大连理工大学软件学院离散数学习题答案

第一章命题逻辑 (2)

第二章谓词逻辑 (9)

第三章集合论习题答案 (13)

第四章二元关系习题答案 (21)

第五章函数习题答案 (42)

第六章代数系统习题答案 (51)

第七章群与环习题答案 (57)

第八章格与布尔代数习题答案 (66)

第九章图的基本概念及其矩阵表示 (71)

第十章几种图的介绍 (82)

第十一章树 (90)

第一章命题逻辑

1.（1）不是命题；（2）不是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）是命题；

2.（1）并非大连的每条街都临海；（2）2不是一个偶数或者8不是一个奇数；（3）2不是

偶数并且-3不是负数；

（1）逆命题：如果我去公园，那么天不下雨。

否命题：如果天下雨，我将不去公园。

逆否命题：如果我不去公园，那么天下雨。

（2）逆命题：如果我逗留，那么你去。

否命题：如果你不去，那么我不逗留。

逆否命题：如果我不逗留，那么你不去。

（3）逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。

否命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。

逆否命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。

（4）逆命题：如果我不能完成这项任务，那么我不获得更多的帮助。

否命题：如果我获得更多的帮助，则我能完成这项任务。

逆否命题：如果我能完成这项任务，则我获得更多的帮助。

4.（1）T；（2）T；（3）T；（4）F；

（1）P:他聪明；Q:他用功；命题：P∧Q。

（2）P:天气好；Q:我骑车上班；命题：Q→P。

（3）P:老李是球迷；Q:小李是球迷；命题：P∨Q。

（4）P:休息好；Q:身体好；命题：Q→P。

9.（1）（P∧Q）→R；

（2）┓P；

（3）（┓P∧┓Q）→┓R

10.不依赖于命题变元的真值指派，而总取T（1）的命题公式，称为重言式（永真式）；

不依赖于命题变元的真值指派，而总取F（0）的命题公式，称为永假式（矛盾式）；

至少存在一组真值指派使得命题公式取值为T的命题公式称为可满足的。本题可用真值表求解：

（4）得真值表如下：

1，故为重言式。

可见不论命题变元的真值指派如何，命题公式总取1，故为重言式。

其他小题可用同样的方法求解。

11.（2）原式⇔┓((P∨Q)∧R)∨P∨R

⇔┓(P∨Q)∨┓R∨P∨R

⇔┓(P∨Q)∨P∨T

⇔ T

（4）原式⇔ P∨（┓（┓Q∧R）∨P）

⇔ P∨（Q∨┓R∨P）

⇔ P∨Q∨┓R

⇔┓（┓P∧┓Q∧R）

第（1）、（3）、（5）小题方法相同，解答略。

12.（3）原式⇔┓P∧┓Q∧（R∨P）

⇔（┓P∧┓Q∧R）∨（┓P∧┓Q∧P）

⇔（┓P∧┓Q∧R）∨F

⇔┓（P∨Q∨┓R）

第（1）、（2）小题方法相同，解答略。

13.（2）左式⇔（P∨（┓Q∧Q））∧（┓P∨┓Q）

⇔（P∨F）∧（┓P∨┓Q）

⇔（P∧┓P）∨（P∧┓Q）

⇔F∨（P∧┓Q）

⇔P∧┓Q

右式⇔ P∧┓Q

故：左式⇔右式，证明完毕。

根据对偶式定义，该式的对偶式为：

（P∧┓Q）∨（P∧Q）∨（┓P∧┓Q）

第（1）、（3）小题方法相同，解答略。

14.（1）原式⇔（P∧（┓P∨Q））→Q

⇔（（P∧┓P）∨（P∧Q））→Q

⇔（F∨（P∧Q））→Q

⇔（┓P∨┓Q）∨Q

⇔┓P∨T

⇔ T

（3）原式⇔（（┓P∨Q）∧（┓Q∨R））→（┓P∨R）

⇔（P∧┓Q）∨（Q∧┓R）∨（┓P∨R）

⇔（（P∧┓Q）∨Q）∧（（P∧┓Q）∨┓R）∨（┓P∨R）

⇔（P∨Q）∧（┓Q∨Q）∧（P∨┓R）∧（┓Q∨┓R）∨（┓P∨R）

⇔（P∨（Q∧┓R））∧（┓Q∨┓R）∨（┓P∨R）

⇔（（P∨（Q∧┓R））∧┓Q）∨（（P∨（Q∧┓R））∧┓R）∨（┓P∨R）

⇔（P ∧┓Q）∨（Q∧┓R∧┓Q）∨（P ∧┓R）∨（Q∧┓R∧┓R）∨（┓P∨R）⇔（P ∧┓Q）∨（P ∧┓R）∨（Q∧┓R）∨┓（P ∧┓R）

⇔（P ∧┓Q）∨（Q∧┓R）∨T

⇔ T

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。

15.（1）证明：假设P∧Q为真，则P为真且Q为真，则P→Q为真。

所以：P∧Q ⇒P→Q。

（3）证明：右侧⇔┓P∨Q，假设┓P∨Q为假，则P为真且Q为假，则P→Q为假。

所以：P→Q ⇒P→P∧Q。

（5）证明：假设Q→R为假，则Q为真且R为假，则左侧为假。

所以：（P∨┓P→Q）→（P∨┓P→R）⇒Q→R。

第（2）、（4）、（6）小题方法相同，解答略。

16.（1）代入可得：

（（（P→Q）→（（P→Q）→R））→（P→Q））→（P→Q）

（2）代入可得：

（（Q→┓P）→（┓P→Q））

17.（1）主析取范式：

原式⇔（P∧Q）∨（P∧┓Q）

⇔ m2∨m3

⇔∑（2,3）

主合取范式：

原式⇔（（P∧Q）∨P）∧（（P∧Q）∨┓Q）

⇔P∧（P∨Q）∧（P∨┓Q）∧T

⇔ P∨（Q∧┓Q）

⇔M0∧M1

⇔∏（0,1）

（3）主析取范式：

原式⇔（（（┓P∨Q）∧┓P）∨（（┓P∨Q）∧R））∧（（（P∨┓Q）∧P）∨（（P∨┓Q）∧┓R））

⇔（┓P∨（┓P∧Q）∨（┓P∧R）∨（Q∧R））∧（（P∧Q）∨（P∧┓Q）∨（P∧┓R）∨（┓Q∧┓R））

⇔（（┓P∧┓Q）∨（┓P∧Q）∨（┓P∧R）∨（Q∧R））∧（（P∧Q）∨（P∧┓Q）∨（P∧┓R）∨（┓Q∧┓R））

⇔（（┓P∧（┓Q∨R））∨（Q∧（┓P∨R）））∧（（P∧（Q∨┓R）∨（┓Q∧（P∨┓R）））⇔F∨（Q∧（┓P∨R）∧P∧（Q∨┓R））∨（┓P∧（┓Q∨R）∧┓Q∧（P∨┓R））∨F

⇔（P∧Q∧R∧Q）∨（P∧Q∧R∧┓R）∨（┓P∧┓Q∧┓R）∨（┓P∧┓R∧R）

⇔（P∧Q∧R）∨（┓P∧┓Q∧┓R）

⇔m0∨m7

⇔∑（0,7）

主合取范式：

原式⇔（┓P∨（Q∧R））∧（P∨（┓Q∧┓R））

⇔（┓P∨Q）∧（┓P∨R）∧（P∨┓Q）∧（P∨┓R）

⇔（┓P∨Q）∨（R∧┓R）∧（┓P∨R）∨（Q∧┓Q）∧（P∨┓Q）∨（R∧┓R）∧（P∨┓R）∨（Q∧┓Q）

⇔（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨Q∨┓R）∧（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨R）∧（P∨┓Q∨R）∧（P∨┓Q∨┓R）∧（P∨Q∨┓R）∧（P∨┓Q∨┓R）

⇔M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6

⇔∏（1,2,3,4,5,6）

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。

18.（1）证明：

左侧⇔（┓P∨Q）∧（┓P∨R）

⇔（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨Q∨┓R）∧（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨R）

