研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告
2015 年秋季学期研究生课程考核
（读书报告、研究报告）
考核科目:偏微分方程数值解法
学生所在院（系）:理学院数学系
学生所在学科:数学
学生姓名:H i t e r
学号:1X S012000
学生类别:
考核结果阅卷人
研究有限差分格式稳定性的其他方法
摘要
偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。
关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性
Abstract
The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.
Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability
1 前言
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。
2 Hirt启示性方法
2.1 方法概述
Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似
展开，把高阶误差略去，只留下最低阶的误差项。如果差分格式是相容的，那么这样得到的新的微分方程（称之为第一微分近似或修正微分方程）与原来的微分方程相比只增加了一些含小参数的较高阶导数的附加项。Hirt 方法就是利用第一微分近似的适应性来研究差分格式的稳定性。Hirt 方法的判别准则是这样的：如果第一微分近似是适定的，那么原来微分方程的差分格式是稳定的，否则不稳定。其实所述的微分格式是原来微分方程问题的相容的差分格式，那么也可以看作第一微分近似问题的相容的差分格式。如果第一微分近似问题是不适定的，那么它的差分格式将不稳定[1]。
2.2 操作方法
先给出几个方程
0,,0,0>∈>=??+??t R x a x
u a t u （2.1） ,2,1,0,,2,1,0,011=±±==-+-++n j h
u u a
u u n
j
n j n j
n j τ
（2.2）
01
1=-+--+h
u u a
u u n j n j n j
n j τ
（2.3）
考虑对流方程（2.1）的差分格式（2.3），在点）
，（n j t x 进行Taylor 技术展开，有 )(][2][)
,(),(2221h O x u h x u h
t u u t x u n
j n j n j n j +??-??=-- )(][2][)
,(),(2221ττ
O t
u h t u t u u t x u n
j n j n j n j +??-??=-+ 利用对流方程（2.1），有
2
2
222)(x u a x u a t t u ??=??-??=?? 因此，在点）
，（n j t x 上，有差分方程（2.3）可以得到 )(2222222h O x
u a ah x u a t u ++??-=??+??ττ）（ 略去高阶误差项，得出第一微分方程近似
2
2222x u
a ah x u a t u ??-=??+??）（τ 要使上面的抛物型方程有意义，必须有
02
22>-τ
a ah 而上面的不等号改为等号，则就化为原来的对流方程。在这两种情况下，相应的问题是适定
的。即第一微分近似适定的条件是
02
22≥-τa ah 由此得出差分格式（2.3）的稳定性条件是1≤λa ，其中h
τ
λ=
。此结论与Fourier 方法分析
得到的结论是一致的。
下面我们再来分析逼近对流方程（2.1）（仍设0>a ）的差分格式（2.2）的稳定性。模仿上面的推导可以得到它的第一微分近似是
2
2222x u a ah x u a t u ??+-=??+??）（τ 可以看出22x
u
??的系数小于0，因此第一微分近似是不适定的，从而推出差分格式（2.2）是
不稳定的。
3 直接方法
关于抛物型方程初值问题的差分格式的稳定性问题，可以用直接方法（或称矩阵方法）来研究。下面用具体例子来说明这个方法的基本思想及使用方法。
考虑常系数扩散方程的初值问题
???
???
?>==∈=>∈>??=??0,0),(),0(),0(),()0,(0
),,0(,0,022t t l u t u l x x u x u t l x a x u
a t
u （3.1） 采用显示差分格式来逼近，即
???
?
