关于假设检验的详细总结与典型例题

关于假设检验的详细总结与典型例题

假设检验是数一考生普遍反映非常头疼的一块内容，因为它入门较难，其思想在初次复习时理解起来较难。虽然这一部分在历年真题中考查次数很少，但为了做到万无一失，我们也应该准备充分，何况相对来说这一部分内容的难度和变化并不大。为了让各位考生对假设检验有一个全面深入的理解和掌握，我们给出如下总结与例题。

对于假设检验，首先要理解其基本原理，即小概率原理，假设检验的方法即是从此原理衍生而来；其次，要掌握其步骤，会根据显著性水平α，即第一类心理学考研错误，来求拒绝域与接收域，其求法要根据不同的条件来套用公式，能根据理解推导公式是上策，如果时间不够，可以选择记忆各种不同条件下的求拒绝域的公式。最后，相比之下两个正态总体参数的假设检验的考查可能性要低于一个正态总体参数的假设检验。

假设检验的基本概念

数理统计的基本任务是根据样本推断总体，对总体的分布律或者分布参数作某种假设，然后根据抽得的样本，运用统计分析的方法来检验这一假设是否正确，从而作出接受假设或者拒绝假设的决定，这就是假设检验.

根据实际问题提出的假设0H 称为原假设，其对立假设1H 称为备择假设. 假设检验中推理的依据是小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生. 假设检验中的小概率α称为显著性水平，通常取0.05α=或者0.01α=.

假设检验中使用的推理方法是：为了检验原假设0H 是否成立，我医学考研论坛们先假定原假设0H 成立. 如果抽样的结果导致小概率事件在一次试验中发生了，根据小概率原理，有理由怀疑0H 的正确性，从而拒绝0H ，否则接受0H .

假设检验的步骤

⑴根据实际问题提出原假设0H 和备择假设1H ； ⑵确定检验统计量T ；

⑶根据给定的显著水平α，查概率分布表，确定拒绝域W ；

⑷利用样本值计算统计量T 的值t ，若t W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H .

假设检验中可能犯的两类错误

由于小概率事件还是可能发生的，根据小概率作出的判断可能是错误的. 事件0H 真而拒绝0H ，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率为{}

0P t W H α∈≤，因此显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率的. 0H 假而接受0H ，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率为{}

1P t W H ?，记作β.

典型例题

1.136,,X X 是取自正态总体(,0.04)N μ的简单随机样本，检验假设0:0.5H μ=，备择假设

11:0.5H μμ=>，

检验的显著水平0.05α=，取否医学考研论坛定域为X c >，则c = ，若10.65μ=，

则犯第二类错误的概率β= .

解 ⑴0H 成立时，0.04

~(0.5,

)36

X N ， {}00.50.051()0.1/3c P X c H αΦ-==>=-，0.5

()0.95(1.645)0.1/3

c ΦΦ-==，

0.5

1.6450.1/3

c -=，得0.5548c =.

⑵1H 成立时，0.04

~(0.65,)36

X N

{}10.55480.65

()( 2.856)0.1/3

P X c H βΦΦ-=≤==-.

1(2.856)10.99790.0021Φ=-=-=

2.设总体20~(,)X N μσ，2

0σ已知，检验假设00:H μμ=，备择假设10:H μμ>，取否定域为X c >，

则对固定的样本容量n ，犯第一类错误的概率α随c 的增大而 .（减小）

解 0H 成立时，2

00~(,

)X N n

σμ，

犯第一类（弃真）错误的概率{}

001(/P X c H n

αΦσ=>=-，

故犯第一类错误的概率α随c 的增大而减小.

