第二章 谓词逻辑

第二章谓词逻辑

1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？

2.么叫做谓词？

3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？

4.填空题：

1．存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。

2．全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。

5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。

?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x)

?x?y?z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)

6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？

?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x)

7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。

8.给出的谓词J(x)：x是教练员，L(x) ：x是运动员，S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志，H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。客体j：金某人。用上面给出的符号将下面命题符号化。

1．所有教练员是运动员。

2．某些运动员是大学生。

3．某些教练是年老的，但是健壮的。

4．金教练既不老，但也不是健壮的。

5．不是所有运动员都是教练。

6．某些大学生运动员是国家选手。

7．没有一个国家选手不是健壮的。

8．所有老的国家选手都是运动员。

9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。

10．有些女同志既是教练又是国家选手。

11．所有运动员都钦佩某些教练。

12．有些大学生不钦佩运动员。

9.将下面命题符号化

1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。

2．没有大学生不懂外语。

3．有些液体可以溶解所有固体。

4．每个大学生都爱好一些文体活动。

5．每个自然数都有唯一的后继数。

10.令P表示天气好。Q表示考试准时进行。A(x)表示x是考生。B(x)表示x提前进入考场。C(x)表示x取得良好成绩。E(x,y)表示x=y。利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。

1．如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。

2．只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

3．并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。

4．有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。

11.将下面命题符号化。

1．对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。

(S(x):x是大学生；Q(x):x取得了优异成绩；H(x):x刻苦学习。) 2．每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。

(Z(x):x是自然数；E(x,y):x=y；Q(x,y):y是x的前驱数。)

12.是偏序集，B是A的非空子集。在括号内分别写入y是B的极小元、最小元、下界相应的谓词表达式。

y是B的极小元?( )

y是B的最小元?( )

y是B的下界?( )

13.设论域D={1,2} 又已知a=1 b=2 f(1)=2 f(2)=1

P(1,1)=T P(1,2)=T P(2 ,1)=F P(2,2)=F

求谓词公式?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。(要求有解题的过程)

14设论域为{2,3}，Ａ(x,y)表示x+y=xy。求谓词公式??x?yA(x,y) 的真值。(要

求有解题的过程。)

15.设谓词P(x,y)表示x是y的因子，论域是{1,2,3}。求谓词公式?x?y?A(x,y)的真值。(要求有解题过程)

16.令论域D={a,b}，P(a,a)：F，Pa,b)：T，P(b,a)：T，P(b,b)：F。公式( )的真值为真。

A：?x?yP(x,y) B：?x?yP(x,y) C：?x?yP(x,y) D：??x?yP(x,y)

17.令论域D={a,b}，P(a,a):F，P(a,b):T，P(b,a):T，P(b,b):F，公式( )的真值为真。

a:??x?yP(x,y) b:?x?yP(x,y) c:?x?yP(x,y) d: ?x?yP(x,y) 18.令Lx,y)表示x

a: 自然数集合b: 整数集合c: 有理数集合d:实数集合

19.设论域为{1,2,3}，已知谓词公式?xP(x,3) →(?y?P(3,y) →?zP(1,z)) 的真值为假，则x=2时，使P(x,3)为真。此说法是否正确？针对你的答案说明原因。

20.什么叫做对谓词公式赋值？

21.什么叫做谓词公式的永真式？

22.什么叫做谓词公式A与B等价？

23.什么叫做谓词公式A永真蕴含B？

24.设Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，在下面的等价公式中，哪些是不正确？说明不正确的原因。

1. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)

2. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)

3. B→?xA(x)??x(B→A(x))

4. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)

25.证明下面等价公式?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x)

26.证明下面等价公式?xA(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x))

27.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。

?xA(x)∧?xB(x) ??x(A(x)∧B(x))

28.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。

?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x)

29.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。

?xA(x)∧?xB(x) ??x(A(x)∧B(x))

30.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。

?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x)

31.什么叫做谓词公式的前束范式？

32.不是谓词公式?x(A(x,y)→?yB(x,y)) 的前束范式的为( )

a: ?x?y(A(x,t)→ B(x,y)) b: ?x?t(A(x,y)→ B(x,t))

c: ?x?y(A(x,y)→ B(x,y)) d: ?t?y(A(t,x)→ B(t,y))

33.写出谓词公式?x(P(x)∧R(x))→(??xP(x)∧Q(x))的前束范式。

34.分别指出推理规则US、ES、的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意

事项。

35.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用US规

则所指

定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。并分析发生的错误。

36.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用ES规

则所

指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。并分析发生的错误。

37.分别指出推理规则EG、UG的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事

项。

38.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。(要求按照推理的格式书写推理

过程。)

?xC(x), ?x(A(x)∨B(x)), ?x(B(x)→?C(x)) ??xA(x)

39.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。(要求按照推理的格式书写推理

过程。) “不认识错误的人，也不能改正错误。有些诚实的人改正了错误。所以有些诚实的人是认

识了错误的人。”

设A(x):x是认识错误的人。B(x):x改正了错误。C(x):x是诚实的人。命题符号化

为：

?x(?A(x)→?B(x))，?x(C(x)∧B(x)), ??x(C(x)∧A(x))

