差分方法
差分方程模型的理论和方法
引言
1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运
算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
第一节 差分方程的基本知识
一、 基本概念
1、差分算子
设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向
前差分。
而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分：
n n x x 2)(?=??
称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
))((1n k n k x x -??=?
2、差分算子 、不变算子、平移算子
记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。
则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=?
I E -=?∴
由上述关系可得：
i n k
i i k i k n i
k i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=?00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。
反之，
由 n n n x x x -=?+1 得 n n n x x x ?+=+1：
n n n n x x x x +-=?++1222，得：n n n n x x x x 2122?++-=++,
这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。 ……..
,)1(1
0k n i n k i i k i k n k
x x C x ++-=-+-=?∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ?+--=+-=-+∑1
0)1( （2）
可以看出：
k n x +可以由n k n n x x x ??,...,,的线性组合表示出来
3、差分方程
由n x 以及它的差分所构成的方程
),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -??=? （3）
称之为k 阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为
),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4）
故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项
与其前，前面k 项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
4、差分方程的解与有关概念
（1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为
方程（4）的解。
（2） 如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即
),...,,(---=x x n F x
则称-
=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不
只一个。平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑
n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞
→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有
),...,,(---=x x n F x
（3） 如果（4）的解n x 使得-
-x x n 既不是最终正的，也不是最终
负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。
（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成
),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5）
则 0=y 成为（5）的平衡点。
（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方
程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于0=y 非
振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。
（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0>≥n N n y Sup y
则称n y 为正则解。（即不会从某项后全为零）
（7） 如果方程（4）的解n x 使得-
∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。 5、差分算子的若干性质
（1）n n n n y x y x ?+?=+?βαβα)(.)(
（2）)(1)(1n n n n n n n n y x x y y y y x ?-?=?+
（3）n n n n n n y x x y y x ?+?=?+1)(
（4）∑∑==+++?+-=?b
a k k k a
b a k a b b k k y x y x y x x y 111
（5）∑=?=+?==n
i i i n n
n n x C x I x E x 0000)( 6、Z 变换
定义：对于数列n x ，定义复数级数
∑∞
=-==0)()(k k k n z x x Z z X （6）
这是关于z 洛朗级数。它的收敛域是：21R z R <<，其中2R 可以为∞，1R 可以为0。 称)(n x Z 为n x 的z -变换。
由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z 变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：
))((1z X Z x n -= （7）
z 变换是研究数列的有效工具 。
z 变换的若干重要性质：
（1）线性性 )()()(n n n n y Z x Z y x Z βαβα+=+
（2）平移性质 ])([)(10
∑-=-+-=N k k
k N N n z x z X z x Z
z 变换举例：
（1）???≠=∞=0,00
,)(n n n δ, 则∑∞
==--=?==0
01)1()())((k k k k z z k n Z δδ
（2）???<≥=0,00
,1)(k k n u ，则∑∑∞=∞
=-->-===00,1,1
)())((k k k k z z z
z z k u n u Z
（3）设,)(n a n f =则∑∞
=->>-==0,0,,)(k k k n a a z a z z
z a a Z
（4）设,!1)(n n f =则0,!1
)!1(0
1
>==∑∞=-z e z k n Z k z k
第二节 差分方程常用解法与性质分析
1、常系数线性差分方程的解
方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）
其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）
为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如n n x λ=的解，带入方程中可得：
0 (11)
10=++++--k k k k a a a a λλλ （10）
称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：
（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：
n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，
（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：
n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=，
αβ?βαρarctan
,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+
（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成
项：
n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121--
-++---+++++++
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程
（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-
