数字图像处理课程设计之小波变换

河南农业大学

《数字图像处理》

题目：小波变换

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小波变换

一、目的与要求

小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。本设计主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并运用Matlab软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息，达到对图像进行压缩的目的。分别作第一层分解和第二层分解，并比较图像压缩的效果。

二、设计的内容

利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分解并压缩，并观察分析其处理效果。

三、总体方案设计

一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以利用小波分解就可以达到去掉图像的高频部分而只保留低频部分的目的。

本设计利用MATLAB工具箱中的Wavele Toolbox——小波工具箱对图像进行小波变换。

四、各个功能模块的主要实现程序

频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从图2.1可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。 (二) 小波变换的重构算法 设{

p

j

l ,}、{q

i j

l ,}（i=1,2,3）是由两个一元两尺度序列得到的二元尺度序列，即

p

j

l ,=

p

p j

l

21，

p j

l 1,=

q

p j

l

21,q

j

l 2,=p

q

j

l

21,

p

j

l 3,=q

q

j

l

21。则有重构算法为

c

m

n k ,;1+=?

??

? ?

?

+

∑∑

=--=-d

q

c

p

i

j l k j i

j

m l n j

l k j

m l n j

l ,;3

1

2,2,;2,2, 小波重构的数据传递示意图如图所示

)

,(m n

LL

LH

HL

HH

小波变换在图像压缩中的应用 二维离散小波变换后的系数分布

构成了信号),(y x f 的二维正交小波分解系数(如图所示),

二维正交小波分解系数

Z

Z j

j

j

j j j m n f W

m n f W

m n f W

m n f S m n ?∈--=}

)}

,(),,(),,(){,(3211

,...,)

,(

它们每一个都可被看做一幅图像,),(1m n f W j

给出了),(y x f 垂直方向的高频分量的

小波分解系数，),(3m n f W

j

给出了),(y x f 水平方向的高频分量的小波分解系数，

),(2m n f W j

给出了),(y x f 对角方向高频分量的小波分解系数，f S

J

给出了),(y x f 的低

频分量的小波分解系数。由此可见，若用S J ，W

j

1

，W j

2

，W j

3分别表示),(m n f S

j

，

),(1m n f W

j

，),(2m n f W

j

，),(3m n f W

j

经2∶1亚抽样后的变换系数(简称为子图像)，

则任一图像都可以分解为j=-J ，…，-1之间的3J+1个离散子图像：S J ，W j

1

，W j

2

，W j

3其中S J 是原图像的一个近似，W

i j

(i=1，2，3；j=-J ，…，-1)则是图像在不同方向、不

同分辨率下的细节；如果原图像有N2个像素，则子图像S J ，W j

1

，W j

2

，W j

3

分别有N i

2个像素，因而分解后总的像素数N

T

为

N

N

N

N

j

j i

J

T

2

2

1

2

][34

4=

+=

∑

--=-

可见，分解后总的像素数不变。

二维数字信号也即数字图像，对它的处理时基于图像的数字化来实现的。图像的书画结果就是一个巨大数字矩阵，图像处理就在这个矩阵上完成。所以，可将二维数字信号d mn

看做),(0m n f S ，即

d

mn

=),(0m n f S =

??

--=

--R

dxdy m y n x y x f m n y x y x f 2

),(),(),)(,(0

*

),(φφ

并采用与一维情况类似的mallat 算法。由于两次一维小波变换来实现一次二维小波变换，所以先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换。从信号滤波的角度实现二维小波变换的框图分别如图3.4所示。

MATLAB 程序

下面的实例是基于二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系

列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。

clc;

clear all;

a=imread('1.bmp');

X=rgb2gray(a);

subplot(221);image(X);colormap(gray(256));

title('原始图像');

axis square;

[c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7');

ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);

ch1=detcoef2('h',c,s,1);

cv1=detcoef2('v',c,s,1);

cd1=detcoef2('d',c,s,1);

a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);

h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);

v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);

d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);

c1=[a1,h1;v1,d1];

subplot(222);image(c1);

axis square

title('分解后低频和高频信息');

ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);

ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);

ca1=0.5*ca1;

subplot(223);image(ca1);colormap(gray(256));

title('第一次压缩图像');

axis square

ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);

ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);

ca2=0.25*ca2;

subplot(224);image(ca2);colormap(gray(256)); axis square;

title('第二次压缩图像');

五、测试和调试

运行程序，得到的结果如图所示

运行结果

从图中可以看出，第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为1/3)；第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比比较大(1/12)，压缩效果在视觉上也基本过得去，它不需要经过其它处理即可获得较好的压缩效果。

六、课程设计总结与体会

这次设计利用小波变换完成了对静态图像进行压缩的目的，基本上实现了设计的要求，在这里对江老师的指导和帮助表示感谢。

图像压缩是一个很有发展前途的研究领域，它的研究就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，且在压缩、传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度小。而将小波分析引入图像压缩的研究范畴，当一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的.高分辨率子图像上大部分点的数值都接近0，越高就越明显。而对于一个图像来说，表现一个图像的

最主要部分是低频部分。而且小波分析能使压缩比高、压缩速度快，压缩后能保持信号与图

像的特征基本不变。在数字图像处理中具有很强的使用价值。

七、参考文献

[1]李弼程,彭天强,彭波.智能图像处理技术[M].北京：电子工业出版社,2004

[2]于殿涨.图像检测与处理技术[M].西安：西安电子科技大学出版社,2006

[3] 程正兴.小波分析算法与应用[M].西安:西安交通大学出版社,1998

[6] 冉启文.小波变换与分数傅立叶变换理论及应用[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2001

[5] 秦前清.实用小波分析[M].西安:西安电子科技出版社,1998

[6] 郑治真.小波变换及其Matlab工具箱的应用[M].北京:地震出版社,2001

[7] 胡学龙，许开宇.数字图像处理[M].北京:电子工业出版社,2006.9