2013级版第二章谓词逻辑
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
第3章谓词逻辑
谓 词 逻 辑 原子命题是命题逻辑中最基本的组成单元，不能对它再作进一步的分解，但同时也无法反映出某些原子命题的共同特征和相互关系。 例如，用p表示命题“小李是大学生”，用q表示命题“小王是大学生”，在命题逻辑的范畴中它们是两个独立的原子命题，p和q之间没有任何关系。但是，命题“小李是大学生”和“小王是大学生”之间有着相同的结构和内在的联系，它们都具有相同的谓语（及宾语）“是大学生”，不同的只是主语，它们都描述了“是大学生”这样一个共同的特性；而使用原子命题表示时并没有能将这一共性刻画出来。 再如著名的苏格拉底三段论： 凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 这个推理显然是正确的。但是，如用p、q、r分别表示上面3个命题，由于p∧q?r不是永真式，因此它不是正确的推理；也就是说，当p和q都为真时，得不出r一定为真。其根本原因在于命题逻辑不能将命题p、q、r间的内在的联系反映出来。 为了克服命题逻辑的局限性，引入了谓词和量词对原子命题和命题间的相互关系做进一步的剖析，从而产生了谓词逻辑。 谓词逻辑亦称一阶逻辑，它同命题逻辑一样，是数理逻辑中最基础的内容。 §3.1谓词、量词与自然语句形式化 §3.1.1 谓词 在谓词逻辑中，一般将原子命题分解为个体词和谓词两个部分。 定义3.1个体词（individual）是一个命题里表示思维对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体。简单地讲，个体词就表示各种事物，相当于汉语中的名词。具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用a、b、c表示；抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般用x、y、z表示。个体变项的取值范围称做个体域或论域（domain of the discourse），宇宙间一切事物组成的个体域称做全总个体域（universal domain of individuals）。 注：本书在提及论域时，如未特别说明，指的都是全总个体域。 定义3.2在命题中，表示个体词性质或相互之间关系的词称做谓词（predicate）。
《计算机数学基础(2)—离散数学》 谓词逻辑
第2章谓词逻辑 一、教学要求 1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。会将不太复杂的命题符号化。 2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。 3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。会进行谓词公式的等值演算。 4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。 5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则) 本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。 二、学习辅导 在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如 “凡人要死，张三是人，张三要死” 显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设 P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。 表示成复合命题有 P∧Q→R 这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。 1. 谓词与量词 学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。 在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。例如 (1)(1)ln5是无理数； (2)(2)高可比李木相高4cm； (3) 郑州位于北京和广州之间。 这时三个简单命题，其中ln5，高可，李木相，郑州，北京，广州等都是个体词，而“是无理数”，“……比……高4cm”，“……位于……和……之间”等都是谓词。 个体词分个体常项(用a,b,c,d,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)；谓词分谓词常项(表
第二章 谓词逻辑
第二章谓词逻辑 1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？ 2.么叫做谓词？ 3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？ 4.填空题： 1．存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。 2．全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。 5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。 ?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x) ?x?y?z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t) 6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？ ?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x) 7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。 8.给出的谓词 J(x)：x是教练员， L(x) ：x是运动员， S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志， H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。客体 j：金某人。用上面给出的符号将下面命题符号化。 1．所有教练员是运动员。 2．某些运动员是大学生。 3．某些教练是年老的，但是健壮的。 4．金教练既不老，但也不是健壮的。 5．不是所有运动员都是教练。 6．某些大学生运动员是国家选手。 7．没有一个国家选手不是健壮的。 8．所有老的国家选手都是运动员。 9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。 10．有些女同志既是教练又是国家选手。 11．所有运动员都钦佩某些教练。
12．有些大学生不钦佩运动员。 9.将下面命题符号化 1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。 2．没有大学生不懂外语。 3．有些液体可以溶解所有固体。 4．每个大学生都爱好一些文体活动。 5．每个自然数都有唯一的后继数。 10.令P表示天气好。Q表示考试准时进行。A(x)表示x是考生。B(x)表示x提前进入考场。C(x)表示x取得良好成绩。E(x,y)表示x=y。利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。 1．如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。 2．只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。 3．并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。 4．有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。 11.将下面命题符号化。 1．对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。 (S(x):x是大学生；Q(x):x取得了优异成绩；H(x):x刻苦学习。) 2．每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。 (Z(x):x是自然数； E(x,y):x=y； Q(x,y):y是x的前驱数。) 12.