n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解：
=n x -n x +*n x （11）
（8） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。
2、差分方程的z 变换解法
对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）来
表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)
在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x 例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x
解：解法1：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ 故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。
由条件1,010==x x 得：n n n x )2()1(---=
解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得：
0)(2))((3)1.)((0102=+-+--z F x z F z z x x z F z
由条件1,010==x x 得23)(2++=
z z z z F 由F （z ） 在2>z 中解析，有
∑∑∑∞=∞=-∞=--=---=+-+=+-+=000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(k k k k k k k k
k k
z z z z
z z z z z F 所以，n n n x )2()1(---=
3、二阶线性差分方程组
设=)(n z )(n y x n ，)(d
c b a A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12）
则 )1()1(z A n z n =+ （13）
（13）即为（12）的解。
为了具体求出解（13），需要求出n A ，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：
（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。
（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列向量，则有
A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ
从而，)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ
（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，找
出n A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的
基本性质。
4、关于差分方程稳定性的几个结果
（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1
（2）一阶非线性差分方程
)(1n n x f x =+ （14）
（14）的平衡点-x 由方程)(-
-=x f x 决定，
将)(n x f 在点-
x 处展开为泰勒形式：
)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （15） 故有：1)(/<-x f 时，（14）的解-
x 是稳定的， 1)(/>-x f 时，方程（14）的平衡点-
x 是不稳定的。
第三节 差分方程建模举例
差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统
等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能 通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年
一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；
如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要
原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为
)1(21-n n p p 22
1n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+
这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
模型2 具周期性的运动过程的差分方程模型
建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。
假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为1,≤αα
振动台台面的上下位移是t ~sin ωβ-，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H 处为自由落体运动H <<β。 又假设j t 为第j 次碰
撞时刻，第 j 次碰撞前的速度为)(j t u -，碰撞后的速度为)(j t v 。假设)()(1j j t v t u =+。振动台台面的运动速度为
t t dt d t ~~cos )sin ()(ωβωβω-=-=；又记g v v t ~~
2,ωωφ==，则有：g t v t t j j j )
(211++=-，∴g v t t j
j j ~1~2)(ωω=-+，
∴j j j v =-+φφ1 （3.1）
另外，由碰撞规律分析可知：
))(()(1111+++++-=-j j j j t u t v ωαω
该式经简化处理后可得：
)cos(1j j j j v v v +-=+φγα （3.2） 由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组
j j j v =-+φφ1
)cos(1j j j j v v v +-=+φγα
模型3 蛛网模型
（1） 经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销
售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规
律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。
（2） 模型假设与模型建立
将市场演变模式划分为若干段，用自然数n 来表示；
设第n 个时段商品的数量为n x ，价格为n y ，n=1,2….;
由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有 )(n n x f y = （3. 3）
这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系;
又假设下一期的产量1+n x 是决策者根据这期的价格决定
的，即：设)(1n n y h x =+，h 是单调增加的对应关系，
从而，有关系：)(1+=n n x g y （3.4）
g 也是单调增加的对应关系.
因此可以建立差分方程：)]([1n n x f h x =+ （3.5）
)]([1n n y h f y =+ （3.6） 这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。
（3） 模型的几何表现与分析。
为了表现出两个变量n x 和n y 的变化过程，我们可以借助已有的
函数f 和g ,通过对应关系的几何表现把点列),(n n y x ，和),(1n n y x +在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中)(,(),(),(,(),(111+++==n n n n n n n n x g x y x x f x y x
将点列.).........,(),,(),,(),,(344333122111y x p y x p y x p y x p 连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。
易见：如果点列
(),,(),,(),,(4333122111p y x p y x p y x p 最后收敛于点0p ，则
,0x x n →0y y n →，并且0p 就
是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定
这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。
几何上的进一步分析表明，如果曲线),(x f y =和)(x g y =在交点0p 处切线的斜率的绝对值记为：g f k k ,，则
当g f k k <时，0p 是稳定的；
当 g f k k > 时，0p 是不稳定的。
(4) 模型的差分方程分析
