需的时间；

（二）使电梯的能量损耗尽可能小。综合以上两种因素建立出合理模型，制定出优化调度方案。

模型I对以上三项指标进行综合考虑，将等待电梯时间Ti 1,乘坐电梯时间Ti2,爬行楼梯时间T i 3按照一定比例量化，对目标函数T（C1, c 2,... c k）利用Visual C++面向对象程序设计语言进行枚举求解，穷尽各种情况，取得最优解。而模型U是对模型I的改进与完善，并将电梯能量损耗E k作为目标函数

s G,C2,llb k的一部分，求解出1号电梯在第8，10层停靠，2号电梯在第7, 9层停靠的结果。此结果基本上能够使师生的不满意度达到最小，同时保证电梯的能

耗相对较小。

我们认为，本文的模型假设简单但合乎情理，利用Visual C++面向对象程

序设计语言，对各种情况进行枚举，所得到的结果具有科学性。在模型讨论与分析阶段中，本文根据实际情况对电梯的优化调度方案进行理论剖析，并对极端情

况进行分解。从数据处理方面，本文给出了模型参数灵敏度分析，提高结果的可信度。如果要考虑更复杂的情况，该模型也可以对假设和其他各方面进行改进，

容易进行推广。因此这是一个比较理想的优化模型

关键词：优化调度求和模型最小二乘法Visual C++编程

1?问题重述

1.1基本情况

太原工业学院主楼共12楼，其内设有3部电梯，其中1部是教师专用的，另外2部供学生使用的。等电梯的人给出上、下楼的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。

1.2问题由来

由于我校学生人数较多，致使电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上、下课的时候，教师和学生通常要等待很长的时间，所以埋怨声很多。

1.3问题提出

根据实际情况，现要求解决下列问题：

任务1:学校供学生使用的两部电梯只能在六层以上电梯停靠，教师电梯可在各楼层间停靠。分析问题，进行建立模型的前期准备。建立数学模型，设计一个电梯调度方案，减少大家的等待时间。

任务2:对所提出的方案可能会带来的效果进行科学预测和评价。

2. 模型假设

制定电梯的优化调度方案需要考虑的因素很复杂，并且有很多因素是随机

的。为了抓住重点，简化模型以及方便求解，必须作一定的简化假设，设定如下:

1. 假设周一至周五的上课高峰时段中，等待电梯、乘坐电梯的人数是均匀

分布的；

2. 临近上课、下课的高峰时间，等待电梯、乘坐电梯的人数随时间呈均匀分布；

3. 等电梯的人给出上、下楼的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。

4. 电梯从第i层到达第j层（ivj ）需要经过“加速一一匀速一一减速”的过程，可以假定

电梯加速、减速的时间恒定，且匀速运行时的速度为常量。

5. 在第i层楼上课的学生，总是选择坐电梯到达距离第i层最近的楼层，再通过走楼梯到

达目的地（假若学生不乘电梯，则看作他乘坐电梯到达第1层，再走楼梯到达目的楼

层）。并假设男生、女生爬行楼梯速度相同。

6. 电梯乘坐人数不能超过最大乘载量：18人

7. 假设学生到达一课时按顺序排队进入电梯，一般不出现插队现象。

8. 电梯的能耗与停留的层数成正比（一般仅限于考虑电梯马达的能量损

耗），停留层数越多，能耗越大。

3. 前期准备

根据问题分析过程，以及模型建立所需参数，我们对主楼的电梯运行和使用情况进行调查研究。

调查方法：随机抽样测量，多次测量，利用最小二乘法或者平均选择最适合数据

工具：秒表，记录本

所取得数据如下：

表1

通过对上表数据的分析，可以利用Excel统计工具描绘出电梯运行时间与楼层间隔的关系，从而得出加速、减速的时间，以及匀速运动的速度，即求解出匀速运行一层所需时间。

表2

平均值：9.865秒。

表3电梯停留时间数据表

通过对上表数据的处理和计算，可以得到电梯停留的平均时间

取平均值，得到电梯停留的平均时间为：11.0725秒

4. 符号及表达式说明

4.1符号说明

N:主楼的总楼层数。

M：电梯每一趟所容纳的平均乘客数量。

r :人步行上、下一层楼梯所用的平均时间。

a：电梯每次停靠时所停留的平均时间。

T：每一批乘客（把电梯平均每次能容纳最大数目的乘客当成一批）最终到达目的层时，电梯里这一批乘客所花的时间之和。

E k :电梯停留了k层所消耗的能量。

C k :假设电梯最终停靠在C。=1、5 C2、.…C k「、C k此若干层，用半开半闭区间

C i, C i 1表示从C i+1到C i 1其间的C i 1 -C i层楼。

J :第C j层和第C i 1层之间的楼层数，即L i =C i 1-C i

S:目标函数（由两部分构成），包括时间T和电梯的能量损耗E k。

m,:师生等待电梯+乘坐电梯所需时间的权重，无量纲。

m2 :师生爬行楼梯所需时间的权重，无量纲。

m3 :电梯能量损耗的权重，量纲为s/J。

4.2在模型建立及求解的过程中常用的数学表达式

在楼段即^.」，每一次电梯从静止、加速到匀速、再到减速停靠在目的层所花去的时间t 可以认为跟电梯经过的楼层数c i ,-C i成一次函数的关系，式子如下:

t i=p* （c i d-c i）+q （其中p，q 为待定常数。）（1）

根据表5中的数据，利用Excel软件图表工具可以得到以下图以及常数p, q：

即得到：常数p=2.7469 , q=5.1136。

另外，上i=c「i-C i （2）

5. 模型建立与求解

根据调查研究所得数据，针对主楼电梯使用高峰时段师生等待电梯时间长、

人流拥挤的实际情况，从对问题所作的假设出发，我们建立了电梯优化调度模型I，模型u。

模型I :时间规划模型。

模型U:近似加权求和模型。

5.1关于模型I的建立

根据假设，本模型考虑在上课高峰期学生使用电梯的情况。每一批乘客（把电梯平均每次能容纳最大数目的乘客当成一批，按假设是M人）最终到达目的

层时，电梯里这一批所有乘客所花的时间之和T。

由于假设要前往每一层的乘客数量一样多，所以可以先考虑每一层进一个人的情况下的时间，再乘以系数M。

N

我们把大楼分段，分法如下：把大楼分成C o, C i ］（即1, C i 1, C i, C2 1，，

c k-1 , c k I , C k，N 1 0

用T i表示所有在"C i」(其中0空izk-1即不包括C k,N 1)这一楼段下电梯并到达各

自的目的层的乘客所花去的时间之和；而T由以下几部分组成：

1. 进入电梯之前在c0层(即第一层)等待所花去的时间T i1；

2. 进入电梯之后直到到达电梯所能停靠的楼层(q或C ii)所花去的时间T2 ；

3. 出电梯之后，有些人可能需要通过爬行楼梯若干层才能到达目的层(目

的层在刚好在电梯停靠层的乘客不用考虑)，这些人所花去的时间T i3。

于是T i=T ii+T i2+T i3。由于假设要前往每一层的乘客数量一样多，所以可以先

考虑并求出每一层进一个人的情况下的时间，再乘以系数M。

N

在建立模型之前必须先明确以下几点：

1. Ti所涉及的楼层是C i，C ii 1,表示从C i 1到其间的C i i-C i层楼，并不包括C i这一

层，C i这一层归在上一段考虑；

2. 在电梯不停靠的楼层，乘客选择最临近目的层的电梯停靠层下电梯。于

是，目的层在C i 1 , C i+2 ,……-土的乘客选择在C i层下电梯，然后爬上

2

目的层；而目的层在一二+ 1,……，C i 1的乘客选择在C i .1下电梯，然

2

后走到目的层；

5.1.1 第一步：求：T2

j 斗_C 十—G -I

T i2= (C i 1-C i)t j ——L t i ? C 1 - C i ia

j出2

= (C i1-C i)v Ip C j 1-C j ql Ci 1 Ci t i (C i 1-C i)ia

2

j =0

二C i1-C i Ip (C i-c0)+iq] Ci「t i C i 1-C i ia

=\ p (c i-c 0) +iq 1 寸 J - ia\

5.1.2 第二步：求：T3

C n -C -

T i3

={2* (1+2+...+ |l -^2 I )