40.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）?x(A(x)→(?B(x)∨?C(x))), ?x(A(x)→(?C(x)→D(x))), ?x(A(x)∧?D(x)) ??x(A(x)∧?B(x))

41.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

?x(A(x)∧(B(x)→?C(x))), ?x(A(x) → (C(x) ∨?D(x))), ?x(A(x) →D(x))

??x(A(x) ∧? B(x))

42.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）

“鸟都会飞。猴子都不会飞。所以，猴子都不是鸟。”

43.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）

“一些病人喜欢所有医生。任何病人都不喜欢庸医。所以没有医生是庸医。”

44. 给定谓词如下：S(x):x是学生；L(x):x是校领导；G(x):x是好的；T(x):x是老师；P(x): x受过处分；C(x,y):y表扬x。用上述谓词表达下面各个命题，并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。

“没有受过处分的学生，都受到过校领导的表扬；有些好学生，仅仅受到老师的表扬；所有好学生，都没有受过处分。所以，有的老师是校领导。”

45.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）

“任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不爱骑自行车，因此有的人不爱步行。”

46. 给定谓词M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。D(x):x是登山者。L(x,y):x喜欢y。客体：a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。用谓词逻辑推理证明方法，解决下面问题。（要求按照推理格式书写推理过程。）

“小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。没有一个登山者喜欢雨。而所有滑雪者都喜欢雪。凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。小杨喜欢雨和雪。试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。如果有，他是谁？”

47.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。）

?x(?P(x)→ Q(x)), ?x(?Q(x)∨?R(x)), ?xR(x) ??xP(x)

48.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。）

?x(P(x)→(Q(x)∧R(x))), ??x(R(x)→Q(x)) ??x(R(x)∧?P(x))

49. 用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

(要求：按照教材中推理的格式写出推理过程)

?x(?C(x)∨(?A(x)∨?B(x))), ?x(A(x)→(?C(x)→D(x))), ??x(?A(x)∨D(x))

??x(A(x)∧?B(x))

50.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

(要求：按照逻辑推理格式书写推理过程)

?x(?y(S(x,y) ∧M(y)) →?z((P(z)∧R(x,z))) ???zP(z) →?x?y (S(x,y) →?M(y)) 51.设：Ｎ(x)表示x是自然数；Ｏ(x)表示x是奇数；Ｅ(x)表示x是偶数；Ｃ(x)表

示x能被２整除。用上面给定的谓词表示下面各个命题，然后用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。（注：要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）“每个自然数不是奇数就是偶数；所有奇数都不能被２整除；有些自然数能被２整除；因此，有些自然数是偶数。”

52.用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。（注：要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）

?x(A(x)∧??y(?B(y)∨?C(x,y))), ?x(A(x)→?y(D(y )→?C(x,y))) ??y(B(y)∧?D(y))

53.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。(要求按照教材格式写出推理过程)

?x(A(x)→?y(B(y)→?C(x,y))), ?x(A(x)→?y(C(x,y)∨D(y))), ?xA(x)∧?y?D(y)

??y?B(y)

54. 给定谓词如下：A(x):x是书刊；B(x)：x是合法出版的；C(x)：x是人；D(x)：x感到忧虑。先用这些谓词将下面各个命题符号化，再用谓词逻辑推理方法证明这个推理是正确的。

“如果有些书刊是非法出版的，则所有人都感到忧虑。一些人不感到忧虑。因此，所有书刊都是合法出版的。”

55.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。(按照教材格式写出推理过程)

?xA(x), ?x(B(x)∧?C(x)), ?z((A(z)∧?x?yD(x,y))→?y(B(y)→C(y))), ??y?x?D(x,y)

56.给定谓词：N(x):x是自然数，E(x):x是偶数，O(x):x是奇数，D(x,y):x可被y整除。用上述谓词表达下面各命题，并用谓词逻辑推理方法证明其推理的有效性。

“每个自然数不是偶数，就是奇数。自然数为偶数，当且仅当它能被2整除。并不是所有自然数都可以被2整除。所以，有的自然数是奇数。”

57.用谓词推理证明下面推理的有效性。（注：要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）

?x(A(x)∧?y(B(y)∧C(x,y))), ?x(A(x)→?y(D(y)→?C(x,y))) ???y(B(y)→D(y))

58.分析下面推理过程是否正确。如果有错误，请指出错误所在之处。并写出正确的推理过程。

?x(A(x)→B(x))，?xA(x) ??xB(x)

⑴?x(A(x)→B(x)) P

⑵A(c)→B(c) US ⑴

⑶?xA(x) P

⑷A(c) ES ⑶

⑸B(c) T ⑵⑷I11

⑹?xB(x) EG ⑸

59.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。

?xP(x), ?x(Q(x) →? R(x)), ?x(?P(x)∨ R(x)) ??x? Q(x)

1.答案：定义：能够独立存在的事物，称之为客体，也称之为个体。它可以是具体的，也可以是抽象的事物。通常用小写英文字母a、b、c、...表示。

定义：用小写英文字母x、y、z...表示任何客体，则称这些字母为客体变元。

2.答案：定义：一个大写英文字母后边有括号，括号内是若干个客体变元，用以表示客体的属性或者客体之间的关系，称之为谓词。如果括号内有n个客体变元，称该谓词为n元谓词。