⇔∏（4,5,6）

右侧⇔┓P∨（Q∧R）⇔…⇔∏（4,5,6）

左侧⇔右侧，得证。

（3）证明：

左侧⇔┓（┓P∨Q）∨（P∧Q）

⇔（P∧┓Q）∨（P∧Q）

⇔∑（2,3）

右侧⇔（P∨Q）∧（P∨┓Q）

⇔（P∧P）∨（P∧┓Q）∨（P∧Q）∨（Q∧┓Q）

⇔（P∧┓Q）∨（P∧Q）

⇔∑（2,3）

左侧⇔右侧，得证。

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。

19.对于A,B,C,D,E5个变元的所有真值指派，推出前提A↔B，B↔（C∧D），C↔（A∨E），

A∨E和结论A∧E的值，得到真值表。当真值表中各前提的真值都为1时，若结论也为1，则结论有效，否则结论无效。

根据真值表可看出，当前提为1时，结论也为1，则结论有效。

（3）采用推理方法证明：P∧Q为真，可得P为真且Q为真，又P→（Q→R）为真且P、Q为真，得R也为真。则结论有效。

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。

21.（1）证明：

假设公式全部同时成立，由┓S为真得到S为假，由┓P→S为真，得P为真，由P↔Q 为真得到Q为真，由Q→R为真得到R为真，由┓R∨S为真得到S为真。这与前面“S

为假”矛盾，则公式不能同时成立。

（2）证明：

假设公式全部同时成立，由┓S为真得到S为假，由┓R∨S为真得到R为假，由R∨M 为真得到M为真，由┓M为真得到M为假，矛盾。则公式不能同时成立。

22.首先符号化：P:大连获得冠军；Q:北京获得亚军；R:上海获得亚军；S:广州获得亚军。

即求公式：P→（Q∨R），R→┓P，S→┓Q，P ┓S是否成立。

{1} （1）P P规则

{2} （2）R→┓P P规则

{1,2} （3）┓R T规则

{4} （4）P→（Q∨R）P规则

{1,2,4} （5）Q T规则

{6} （6）S→┓Q P规则

{1,2,4,6} （7）┓S T规则

23.（1）证明：

（1）┓R P规则

（2）┓Q∨R P规则

（3）┓Q T规则（1）（2）

（4）┓（P∧┓Q）P规则

（5）┓P T规则（3）（4）

（3）题目有误

（5）证明：

（1）P P规则（附件前提）

（2） P→（P∧Q）P规则

（3） P∧Q T规则（1）（2）

（4） Q T规则（1）（3）

（5） P→Q CP规则

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。

24.（1）证明：

（1）┓┓P P规则（假设前提）

（2） P T规则（1）

（3） P→Q P规则

（4） Q T规则（2）（3）

（5） R→┓Q P规则

（6）┓R T规则（4）（5）

（7） R∨S P规则

（8） S T规则（6）（7）

（9） S→┓Q P规则

（10）┓Q T规则（8）（9）

（11） Q∧┓Q T规则（4）（10）

（12）┓P F规则（1）（11）

（2）证明：

（1）┓R P规则

（2） R∨S P规则

（3） S T规则（1）（2）

（4） S→┓Q P规则

（5）┓Q T规则（3）（4）

（6） P↔Q P规则

（7）┓P T规则（5）（6）

（3）原式修改为：┓（P→Q）→┓（R∨S），（Q→P）∨┓R，R P↔Q 证明：

（1） R P规则

（2） R∨S T规则（1）

（3）┓（P→Q）→┓（R∨S） P规则

（4） P→Q T规则（2）（3）

（5）（Q→P）∨┓R P规则

（6） Q→P T规则（1）（5）

（7）（P→Q）∧（Q→P）T规则（4）（6）（二） P↔Q T规则（7）

第二章谓词逻辑

1.（1）S(x)：x聪明；L(x)：x好学；a：表示小明，命题：S(a)∧L(a)。

（2）S(x)：x是素数；G(x,y)：x大于y，命题：

（3）U(x)：x是大学生；S(x)：x能成为科学家，命题：

（4）N(x)：x是自然数；A(x)：x是奇数；B(x)：x是偶数，命题：