设点),(000y x p 满足：)(),(0000y h x x f y ==，
在0p 点附近取函数)(),(x h x f 的一阶近似：
)8.3.........(....................,.........0),()
7.3...(..............................,.........0),(00100>-+=>--=+ββααy y x x x x y y n n n n
合并两式可得：)9.3.........(,.........2,1,)1(01=++-=+n x x x n n αβαβ 这是关于n x 的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模
型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。
其中，α-为f 在0p 点处的切线斜率；β
1为g(x)在0p 点处切线的斜率。
方程（3.9）递推可得：
)10.3...(....................])(1[)(011x x x n n n αβαβ--+-=+ 所以，0p 点稳定的充要条件是：,1<αβ即：βα1
<
这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。
（4） 模型推广
如果决策时考虑到1+n x 与1,+n n y y 都有关系，则可假设 )
11.3.....(..............................).........2(1
1+++=n n n y y g x 这时数学模型为：)(n n x f y = ).2(1
1+
++=n n n y y g x
对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程 )(00x f y = )().2(00
00y g y y
g x =+=
则有： )
2(2)
2(2)(01010101y y y x x y y y y g x n n n n n n -+=-∴-++=++-+ββ
再结合（3.7）可得： )2)()((200100001y x x y x x y x x n n n ---+--=--+ααβ
0111)1(2x x x x n n n αβαβαβ+=++∴--+
即： )12.3.........(....................)1(2012x x x x n n n αβαβαβ+=++++ 特征方程为： 022=++αβαβλλ
特征根为：48)(22,1αβ
αβαβλ--+
-=
所以：8>αβ时，24
2-<-<αβλ，此时解不稳定。 8<αβ时，22,1αβ
λ=，则2<αβ时，12,1<λ
从而解是稳定的。
这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水 平提高了。
进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，例如：设
)3
(211--+++=n n n n y y y h x ，；另外还可以考虑引入投资额n z ，并建立有关的离散方程关系。
模型4 人口的控制与预测模型
背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。
模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。
（1） 设这个地区最大年龄为m 岁
（2） 第t 年为i 岁的人数为,......2,1,0;....2,1),(==t m i t x i ，
这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。
（3） 设第t 年为i 岁的人口平均死亡率为)(t d i ，即这一年中i 岁人口中死亡数与基数之比：)
()1()()(1t x t x t x t d i i i i +-=+ 即： ,...2,1,0;1,...,2,),())(1()1(1=-=-=++t m i i t x t d t x i i i
（4） 设第t 年i 岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿 数为
)(t b i ，],[21i i 为生育区间。)(t k i 为第t 年i 岁人口的女性比
（占全部i 岁人口数）
由此可知：第t 年出生的人数为：
∑==2
1)()()()(i i i i i i t x t k t b t f
（5） 记第t 年婴儿的死亡率为)(00t d ，则)())(1()(000t f t d t x -=
（6） 设)()()()
()(21
t t b t b t b t h i i i i i
i i β==∑=，它表示i 岁女性总生育率， 则)()()(t h t t b i i β=，如果假设t 年后女性出生率保持不变，则 )(...)()()(2
111t b t b t b t i i i +++=+β
)(...)1()(1212
11i i t b t b t b i i i -+++++=+ 可见，)(t β表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。
模型建立：根据上面的假设
∑∑∑====--=--=--=-=+2
12
121)()()()
()()()())(1))((1()
()()())(1))((1()
())(1))((1()
())(1()1(/
000000000001i i i i i i i i i i i i i i i i i t x t b t t x t k t h t t d t d t x t k t b t d t d t f t d t d t x t d t x ββ
)())(1()1(122t x t d t x -=+
………………………………..
)())(1()1(11t x t d t x m m m ---=+
为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，
令 /21)](),...,(),([)(t x t x t x t x m =
n
m m t d t d t d t A ?-????????????????---=0)(1...00.......................00...0)(1000...00)(100...000)(121
n
m i i t b t b t B i i ?????????????????=0...0...0000...0 (000)
0...0...0000...0...0000)...()...(00)( 则此向量)(t x 满足方程：
)()()()()()1(t x t B t t x t A t x β+=+
即：)13.3....(....................).........
())()()(()1(t x t B t t A t x β+=+ 这是一阶差分方程
其中)(t β是可控变量，)(t x 是状态变量，并且关于)(t β和)
(t x 都是线性的，故称其为双线性方程。
模型分析：
在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故B t B A t A ==)(,)(为常数矩阵。从而，
)14.3......(..............................).........
()).(()1(t x B t A t x β+=+
只要总生育率)(t β确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：
（1） 人口总数：∑==m
i i t x t N 0)()(
（2） 人口平均年龄：∑==m i i t x i t N t R 0
)(.)(1)( （3） 平均寿命：∑∑==-=m j j
i i t d t S 00)](exp[)(，这里假定从第t 年分析，如
果以后每年的死亡率是不变的，即：...)1()(1=+=+t d t d i i
则∑=j
i i t d 0)(表示 t 年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这
也表明其寿命为j 岁，j=1,2…m.而∑=-j
i i t d 0))(exp(表示寿命。
通过求出)(t x 的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。
模型5 线性时间离散弥漫网络模型
引言：一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。
模型假设：设有n 个国家，用)(t i u 表示在时期{,...}2,1,0∈t 的财富。假设只考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是γ。
模型的建立：国家间的财富关系应当满足
)()()
(1)
(
)
(1)
(2)(1)1(1t t n t t t t u u u u u u -+-=-+γγ
)()()
(2)
(3)
(2)(1)
(2)
1(2t t t t t
t u u u u u u -+-=-+γγ
…………..