???>==-==-=>+-=--++0
,01
,2,1),(1,2,1,0,200002
1
11n u u J j x u u J j n h u u u a u u J n j j n j n j n j n j n j τ （3.2） 其中l Jh =。先把差分格式（3.2）写成
1,2,1
,)21(111-=+-+=-++J j u a u a u a u n j n j n j n j λλλ （3.3） 其中2h
τ
λ=
。可以把（3.3）写成向量形式，即 ]0
[]][21212121[][00
1
2
2111
121
2
1
1J
n
n
J n
J n n n J n J n n u u a u u u u a a a a a a a a a a u u u u
λλλλλλλλλλλ+----=--+-+-++ （3.4）
如果令
T
n J n n n u u u u ),,,(121-=
并考虑到00==n
J n u u ，则（3.4）式可以写成
n n Au u =+1 （3.5）
其中
]21212121[
λ
λλ
λλ
λλλλλa a a a a a a a a a A ----=
（3.6）
从显示格式出发，得到方程组（3.5）式，也可以理解为较为一般的形式，即对于逼近初值问题（3.2）的其他二层格式也可以化为（3.5）式的形式。当然此时A 不是（3.6）式所表示的形式。如果差分格式是二层隐式格式。则A 为C B 1
-这种形式。因此（3.5）式这种形式可理解为既包含二层显示格式又包含二层隐士格式的较为一般的形式。
引入误差向量~
n
n
n u u z -=，其中n
u 是差分方程（3.5）的精确值（理论值），~n
u 是差分方程（3.5）经数值求解得到的值（包括了舍入误差等）。显然，n
z 满足
n n Az z =+1 （3.7）
从而推出
0z A z n n = （3.8）
差分格式（3.5）的稳定性就要求
0,≥≤n K z n （3.9）
其中?为向量的2-范数。由于
02
z A z n n ?≤
因此（3.9）式成立的充分必要条件为
M A n
≤2
（3.10）
上述采用2-范数，当然也可以采用其他类型的范数。对于稳定性条件（3.10），可以仿Fourier 方法中的推导，得到一些结论：
（1）谱半径条件
τρM A +≤1)( （3.11）
是差分格式稳定的一个必要条件，其中M 为常数。
（2）如果矩阵A 是一个正规矩阵，则（3.11）式也是格式稳定的一个充分条件。 下面讨论差分格式（3.5），（3.6）的稳定性。矩阵（3.6）是对称矩阵，所以只要使条件（3.11）
成立即可。现在来计算A 的特征值。
令)1(-J 阶方阵
]0
1
1
011
110[
=S
则A 可以表示为
S a I a A λλ+-=)21(
其中I 为)1(-J 阶单位矩阵。由此可知，关键是求出S 的特征值和特征向量。
设γ和T J w w w w ),,,(121-= 分别为S 的特征值和特征向量，
w Sw γ=
写成分量的形式有
?
?
?==-==+-++02
,,1,0,0021J j j j w w J j w w w γ （3.12） 先求出j w ，再求出S 的特征值γ。由于S 为对称矩阵，所以其特征值γ为实数。由Gerschgorin 定理知，
∑-≠≤-1
J k
j kj kk s s γ
其中kj s 为矩阵S 的元素。由此得到2≤γ。（3.12）式的第一式为常系数线性差分方程。设其解具有如下形式：
0,≠=μμj j w
将它代入（3.12）式的第一式，便得到关于μ的一元二次方程
012=+-λμμ
此方程称为（3.12）式的第一式的特征方程。由于2≤γ，所以其解为
2)2
(12γ
γ
μ-±=
i 其中1-=i 。可以看到
1)2
(1)2
(222
=-+=γγμ
取2)2
(1sin ,2cos λ
?γ
?-==
，则?μi e ±=。因此差分方程（3.12）的解可以表示为 J j e a e a w ij ij j ,,1,0,21 =+=-??
由00=w ，得到021=+a a 。再由0=J w ，得到021=+-??iJ iJ e a e a ，从而有
02=--）（??
iJ iJ e e
a 由此可推0sin 2=?J a 。02≠a ，有1,2,1,-==J k k J π?。所以得到π?J
k
=，可以得到πγJ k k cos 2=。注意到J
h 1
=，则S 的特征值为πγkh k cos 2=。从而得到A 的特征值为
1,2,1,2
sin 41cos 2212
-=-=+-=J k kh a kh a a k π
λπλλξ 当21≤λa 时，1)(≤A ρ。因此显示格式的稳定性条件为2
1
≤λa 。
下面讨论隐式格式
???
??