（5）P(x)：x是诗人；T(x,y)：x游览y；V(x)：x是名山大川；a：表示李白命题：

2.（1）约束变元：x，辖域：和；自由变元：y。

（2）约束变元：中的x,y和中的z；自由变元：中的x。

（3）约束变元：x,y，辖域：；自由变元：z。

3.参考教材2.3部分。

4.（1）证明：

（1）(∀x)¬B(x) P

（2）¬B(x) US（1）

（3）(∀x)(¬A(x)→B(x)) P

（4）¬A(x)→B(x) US（3）

（5）A(x) T（2）（4）

（6）(∃x)A(x) EG（5）

（3）证明：

由于：(∀x)(A(x)→B(x)) ⇒(∀x)A(x) →(∀x)B(x)；(∀x)(C(x)→¬B(x)) ⇒(∀x)C(x) →(∀x)¬B(x)；(∀x)(C(x)→¬A(x)) ⇒(∀x)C(x) →(∀x)¬A(x)

即证：(∀x)A(x) →(∀x)B(x)，(∀x)C(x) →(∀x)¬B(x) ⇒(∀x)C(x) →(∀x)¬A(x)（1）(∀x)C(x) P（附加）

（2）C(x) US（1）

（3）(∀x)C(x) →(∀x)¬B(x) P

（4）C(x) →¬B(x) US（3）

（5）¬B(x) T（2）（4）

（6）(∀x)A(x) →(∀x)B(x) P

（7）A(x) →B(x) US（6）

（8）¬A(x) T（5）（7）

（9）(∀x)¬A(x) UG（8）

（10）(∀x)C(x) → (∀x)¬A(x) CP（1）（9）

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。

5.（1）证明：

（1）(∀x)P(x) P（附加）

（2）P(x) US（1）

（3）(∀x)(P(x)→Q(x)) P

（4）P(x)→Q(x) US（3）

（5）Q(x) T（2）（4）

（6）(∀x)Q(x) UG（5）

（7）(∀x)P(x) →(∀x)Q(x) CP（1）（6）

（2）证明：

由于：(∀x)P (x)∨(∃x)Q (x) ⇔(∃x)¬P (x) →(∃x)Q (x) 即证：(∀x)(P (x)∨Q (x)) ⇒(∃x)¬P (x) →(∃x)Q (x) （1） (∃x)¬P (x) P （附加）（2） ¬P (x) ES （1）（3） (∀x)(P (x)∨Q (x)) P （4） P (x)∨Q (x) US （3）（5） Q (x) T （2）（4）（6） (∃x)Q (x) EG （5）（7） (∃x)¬P (x) →(∃x)Q (x) CP （1）（6）

6. （1）W(x)：x 喜欢步行；C(x)：x 喜欢乘汽车；B(x)：x 喜欢骑自行车；

即需证：(∀x)(W(x)→¬C(x)), (∀x)( C(x)∨B(x)), (∃x)¬B (x) ⇒(∃x)¬W (x) 证明：（1） (∃x)¬B (x) P

（2） ¬B (x) ES （1）（3） (∀x)( C(x)∨B(x)) P （4） C(x)∨B(x) US （3）（5） C(x) T （2）（4）（6） (∀x)(W(x)→¬C(x)) P （7） W(x)→¬C(x) US （6）（8） ¬W(x) T （5）（7）（9） (∃x)¬W (x) EG （8）

（3）F(x)：x 是资深人士；S(x)：x 是院士；P(x)：x 是参事；C(x)：x 是委员；a ：张伟；

即需证：(∀x)(F(x)→( S(x)∨P(x))), (∀x)(F(x)→C(x)), F(a)∧¬S(a) ⇒(∃x)(C(x)∧P(x)) 证明：（1） (∀x)(F(x)→C(x)) P （2） F(a)→C(a) US （1）（3） F(a)∧¬S(a) P （4） F(a) T （3）（5） C(a) T （2）（4）（6） (∀x)(F(x)→( S(x)∨P(x))) P （7） F(a)→( S(a)∨P(a)) US （6）（8） ¬S(a) T （3）（9） P(a) T （4）（7）（8）