3.答案：定义：在命题函数中客体变元的取值范围，称之为论域，也称之为个体域。论域是一个集合。

定义：由所有客体构成的论域，称之为全总个体域。它是个“最大”的论域。4.答案：1．存在量词：记作(? )，表示( 有些) 或者( 一些)或者( 至少一个)。

2．全称量词：记作(? )，表示( 每个) 或者(任何一个)或者( 所有的)。

5.答案：在谓词公式中，量词的作用范围称之为量词的作用域，也叫量词的辖域。

在?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x)中：

?x的作用域：(F(x,y)→?yP(y))

?y的作用域：P(y)

?x的作用域：A(x)

在?x?y?z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)中：

?x的作用域：?y?z(A(x,y)→B(x,y,z))

?y的作用域：?z(A(x,y)→B(x,y,z))

?z的作用域：(A(x,y)→B(x,y,z))

6.答案：定义：如果客体变元x在?x或者?x的辖域内，则x在此辖域内约束出现，并称x在此辖域内是约束变元。否则x是自由出现，并称x是自由变元。

在?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x)中

F(x,y)中的x和P(y)中的y以及A(x)中x是约束变元。

而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由变元。

7.答案：(命题)

8. 答案：

1．?x(J(x)→L(x))

2．?x(L(x)∧S(x))

3．?x(J(x)∧O(x)∧V(x))

4．J(j)∧?O(j)∧?V(j)

5．??x(L(x)→J(x)) 或者?x(L(x)∧?J(x))

6．?x(S(x)∧L(x)∧C(x))

7．??x(C(x)∧?V(x)) 或者?x(C(x)→V(x))

8．?x((O(x)∧C(x))→L(x))

9．??x(W(x)∧C(x)∧H(x))

10．?x(W(x)∧J(x)∧C(x))

11．?x(L(x)→?y(J(y)∧A(x,y)))

12．?x(S(x)∧?y(L(y)→?A(x,y)))

9.答案：

1．设：G(x)：x是金子。F(x)：x闪光。则命题的表达式为

?x(G(x)→F(x)) ∧??x(F(x)→G(x)) 或者

?x(G(x)→F(x)) ∧?x(F(x) ∧?G(x))

2．设S(x)：x是大学生。F(x)：x是外语。K(x,y)：x懂得y。则命题的表达式为

??x(S(x)∧?y(F(y) →?K(x,y))) 或者

?x(S(x) →?y(F(y)∧K(x,y)))

3．设F(x)：x是液体。.S(x)：x是固体。D(x,y)：x可溶解y。则命题的表达式为

?x(F(x)∧?y(S(y)→D(x,y)))

4．设S(x)：x是大学生。L(x,y)：x爱好y。C(x)：x是文娱活动。P(x)：x 是体育活动。则命题的表达式为：

?x(S(x) →?y((C(y)∨P(y))∧L(x,y)))

5．设令N(x)：x是自然数。A(x,y)：y是x的后继数。E(x,y)：x=y 则命题的表达式为

?x(N(x)→?y(N(y)∧A(x,y)∧?z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z))))

10.答案：

1．?P→?xA(x)∧?B(x)

2．Q→?x(A(x)→ D(x))

3．??x((A(x) ∧(B(x))→ C(x))

4．?xA(x)∧B(y) ∧?C(x) ∧?y((A(y) ∧B(y) ∧C(y))→ E(x,y)))

11.答案：

1．?x(S(x)→(Q(x)→H(x)))

2．?x((Z(x)∧?E(x,0))→?y(Z(y)∧Q(x,y)∧?z((Z(z)∧Q(x,z))→E(y,z))))

12.答案：

y是B的极小元?( ?y(y∈B∧??x(x∈B∧x≠y∧x≤y)))

y是B的最小元?( ?y(y∈B∧?x(x∈B→y≤x)) )

y是B的下界?( ?y(y∈A∧?x(x∈B→y≤x)))

13.答案：解：?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))

??y(P(1,y) →P(f(1),f(y))) ∧?y(P(2,y) →P(f(2),f(y)))

?((P(1,1) →P(f(1),f(1)))∨(P(1,2) →P(f(1),f(2))))∧P(2,1) →P(f(2),f(1)))∨(P(2,2) →P(f(2),f(2))))

?((P(1,1) →P(2,2))∨(P(1,2) →P(2,1)))∧ ((P(2,1) →P(1,2))∨(P(2,2) →P(1,1)))

?((T→F )∨ (T→F))∧((F→T) ∨ (F→T))

?(F∨ F)∧(T ∨ T)

?F∧T ?F

14.答案：解：??x?yA(x,y)??x?y?A(x,y)

??y?A(2,y) ∨?y?A(3,y)

?(?A(2,2) ∧?A(2,3)) ∨( ?A(3,2) ∧?A(3,3) )

? (F∧ T) ∨ (T∧ T)

?F∨ T?T

15.答案：解：?x?y?A(x,y)

??y?A(1,y) ∧?y?A(2,y) ∧?y?A(3,y)

?(?A(1,1) ∨?A(1,2) ∨?A(1,3))∧(?A(2,1) ∨?A(2,2) ∨?A(2,3))

∧ (?A(3,1) ∨?A(3,2) ∨?A(3,3))

?(F ∨F) ∨F)∧ (T ∨F) ∨T) ∧ (T ∨T ∨T))