谓词逻辑
第五章谓词逻辑 习题5.1 1. a)每个自然数都有唯一的后继； 解：“每个”是全称的概念；“自然数”需引进一个特性谓词；“有”表示存在；“唯一”表示所有具有该性质的元素均相等（即若x具有该性质，y也具有该性质，则x等于y）；“后继”用谓词表示。于是，可令： N(x)：x是自然数； Q(x, y)：y是x的后继； E(x, y)：x等于y； 则上述命题可以符号化为： (? x) ( N ( x ) → (? y) (Q ( x, y ) ∧ (? z) (Q ( x, z ) → E ( y, z ) ) b) 没有以0为后继的自然数； 解：“没有”表示不存在；“自然数”用特性谓词表示；“后继”用谓词表示。于是，可令：N(x)：x是自然数； Q(x, y)：y是x的后继； 则上述命题可以符号化为： ? (? x)( N ( x ) ∧ Q ( x, 0 ) ) 注意：①对于引进的特性谓词，在全称量词约束下要用逻辑联结词“→”，在存在量词约束下要用逻辑联结词“∧”。 ②“唯一”概念的符号化。 2. a)存在唯一的偶素数； 解：“存在”是存在量词的概念；“唯一”可参照上题；“偶数”、“素数”用谓词表示。于是，可令： E(x)：x是偶数； S(x)：x是素数； R(x, y)：x等于y； 则上述命题可以符号化为： (? x) ( E ( x ) ∧ S ( x ) ∧ (? y) ( E ( y ) ∧ S ( y ) → R ( x, y ) ) b)没有既是奇数又是偶数的数； 解：“没有”表示不存在；“奇数”、“偶数”、“数”用谓词表示。于是，可令： O(x)：x是奇数； E(x)：x是偶数； Q(x)：x是数；
第二章 谓词逻辑 1.原子命题的内部结构
第二章 谓词逻辑 一、原子命题的内部结构 12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由 个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑 什么是谓词逻辑 在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如： 推理1： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。 推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是()r q p →∧。这不是一个重言式。因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如： 推理2： 所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。 有些罪犯不是故意犯罪。 因此，有些罪犯是过失犯罪。 这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。 为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。 在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。 谓词和个体词 我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。 (1) 这张桌子是方的。 (2) 陈先生是贾女土的丈夫。 显然，以上两个命题都是原子命题。 在(1)中，今F(x)表示“x 是方的”，a 表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。这里，F 就是谓词，表示“方”这种性质；x 和a 就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。其中，x 称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a 称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。 在(2)中，令H(x ，y)表示“x 是y 的丈夫”，a 表示陈先生，b 表示贾女士，这样，H(a ，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题(2)的表达式是H(a ，b)。这里，H 是谓词，表示某人是某人的丈夫”这种关系，x 、y 和a 、b 是个体词，同样，x 和y 是个体变项，a 和b 是个体常项。
第2章谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题 1. 将下列命题用谓词符号化。 （1）小王学过英语和法语。 （2）2大于3仅当2大于4。 （3）3不是偶数。 （4）2或3是质数。 （5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。 解： (1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ? (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨ (5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ?→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。 （1）))()((y Q x P y x ∧?? （2）))()((y Q x P y x ∨?? （3）)()(y yQ x xP ?→? （4）))()((y yQ y x P x ?→?， 解： (1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧?=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧?=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧?∧??α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧?α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧??α （2）中))()(()(y Q x P y x A ∨?=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对 )(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨?，这时用UI 规则，可得： ))()((y Q x P y x ∨?? ))()((z Q x P z x ∨??? ))()((z Q x P z ∨?α （3）略 （4）略 3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。求下列各式 的真值。 （1）)3(，x xP ? （2）)1(y yP ，? （3）)(y x yP x ， ?? （4）)(y x yP x ， ?? （5）)(y x yP x ，?? （6）)(y x xP y ，?? 解： (2) 当3=x 时可使式子成立，所以为Ture 。 (3) 当1≠y 时就不成立，所以为False 。
谓词逻辑-习题与答案
1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。 答： 析取范式：)()() ()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨= 2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为 答： ?x ?y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y)) 3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老 师”符号化为（ B ）。 A 、)),()((y x A x L x →?； B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? ； C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧??； D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 。 4．下列各式中哪个不成立（ A ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 5．用推理规则证明)()(a G a P ∧?是 ))()((,)(,))()((, )))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ??∧?∧→?的有效 结论。 证明：（1） ))()(()(x P x Q x xP ∧→? P （2） ))()(()(a P a Q a P ∧→ US(1) (3) ))()((a R a Q ∧? P
离散数学答案
2015春课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ? A。 1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．?。 1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1） N ? Q，Q ∈S，则 N ? S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。否［错］ 1-4 设集合 B = {4，3} ∩?， C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }， E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}， F = { 4，?，3，3}， 试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ] A. C; B. D; C. E; D. F. 1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ] A. N; B. Z; C. Q; D. Z+ 1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题) 按照所研究的问题来确定集合的元素。而我们所要研究的问题当然是随意的。所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。 第二章二元关系 2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下： R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题） 求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。 所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。有的书上称其为抽象原则。反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下： R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}； (3)R 的性质:自反,对称,传递性质. 2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即 R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}， 试给出 dom（R 。R）。（选择题） [ B ] A. 3； B. {3}； C. 〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；以及函数的性质。最后指出 f：A→B 中的双射函数。（选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。 （2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。 （3）A = B = R， f = x 。