??===+-=-+-++++0
)(20002
1
1
1111n J n j j n j n j n j n j n j u u x u u h u u u a u u τ
的稳定性。
可以把隐式格式写成向量形式
n n u B u 11-+=
其中T
n J n n n u u u u ),,,(1
21-= ，S a I a B λλ-+=)21(。利用前面已经求得的S 的特征值，可以得到B 的特征值
1,,2,1),cos 1(21)(21)(-=-+=-+=J j kh a S a a B k k πλλμλμ
由此可知，1)(>B k μ，从而有1)(1≤-B k μ。注意的B 为对称矩阵，所以1
-B 也为对称矩阵，利用直接方法结论（2）知，扩散方程隐式格式是无条件稳定的。 从上面的叙述看来，利用直接方法来分析抛物型方程的初值问题的差分格式并不困难。但在实际应用中却存在着一定的限制。上面讨论稳定性的两个例子中式依据了特殊矩阵S 才求出了)1(-J 阶矩阵A 、1
-B 的特征值。一般说来，计算高阶矩阵的特征值是相当困难的，因此直接方法应用也就很困难了。
4 能量不等式方法
4.1 方法概述
在讨论线性常系数差分格式的稳定性问题时，建立了判别差分格式的稳定性准则，从而比较容易地判断一些差分格式的稳定性。但对于变系数问题和非线性问题，一般不能采用Fourier 方法和直觉法来讨论差分格式的稳定性。而对于上述这些问题，能量不等式方法是研究差分格式稳定性的有力工具。用能量不等式方法讨论差分格式稳定性是从稳定性的定义出发，通过一系列估计式来完成的。这个方法是偏微分方程中常用的能量方法的离散模拟，在此我们仅通过例子叙述其基本思想。
4.2 操作方法
考虑变系数对流方程的初值问题
??
???∈=≤<∈=??+??R x x g x u T
t R x x
u t x a t u
),()0,(0,,0),( （4.1） 假定0),(≥t x a ，建立差分格式
??
???==-+--+)(0
011j j n j n j n j n j n j x g u h
u u a u u τ （4.2） 其中),(n j n
j t x a a =。下面用能量不等式方法来讨论这个差分格式的稳定性。先把它改变形式为
)(11n
j n j n j n j n j u u a u u -+--=λ
其中h
τ
λ=
为网格比。用1
+n j u 乘上式的两边，得
1
121)]([+-+--=n j n j n j n j n j n j u u u a u u λ）（
如果λ满足条件
1)(max ≤λn j j
a （4.3）
则有
])()[(2
])()[(2
12
1212
122
1+-++++
+-≤
n j n j n j n j n j n j n j u u a u u a u λλ）（
移项得
2
1222
1)(2
)()(n j n j n j n j
n j n j n j u a a u a u u -++
-≤λλλ）（
用h 乘上面不等式的两边，并对j 求和，令
∑∞
-∞
==
j n j
h
n h u
u
22)(
则有
∑∞
-∞
=++-+≤j n j n j n j h
n h
n h u a a u
u
2
122
1)(）（λ
如果
c x
a
t
x ≤??sup
, （4.4） 则有
22
1)1(h
n h
n u c u τ+≤+
由此可得
T n u
e
u
c u
h
cT
h
h
n ≤≤+≤ττ,)1(20202
由于问题是线性的，因此上述不等式就证明了差分格式（4.2）的稳定性。由此看出，条件（4.4）是微分方程问题中给定的。而差分格式稳定性条件就是（4.3式）式。如果a t x a =),(即为常系数问题，那么（4.4）式满足，而条件（4.3）就化为1≤λa ，这与我们在课上所学的用Fourier 方法得到的结论一致。
5 结论
在本篇论文中，从微分方程的基本概念出发，先介绍了微分方程中比较基本的概念，然后又介绍了有限差分格式的性质。在介绍有限差分格式时从三种求解有限差分格式稳定性的方法出发，分别是：Hirt 启示性方法、直接方法（或矩阵方法）和能量不等式方法。在介绍这三种的方法时也是先从基本思想出发，然后分别阐述其方法原理、公式推导和实际应用等。但是求解有限差分格式稳定性的方法很多，作者也仅仅介绍了三种方法，希望能起到抛砖引玉的作用。
参考文献
[1] 陆金甫, 关治：《偏微分方程数值解法》，清华大学出版社，北京，2003 [2] 冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978. [3] 胡祖炽编：《计算方法》，高等教育出版社，北京，1959。 [4] 清华大学、北京大学《计算方法》编与组编：（计算方法），科学出版社，北京，1980。 [5] 朱幼兰等著：《初边值问题差分法及绕流》，科学出版社，北京，1980。 [6] R ．D ．里奇特迈尔著，何旭初等译：《初值问题差分方法》，科学出版社，北京，1966 [7 ] R. D. Richtmyer ，Difference Methods for Initial-Value Problems ，Interscience Pub.，New
York ，1957.）
[8] R. D. Richtmyer ，K. W. Morton ，Difference Methods for Initial-Value Problems ，2nd ed.，
Interscience Pub.，New York ，1967.