)()()
(1)
()
(
1)
(2)(1)1(1t n t n t n t n t n t n u u u u u u ----+--+-=-γγ
)()()
()
(1)
()
(1)
()1(t n t n t
n t t n t n u u u u u u -+-=--+γγ
用矩阵形式表示：
令/)
()
(2)
(1)(),......,,(t n t t t u u u u =表示时期t 各个国家的财富状态；
令???
?
?
??
?
?
??
?
?
?????????????----------=210.0001121..00001.2.....................00..121000..012110..0012.n A
则有：)10.3......(..............................)()
()1(t n t u A I u γ-=+
记n n A I A γ-=~ ，则 )11.3....(..........)
0(~)(u A u t
n t =
模型计算与分析：
计算可知n A 的特征值为；,1,sin 42
)(n k n k k ≤≤=π
λ
~n A 的特征值为 n k k π
γγλ2)(
sin 4`11-=-
对应的特征向量为 n k v v v k n k k ≤≤=1......),......,(/)
(
)(1)(
其中 )2sin 2(cos 1
)(n km n km n v k m π
π
+=
为讨论方便起见，引入如下记号： /)()()1,...,1,1(1
,0n v n n ==λ
,)1,...1,1(1
,/)0()()0(n v n ==λλ
则有：n 为偶数时：
,4.........0)2()2()12()12()()()()0(==<<=<<=<<==-+--n
n n
n
n
k n k n λλλλλλλλ
n 为奇数时： 4......0)21
()21()()()()0(<=<<=<<==+--n
n k n k n λλλλλλ
记：k V 为由)()
(,k n k v v -张成的子空间，
则：∑-=><=1
)()0()()0(,n k k k v u v u ∑∑∑∑=∈-=-=><-=><-=><==]
2[0)0()(1
)()0()()()
(~)0(1
)()0(~)(,)1(,)1(,n
k V t k n o
k k k t k k t
n n k k t
n t k
u v u v v
A u v u A u ωω
ωγλγλ
由此式进一步分析可以获得：当∞→t 时，)
(t n u 的渐进变化状态规律
(略)。
模型 6 金融问题的差分方程模型
1、 设现有一笔p 万元的商业贷款，如果贷款期是n 年，年利率是
1r ，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？
模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。
模型假设：设贷款后第 k 个月后的欠款数是k A 元，月还款为
m 元，月贷款利息为12
1r r =。 模型建立：关于离散变量k A ，考虑差分关系有：
m A rA A k k k +=++1，
即：m A r A k k -+=+)1(1 （3.15）
这里已知有：0,100000240==A A
模型求解：令1--=k k k A A B ，则111)1()1(--+=+=k k k r B r B B
k k B B B A A ++++=∴ (210)
])1(...)1(1[110-++++++=k r r B A ,...2,1,0],1)1[()1(0=-+-+=k r r m r A k k
这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据r A ,0代入012=n A 中，可以求出月还款额m 。例如：
2,0052125.0,100000===n r A 时，可以求出：356.444=m 元。
模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令A A k =，则r m A =
，并且 当r m A =0时，总有r
m A k =，即表明：每月只还上了利息。只有当r
m A <0时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。
2、 养老保险模型
问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计
算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？
模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。
模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第k 月止所交保费及收益的累计总额为k F ，每月收益率为r ，用q p 、分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N 表示停交保险费的月份，M 表示停领养老金的月份。
模型建立：在整个过程中，离散变量k F 的变化规律满足：
???=-+=-=++=++M N k q r F F N k p r F F k k k k ,...,,)1(1,...,1,0,)1(1
1， 在这里k F 实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险
人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M 个月时，M F 能
否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量k F ，很好地刻画了整个过
程中资金的变化关系，特别是引入收益率r ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。
模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，
则有 600,420;2282
,20====M N q p ，初始值为00=F ，我们可以得到：M N k r r
q r F F N k r r p r F F N k N k N k k k k ,...,1],1)1[()1(`,..,2,1,0],1)1[()1(0+=-+-+==-++
+=-- 在上面两式中，分别取,N k =和M k =并利用0=M F 可以求出： 0)1)(1()1(=+++-+-p q r p q r N M M
利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：
=
r