离散数学测验题谓词逻辑答案
离散数学测验题(谓词逻辑部分) 一、符号化下列命题。（20分，每题10分） 1. 任何两个不同的人都性格不相同。 解：设F(x):x 是人, H(x,y), x 与y 相同, L(x,y): x 与y 性格相同 则原命题对应的谓词公式为： ?x(F(x)→?y(F(y)∧?H(x,y)→?L(x,y))) 或?x ?y(F(x)∧F(y)∧?H(x,y)→?L(x,y)) 2. 尽管有些人爱吃西瓜，但并不是所有人都爱吃西瓜。 解：设M(x): x 是人，C(x): x 爱吃西瓜，则原命题可以表示为前后两个原子命题之间的合取,“有些人爱吃西瓜”可以表示为：()()()x M x C x ?∧；“不是所有人都爱吃西瓜”可以表示为()()()x M x C x ??→，或者()()()x M x C x ?∧? 则原命题对应的谓词公式为：()()()x M x C x ?∧∧()()()x M x C x ??→，或者 ()()()x M x C x ?∧∧ ()()()x M x C x ?∧? 二、说明下列推理的有效性。（45分，每题15分） 1. 乌鸦是黑色的，天鹅不是黑色的；所以，天鹅不是乌鸦。 解：设B(x): x 是乌鸦，M(x): x 是天鹅，F(x): x 黑色的。 则此推理可以表示为： ()()()()(),()()()().x B x F x x M x F x x M x B x ?→?→???→? 证明：(1) ?x ( M ( x ) →? F ( x )) P 规则 (2)M ( y ) →? F ( y ) US(1) (3) ?x ( B ( x ) → F ( x )) P 规则 (4)B ( y ) → F ( y ) US(3) (5)? F ( y ) →? B ( y ) (4)假言易位 (6)M ( y ) →? B ( y ) (2)(5)假言三段论 (7) ?x( M ( x ) →? B ( x )) UG(6)，证毕。 利用反证法证明：
人工智能课后答案第三章
1.基于谓词逻辑的机器推理方法：自然演绎推理，归结演绎推理，基于规则的演绎推理。 2. 求下列谓词公式的子句集 (1) x y(P(x,y) Q(x,y)) 解：去掉存在量词变为：P(a,b) Q(a,b) 变成子句集{ P(a,b),Q(a,b )} (2) x y(P(x,y) Q(x,y)) 解：去掉蕴涵符号变为：x y(? P(x,y) Q(x,y)) 去掉全称量词变为：? P(x,y) Q(x,y) 变成子句集{ ? P(x,y) Q(x,y)} (3) {()[(,)(,,)]}x P x y zQ x z zR x y z ?→??∨? ()(,)(,(),)P x Q x z R x f x z ?∨∨ (4)((,,,,,)(,,,,,)(,,,,,))x y z u v w P x y z y v w Q x y z y v w R x y z u v w ??????∨∧ {p(a,y,f(y),y,v,g(y,v)) Q(a,y,f(y),y,v,g(y,v)), p(a,x,f(x),x,z,g(x,z)) R(a,x,f(x),h(x),z,g(x,z))} 3. 试判断下列子句集中哪些是不可满足的 （1）使用删除策略 （2）归结 4.用合一算法求下列公式集的最一般合一。 （1）W={Q(a,x),Q(y,b)} 最一般合一为:{a/y,b/y} （2）{()((,))}W Q x y z Q u h v v u =，，，，， 最一般合一为：{z/u,h(v,v)/y,z/x}或{x/u,h(v,v)/y,x/z} 5.用归结原理证明，G 是否可肯定是F 的逻辑结果。 (1) F 1 ( x)(P(x)(Q(x)∧R(x)) F 2 ( x) (P(x) ∧S(x) G (x)(S(x) ∧R(x))
离散数学答案 第三章 谓词逻辑
第三章 谓词逻辑 习题3.1 1．解 ?个体：离散数学；谓词：…是一门计算机基础课程。 ?个体：田亮；谓词：…是一名优秀的跳水运动员。 ?个体：大学生；谓词：…要好好学习计算机课程；量词：所有。 ?个体：推理；谓词：…是能够由计算机来完成的；量词：一切。 2． 解 ?设)(x F ：x 是舞蹈演员；a ：小芳。命题符号化：)(a F 。 ?设)(x F ：x 是一位有名的哲学家；a ：苏格拉底。命题符号化：)(a F 。 ?设)(x F ：x 作完了他的作业家；a ：张三。命题符号化：)(a F 。 ?设)(x F ：x 身体很好；a ：我。命题符号化：)(a F 。 3．解 ?选取个体域为整数集合。设)(x F ：x 的平方是奇数；)(x G ：x 是奇数。命题符号化：)()(x G x F →。 ?选取个体域为所有国家的集合。设)(x F ：x 在南半球；)(x G ：x 在北半球。命题符号化：)()(x xG x xF ?∧?。 ?选取个体域为所有人的集合。设)(x F ：x 在中国居住；)(x G ：x 是中国人。命题符号化：))()((x G x F x ?→??? ?选取个体域为所有人的集合。设)(x M ：x 是艺术家；)(x F ：x 是导演；)(x G ：x 是演员。命题符号化：?x (M (x )∧F (x )∧G (x ))。 ?选取个体域为所有猫的集合。设M (x )：x 是好猫；F (x )：x 捉耗子。命题符号化： ?x ?M (x )∧?x (F (x )→M (x ))。 4．解 ?①设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车。命题符号化：)()(x xG x xF ?∧?。 ②设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车；)(x M ：x 是人。命题符号化： ))()(())()((x G x M x x F x M x ∧?∧∧?。 ?①设)(x F ：x 必须学好数学。命题符号化：)(x xF ?。 ②设)(x F ：x 必须学好数学；)(x M ：x 是学生。命题符号化：))()((x F x M x →?。 ?①设)(x F ：x 的平方是质数；)(x M ：x 是质数。命题符号化： ))()((x F x M x ?→?。 ②同①。