一个正态总体2

(,)N μσ参数的假设检验 ⑴ 2

σ已知，关于μ的检海文考研验（u 检验） 检验假设

00:H μμ= 统计量X U =

拒绝域2

U u α>

检验假设00:H μμ>

统计量X U =

拒绝域U u α<-

检验假设00:H μμ<

统计量X U =

拒绝域U u α>

⑵2

σ未知，关于μ的检验（t 检验） 检验假设00:H μμ=

统计量X t =

拒绝域2

(1)t t n α>-

检验假设00:H μμ> 统计量0/X t S n = 拒绝域(1)t t n α<--

检验假设00:H μμ< 统计量0/X t S n

=

拒绝域(1)t t n α>-

⑶μ未知，关于2

σ的检验（2

χ检验） 检验假设2

200:H σσ

=

统计量2

2

2

0(1)n S χσ-=

拒绝域22

2

(1)n αχχ>-或者2212

(1)n αχχ-<-

检验假设2

2

00:H σσ

>

统计量2

2

20

(1)n S χσ

-=

拒绝域22

1(1)n αχχ-<-

检验假设2

200

:H σσ< 统计量2

2

2

0(1)n S χσ-= 拒绝域22

(1)n αχχ>-

▲拒绝域均采用上侧分位数.

两个正态总体21(,)N μσ、2

2(,)N μσ参数的假设检验.

⑴两个正态总体2

1(,)N μσ、2

2(,)N μσ均值的假设检验（t 检验） 检验假设012:H μμ=

统计量X Y

t =

拒绝域122

(2)t t n n α>+-

检验假设012:H μμ>

统计量X Y

t =

拒绝域12(2)t t n n α<-+-

检验假设012:H μμ<

统计量X Y

t =

拒绝域12(2)t t n n α>+-

⑵两个正态总体2

11(,)N μσ、2

22(,)N μσ方差的假设检验（F 检验） 检验假设2201

2:H σσ

=

统计量2

122

S F S = 拒绝域122(1,1)F F n n α>--或者1212(1,1)F F n n α-<--

检验假设22012:H σσ>

统计量2

122

S F S = 拒绝域112(1,1)F F n n α-<--

检验假设2201

2

:H σσ< 统计量2

122

S F S = 拒绝域12(1,1)F F n n α>--

▲拒绝域均采用上侧分位数. 典型例题

1.设n X X X ,,,21 是来自正态总海文考研体2

(,)N μσ的简单随机样本,其中参数2

,μσ未知，记

2

211

1,(),n n

i i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t = .

解 统计量2

(1)//(1)

n n X

X nX

t S n Q n -=

==

-

2.某酒厂用自动装瓶机装酒，每瓶规定重500克，标准差不超过10克，每天定时检查，某天抽取9瓶，测得平均重X ＝499克，标准差S ＝16.03克. 假设瓶装酒的重量X 服从正态分布.问这台机器是否工作正常?(05.0=α).

解 先检验0H ：500μ=

，统计量X t =

， 拒绝域0.025(8) 2.3060t t >=，

499500

0.18716.03/3X t -=

==-，接受0H ；

再检验0H '：2

2

10σ≤，统计量22

2

(1)10

n S χ-=， 拒绝域22

0.05(8)15.507χχ>=， 222

22

(1)816.0320.5571010

n S χ-?===，拒绝22

0:10H σ'≤， 故该机器工作无系统误差，但不稳定

3.设127,,,X X X 是来自正态总体2

11(,)N μσ的简单随机样本，设128,,,Y Y Y 是来自正态总体

2

22(,)N μσ的简单随机样本，且两个样本相互独立，它们的样本均值分别为13.8,17.8X Y ==，样本标

准差123.9, 4.7S S ==，问在显著性水平0.05下，是否可以认为12μμ<？

解 先检验0H ：221

2

σσ=，检验统计量2

122

S F S =，拒绝域0.025(6,7) 5.12F F >=或者

0.9750.02511

(6,7)(7,6) 5.70

F F F <==，22122

2 3.90.68854.7S F S ===，接受0H ； 再检验0

H '：12μμ<，统计量12

11w X Y

t S n n =+

， 拒绝域0.05(13) 1.7709t t >=，

1.7773X Y

t =

=-，接受0

H '，即可以认为12μμ<. ▲检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.