00485
.0
同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为
00461
=r
r
.0=
,
00413
.0
练习题：
1、金融公司支付基金的流动模型：某金融机构设立一笔总额为
S/540 万的基金，分开放置位于A城和B城的两个公司，基金在平时可以使用，但每周末结算时必须确保总额仍为S/540 万。经过一段时间运行，每过一周，A城公司有10%的基金流动到B城公司，而B城公司则有12%的基金流动到 A城公司。开始时，A城公司基金额为S/260万，B城公司为S/280万。试建立差分方程模型分析：两公司的基金数额变化趋势如何？进一步要求，如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于S/220万，那么是否需要在什么时间将基金做专门调动来避免这种情况？
2、某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。试建立差分方程模型分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？
3、Leslie种群年龄结构的差分方程模型
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为
0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
（1）假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；
（2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭
亡？
（3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？
完整版有限差分方法概述.doc
有限差分法（ Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较 早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分 为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上 述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后 差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。 1.基本思想 有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点 构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即 所谓的有限差分法。 2.技术要点 如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分
习题详解-第10章微分方程与差分方程初步
习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分：
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
有限差分方法计算欧式期权价格
假设当前股票价格为50美元，股票价格波动率sigma=0.3；以该股票为标的资产的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期权有效期为5个月；市场上的无风险利率为10%。利用显示差分格式为该期权进行定价。 %%% 显示法求解欧式看跌期权%%% s0=50; %股价 k=50; %执行价 r=0.1; %无风险利率 T=5/12; %存续期 sigma=0.3; %股票波动率 Smax=100; %确定股票价格最大价格 ds=2; %确定股价离散步长 dt=5/1200; %确定时间离散步长 M=round(Smax/ds); %计算股价离散步数，对Smax／ds取整运算 ds=Smax/M; %计算股价离散实际步长 N=round(T/dt); %计算时间离散步数 dt=T/N; %计算时间离散实际步长 matval=zeros(M+1,N+1); vets=linspace(0,Smax,M+1); %将区间[0,Smax]分成M段 veti=0:N; vetj=0:M; %建立偏微分方程边界条件 matval(:,N+1)=max(k-vets,0); matval(1,:)=k*exp(-r*dt*(N-veti)); matval(M+1,:)=0; %确定叠代矩阵系数 a=0.5*dt*(sigma^2*vetj-r).*vetj; b=1-dt*(sigma^2*vetj.^2+r); c=0.5*dt*(sigma^2*vetj+r).*vetj; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%% L=zeros(M-1,M+1); for i=2:M %％建立递推关系 L(i-1,i-1)=a(i); L(i-1,i)=b(i); L(i-1,i+1)=c(i); end for i=N:-1:1 matval(2:M,i)=L*matval(:,i+1); end matval %寻找期权价格进行插值。 Jdown=floor(s0/ds);
差分方程模型的稳定性分析分析解析
分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学
咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性
差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability
差分方法
一、差分方法 1．1 导数的差分公式 在x 附近对()f x 展开，由泰勒展开公式 ()()()f x h f x f x h '+≈+ 得到前差公式为 ()() ()f x h f x f x h +-'= 同理也可以得到后差公式 ()() ()f x f x h f x h --'= 由后差分公式可以得到二阶导数的差分公式为 2 ()()()2()() ()f x h f x f x h f x f x h f x h h ''+-+-+-''= = 叫中心差分公式。 利用这些公式可以将微分方程写成差分方程。 1．2 热传导方程的差分公式 热传导方程是 2t xx u a u = 可以写成差分形式 2 2 (,)(,)(,)2(,)(,) ()u x t t u x t u x x t u x t u x x t a t x +?-+?-+-?≈?? 即 []2 2 (,)(,)(,)2(,)(,)()t u x t t u x t a u x x t u x t u x x t x ?+?≈+ +?-+-?? 令 ,,0,1,2,...,1x i x t i t i n =?=?=- 上式可以写为（显示格式） []2 2 (,1)(,)(1,)2(,)(1,)()t u i j u i j a u i j u i j u i j x ?+=+ +-+-? 可以证明，上式的稳定条件为 2 2 ()2x t a ??≤，即 221()2t a x ?≤? 稳定且非振荡的条件为