?F

16.答案：A

17.答案：令论域D={a,b}，P(a,a):F，P(a,b):T，P(b,a):T，P(b,b):F，公式( d )的真值为真。

a:??x?yP(x,y) b:?x?yP(x,y) c:?x?yP(x,y) d:?x?yP(x,y)

因为a: ??x?yP(x,y)??(?yP(a,y)∨?yP(b,y))??(P(a,a)∨P(a,b))∨(P(b,a)∨P(b,b)) ??((F∨T)∨(T∨F)) ?F

b:?x?yP(x,y) ??yP(a,y)∨?yP(b,y)?(P(a,a)∧P(a,b))∨(P(b,a)∧P(b,b))

? (F∧T) ∨ (T∧F) ?F

c:?x?yP(x,y) ??yP(a,y) ∧?yP(b,y)?(P(a,a)∧P(a,b))∧(P(b,a)∧P(b,b))

? (F∧T)∧(T∧F) ?F

d:?x?yP(x,y)??yP(a,y) ∧?yP(b,y)? (P(a,a)∨P(a,b))∧(P(b,a)∨P(b,b)) ? (F∨T)∧(T∨F) ?T

18.答案：a

19.答案：解：此说法正确。

因为?xP(x,3)→(?y?P(3,y)→?zP(1,z)) 的真值为假，所以?xP(x,3) 的真值为真，?y?P(3,y) 的真值为真，?zP(1,z)) 的真值为假。

由?xP(x,3) 的真值为真，得P(1,3)为真，或者P(2,3)为真，或者P(3,3)为真。

由?y?P(3,y) 的真值为真，得P(3,1)、P(3,2)、P(3,3)均为假。

由?zP(1,z)) 的真值为假，得P(1,1)、P(1,2)、P(1,3)均为假。

综合上述情况得, P(2,3)为真，

20.答案：若将给定的谓词公式中的命题变元，用确定的命题代替，对公式中的客体变元用

论域中的客体代替，这个过程就称之为对谓词公式作指派，或称之为对谓词公式赋值。

21.答案：给定谓词公式A，E是其论域，如果不论对公式A作任何赋值，都使得A的真值为真，则称公式A在论域E上是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公式A为永真式，则称A为永真式。

22.答案：给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，都使得A与B的真值相同(或者说A?B是永真式)，则称公式A与B在论域E上是等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A与B等价，则称A与B等价，记作A?B。

23.答案：给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，使得

A→B为永真式，则称在论域E上公式A永真蕴含B。如果不论对什么论域E，都使得公式A→B为永真式，则称A永真蕴含B，记作A?B。

24.答案：解：4式不正确。因为

?xA(x)→B???xA(x)∨B??x?A(x)∨B??x(?A(x)∨B) ??x(A(x)→B)

所以?xA(x)→B不等价于?x(A(x)→B)，即4式不成立。

25.答案：证明?xA(x)→?xB(x)

???xA(x)∨?xB(x)

??x?A(x)∨?xB(x)

??x(?A(x)∨B(x))

??x(A(x)→B(x))

26.答案：证明?xA(x)→?xB(x)

???xA(x)∨?xB(x)

??x?A(x)∨?xB(x)

??x(?A(x)∨B(x))

??x(A(x)→B(x))

27.答案：不成立。

因为根据量词分配公式知道，只有公式?x(A(x)∧B(x)) ??xA(x)∧?xB(x) 成立。

而没有?xA(x)∧?xB(x) ??x(A(x)∧B(x))。可以举如下反例说明：

令A(x)表示x是男生，B(x)表示x是女生。则?xA(x)∧?xB(x)表示“有些人是男生也有些人是女生”，这显然是真的命题。而?x(A(x)∧B(x))表示“有这样的人，他既是男生也是女生。”，这显然是假命题。所以?xA(x)∧?xB(x)?? x(A(x)∧B(x)) 不成立。

所以没有等价公式?xA(x)∧?xB(x) ??x(A(x)∧B(x)) 成立。

28.答案：不成立。

因为根据量词分配公式知道，只有公式?xA(x)∨?xB(x) ??x(A(x)∨B(x)) 成立。

而没有?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x)。可以举如下反例说明：

令A(x)表示x是男生，B(x)表示x是女生。则?x(A(x)∨B(x))表示“任何一个人来说，他或者是男生或者是女生。”，这显然是真的命题。而?xA(x)∨?xB(x)表示“要么大家都是男生，要么大家都是女生。”，显然由?x(A(x)∨B(x))不能推出?xA(x)∨?xB(x)。

所以?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x) 不成立。

所以没有等价公式?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x) 成立。

29.答案：不成立。可以举如下反例说明：

令A(x)表示x是男生，B(x)表示x是女生。则

前件?xA(x)∧?xB(x)表示“有些人是男生也有些人是女生”，这显然是真的命题。而后件?x(A(x)∧B(x)) 表示“有这样的人，他既是男生也是女生。”这显然是假命题。

所以?xA(x)∧?xB(x)?? x(A(x)∧B(x)) 不成立。

30.答案：不成立。可以举如下反例说明：

令A(x)表示x是男生，B(x)表示x是女生。

则前件?x(A(x)∨B(x)) 表示“任何一个人来说，他或者是男生或者是女生。”这显然是真的命题。而后件?xA(x)∨?xB(x) 表示“要么大家都是男生，要么大家都是女生。”

显然由?x(A(x)∨B(x))不能推出?xA(x)∨?xB(x)。

所以?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x) 不成立。

31.答案：前束范式定义：一个谓词公式符合下面条件，就是前束范式：

所有量词前面都没有联接词；

所有量词都在公式的左面；

所有量词的辖域都延伸到公式的末尾。

32.答案：c

33.答案：解

?x(P(x)∧R(x))→(??xP(x)∧Q(x))

???x(P(x)∧R(x))∨(??xP(x)∧Q(x)) (去→)

??x?(P(x)∧R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (量词转换)

??x(?P(x)∨?R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (后移?)