（10） C(a)∧P(a) T （5）（9）（11） (∃x)(C(x)∧P(x)) EG （10）

第（2）、（4）小题方法相同，解答略。 7. （d ）是错误的。

8. 错误。第二行的y 是泛指，第四行的y 是特指。

修改如下：

（1） ()()x P x ∃ P （2） ()P x ES ，(1) （3） ()()()x P x Q x ∀→ P

（4） ()()P x Q x → US ，（3）

（5） ()Q x T ，（2），（4）和10I

（6） ()()x Q x ∃ EG ，（5）

9. （1）证明：

（1） (∃x)P(x) P

（2） P(a) ES （1）

（3） (∃x)Q(x) P

（4） Q(b) ES （3）

（5） (∃x)P(x) →(∀x)(( P(x)∨Q(x)) →R(x)) P

（6） (∀x) (( P(x)∨Q(x)) →R(x)) T （1）（5）

（7） ( P(a)∨Q(a)) →R(a) US （6）

（8） P(a)∨Q(a) T （2）

（9） R(a) T （7）（8）

（10） ( P(b)∨Q(b)) →R(b) US （6）

（11） P(b)∨Q(b) T （4）

（12） R(b) T （10）（11）

（13） R(a)∧R(b) T （9）（12）

（14） (∃y)( R(a)∧R(y)) EG （13）

（15） (∃x)(∃y)( R(x)∧R(y)) EG （14）

（2）证明：

（1） (∃x)P(x)→(∀x)Q(x) P （假设）

（2） ¬ (∃x) P(x)∨(∀x)Q(x) T （1）

（3） (∀x)¬P(x)∨(∀x)Q(x) T （2）

（4） (∀x)(¬P(x)∨Q(x)) T （3）

（5） (∀x)(P(x) →Q(x)) T （4）

10. （1）原式⇔(∀x)(¬P(x)∨(∃y)Q(y))

⇔(∀x)(∃y)(¬P(x)∨Q(y))

（3）原式⇔(∀x)(∃y)A(x,y)∨(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀y)( A(x,y) → B(x,y)))

⇔(∀x)(∃y)A(x,y)∨(∃u)(∀v)(B(u,v)∧(∀z)( ¬ A(z,u)∨ B(u,z)))

⇔(∀x)(∃y)(∃u) (∀v) (∀z)( A(x,y)∨( B(u,v)∧(¬ A(z,u)∨ B(u,z))))

11. （2）解：前束析取范式：

()(()()(()(,)()(,)))

()(()()(()(,)()(,)))()(()()(()(,)()(x P x y z Q x z y R x y x P x y z Q x z y R x y x P x y z Q x z y R x y x P x y z Q x z u R x u x P x y z Q x z u R ∀→∀∀→⌝∀⇔∀⌝∨∀∀→⌝∀⇔∀⌝∨∀⌝∀∨⌝∀⇔∀⌝∨∀⌝∀∨⌝∀⇔∀⌝∨∀∃⌝∨∃⌝,)))

()()()()(()((,)(,)))

()()()()(()(,)(,))

x u x y z u P x Q x z R x u x y z u P x Q x z R x u ⇔∀∀∃∃⌝∨⌝∨⌝⇔∀∀∃∃⌝∨⌝∨⌝

由于()(,)(,)P x Q x z R x u ⌝∨⌝∨⌝是基本和，因此前束合取范式与前束析取范式一样：

()(()()(()(,)()(,)))()()()()(()(,)(,))

x P x y z Q x z z R x y x y z u P x Q x z R x u ∀→∀∀→⌝∀⇔∀∀∃∃⌝∨⌝∨⌝ （4）解：前束析取范式：

()(()(,))(()()()(,))

()(()(,))(()()()(,))()(()(,))(()()()(,))

()(()(,))(()()()(,x P x Q x y y P y z Q y z x P x Q x y y P y z Q y z x P x Q x y y P y z Q y z x P x Q x y y P y z Q y z x P x Q x u y P y z Q u z ∀→→∃∧∃⇔⌝∀→∨∃∧∃⇔⌝∀⌝∨∨∃∧∃⇔∃∧∨∃∧∃⇔∃∧∨∃∧∃))

()()()((()(,))(()(,)))

x y z P x Q x u P y Q u z ⇔∃∃∃∧∨∧ 前束合取范式：

()(()(,))(()()()(,))

()()()((()(,))(()(,)))

()()()((()(()(,)))((,)(()(,))))

()()()((()())(()(,))((,)())((,)x P x Q x y y P y z Q y z x y z P x Q x u P y Q u z x y z P x P y Q u z Q x u P y Q u z x y z P x P y P x Q u z Q x u P y Q x u ∀→→∃∧∃⇔∃∃∃∧∨∧⇔∃∃∃∨∧∧∨∧⇔∃∃∃∨∧∨∧∨∧(,)))Q u z ∨

第三章集合论习题答案

对应课本页数：P51-54

1. 写出下列集合的表达式。

(1) 所有一元一次方程的解所组成的集合：

答案：集合可表示为 },,0|{R b a b ax x ∈=+

(2) 61x -在实数域中的因式集。

答案：集合可表示为

}1,1,1,1,1,1,1,1{63322-+-+++-+-x x x x x x x x x (3) 直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆）的点集。