谓词逻辑
第二章谓词逻辑 在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些简单的推理。 例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。 设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。则“苏格拉底三段论”可符号化为（p∧q）→r。显然（p∧q）→r不是重言式。 因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。 2.1 谓词逻辑的基本概念 2.1.1 个体与谓词 我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。 定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立存在的客体。 谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。 个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。 例2.1-1?海水是咸的。 ?张强与张亮是兄弟。 ?无锡位于上海与南京之间。 ?、?、?都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“…是咸的”、“…与…是兄弟”和“…位于…与…之间”都是谓词。?中的谓词描述了一个个体的性质，称为一元谓词，?中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，?中的谓词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。依次类推，我们将描述n个个体之间关系的谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。为方便起见，将命题称为零元谓词。 例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为： P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。 这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。P(x)、Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。 然而，仅仅一个谓词，即使是谓词常元，也不能构成一个命题。例如谓词P(x)就不是一个命题。这是因为谓词P(x)中的个体x不是一个确定的个体，称其为个体变元。只有将个体变元代以用具体或者特定的个体时，才能构成命题，我们称其中具体或者特定的个体为个体常元。 例2.1-2设P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。a表示“海水”，b表示“张强”，c表示“张亮”，d表示“无锡”，e表示“上海”，f表示“南京”。
第五章：一阶逻辑的语法和语义
一阶谓词逻辑部分——一阶语法： 1定义字母表的定义 一个一阶语言L的字母表由以下符号组成： 1）一组非逻辑符号，其中包含： i）一个（可能空的）个体常项集；{a1,a2,…} ii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元谓词集； {F11,F12,…,F21,F22,…,F n1,F n2,…,…} iii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元函数符号集{f11,f12,…,f21,f22,…,f n1,f n2,…,…} 2）一组固定的逻辑符号，其中包含： i）个体变项x0, x1, x2,…（可数无穷多）； ii）量词?，[?]； iii）联结词?，→，[∧，∨，?]； iv）等词[≡]； v）括号)，(。 注1：我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。 注2：所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号
集。 注3：一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。 注4：在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。我们约定，在元语言中用 x, y, z等代表一阶语言的个体变项； c, d, e等代表一阶语言的个体常项； P, Q, R等代表一阶语言的谓词； f, g, h等代表一阶语言的函数符号。 2 项的归纳定义 下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f(x) = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。现在的问题是：到底哪些东西是项，或者，我们如何确切定义项的集合？ 设L为一阶语言。L-项定义为： 1）基始条件： i）L字母表中的每个个体常项是L-项。
离散数学章节总结
离散数学章节总结 第一章 [命题逻辑] 1.逻辑运算 1.否定:Negation? NOT 2.交:Conjunction AND 3.并:Disjunction OR 4.蕴含:Implication IMPLIES 5. Biconditional ? IFF XOR 2.逆/否/逆否 1.逆:converse 2.否:inverse 3.逆否:conytrapositive 3.问题的一致性 [逻辑等价] →q 等价于?p q 等价于? q→?p 2. p q 等价于?p→q p q 等价于?( p→?q) 3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r) (p→r)(q→r) 等价于(p q)→r (p→r)(q→r)等价于(p q) →r 4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例 (假设左为假右必为假假设右为假左必为假) [ 谓词逻辑] 1.量词存在 任意 量词顺序不能随机改变 不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) 没有一个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理]