??x(?P(x)∨?R(x))∨(?y?P(y)∧Q(z)) (换变元)

??x(?P(x)∨?R(x))∨?y(?P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)

??x?y((?P(x)∨?R(x))∨(?P(y)∧Q(z))) (扩量词辖域)

34.答案：US：全称特指规则(Universal Specialization)

形式：?xA(x)?A(c) (其中c是论域内指定客体)

作用：去掉全称量词。

注意事项：c不是A(x)中的符号。

ES：存在特指规则(Existential Specialization)

形式：?xA(x)?A(c) (其中c是论域内指定客体)

作用：去掉存在量词。

注意事项：

⑴c不是A(x)中的符号。

⑵用ES指定的客体c不应该是在此之前用US规则或者用ES规则所指定的客体

c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。

35.答案：例：令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。

⑴?x(A(x)→B(x)) P

⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1

⑶?xA(x) P

⑷A(c) ×ES A(0.1)为F

得出0.1是自然数的错误结论。

36.答案：例：令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。

⑴?xB(x) P

⑵B(c) ES 如c＝－1

⑶?xA(x) P

⑷A(c) ×ES A(－1)为F

得出－1是自然数的错误结论。

37.答案：EG：存在推广规则(Existential Generalization)

形式：A(c)??xA(x) (其中c是论域内指定客体)

作用：添加存在量词。

注意事项：x不是A(c)中的符号。

UG：全称推广规则(Universal Generalization)

形式：A(c)??xA(x) (其中c是论域内任何指定客体)

作用：添加全称量词。

注意事项：x不是A(c)中的符号。

c一定是任意的客体，否则不可全称推广。

38.答案：⑴?x(A(x)∨B(x)), P

⑵A(a)∨B(a) ES ⑴

⑶?xC(x) P

⑷C(a) US ⑶

⑸?x(B(x)→?C(x)) P

⑹B(a)→?C(a) US ⑸

⑺?B(a) T ⑷⑹I12

⑻A(a) T ⑵⑺I10

⑼?xA(x)) EG ⑻

39.答案：⑴?x(C(x)∧B(x)) P

⑵C(c)∧B(c) ES ⑴

⑶C(c) T ⑵I1

⑷B(c) T ⑵I2

⑸?x(?A(x)→?B(x)) P

⑹?A(c)→?B(c) US ⑸

⑺??A(c) T ⑷⑹I12

⑻A(c) T ⑺E1

⑼C(c)∧A(c) T ⑶⑻I9

⑽?x(C(x)∧A(x)) EG ⑼

40.答案：证明.

⑴?x(A(x)∧?D(x)) P

⑵A(a)∧?D(a) ES ⑴

⑶A(a) T ⑵I

⑷?D(a) T ⑵I

⑸?x(A(x)→(?C(x)→D(x))) P

⑹A(a)→(?C(a)→D(a)) US ⑸

⑺?C(a)→D(a)) T ⑶⑹I

⑻C(a) T ⑷⑺I

⑼?x(A(x)→(?B(x)∨?C(x))) P

⑽A(a)→(?B(a)∨?C(a)) US ⑼

⑾?B(a)∨?C(a) T ⑶⑽I

⑿?B(a) T ⑻⑾I

⒀A(a)∧?B(a) T ⑶⑿I

⒁?x(A(x)∧?B(x)) EG ⒀

41.答案：证明.

⑴?x(A(x)∧(B(x)→?C(x))), P

⑵A(a)∧(B(a)→?C(a)) ES ⑴

⑶A(a) T ⑵I

⑷(B(a)→?C(a)) T ⑵I

⑸?x(A(x) → (C(x) ∨?D(x))) P

⑹A(a) → (C(a) ∨?D(a)) US ⑸

⑺(C(a) ∨?D(a)) T ⑶⑹I

⑻?x(A(x) →D(x)) P

⑼A(a) →D(a)) US ⑻

⑽D(a) T ⑶⑼I

⑾C(a) T ⑺⑽I

⑿?B(a) T ⑷⑾I

⒀A(a)∧?B(a) T ⑶⑿I

⒁?x(A(x)∧?B(x)) EG ⒀

42.答案：证明.

设B(x):x是鸟；F(x):x会飞；M(x):x是猴子。命题符号化为：

?x(B(x)→F(x))，?x(M(x)→?F(x)) ??x(M(x)→?B(x))

⑴?x(B(x)→F(x)) P

⑵B(a)→F(a) US ⑴

⑶?x(M(x)→?F(x)) P

⑷M(a)→?F(a) US ⑶

⑸?F(a)→?B(a) T ⑵E18

⑹M(a)→?B(a) T ⑷⑸I13

⑺?x(M(x)→?B(x)) UG ⑹

43.答案：证明.