答案：集合可表示为

}0|,{22<+>

答案：集合可表示为]}2,0[,sin ,cos |,{πθθθ∈>>>

(5) 能被5整除的整数集。

答案：集合可表示为},5|{I n n x x ∈=

2.解：

设戏剧、音乐、广告分配的时间分别为z y x ,,

(1) 可表示为},5,,,30|,,{I n n z y x z y x z y x ∈==++><

(2) 可表示为},5,,,,30|,,{I n n z y x y x z y x z y x ∈=>=++><

(3) 可表示为},5,,,,30|,,{I n n z y x y z x z z y x z y x ∈==∨==++><

(4) 可表示为},5,,,5,30|,,{I n n z y x y z y x z y x ∈===++><

3.给出集合

A 、

B 和

C 的例子，使得A B ∈，B C ∈而A C ∉。

解： {}

{{},}

{{{},},}A a B a b C a b c ===

4.确定下列命题是否为真。

(1) 该命题为真命题

(2) 该命题为假命题

(3) 该命题为真命题

(4) 该命题为真命题

(5) 该命题为真命题

(6) 该命题为真命题

(7) 该命题为真命题

(8) 该命题为假命题。

5. B A ⊆，B A ∈是可能的么，给予证明。

解：可能。若}}1{,2,1{},1{==B A ，则B A ⊆且B A ∈。

(1) }}{,{a a

解：设}}{,{a a A =

则}}}{,{}},{{},{,{)(a a a a A ∅=ρ

(2){{1,{2,3}}}

解：设{{

1,{2,3}}}A = 则(){,{{1,{2,3}}}}A ρ=∅

(3) }}{,,{b a ∅

解：设}}{,,{b a A ∅=

则}}}{,,{}},{,{}},{,{},,{},{},{},{,{)(b a b a b a b a A ∅∅∅∅∅=ρ

(4) )(∅ρ

解：设}{)(∅=∅=ρA

则}}{,{)(∅∅=A ρ

(5)(())ρρ∅

解：设}}{,{))((∅∅=∅=ρρA

则}}}{,{}},{{},{,{)(∅∅∅∅∅=A ρ

7.设}{∅=A ，P(P())B A =

解：}{∅=A

}}}

{,{}},{{},{,{))((}}{,{)(∅∅∅∅∅==∅∅=A B A ρρρ (1) B ∈∅，B ⊆∅

(2) B ∈∅}{，B ⊆∅}{

(3) B ∈∅}}{{，B ⊆∅}}{{

8.设某集合有101个元素，试问：

(1) 可构成多少个子集：

(2) 其中有多少个子集的元素为奇数：

(3) 是否会有102个元素的子集：不会

解：把17化为二进制，是00010001，17

48{,}B a a =；把31化为二进制，是00011111，3145678{,,,,}B a a a a a =

267{,,}a a a ，编码为01000110，为70B

18{,}a a ，编码为10000001，为129B

10.求，。

解： }4,3,2,1,0{=A }6,4,2{=B

}4,2{}

6,4,3,2,1,0{==B A B A

11. 解：},,{k o b A = },,,,{k c a l b B =

},{}

,,,,,{k b B A o k c a l b B A ==

12.解：}8,7,2,1{=A }7,6,5,4,3,2,1{=B

}30,27,24,21,18,15,12,9,6,3,0{=C }64,32,16,8,4,2,1{=D

(1) }64,32,30,27,24,21,18,16,15,12,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{))((=D C B A

(2) ∅=))((D C B A

(3) }

5,4{)(}30,27,24,21,18,15,12,9,8,7,6,3,2,1,0{=-=C A B C A (4) }

64,32,16,8,6,5,4,3,2,1{)~(}6,5,4,3{~==D B A B A 13.证明对于所有集合A,B,C 有()()A B C A B C =，当且仅当A C ⊆。证明：充分性：由于)()()()(C A B A C B A C B A ==

所以C A C =，即A C ⊆

充分性得证。

必要性：由于A C ⊆

所以C A C =

所以)()()(C A B A C B A =

必要性得证。

14.证明对所有集合A,B ，C ，有：

（1）()()A B C A B C --=-

证明：

()(~)(~)~(~~)

~()

()

A B C

A B C A B C A B C A B C --=-====-

（2）()()A B C A C B --=--

证明：

()(~)~~~~()~()A B C

A B C

A B C A C B

A C B

--=-===-=--

（3）()()()A B C A C B C --=---

证明：

()()

(~)(~)

(~)~(~)

(~)(~)

(~~)(~)~~()~()A C B C A C B C A C B C A C B C A C B A C

C A B C

A B C

---=-=====-=--

因此，

15.确定下列各式的运算结果。

解: ∅=∅∅}{

}{}{}{∅=∅∅

}}{,{}}{,{∅∅=∅-∅∅

}}{{}{}}{,{∅=∅-∅∅

16.假设A 和B 是E 的子集，证明下列各式中每个关系式彼此等价。

(1) 证明：

① 证明⇔⊆B A 。 ()()()A B C A C B C --=---

充分性：若B A ⊆，则若A x ∈，那么必有B x ∈。因此，若B x ∉，则必有A x ∉，即若，则有，即；

必要性：若，则若，则有，即若B x ∉，则必有A x ∉。那么，若A x ∈，那么必有B x ∈，即B A ⊆；

由以上两点可知：⇔⊆B A 。

② 证明：⇔⊆B A

充分性：若B A x ∈，那么有A x ∈或B x ∈。

若A x ∈，则由B A ⊆可知，必有B x ∈，所以若B A x ∈，必有B x ∈，即B B A ⊆ ；

若B x ∈，那么必有B A x ∈，即B A B ⊆，所以，充分性得证；必要性：因为，所以，对于任意的B A x ∈，必有，所以B A ⊆，必要性得证；

由以上两点可知：

③ 证明：⇔⊆B A

充分性：若B A x ∈，那么必有A x ∈，即A B A ⊆ ；

若A x ∈，那么由B A ⊆可知，必有B x ∈，所以B A x ∈，即B A A ⊆，

所以，；

必要性：因为，所以对于任意的A x ∈，必有B A x ∈，，所以B A ⊆；

由以上两点可知，。

由以上三点可知，。

(2)

① 证明:⇔∅=B A

充分性：因为∅=B A ，所以对于任意的x ，若A x ∈，则必有B x ∉，即，所以；

必要性：因为，所以对于任意的x ，若A x ∈，则必有，即B x ∉，所以∅=B A ；

由以上两点可知：⇔∅=B A

② 证明：⇔∅=B A

充分性：因为∅=B A ，所以对于任意的x ，若B x ∈，则必有A x ∉，即，所以；

必要性：因为，所以对于任意的x ，若B x ∈，则必有，即A x ∉，所以∅=B A ；

由以上两点可知：⇔∅=B A .