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关于李雅普诺夫稳定性研究的读书报告 1、判据概述 对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。李雅普诺夫第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。 李雅普诺夫稳定性主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定四种情况。 （1）稳定 用表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，表示另一个半径为的球域。如果对于任意选定的每一个域，必然存在相应的一个域，其中，使得在所考虑的整个时间区间内，从域内任一点出发的受扰运动的轨线都不越出域，那么称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 （2）渐近稳定 如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间趋于无穷大时受扰运动收敛到平衡状态,则称系统平衡状态是渐近稳定的。从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动的最大允许范围。 （3）大范围渐近稳定 又称全局渐近稳定，是指当状态空间中的一切非零点取为初始扰动时，受扰运动都为渐近稳定的一种情况。在控制工程中总是希望系统具
有大范围渐近稳定的特性。系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。 （4）不稳定 如果存在一个选定的球域，不管把域的半径取得多么小，在内总存在至少一个点，使由这一状态出发的受扰运动轨线脱离域则称系统原点平衡状态是不稳定的。 2、理论应用研究现状 (1)估计非自治系统的吸引域 对于非自治系统，设是R中包含原点的一个开发区域，对所有和任意给定的总能找到一个，使当时，有成立，则称是系统零解的一个吸引域。当零解渐进稳定时，它有一个邻域作为吸引域，希望能估计出一个范围较大的吸引域。 定理：若上述系统的右端函数关于连续，，且在，中有界。若有一个正定函数满足：时关于连续，且有，则零解渐进稳定的。 (2)判断非线性系统的中心或焦点 对于非线性系统，与之相应的线性系统为或，其中，显然当且仅当时，系统有唯一的奇点，因为系统（1）与系统可通过拓扑变换相互转化，即二者是拓扑同胚，二者具有相同的拓扑结构稳定性。 判断中心焦点的V函数法：设原点O是系统的一个奇点，并且是对应线性系统的中心，在原点的领域U内存在一个连续可微的正定函数，有以下几种情形：若沿着系统轨线的全导数，则0是系统的中心。其中全导数满足若沿着系统的轨线全导数负定，则0是系统的稳定焦点。若沿着系统的轨线全导数正定，则0是系统的不稳定焦点。 3、实际应用情况 （1）对大学生体育素质稳定性的评估 大学生体育素质的综合评估具有重要的理论意义和应用价值，尤其
完整版有限差分方法概述.doc
有限差分法（ Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较 早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分 为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上 述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后 差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。 1.基本思想 有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点 构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即 所谓的有限差分法。 2.技术要点 如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分
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DES 差分分析实验报告 四大队四队五班 刘杰 一、实验目的 差分密码分析是一种选择明文攻击，是现代分组密码分析的重要方法之一，也是理论分析密码算法和算法抗攻击测试的重要依据之一。本实验通过3轮DES 简化算法的差分分析来达到加深学员对差分分析方法原理的理解和利用该原理分析实际问题的操作能力。 二、实验内容 （1）3轮DES 简化算法的差分分析； （2）通过三组明密文对（每组两个相关明文和相应密文），利用差分原理提取密钥。 明 文 密 文 748502CD38451097 03C70306D8A09F10 3874756438451097 78560A0960E6D4CB 486911026ACDFF31 45FA285BE5ADC730 375BD31F6ACDFF31 134F7915AC253457 357418DA013FEC86 D8A31B2F28BBC5CF 12549847013FEC86 0F317AC2B23CB944 三、实验原理 设DES 两个明密文对:=00m L R ***=00m L R =33c L R *** =33c L R 计算过程: (,)(,)(,)(,)=⊕=⊕=⊕⊕322312300123R L f R k R f R k L f R k f R k
(,)(,)****=⊕⊕300123R L f R k f R k 令：*'=⊕000L L L (,)(,)(,)(* **''=⊕=⊕⊕⊕⊕333001012323R R R L f R k f R k f R k f R k 观察得：在本次实验原始数据中，明文对*=00R R ，即* '=⊕=00000000000R R R 则(,)(,)** ''=⊕=⊕⊕33302323R R R L f R k f R k 同时有：=00m L R ***=00m L R =23R L ** =23R L 则可计算出：*'=⊕000L L L *'=⊕333R R R (,)(,)* ''⊕=⊕232330f R k f R k R L 则可得出： S 盒输入差：(())(())()()* *⊕⊕⊕=⊕232333E R k E R k E L E L S 盒输出差：()*-''⊕=⊕13 0D D P R L 分析过程： 令：()()*⊕=3312345678E L E L B B B B B B B B ()-''⊕=13 012345678P R L C C C C C C C C ()=312345678E L A A A A A A A A =312345678 k J J J J J J J J ()⊕=3312345678E L k X X X X X X X X *()⊕=3312345678E L k Y Y Y Y Y Y Y Y 基本思路：（分别计算12345678J J J J J J J J ） {|,()()∈=⊕⊕=⊕=i i i i i i i J T e s t x A x y B S x S y C ,,,,,,,=12345678i 对于本次实验的3个具有明文差（*,0）的明密文对，则可构造上面的3个 Test 集合，显然 ()()( )∈12 i i i i J Test Test Test t ,,,,,,,=12345678i 一种确定Ji 的直接方法： 1.