设: P(x):x是病人, D(x):x是医生, Q(x):x是庸医, L(x,y): x喜欢y. 命题符号化：

?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y)))，?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y)))

???y(D(y)∧Q(y))

⑴?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))) P

⑵P(a)∧?y(D(y)→L(a,y)) ES ⑴

⑶P(a) T ⑵I1

⑷?y(D(y)→L(a,y)) T ⑵I2

⑸?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) P

⑹P(a)→?y(Q(y)→?L(a,y)) US ⑸

⑺?y(Q(y)→?L(a,y)) T ⑶⑹I11

⑻D(b)→L(a,b) US ⑷

⑼Q(b)→?L(a,b) US ⑺

⑽L(a,b) →?Q(b) T ⑼E18

⑾D(b)→?Q(b) T ⑻⑽I13

⑿?D(b)∨?Q(b) T ⑾E16

⒀?(D(b)∧Q(b)) T ⑿E8

⒁?y?(D(y)∧Q(y)) UG ⒀

⒂??y(D(y)∧Q(y)) T ⒁E25

44.答案：证明.上述各个命题符号化为：

?x((S(x) ∧?P(x)) →?y(L(y)∧C(x,y))), ?x((S(x)∧G(x))∧?y(C(x,y)→T(y))) , ?x((S(x) ∧G(x)) →?P(x)) ??y(T(y)∧L(y))

⑴?x((S(x)∧G(x))∧?y(C(x,y)→T(y))) P

⑵(S(a)∧G(a))∧?y(C(a,y)→T(y)) ES ⑴

⑶S(a)∧G(a) T ⑵I1

⑷?x((S(x) ∧G(x)) →?P(x)) P

⑸(S(a) ∧G(a)) →?P(a) US ⑷

⑹?P(a) T ⑶⑸I11

⑺S(a) T ⑶I1

⑻S(a) ∧?P(a) T ⑹⑺I9

⑼?x((S(x) ∧?P(x)) →?y(L(y)∧C(x,y))) P

⑽(S(a) ∧?P(a)) →?y(L(y)∧C(a,y)) US ⑼

⑾?y(L(y)∧C(a,y)) T ⑵I2

⒀L(b) ∧C(a,b) ES ⑾

⒁C(a,b)→T(b) US ⑿

⒂L(b) T ⒀I1

⒃C(a,b) T ⒀I2

⒄T(b) T⒁⒃I11

⒅T(b)∧L(b) T ⒂⒄I9

⒆?y(T(y)∧L(y)) EG ⒅

45.答案：证明.设A(x):x是人, B(x):x是喜欢步行, C(x):x喜欢乘汽车，

D(x):x喜欢骑自行车。上述各个命题符号化为：

?x(A(x)→(B(x)→?C(x))), ?x(A(x)→(C(x)∨D(x))), ?x(A(x)∧?D(x))

??x(A(x)∧?B(x))

⑴?x(A(x)∧?D(x)) P

⑵A(a)∧?D(a) ES ⑴

⑶A(a) T ⑵I

⑷?D(a) T ⑵I

⑸?x(A(x)→(B(x)→?C(x))) P

⑹A(a)→(B(a)→?C(a)) US ⑸

⑺B(a)→?C(a) T ⑶⑹I

⑻?x(A(x)→(C(x)∨D(x))) P

⑼A(a)→(C(a)∨D(a)) US⑻

⑽C(a)∨D(a) T ⑶⑼I

⑾C(a) T ⑷⑽I

⑿?B(a) T ⑺⑾I

⒀A(a)∧?B(a) T ⑶⑿I

⒁?x(A(x)∧?B(x)) EG ⒀

46.答案：命题符号化为：

M(a), M(b), M(c), ?x(M(x)→( H(x)∨D(x))), ??x(D(x)∧L(x,d)), ?x(H(x)→L(x,e)) ?y(L(a,y)→?L(b,y)), L(a,d)∧L(a,e)