B x ∈⇔⊆B A B x ∈⇔⊆B A ⇔⊆B A

由上可知： .

(3)

① 证明：

充分性：因为，所以若A x ∉，则必有B x ∈，即若，则必有B x ∈，所以；

必要性：因为，又，必有；

由以上两点可知：

② 证明：

充分性：因为，所以若B x ∉，则必有A x ∈，即若，则必有A x ∈，所以；

必要性：因为，又，必有；

由以上两点可知： .

由上可知： .。

(4) 证明：

充分性：由于，所以

所以

必要性：因为

所以且

因为，所以

又，所以

所以。

由上可知：。

17.化简下述集合公式。

(1) 结果：

(2) 结果：

(3) 结果：

(4) 结果：（）

18.设A,B,C 是任意集合，分别求使得下述等式成立的充分必要条件。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)()()A B A C A --=

解：由于()()A B A C A --=，因此必有A B A -=且A C A -=。也就是A B =∅并且A C =∅。

（8）()()A B A C --=∅

解：由于，因此必有A B -=∅且A C -=∅。也就是A B ⊆并且A C ⊆。

⇔∅=B A ()()A B A C --=∅

(9) ()

()A B A C --=∅

解： ()()

(~)(~)~~~()

A B A C A B A C A B C

A B C --=== 因此，意味着()A B C ⊆

(10) ()()A B A C -⊕-=∅

解：

()()

(~)(~)

(~~(~))(~~(~))(~(~))(~(~))

(~)(~)

()

A B A C A B A C A B A C A C A B A B A C A C A B A B C A B C A B C -⊕-=⊕====⊕ 两种可能，第一种B C ⊕=∅，即B=C ；

第二种，A B C ⊆或者~()A B C ⊆

19.借助文氏图，考察下列命题的正确性。

(1)

(2)

20.设A,B,C 为任意集合，是判断下面命题的真假。如果为真，给出证明，否则给出反例。

21.设在10名青年中有5名是工人，7名是学时，其中兼具工人与学生双重身份的青年有三()()A B A C --=∅

人，求既不是学生也不是工人的青年有多少？

设A ，B 分别代表工人、学生，则： 1057310-5-7+3=1

A B A B A B ====，，，；则：

所以既不是学生也不是工人的青年有 1 人。

22.求1到250之间能够被2,3,5,7中任何一个整除的整数的个数。

设，

，，则所求的答案表达式为。

求解： 125 + 83 +50 +31 –(41+25+17+16+11+7)+(8+5+3+2)-(1)

=189; 所以,这样的数共有189个。

23. 解：设A ，B ，C 分别表示参加足球队、篮球队和棒球队的队员的集合 3=C B A

583201538||||||||||||||||=-+++=-+++=++⇒

+---++=C

B A

C B A C B A C B C A B A C B A C B C A B A C B A C B A 即同时参加两个对的队员共有18个。

24. 解：设A ，B ，C 分别表示读甲种、乙种、丙种杂志的学生的集合。

(1) %10=C B A %60=A %50=B %50=B

%30=B A %30=C B %30=C A

60%

10*3%30%30%303|~||~|~=-++=-++=++C B A C A C B B A A C B B C A C B A

所以确定读两种杂志的学生的百分比为60%。

(2) %

30%)

10%60(%100)|~||~||~(%100~~~=+-=+++-=C B A C B A A C B B C A C B A 所以不读任何杂志的学生的百分比为30%。

离散数学课后习题及答案

离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。一、集合论 1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3} 2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。答案：(A∪B)∩C={3,4} 二、逻辑与命题 1. 判断下列命题的真假： a) 若2+2=5，则地球是平的。 b) 若今天下雨，则我会带伞。 c) 若x>0，则x^2>0。答案：a)假，b)真，c)真。 2. 用真值表验证下列命题的等价性： a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) b) p→q ≡ ¬p∨q 答案：a)等价，b)等价。三、关系与函数 1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。

答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)} 2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1 四、图论 1. 给定图G，其邻接矩阵为： 0 1 1 1 0 1 1 1 0 求图G的度数序列。答案：度数序列为(2,2,2) 2. 判断下列图是否为连通图： a) G1的邻接矩阵为： 0 1 1 1 0 0 1 0 0 b) G2的邻接矩阵为： 0 1 0 1 0 1 0 1 0 答案：a)不是连通图，b)是连通图。五、组合数学 1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。

离散数学习题解答

离散数学习题解答数理逻辑习题 1. 将下列命题符号化：（1）要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。设p ：明天下雨 q ：我有时间 r ：我去步行街购物 r q p →∧?)( （2）如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。设p ：小王和小张是一个组 q ：这次英语竞赛一定取胜 q p → （3）除非天下雨，否则他不乘出租车上班。设p ：天下雨 q ：他乘出租车上班 p q → （4）我反悔，仅当太阳从西边出来。设p ：我反悔 q ：太阳从西边出来 q p → （5）如果()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处可微。反之亦然。设p ：()f x 在点0x 处可导 q ：()f x 在点0x 处可微 q p ? （6）明天既不是晴天也不是下雨天。设p ：明天是晴天 q ：明天是雨天 q p ?∧? 4、用真值表判断下列公式的类型。（2）r q p →?)( 公式是可满足式。