[ 证明] 1.证明方法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满足结论的元素) 2.证明步骤:正向证明反向证明
第二章 [ 集合及运算] 1.特殊集合: R Q Z 无穷/有限集 2.集合表述方法: 列举法 描述法 图表法 3.集合运算: 交/并/补/差/取子集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q / B A B A B A B A ?=??=? n i i A 1 = X A A ∈ n i i A 1= X A A ∈ 容斥原理 A i i =1n = A i 1≤i ≤n ∑- A i ?A j 1≤i 第三章谓词逻辑 例3.2.1 在谓词逻辑中将下列命题符号化： （1）每个人都有心脏。 （2）有的狗会飞。 解：（1）若将个体域取为人的集合，且H(x)：x有心脏， 则该命题符号化为：?x H(x)。如果将个体域取作所有生物的集合，则需要引入表示人的集合的特性谓词P.P(x)：x是人。这时，该命题可符号化为：?x(P(x)→H(x))。 例3.2.2 将命题“并非A中的每个数都小于或等于B中的每个数”按以下要求的形式表达出来： （1）出现全称量词，但不出现存在量词； （2）出现存在量词，但不出现全称量词。 解：（1）??x（x∈A →?y(y∈B → x≤y)）. （2）?x（x∈A ∧?y(y∈B ∧ x>y)）. 说明：可以证明二者是等价的： ??x（x∈A →?y(y∈B → x≤y)）= ?x?（?（x∈A）∨?y(?（y∈B）∨ x≤y)） = ?x（??（x∈A）∧??y(?（y∈B）∨ x≤y)）= ?x（x∈A∧?y(??（y∈B）∧?( x≤y)) = ?x（x∈A ∧?y(y∈B ∧ x>y)） 3.2.2 求谓词公式在解释下的真值 设P(x)是一元谓词，D是个体域，由?x P(x)和?xP(x)的真值指定知，当D={x0，x1，…}是可数集合时， ?xP(x)的真值为P(x0)∧P(x1)∧… ?xP(x)真值为P(x0)∨P(x1)∨… 这时，判断一个谓词公式在某一解释下的真值可通过按上面两个等价式先将该公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式，再进行判断。 例3.2.4 设个体域D={1，2，3}，P(x) ：x>2。试判断下列公式的真值： (1) ?xP(x) →P(2)； (2) P(3) →?xP(x). 解：（1）?xP(x) →P(2) 等价于(P(1) ∨P(2) ∨P(3)) →P(2) 所以真值为(0∨0∨1) →0=1 →0=0 (2) P(3) →?xP(x) 等价于1→( P(1) ∧P(2) ∧P(3)) 所以真值为1→( 0 ∧0 ∧1)=1 →0=0 例3.2.5 构造解释I（假设个体域D={a,b}），使得I弄假如下公式： （2）??xP(x) →?x?P(x)； (2)??xP(x) →?x?P(x)= ?xP(x) ∨?x?P(x)= ( P(a) ∧ P(b)) ∨(? P(a) ∧?P(b)) (3)= ( P(a) ∨?P(b)) ∧( ?P(a) ∨P(b)) 由此可见，若取 P(a)=1，P(b)=0， 则该解释弄假( P(a) ∨?P(b)) ∧( ?P(a) ∨P(b))，亦即弄假??xP(x) →?x?P(x)。 3.2.3 使用量词时的注意事项 1. 注意量词的使用顺序 多个量词连续出现，它们之间无括号分隔时，后面的量词在前面量词的作用域内，且量词 第五章非形式的一阶谓词逻辑 本章和下一章都属于现代谓词逻辑。这一章主要介绍一阶谓词逻辑的基本概念、形式结构和语义，是一阶谓词演算的理论基础。 §1 从传统谓词逻辑到现代谓词逻辑 传统谓词逻辑主要是研究性质命题及其推理(以三段论为核心)的逻辑。在传统谓词逻辑中，所有的命题都是仅仅具有如下四种形式的命题： A——所有的S都是P E——所有的S都不是P I——有些S是P O——有些S不是P 至于具有“这个S是P”和“这个S不是P”之形式的命题则被笼统地处理成相应的A命题和E命题。无疑，对于可以分析成这种形式的命题来说，传统谓词逻辑中的方法很有实用性。但这种分析方法同时也存在着很大的局限性和过于笼统化。试看如下命题： (1)张三比李四年纪大。 (2)上海位于南京和杭州之间。 (3)有的提案得到了所有议员的欢迎。 它们和具有上述A、E、I、0四种形式的命题有着明显的区别，称为关系命题，即表达个体对象之间是否具有某种关系。由这些命题构成的推理称为关系推理。例如： 张三比李四年纪大， 李四比王五的年纪大 所以，张三此王五的年纪大。 直观上看，这个推理是有效的，并且其有效性正在于命题的内部结构。类似这个推理的关系推理显然应该成为着重分析命题内在逻辑结构的谓词逻辑的研究对象。但关系命题和关系推理都超出了传统谓词逻辑力所能及的范围。传统谓词逻辑仅仅研究性质命题；而且仅仅研究三段论或是对性质命题的形式稍作变化的推理。 尽管传统谓词逻辑也属于谓词逻辑，但它对谓词的研究极其有限。谓词有多种类型。有一元、二元乃至多元谓词，有一阶、二阶乃至高阶谓词。一元谓词是表示一个个体对象的性质的谓词，二元及二元以上的谓词则是表示两个或两个以上的个体对象之间的关系的谓词。传统谓词逻辑所研究的性质命题是只包含一元谓词的命题，三段论也仅是关于一元谓词的逻辑理论。对于包含二元及二元以上的谓词的关系命题及其相关的关系推理形式，传统谓词逻辑完全没有研究。其根本原因在于传统谓词逻辑的理论体系根本无法表达这类命题和推理。自传统谓词逻辑产生以第三章 谓词逻辑
现代逻辑谓词逻辑