⑴L(a,d)∧L(a,e) P

⑵L(a,e) T ⑴

⑶?y(L(a,y)→?L(b,y)) P

⑷L(a,e)→?L(b,e)) US ⑶

⑸?L(b,e)) T ⑵⑷I11

⑹?x(H(x)→L(x,e)) P

⑺H(b)→L(b,e)) US ⑹

⑻?H(b) T ⑸⑺I12

⑼?x(M(x)→(H(x)∨D(x))) P

⑽M(b)→(H(b)∨D(b)) US ⑼

⑾M(b) P

⑿H(b)∨D(b) T ⑽⑾I11

⒀D(b) T ⑻⑿I10

⒁D(b)∧?H(b) T ⑻⒀

所以小刘是登山者，而不是滑雪者。

47.答案：⑴?x (?P(x)→ Q(x)) P

⑵?P(a)→ Q(a) ES ⑴

⑶?xR(x) P

⑷R(a) US ⑶

⑸?x(?Q(x)∨?R(x)) P

⑹?Q(a)∨?R(a) US ⑸

⑺?Q(a) T ⑷⑹I12

⑻??P(a) T ⑵⑺I10

⑼P(a) T ⑻E1

⑽?xA(x)) EG ⑼

48.答案：⑴??x(R(x)→Q(x)) P

⑵? x? (R(x)→Q(x)) T ⑴E

⑶? (R(a)→Q(a)) ES ⑵

⑷? (?R(a)∨Q (a)) T ⑶E

⑸R(a) ∧?Q (a) T ⑷ E

⑹R(a) T ⑸I

⑺?Q(a) T ⑸I

⑻?x(P(x)→(Q(x)∧R(x))), P

⑼P(a)→(Q(a)∧R(a)) US ⑻

⑽?Q(a)∨?R(a) T ⑺I

⑾?(Q (a) ∧R(a)) T ⑽E

⑿?P(a) T ⑼⑾I

⒀R(a) ∧?P (a) T ⑹⑿I

⒁?x(R(x)∧?P(x)) EG ⒀

49.答案：⑴??x(?A(x)∨D (x)) P

⑵? x? (?A(x)∨D(x)) T ⑴ E

⑶? (?A(a)∨D(a)) ES ⑵

⑷A(a) ∧?D (a) T ⑶E

⑸A(a) T ⑷I

⑹?D(a) T ⑷I

⑺?x(A(x)→(?C(x)→D(x))) P

⑻A(a)→(?C(a)→ D(a)) US ⑺

⑼?C(a)→ D(a) T ⑸⑻I

⑽C(a)∨D(a) T ⑼E

⑾C(a) T ⑹⑽I

⑿?x(?C(x)∨(?A(x)∨?B(x))) P

⒀?C(a)∨(?A(a)∨?B(a)) US ⑿

⒁?A(a)∨?B(a) T ⑾⒀I

⒂?B(a) T ⑷⒁I

⒃A(a)∧?B(a) T ⑸⒂I

⒄?x(A(x)∧?B(x)) EG ⒃

50.答案：⑴??zP(z) P (附加前提)

⑵?z?P(z) T ⑴E

⑶?x(?y(S(x,y) ∧M(y)) →?z((P(z)∧R(x,z))) P

⑷?y(S(a,y) ∧M(y)) →?z((P(z)∧R(a,z)) US ⑶

⑸?P(b) US ⑵

⑹?P(b)∨?R(a,b) T ⑸I

⑺?(P(b)∧R(a,b)) T ⑹E

⑻?z?(P(z)∧R(a,z)) UG ⑺

⑼??z (P(z)∧R(a,z)) T ⑻E

⑽??y(S(a,y) ∧M(y)) T ⑷⑼I

⑾?y? (S(a,y) ∧M(y)) T ⑽ E

⑿?y (?S(a,y) ∨?M(y)) T ⑾E

⒀?y (S(a,y) →?M(y)) T ⑿ E

⒁?x ?y (S(x,y) →?M(y)) US ⒀

⒂??zP(z) →?x?y (S(x,y) →?M(y)) CP

51.答案：先命题符号化为：

?x(N(x)→(?O(x)→E(x))), ?x(O(x)→?C(x)), ?x(N(x)∧C(x)) ??x(N(x)∧E(x))

⑴?x(N(x)∧C(x)) P

⑵N(a)∧C(a) ES ⑴

⑶N(a) T ⑵I

⑷C(a) T ⑵I

⑸?x(O(x)→?C(x))) P

⑹O(a)→?C(a) US ⑸

⑺?O(a) T ⑷⑹I

⑻?x(N(x)→(?O(x)→E(x))) P

⑼N(a)→(?O(a)→E(a)) US ⑻

⑽?O(a)→E(a) T ⑶⑼I

⑾E(a) T ⑺⑽I

⑿N(a)∧E(a) T ⑶⑾I

⒀?x(N(x)∧E(x)) EG ⑿

52.答案：证明.

⑴?x(A(x)∧??y(?B(y)∨?C(x,y))), P

⑵A(a)∧??y(?B(y)∨?C(a,y)) ES ⑴

⑶A(a) T ⑵I

⑷??y(?B(y)∨?C(a,y))) T ⑵I

⑸?y?(?B(y)∨?C(a,y))) T ⑷E

⑹?y(B(y)∧C(a,y)) T ⑸ E

⑺?x(A(x)→?y(D(y )→?C(x,y))) P

⑻A(a)→?y(D(y )→?C(a,y)) US ⑺

⑼?y(D(y )→?C(a,y)) T ⑶⑻I

⑽B(b)∧C(a,b) ES ⑹

⑾B(b) T ⑽I

⑿C(a,b) T ⑽I

⒀D(b)→?C(a,b)) US ⑼

⒁?D(b) T ⑿⒀I

⒂B(b)∧?D(b) T ⑾⒁I

⒃?y(B(y)∧?D(y)) EG ⒂

53.答案：证明.