建立26=64长度的数组J[64]={0}; 2.对Testi(r)，r = 1,2,…,t ，若a ∈Testi(r)，则 J[a] = J[a] + 1。 3.若J[b] =3，则6比特串b 就是可能的密钥比特 Ji 。 四、实验环境 Microsoft visual c++ 五、实验步骤 （1）计算简化算法第3轮S 盒输入差
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数值实验报告I 实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩 一、实验目的，内容 1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理； 2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异； 3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵； 二、算法描述 针对一个Poisson方程问题： 在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到： 为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有： 考虑，有：
将（3）代回（2）可得 得到Poisson方程的九点差分格式： 在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式 的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有： 对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：
以及 则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。 对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即： 写成相应的紧凑格式有：
该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：
%计算误差 u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y); for i=1:N1-1 u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y); end u_v=u_m'; err_d=max(abs(u_d-u_v)); sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1); mesh(X,Y,sol) 四. 数值结果 针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下： 步长五点差分格式误差九点差分格式误差 可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。 五. 计算中出现的问题，解决方法及体会 在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。 教 师 评 语 指导教师：年月日
中心差分法的基本理论与程序设计
中心差分法的基本理论与程序设计 1程序设计的目的与意义 该程序通过用C语言（部分C++语言）编写了有限元中用于求解动力学问题的中心差分法，巩固和掌握了中心差分法的基本概念，提高了实际动手能力，并通过实际编程实现了中心差分法在求解某些动力学问题中的运用，加深了对该方法的理解和掌握。 2程序功能及特点 该程序采用C语言（部分C++语言）实现了用于求解动力学问题的中心差分法，可以求解得到运动方程的解答，包括位移，速度和加速度。计算简便且在算法稳定的条件下，精度较高。 3中心差分法的基本理论 在动力学问题中，系统的有限元求解方程（运动方程）如下所示： ()()()() Ma t Ca t Ka t Q t ++= 式中，() a t分别是系统的结点加速度向 a t是系统结点位移向量，() a t和() 量和结点速度向量，,, M C K和() Q t分别是系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和结点载荷向量，并分别由各自的单元矩阵和向量集成。 与静力学分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到的求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。常微分方程的求解方法可以分为两类，即直接积分法和振型叠加法。 中心差分法属于直接积分法，其对运动方程不进行方程形式的变换而直接进行逐步数值积分。通常的直接积分是基于两个概念，一是将在求解域0t T内的任何时刻t都应满足运动方程的要求，代之仅在一定条件下近似地满足运动方程，例如可以仅在相隔t?的离散的时间点满足运动方程；二是在一定数目的t?区域内，假设位移a、速度a、加速度a的函数形式。 中心差分法的基本思路是用有限差分代替位移对时间的求导，将运动方程中的速度和加速度用位移的某种组合表示，然后将常微分方程组的求解问题转换为
有限差分法实验报告
工程电磁场 实验报告 ——有限差分法
用超松弛迭代法求解 接地金属槽内电位的分布 一、实验要求 按对称场差分格式求解电位的分布 已知： 给定边值：如图1-7示 图1-7接地金属槽内半场域的网格 给定初值)()(.1j 40 100 1j p 1 2j i -= --= ??? 误范围差: 510-=ε 计算：迭代次数N ，j i ,?，将计算结果保存到文件中 二、实验思想 有限差分法 有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数?的泊松方程的问题转换为求解网格节点上? =?= V 100 ? 0 =?0 =?