22 1 ()4 t a x ?≤? 截断误差为 2((),)O x t ?? 另一种格式为 2 2 (,)(,)(,)2(,)(,) ()u x t t u x t u x x t t u x t t u x x t t a t x +?-+?+?-+?+-?+?≈?? 即 22 22()()(,1,1)2(,1)(1,1)(,)x x u i j u i j u i j u i j a t a t ????-++--++++=-????? ? 该式称为隐式格式。对任何步长都是恒稳定的。在t ?上取值的唯一限制是，要将截断误差 保持在合理的程度上从而节约计算时间。 截断误差为 2((),)O x t ??。 二、一维热传导方问题 2．1 无限长细杆的热传导 无限长细杆的热传导的定解问题是 2(,0)()t xx u a u u x x ??=? =? 利用Fourier 变换求得问题的解是 2 2()4(,)()x a t u x t d ξ?ξξ--+∞ -∞?? =???? 其中取初始温度分布如下： 1,01()0,0,1x x x x ?≤≤?=? <>? 这是在区间0—1之间高度为1的一个矩形脉冲，于是得到 2 (,)u x t ξ=? 可以用图1所示的瀑布图来表示稳定随时间与空间的变化。 从图中可以看到，在开始时，温度分布是原点附近的一个脉冲状得分布，随着时间的增加，热量向两边传播，形成一个平缓的波包，不难想象如果时间足够长，最终杆上的温度会全
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为
常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
时间序列分析讲义 第01章 差分方程
第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：
有限差分法
有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛
二维问题的有限差分方法
西北农林科技大学实习报告 学院：理学院 专业年级：信计061 姓名：袁金龙 学号：15206012 课程：微分方程数值解 报告日期：2008-12-3 实习二、二维问题的有限差分方法 一） 实习问题： 二维经典初边值问题： 2 22 2,01(,0),01(0,)(1,)0,01x u u te t t t u x x x u t u t t ???=+<≤?????=<
微分方程与差分方程详细讲解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告
2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人
研究有限差分格式稳定性的其他方法 摘要 偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。 关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性 Abstract The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method. Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability 1 前言 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。 2 Hirt启示性方法 2.1 方法概述 Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似
多期双重差分法,政策实施时间不同的处理方法
多期双重差分法,政策实施时间不同的处理方法 今天，计量经济圈主要给圈友引荐一些平时在咱们社群问得比较多的问题——多期双重差分法和一些要点。我们想检验修建地铁对城市环境污染的影响，那么我们想到的是使用DID方法来得到因果关系。但是，我们有疑惑的地方是，各个城市修地铁的时间有先有后，而标准的双重差分方法一般要求t为同一时间点，比如20xx年。 对于这个问题，我们可以采用多期DID方法，将所有还没有修建地铁的城市作为控制组，把已经修建地铁的城市作为处理组，即使最终所有城市都修建了地铁，我们也可以把还没有修建地铁之时的城市作为控制组。 简单点讲，就是每个修建地铁的城市的DID交互项在数据中显示的不一样，因为DID交互项是两个虚拟变量的乘积：treated（是不是修建了地铁）和time（修建地铁的时间）。 这个DID的交互项等于1的情况是，这个城市在具体某年修建了地铁，而对于在修建地铁之前的年份，这个城市的DID 交互项等于０。这就表明，我们在多期DID使用中不再有统一的政策实施年份，而是允许每个城市都有自己的政策实施年份。 这样是不是有助于解决我们遇到的大部分问题。对于那些压根到目前为止都没有地铁的城市，那他的DID（自然不用说）
就是等于0，因为他的treated始终是为0，属于我们的控制组样本。注意，现在就是一个普通的xtreg回归，但是这里有些地方需要注意。第一，我们平时经常看到的 treated+time+treated*time+协变量的标准DID组合已经不见了，现在只剩下了treated*time这个DID交互项和协变量了。第二，我们尽量控制一下城市的个体效应和时间效应，来消除那些会影响DID交互项估计的不可观测因素和时间效应。下面这个多期DID模型就是如此的，αt是时间效应，βi 是城市效应，Xit是随着时间变动的协变量，BC*After就属于咱们感兴趣的DID估计量。 第三，这里面的treated(就是BC)虚拟变量当然可以灵活地替换为其他连续变量，比如，我们不仅对是否修建地铁对环境影响感兴趣，更是对修建地铁的里程对环境影响感兴趣。我们可以把BC替换成地铁的里程(length)，然后我们的准DID 交互项就是length*After。这种DID设置的灵活性让这种方法有很大的适用性。 如果有时候我们不知道处理组具体怎么选择，那该如何设计方法呢？比如我们想要研究一下，美国政府对那些破产的按揭房（金融危机之后的事情）兴起了一个维护修理的政策举动，那这些房子就不至于破败不堪而影响了周围房子的价格。此时，我们就想看看这个政策举动对周围房子的价格的影响，但我们并不知道到底多远的距离才叫“周围”。
微分方程与差分方程 详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。