2

=(c^ -_1(-1)C1-Ci

)匕 *r

2 2 2

二—Lr

「2 「2 2

注意：此处先不求T i ，因为在求电梯里每一批乘客所花的时间之总和 T 时一起计 算，会使计算难度降低

5.1.3特殊楼段考虑:

在(C k , N 这一段上，不能再用以上两道式子来求T

k -1

T k2=(N -CkT t j (N 七)〔pG-C o ) kql

j

T k^1 2 .... (^C k )*^

(N

~

C k )(N ~

C k 1)

*r

2

5.1.4最终求出T :

1 +(-1)

Ci +"Ci

2

M k -

、M

kJL

、 k

T =T (G,q....C k )

(' T j2 T k2)+u (二.工3 T k3)+ ' T ii N i 」 N i _o

7

M kJ 、 M k

」 、心

(' T i2 T k2)+ —(' T i3 T k3)+MO t i ka) Ny N i _o i -0 M k -1

M k J

(' T 2 - T k2)+ 一(' T i3 T k3)+M 〔p(C k -C o ) k(q a) 1 N i 卫 N i 卫

N

也.gT)*r.

N y 2

2 2

M [p(c k

-c 0

) k(q - a) 1 M 2 1

(T)

X

乙〔P (C -C 0) iq L t i - L

( L - N i 卫

2

2 2

—

N —cQ [pG - C o ) kq 1 (N _Ck)(N ?__ r M l.p(c^C o ) k(q a) 1 N . 2

由最终函数可见最终结果是相当复杂的， 基本上很难用纯数学的方法求解这 个函数关于的自变量C i 、C 2、……C k-1、C k 的k 元函数的最小值，而且表达式中包含 取整运算符，也是很难处理的地方。 由于实际中楼层是有限的，所以可以考虑用 计算机编程利用枚举法来处理这个问题。

5.1.5对T 进行化简：

虽然无法用严谨的数学方法加以分析，但是考虑函数的每一部分然后用简单 的粗略的分析方法也是可能的。例如考虑到

，i (p(C i -C o ) iq) t i ia^i (N -q.) Ip(c^c o ) kq 1 7 一

2

-IL - (L L . 1 ( -1)" )* r . (N _ Ck )( N _ q 〔) r

2

i. 1

2—)5

式子中有上取整和下取整，所以想从这里做文章是很难的，而考虑到第二式 子中有项（-1）v -，若：为偶数则它的值为一1,若冷为奇数则它的值为1。所以 可以设想V 应该为偶数比较好。如果基于这种设想，函数 T （q 、C 2、.…Ck ）将可

以进一步化简:

T G,C 2川IC k

k ±

.

p i i

? q L i

L i

八 p C i -C o iq -* ; ia i -* -* r N —C k i[pC k —c 。 kq

i 卫-

2

2 2 2

_

N -C k N -C ,

1

k

k

r MN

2

八4 r

i￡ 4 N - C

,

T

N - C ,

1 i - —

2 - r ? MN [I p C k - C o k q a

5.2关于模型I 的求解

利用Visual C++面向对象程序设计语言，对各种情况进行枚举 程序段（见附录）实现此枚举，得到模型结果。

_p c k -q k q a

P ；c r p iq a 泊 N_C

k

kq

t i

ia 冷

1 -1

T i

2 2

2

* r

T i2 =-'■: i

5.3模型I的求解结果

求解结果如下，其中，k表示所停靠楼层数目，total T表示师生到达目标楼层所花时间。

5.4关于模型U的建立（对模型I的改进）

考虑函数s二s q,C2,川C k为师生到达期待楼层和电梯能耗的线性加权模型其

中，m i 、m 2、m 3分别是:

m i :师生等待电梯+乘坐电梯所需时间的权重，无量纲。 m 2 :师生爬行楼梯所需时间的权重，无量纲。 m 3

:电梯能量损耗的权重，量纲为s/J 。

s =s G,C 2

」|)C

k

、k

M k

一纭

)M W

二m M t ka

IL 2

N

v

匚

_ - |心

=mM _p C k -C o

■ k q ■ a

氏巨口花

=m

M k 1 .1 T i2 ' T

k2 m

2

T i3 T

k3

i￡

N v

丄

)I M 伫

1

)

T

i2 'T k2

' m 2

T

i3 ' T k3

' m 3 * k

!