5、证明下列等值式方法：等值演算、主范式、真值表（2）)()())((r p q p r q p →→→?→→ ) ()()())()(()()()()()(r q p r q p r q p r p q r p q p p r p q p r p q p r p q p →→?→∨??∨?∨??∨?∨??∨?∨?∧?∨?∨?∨?∧?∨?∨∨???→→→ 6、使用恒等式证明下列各式，并写出它们的对偶公式。（3）T p q p q ?∧∨??∨))(( T p q q p q q p q p p q p q p q p q p q ??∨?∨??∨?∨??∨?∧?∨∨??∨?∧∨?∧∨??∨)())()(())(())(( T p q p q ?∧∨??∨))((的对偶公式： F p q p q ?∨∧??∧))(( 7、证明下列蕴涵式（1）)(q p q p →?∧ T q p q p q p q p q p q p ?∨?∨?∨??∨?∨∧??→→∧)()()()(

《离散数学》练习题和参考答案

《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q→ ?（2）Q P? →（3）Q P? ?（4）Q P→ ? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)∨?yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。

离散数学练习题2 答案

1-1．都是命题： 1-2设 P：明天天气晴朗 Q：我们就去郊游则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游 1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。解表1.15 例1.42真值表则P → (P∧(Q →R )) ? (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨ ? (﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。用此方法，可以简写所求得的

给定公式的主析取范式。 P → (P∧(Q →R )) ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。解P → (P∧(Q →R )) ?﹁P∨(P∧(﹁Q∨R )) ? (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) 1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ?S∨R。证明（1）﹁P →Q P （2）﹁Q∨S P （3）Q →S T, (2), E16 （4）﹁P →S T, (1), (3), I13 （5）﹁S →P T, (4), E18 （6）P →R P （7）﹁S →R T, (5), (6), I13 （8）﹁﹁S∨R T, (7), E16 （9）S∨R T, (8), E1

大连理工大学软件学院离散数学习题答案

目录第一章命题逻辑 (2) 第二章谓词逻辑 (9) 第三章集合论习题答案 (13) 第四章二元关系习题答案 (21) 第五章函数习题答案 (42) 第六章代数系统习题答案 (51) 第七章群与环习题答案 (57) 第八章格与布尔代数习题答案 (66) 第九章图的基本概念及其矩阵表示 (71) 第十章几种图的介绍 (82) 第十一章树 (90)

第一章命题逻辑 1.（1）不是命题；（2）不是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）是命题； 2.（1）并非大连的每条街都临海；（2）2不是一个偶数或者8不是一个奇数；（3）2不是偶数并且-3不是负数； 3. （1）逆命题：如果我去公园，那么天不下雨。否命题：如果天下雨，我将不去公园。逆否命题：如果我不去公园，那么天下雨。（2）逆命题：如果我逗留，那么你去。否命题：如果你不去，那么我不逗留。逆否命题：如果我不逗留，那么你不去。（3）逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。否命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。逆否命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。（4）逆命题：如果我不能完成这项任务，那么我不获得更多的帮助。否命题：如果我获得更多的帮助，则我能完成这项任务。逆否命题：如果我能完成这项任务，则我获得更多的帮助。 4.（1）T；（2）T；（3）T；（4）F； 5.

6. （1）P:他聪明；Q:他用功；命题：P∧Q。（2）P:天气好；Q:我骑车上班；命题：Q→P。（3）P:老李是球迷；Q:小李是球迷；命题：P∨Q。（4）P:休息好；Q:身体好；命题：Q→P。 7. 8. 9.（1）（P∧Q）→R；（2）┓P；（3）（┓P∧┓Q）→┓R 10.不依赖于命题变元的真值指派，而总取T（1）的命题公式，称为重言式（永真式）；不依赖于命题变元的真值指派，而总取F（0）的命题公式，称为永假式（矛盾式）；至少存在一组真值指派使得命题公式取值为T的命题公式称为可满足的。本题可用真值表求解：（4）得真值表如下：

离散数学课后习题答案

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案 1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 4.因为p与q不能同时为真. 5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案 5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11； (2)：0，矛盾式，无成真赋值； (3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值； 7.(1)：∨∨∨∨?∧∧； (2)：∨∨∨?∧∧∧； 8.(1)：1?∨∨∨,重言式； (2)：∨?∨∨∨∨∨∨； (3)：∧∧∧∧∧∧∧?0，矛盾式. 11.(1)：∨∨?∧∧∧∧； (2)：∨∨∨∨∨∨∨?1；

离散数学章练习题及答案

离散数学练习题第一章一．填空 1.公式)()(q p q p ∧?∨?∧的成真赋值为 01；10 2.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)() (s r q p →??→的真值为 0 3.公式)()()(q p q p q p ∧∨?∧??与共同的成真赋值为 01；10 4.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为重言式 5．设p, q 均为命题，在不能同时为真条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。解：)(p ??，其中p: 7是无理数；或p ，其中p: 7是无理数。 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。解：其中,q p ∧?p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研 3.只有不怕困难，才能战胜困难。解：p q ?→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或 q p ?→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。解：)(q p r →→?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了或：q p r →∧ ?)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了 5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。解：q p ?，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值 P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨ 2.r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→ ?)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题 1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为0 2. r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()((的真值为1 四、判断推理是否正确