的差分方程组的问题。 泊松方程的五点差分格式 )(4 1 4243210204321Fh Fh -+++=?=-+++?????????? 当场域中,0=ρ得到拉普拉斯方程的五点差分格式 )(4 1 044321004321??????????+++=?=-+++ 差分方程组的求解方法(1) 高斯——赛德尔迭代法 ][)(,)(,)(,)(,)(,2 k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i 1k j i Fh 4 1 -+++=+++-+-+????? (1-14) 式中：??????=??????=,2,1,0,2,1,k j i ， ? 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 ? 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分 格式，直到所有节点电位满足ε??<-+)(,)(,k j i l k j i 为止。 （2）超松弛迭代法 ][) (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,k j i 2k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i k j i 1k j i 4Fh 4 ?????α??--++++=+++-+-+ (1-15) 式中：α——加速收敛因子)21(<<α 可见：迭代收敛的速度与α有明显关系 三、程序源代码 #include
差分法求解偏微分方程MAAB
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程 姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程 一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：具体求解的偏微分方程如下： 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；
4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-differencemethods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下： 11k k k k t t x x h τ ++-=?? -=?(2-2) 2.1古典显格式 2.1.1古典显格式的推导 由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)( )()(())i i k i k k k u u x t u x t t t o t t t ?=+-+-?(2-3) 当1k t t +=时有 21,112,(,)(,)( )()(())(,)()() i k i k i k k k k k i k i k u u x t u x t t t o t t t u u x t o t ττ+++?=+-+-??=+?+?(2-4) 得到对时间的一阶偏导数 1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t u o t ττ+-?+?(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得 223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u u u x t u x t x x x x o x x x x ??=+-+-+-??(2-6) 当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得
原料药稳定性试验报告
L- 腈化物稳定性试验报告 一、概述 L-腈化物是L- 肉碱生产过程中的第一步中间体（第二步中间体： L-肉碱粗品；第三步中间体：L-肉碱潮品），由于L- 肉碱生产工艺为 间歇操作，即每生产一步中间体，生产完毕并出具合格检测报告后，存 入中间体仓库，以备下一步生产投料所需。根据本公司L- 肉碱产品的 整个生产周期，L- 腈化物入库后可能存放的最长时间为4 周（约28 天）。以此周期为时间依据制定了L- 腈化物稳定性试验方案，用于验 证L-腈化物在再试验期限内的各项质量指标数据的稳定性，并且能否符 合L- 腈化物的质量标准，此次稳定性试验的整个周期为28 天，具体 的稳定性试验方案以ICH 药物稳定性指导原则为基础制定，以确保L- 腈化化物稳定性试验的可操作性。 二、验证日期 2010 年1 月13 日- 2010 年2 月10 日 三、验证方案 1）样品储存和包装： 考虑到L- 腈化物今后的贮藏、使用过程，本次用于稳定性试验的样品 批次与最终规模生产所用的L- 腈化物的包装和放置条件相同。 2）样品批次选择：此次稳定性试验共抽取三批样品，且抽取样品的批次与 最终规模生产时的合成路线和生产工艺相同