N v

:亠

m 2 T i3 亠T

k3

N

i2 ' T k2

i z 0

? m 3

* k

M k 」 N v ~

k

」

V

G 'T k3

m 3* k

m 3 * k

二mM A p C k

-C

o

k q C

i

-C o i q a

冷 tj

-C o ) kq]

L

i

—

J

(-1)'1 (N -C k )(N -C k 1) -

r r ■ m 3 * k

2 2 _M

二 N i

垒.

m -M l|p C k -C o k q a

如

(N

7)(N

?-)

r m 3

k

N 2

上式中M, N, p ，q ，a ，r 都是常数，分别为:

M= 16

N=

11

p=2.7469 q=5.1136 a=11.0725 r=16.05741667

而“，k,C k 都是变量，且?[二G 1 -C ，所以k 和“是由C i 和C i 1决定的，所以最

M

m 2 -------

N

；；￥m[「：i (p(C i —C g ) i(q a)K 1'2

t ] ? L ；

■产 )[p(C k

—C o

) - kq]

终变量其实就是G 、C 2、.…C k

函数S(C 1, C 2….q)将可以进一步简化：

S(C 1

, C

2……C k )

M kJ

冷

：i 2

迟 2m *(p (C -C o )+i(q+a)+ = t j +口2「(=) > i 卫.IL

2 2

gM lp(C k -c 。)k(q a)]卩 ?〔pG -c 。)kq 1 I N

J

m^(N -C k )(N -C k 1)r m 3

k N 2

(把t j = p * (C 舟一q )+q 代进去，整理)

gM [pG -c o ) k(q a)]丄 ? [pG -c 。)kq 1

I N J

m 2M (N -C k )(N -C k 1)r mk N 2

3

从后面用C ++程序得到的解答中，会发现： S 值最小的几种情况中，楼层差确

实通常是偶数，所以说，我们上面的讨论是相对合理的， 对于S 的简化也是合乎 情理的。

5.5关于模型U 的求解

方法与模型I 的求解方法基本上一致，

Visual C++面向对象程序设计语言利用

对所有情况进行枚举，可参考附录中的程序段。得到以下结果：

k=3

total T=1645.03 1 8 10

total T=1636.86 1 7 8

total T=1631.64 1 7 9

可以看到，综合考虑师生到达期待楼层所需时间和电梯能耗的影响，可以得到， 电梯停靠次数为2,停留楼层为7, 9层和8, 10层。1、2号电梯停留的层数应该 分开，因此，结果为1号电梯停8, 10层，2号电梯停7, 9层。

2

m

+

1

p

-(.

◎

\ y

一

m i p (G -C o ) i(p q)

6. 模型结果分析

6.1模型讨论

就本问题来说，条件的两个目标是相互矛盾的，因为师生到达目标楼层所需时间越少，即师生依赖电梯得到的便利越多就要求电梯所停靠的层数越多，并且

停靠层尽量在高层，但是这样的话电梯的能耗也比较大，不利于电梯的长久使用和节约型华师的要求。因此，我们要根据实际情况对模型进行综合考虑，对两方

面影响赋予不同权重，折衷考虑电梯的优化调度。以上已经给出优化模型，下面

对极端情况进行考虑：

m「m2、m3需要我们自己予以赋值，这需要具体的实际数据作为考证。

1）师生到达目的楼层所需时间最少，电梯能耗最大

赋予权重m1 = 1, m2 = 1, m3 = 100,可得结果：

k=11

total T=4652.84

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2）电梯能耗最小，师生到达目的楼层所需时间最大

赋予权重m仁100 m2=100 m3=1,可得结果：

k=2

total T=1379.76

1 9

total T=1371.95

1 7

total T=1378.04

1 8

6.2灵敏度分析

根据以上的计算机程序，我们对参数赋值，观察结果，对模型进行灵敏度分析。由于问题中对模型结果产生影响的因素很多，在此我们取几个关键参数进行灵敏度分析。

1）步行楼梯时间对模型的影响

假设其他条件不变，合理改变步行时间，观察模型结果的变化：

2）电梯在停靠层停留时间对模型的影响

假设其他条件不变，合理改变电梯在停靠层停留时间，观察模型结果的变化:

表7电梯在停靠层停留时间对模型的影响