离散数学习题一二参考答案

离散数学习题一二参考答案----a3039d74-7162-11ec-90d9- 7cb59b590d7d 离散数学习题一二参考答案离散数学练习1的参考答案第一节集合的基数 1.证明两个可数集的并是可数的。证明：设a，b是两可数集，a={a1,a2,a3,,an,}， b={b1,b2,b3,,bn,}⎧ab→n⎧f:⎧ai2i-1，f是一一对应关系，所以|a∪b|=|n|=ℵ0。 ⎧b2jj⎧ 2．证明有限可数集的并是可数集证明：设A1，A2和a3ak是有限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1，2，3，K k⎧k⎧a=ai→n，f是一一对应关系，所以|a|=|ai|=|n|=ℵ0。f:⎧i=1 i=1⎧aijj（k-1）+i⎧ 3.证明可数个可数集的并是可数集。证明：设A1，A2和a3ak为无限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1,2,3， ∞⎧a=ai→n⎧⎧i=1f:⎧，1⎧aij(i+j-1)(i+j-2)+i⎧2⎧ 所以f是一对一的对应，所以|a |=|a |=|n |=ℵ. 我∞0 4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。证明了具有整系数的n次多项式之和可以写成 an={a0xn+a1xn-1++an-1x+an|ai∈z} 那么整系数为a=an的多项式集；由于xk的系数ak是整数，那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得an是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合a=an也是可数集。 5.证明不存在等于其真子集的有限集

离散数学练习题(含答案)

离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题 1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ） A．p∧┐p∧q B．┐p∨q C．┐p∧q D．┐p∨p∨q 2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐q C．p∧q D．p∧┐q 3．下列语句中是命题的只有（ A ） A．1+1=10 B．x+y=10 C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2 4．下列等值式不正确的是（ C ） A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐A B．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x) C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x) D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y) 5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)) B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z) C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z) D．Q(x,z) 6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ） A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}} C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}} 7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ） A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈B C．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B 8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ） A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z) B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z) D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z) 9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ） A．a*b=min(a,b) B．a*b=a+b C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数) 02324# 离散数学试题第1 页共4页

离散数学参考答案

大连理工大学课程名称：离散数学试卷： A 授课院 (系)：软件学院考试日期： 04 年 1 月 3 日试卷共 4 页 1、简答下列各问(每小题2分共20分) 1）一个可满足的公式一定是永真式。一个永真式一定是可满足的。哪一句为真？后一句为真 2）一个偏序一定是一个全序。一个全序一定是一个偏序。哪一句为真？后一句为真 3）一个划分一定是一个覆盖。一个覆盖一定是一个划分。哪一句为假？后一句为假 4）同余关系一定是等价关系。等价关系一定是同余关系，哪一句为真？前一句为真 5） Y 盖复x ，则一定有x ≤y 。若x ≤y ，则一定有Y 盖复x 。哪一句为假？（≤为偏序）后一句为假 6）一个单射、满射函数一定是一个双射函数。一个双射函数一定是一个满射函数？哪一句为假？都不为假 7）一个分配格一定是一个布尔代数。一个布尔代数一定是一个分配格。哪一句为假？前一句为假 8）设T=是一棵具有n 个结点m 条边的树，试给出结点n 和边m 的关系式： m =n-1 9）设R 是集合X 中的二元关系，试给出R 的对称闭包: s( R)=R ⋃R 10）数理逻辑中介绍了哪8条推理规则？ P 、T 、CP 、F 、UG 、US 、EG 、ES 规则姓名：学号：院系：级班装订线

2、试证在完全二元有向树中，边的总数为2（n t –1）.其中n t 为树叶数。（6分）证明：因为是完全二元树，所以每个结点的度数为2或0。设度数为2的结点数为n 2 ,于是边数为m=2 n 2. 在树中边数m 和结点数n 有关系式 m=n-1即2 n 2.= n 2+n t -1 而n= n 2+ n t 由上式得：m=n 2+ n t -1=m/2+ n t -1 整理得：m=2（n t –1）. 3、若无向树T 有两个顶点度为2，一个顶点度为3，3个顶点度为4，则T 有几片树叶？（6分）证明：设无向树有n 个结点，于是n=n 2+n 3+n 4+n t （1）其中：n 2，n 3， n 4 ，n t 分别代表度为2，为3，为4及叶结点。整个图的度数之和为2m 并且2m=2(n-1) （2） 2m=2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t （3）于是根据（2）得 2(n-1) =2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t （4）把（1）代入（4）得： 2（n 2+n 3+n 4+n t -1）= 2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t （5）即2（2+1+3+n t -1）= 2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t 整理得：n t =9 4、给定有向图：试求邻接矩阵A ，A 2，并给出a 14 的解释。（10分）解： A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01 10 000011000110 A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01 10 00001100011 *⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01 10 000011000110 =⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11 00 000001101100 a 214=1表示从1到4长度为2的路径有1条。 5、（5分）解：设前缀码集合为H ，则H={00，01，10，111}

软件学院离散数学单元测试题(半群与群答案)

近世代数单元测试题（二）（院系：软件学院年级：2007级）一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里） 1．下列运算中，哪中运算关于整数集不能构成半群（）。 A ．max{,}a b a b = B ．a b b = C ．||a b a b =- D ． 2a b ab = 2．在自然数集合N 上定义运算*为：对任意a ，b ∈N ，a *b =a +b +a b ，则下面说法正确的是（）。 A ．是群 B ．是幺半群但不是群 C ．是半群但不是幺半群 D ．不是半群 3．R 为实数集，运算*定义为：,*||a b ,a b a b ∈=⋅R ，则代数系统*,>中，哪个不构成群（）。 A ．{1,10}G = ，*是模11乘法 B ．{1,3,4,5,9}G =，*是模11乘法 C ．G =Q （有理数集合） +是普通法 D ． G =Q （有理数集合） *是普通法 6．下面4个代数系统中构成群的是（）。 A. 〈R +，×〉 B. C. D. 7．下面4个代数系统中不构成群的是（）。 A. B. C. D. 8．是群(其中Z 11*={1，2，3,…,10},11⊗是模11乘法运算)，下面子