3）抽样频率和日期：从2010.1.13 起，每隔7 天取样一次，共取五次，具体日期为：2010.1.13 、2010.1.20 、2010.1.27 、 2010.2.3 、2010.2.10 ，以确保试验次数足以满足L- 腈化物的稳 定性试验的需要。。 4）检测项目：根据L- 腈化物的质量标准的规定，此次稳定性试验的检测项目共五项，分别为外观、氯含量、熔点、比旋度、干燥失重。这 些指标在L- 腈化物的储存过程中可能会发生变化，且有可能影响 其质量和有效性。 5）试样来源和抽样：L- 腈化物由公司102 车间生产，经检测合格后储存于中间体仓库，本次稳定性试验的L- 腈化物均取自于该中间体仓 库，其抽样方法和抽样量均按照L- 腈化物抽样方案进行抽样。抽 样完毕后直接进行检测分析，并对检测结果进行登记，保存，作为稳 定性数据评估的依据。 四、稳定性试验数据变化趋势分析及评估 通过对三批L- 腈化物的稳定性试验，对其物理、化学方面稳定性资料进行评价，旨在建立未来相似情况下，大规模生产出的L- 腈化物是否适用 现有的再试验期（28天）。批号间的变化程度是否会影响未来生产的
差分编译码实验报告
实验十三差分编译码实验 一、实验目的 掌握差分编码/译码原理 二、实验内容 1、学习差分编译码原理 2、用示波器观察差分编码结果和译码结果 三、基本原理 差分码是一种把符号‘0’和‘1’反映在相邻码元的相对变化上的波形。比如，若以相邻码元的电位改变表示符号‘1’，而以电位不改变表示符号‘0’，如图13－1所示。当然，上述规定也可以反过来。由图可见，这种码波形在形式上与单极性或双极性码波形相同，但它代表的信息符号与码元本身电位或极性无关，而仅与相邻码元的电位变化有关。差分波形也称相对码波形，而相应地称单极性或双极性波形为绝对码波形。差分码波形常在相位调制系统的码变换器中使用。 图13-1差分码波形 组成模块如下图所示： cclk d_out 端口说明： CCLK：编码时钟输入端 DIN：编码数据输入端 Diff－OUT：差分编码结果输出端 DCLK：译码时钟输入端
Diff－IN：差分译码数据输入端 DOUT：译码结果输出端 四、实验步骤 1、实验所用模块：数字编解码模块、数字时钟信号源模块。 实验连线： CCLK：从数字时钟信号源模块引入一高频时钟，如512K。 DIN：从数字时钟信号源模块引入一低频时钟，如16K。 DIFF－OUT与DIFF－IN短接。 DCLK与CCLK短接。 2、用示波器两探头同时观测DIN与DIFF－OUT端，分析差分编码规则。 3、用示波器两探头同时观测DIN与DOUT端，分析差分译码结果。 五、实验报告要求 设信息代码为1001101，码速率为128K，差分码的编码时钟为码速率的四倍，根据实验观察得到的规律，画出差分码波形。
稳定性试验报告范文
摘要：xxx是，研究其稳定性是在考察其在温度、湿度、光线的影响下随时间变化的规律，为其生产、包装、贮存、运输条件和有效期的确定提供科学依据。本试验采用高温、高湿、光照等试验方法，通过测定其含量，得出其稳定性较好，产品有效期以上，暂定其有效期为年。 关键词：稳定性试验、xxx、 正文 1 前言 1.1 xxx简介 1.2 xxx生产工艺（如工艺保密，可改为质量标准） 1.3 取样信息： 批号生产日期生产地点批量包装试验类型1.4 稳定性试验指导：化学药物稳定性研究技术指导原则2005年版
2考察项目及检测方法2.1性状 2.1.1 外观 2.1.2 熔点 2.13 水分 等等 2.2 含量测定 检测方法： 样品制备： 实验条件： 2.3 有关物质
3 试验方法 3.1高温试验 试验设备 取本品，在60℃条件下放置10天，于第5天、第10天取样，检测相关指标。 3.2高湿试验 试验设备 取本品，于25℃、RH90%±5%条件下放置10天，在第0天、第5天和第10天取样检测。 3.3光照试验 取本品，在光强度为4500lx的光源下，距光源30cm，放置10天，在0天、5天和10天取样测定。 3.4加速试验 试验条件 包材类型、来源及相关证明文件 项目容器 包材类型 包材生产商 包材注册证号 包材注册证有效期 包材质量标准编号 取采用包装的三批次样品，试验条件为
40℃±2℃、RH75%±5%，试验时间从开始，为6个月，分别于0、1、2、3、6个月取样检测。 3.5长期试验 试验条件 包材类型、来源及相关证明文件 项目容器 包材类型 包材生产商 包材注册证号 包材注册证有效期 包材质量标准编号 取采用包装的三批次样品，试验条件为25℃±2℃、RH60%±10%，试验时间从开始，取样时间点为第一年每3个月末一次，第二年每6个月末一次，以后每年末一次。（如为阶段性试验报告，可如下描述：试验时间从开始，已完成月试验，接下来将持续到年月，此报告为阶段性试验报告。）
差分方程模型的稳定性分析分析解析
分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学
咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性
差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability
差分方法实验报告
实验报告 课程名称：计算方法 院系：数学科学系 专业班级：数应1001 学号：1031110139 学生姓名：姚海保 指导教师：沈林 开课时间：2012至2013学年第一学期