⑴?xA(x) ∧?y?D(y) P

⑵?xA(x) T ⑴I

⑶?y?D(y) T ⑴I

⑷A(a) ES ⑵

⑸?x(A(x)→?y(B(y)→?C(x,y))) P

⑹A(a) →?y(B(y)→?C(a,y)) US ⑸

⑺?y(B(y)→?C(a,y)) T ⑷⑹I

⑻?x(A(x)→?y(C(x,y)∨D(y))) P

⑼A(a)→?y(C(a,y)∨D(y))) US ⑻

⑽?y(C(a,y)∨D(y)) T ⑷⑼I

⑾B(b) →?C(a,b) ES ⑺

⑿C(a,b)∨ D(b) US ⑽

⒀?D(b) US ⑶

⒁C(a,b) T ⑿⒀I

⒂?B(b) T ⑾⒁I

⒃?y ?B(y) EG ⒂

54.答案：设:A(x)：x是书刊，B(x)：x是合法出版的, C(x)：x是人，D(x): x感到忧虑。

命题符号化：

?x(A(x)∧?B(x))→?y(C(y)→D(y))，?y(C(y)∧?D(y)) ??x (A(x)→B(x))

⑴?y(C(y)∧?D(y)) P

⑵?y? (?C(y)∨D(y) T ⑴ E

⑶?y? (C(y)→D(y)) T ⑵ E

⑷??y(C(y)→D(y)) T ⑶ E

⑸?x(A(x)∧?B(x))→?y(C(y)→D(y)) P

⑹??x(A(x)∧?B(x)) T ⑷⑸I

⑺?x? (A(x)∧?B(x)) T ⑹ E

⑻?x (?A(x)∨B(x)) T ⑺E

⑼?x (A(x)→B(x)) T ⑻E

55.答案：⑴?xA(x) P

⑵A(a) ES ⑴

⑶?x(B(x)∧?C(x)) P

⑷(B(b)∧?C(b)) ES ⑶

⑸?(?B(b)∨C(b)) T ⑷ E

⑹?(B(b)→C(b)) T ⑸E

⑺?(B(b)→C(b)) T ⑹E

⑻?y?(B(y)→C(y)) EG ⑺E

⑼??y(B(y)→C(y)) T ⑻E

⑽?z((A(z)∧?x?yD(x,y))→?y(B(y)→C(y))) P

⑾?z(A(z)∧?x?yD(x,y))→?y(B(y)→C(y)) T ⑽E(辖域缩小)

⑿??z(A(z)∧?x?yD(x,y)) T ⑼⑾I

⒀?z?(A(z)∧?x?yD(x,y)) T ⑿E

⒁?(A(a)∧?x?yD(x,y)) US ⒀

⒂?A(a)∨??x?yD(x,y)) T ⒁E

⒃??x?yD(x,y)) T ⑵⑸I

⒄?x?y?D(x,y)) T ⒃ E

56.答案：先命题符号化为：

?x(N(x)→(?E(x)→O(x))), ?x((N(x)∧E(x))? D(x,2)), ??x(N(x)→D(x,2)) ??x(N(x)∧O(x))

⑴??x(N(x)→D(x,2)) P

⑵?x? (N(x)→D(x,2)) T ⑴ E

⑶?x? (?N(x)∨D(x,2) T ⑵ E

⑷?x (N(x)∧?D(x,2)) T ⑶ E

⑸N(a)∧?D(a ,2) ES ⑷

⑹N(a) T ⑸I

⑺?D(a ,2) T ⑸I

⑻?x(N(x)→(?E(x)→O(x))) P

⑼N(a)→(?E(a)→O(a)) US ⑻

⑽?E(a)→O(a) T ⑹⑼I

⑾?x((N(x)∧E(x))? D(x,2)) P

⑿?x((N(x)∧E(x)) →D(x,2))∧(D(x,2)→(N(x)∧E(x))) T ⑾ E

⒀((N(a)∧E(a)) →D(a,2))∧(D(a,2)→(N(a)∧E(a))) US ⑿

⒁(N(a)∧E(a)) →D(a,2)) T ⒀I

⒂? (N(a)∧E(a)) T ⑺⒁ I

⒃?N(a) ∨?E(a)) T ⒂ E

⒄?E(a) T ⑹⒃ I

⒅O(a) T ⑽⒄ I

⒆N(a)∧O(a ) T ⑹⒅ I

⒇?x(N(x)∧O(x)) EG ⒆

57.答案：

⑴?x(A(x)∧?y(B(y)∧C(x,y))) P

⑵A(a)∧?y(B(y)∧C(a,y)) ES ⑴

⑶A(a) T ⑵I

⑷?y(B(y)∧C(a,y)) T ⑵I

⑸B(b)∧C(a,b) ES ⑷

⑹B(b) T ⑸I

⑺C(a,b) T ⑸I

⑻?x(A(x)→?y(D(y)→?C(x,y))) P

⑼A(a)→?y(D(y)→?C(a,y)) US ⑻

⑽?y(D(y)→?C(a,y)) T ⑶⑼I

⑾D(b)→?C(a,b) US ⑽

⑿?D(b) T ⑺⑾I

⒀B(b)∧?D(b) T ⑹⑿I

⒁?y (B(y)∧?D(y)) EG ⒀

⒂?y? (?B(y)∨D(y)) T ⒁ E

⒃??y( B(y)→D(y)) T ⒂ E

58.答案：有错误。不应该先去掉?x，再去掉?x时，特指成同一个客体c。

正确推理为：

⑴?xA(x) P

⑵A(c) ES ⑴

⑶?x(A(x)→B(x)) P

⑷A(c)→B(c) US ⑶

⑸B(c) T ⑵⑷I11

⑹?xB(x) EG ⑸

59.答案：⑴?x P(x) P