隐形圆解决最值及面积问题 - 含答案

定弦定角最值问题

【定弦定角题型的识别】

有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】

图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】

同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

典型例题讲解

1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2

4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）

A．1 B．2 C．2D．2

41

4

解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）

如图，当AD过O′时，AD有最小值

∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形

∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5

又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1

2.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交

圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）

16

A．2

13+C．5 D．

13-B．2

9

解：连接AE

∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动

当CE过圆心O′时，CE有最小值为2

13-

3.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2

4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）

A．1 B．2

C．2D．3

4-

2

解：连接CD

∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°

如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值

∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴O′B＝O′C＝4

又∵∠ACO′＝90°

∴AO′＝5 ∴AD的最小值为5－4＝1

4.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为3

2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）

A．3

12+D．3

4

6+

6

3

12+B．3

3

6+C．3

5.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）

A ．

21 B ．22 C ．

2

3 D ．43

6.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________

解：连接DM

∵D 是弦EF 的中点 ∴DM ⊥EF ∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动

当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM

∵C 为弧AB 的中点

∴CM ⊥AB ∴CD 的最小值为12

7.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________

解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点

∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动

当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M

∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°

∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝2

3

∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2

147- 8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连结B ′D ，则B ′D 的最小值是（ ）．

A

． B.6 C. D.4

【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B ′E 可知，点A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B ′是动点，当E 、B ′、D 三点共线时，B ′D 的长最小，此时B ′D ＝DE －EB ′，问题得解.

【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B ′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AB 长为

直径的圆上，如图所示. B ′D 的长最小值= DE －EB

.故选A

．

【启示】此题属于动点（B ′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB ′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B ′、D 三点共线时，等号成立.

9.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 .

【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB

＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.

【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD

交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH . 22=B D DE B E ''≤-H

G

B A 112

AB =1

【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH.当然此题也可利用的基本模型解决.

如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连结B′D ，则B′D 的最小值是（ ）．

A

． B .6 C . D .4

【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B′E 可知，点A 、B 、B′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B′是动点，当E 、B′、D 三点共线时，B′D 的长最小，此时B′D ＝DE －EB′，问题得解.

【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B′在以点E 为圆心，AB 长为

直径的圆上，如图所示. B′D 的长最小值= DE －EB′

.故选A ．

【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线时，等号成立.

【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是

.

【思路探究

】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.

【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中

点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH .

【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.

DH OD OH ≤-22=B D DE B E ''≤-H

G

A 112

AB =1DH OD OH ≤-

【针对训练 】

1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ）.

A

． B ． C ． D ．3

作AC 的中点D ，连接OD 、BD ，

∵OB ≤OD+BD ，∴当O 、D 、B 三点共线时OB 取得最大值，∵BD=2，OD=AD=2

1AC=1， ∴点B 到原点O 的最大距离为1+2．故选C

2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）.

A ．

B .

C .

D .4 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）.

A .6

B .

C .9

D .

优质解答

如图，设 O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交 O 于Q 1，

此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1，

∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°，∵∠OP 1B=90°，∴OP 1∥AC ∵AO=OB ，∴P 1C=P 1B ，∴OP 1=2

1AC=4，∴P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1=1， x y 5612+32

210-2213-22131+322

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故答案为：9．

4.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD 交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）.

A

.B.

C.5

D.

5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则CG的最小值为（）．

A．B．C.D.

6．如图，△ABC、△EFG是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FG相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是

A．B．C.D.

7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是 .

8．（2017威海）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．

解答解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，

∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，∴点P的运动轨迹是弧AC，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：

2

13-2

13+

9

16

51

-31

-21

-21

+ 23

-31

+231

-

g

此时PA=PC，OB⊥AC，