一、学生撰写要求 按照实验课程培养方案的要求，每门实验课程中的每一个实验项目完成后，每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告，不得抄袭，不得缺交。 学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。字迹工整，文字简练，数据齐全，图表规范，计算正确，分析充分、具体、定量。 二、教师评阅与装订要求 1.实验报告批改要深入细致，批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题，给出评语和实验报告成绩，签名并注明批改日期。实验报告批改完成后，应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。 2.实验报告成绩用百分制评定，并给出成绩评定的依据或评分标准（附于实验报告成绩登记表后）。对迟交实验报告的学生要酌情扣分，对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育，并对该次实验报告的分数以零分处理。对单独设课的实验课程，如学生抄袭或缺交实验报告达该课程全学期实验报告总次数三分之一以上，不得同意其参加本课程的考核。 3.各实验项目的实验报告成绩登记在实验报告成绩登记表中。本学期实验项目全部完成后，给定实验报告综合成绩。 4.实验报告综合成绩应按课程教学大纲规定比例（一般为10-15%）计入实验课总评成绩；实验总评成绩原则上应包括考勤、实验报告、考核（操作、理论）等多方面成绩； 5.实验教师每学期负责对拟存档的学生实验报告按课程、学生收齐并装订，按如下顺序装订成册：实验报告封面、实验报告成绩登记表、实验报告成绩评定依据、实验报告（按教学进度表规定的实验项目顺序排序）。装订时统一靠左侧按“两钉三等分”原则装订。
一维波动方程的有限差分法
学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解 开课实验室数统学院 学院数统年级2013 专业班信计02班 学生姓名______________ 学号 开课时间2015 至2016 学年第 2 学期
数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日
1、三层显格式建立 由于题中h 0.1, 0.1h，x 0,1 ,t 0,2，取N 10, M 200，故令网比r 0.1，h X j j h, j 0,1,2,L 10，t k k ,k O,1L ,200 ,在内网个点处，利用二阶中心差商得到如下格式: k 1 k U J 2U J 2- k 1 U j k k U j 1 2U j h2 k U j 1 o h2 略去误差项得到: k 1 U j 其中j 1,2丄9,k 对于初始条件 2 k r U J1 1,2,L ,199，局部截断误差为 U x,0 sin U J k U j k r U j 2 o k 1 U J h2。 (3) 对于初始条件-u x,0 t x，建立差分格式为： sin x j sin Jh , J 利用中心差商，建立差分格式为: 0,1,2,L 10 (4) 对于边界条件将差分格式延拓使综上（3 ）、 （4 ）、 k 1 u j 其中r山o.1 1 U J 2 1 U j 0,即U1二U j1, J 0,1,2,L 10 (5) 0,t 0,2 ，建立差分格式为： U N 0,k 0,1,L ,200 k 0为内点，代入（3）得到的式子再与（5）联立消去 1 1 2 0 ’ 2 0 1 5 r U, 1 1 r U, r J 2 J J 2 （7 ）得到三层显格式如下： U 0,t U 1,t k U0 (6 ) 、 2 k r U j 1 2 1 r2k 2 k U J r U J 1 k 1? U j , J U j （6） 1后整理得到: U j 1 (7) （局部截断误差为 1,2,L 9,k 1,2,L ,199 h2) 1 U j U J sin 1 2 0 2r U J 1 k U o X j k U N sin 2 0 r U j 0,k 0,1,2,L 10 Jh ,J 1 2r2u01, J 1,2,L 9 0,1L ,200 (8) 四?实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab
对照品稳定性研究报告
类别：确认报告编号： 部门：质量管理部页码：共页，第页对照品稳定性确认报告 版次：□新订□替代： 实施日期：年月日 授权：现授权下列部门拥有并执行本方案（复印数：） 复印序列号：
目 录 一、概述 1 确认目的 2 确认依据 3 确认计划 4 确认职责 二、确认准备 1、确认所需文件 2、确认仪器、人员的检查 三、对照品稳定性考察内容 1、稳定性研究的对照品的标识 2、对照品溶液配制 3、对照品溶液储条件 4、测试时间点 5、程序和可接受标准 5.1 HPLC 对照品考察方法 5.2紫外分光光度法对照品考察方法 5.3 薄层扫描法对照品考察方法 5.4 GC 对照品考察方法 四、验证结果评定与报告 五、偏差变更 1、 30ug/ml 栀子苷对照品甲醇溶液稳定性考察评定与报告表 2、 70ug/ml 芍药苷对照品稀乙醇溶液稳定性考察评定与报告表 3、 5ug/ml 阿魏酸对照品甲醇溶液稳定性考察评定与报告表 4、 0.75mg/ml 三七皂苷Rb1、0.75mg/ml 三七皂苷Rg1、0.15mg/ml 三七皂苷R1对照品的甲醇混合溶液稳定性考察评定与报告表 5、 80ug/ml 葛根素对照品30%的乙醇溶液稳定性考察评定与报告表 6、 0.4mg/ml 盐酸麻黄碱对照品的甲醇溶液稳定性考察评定与报告表 7、 10ug/ml 黄芩苷对照品甲醇溶液稳定性考察评定与报告表 8、 15ug/ml 麝香酮对照品的无水乙醇溶液稳定性考察评定与报告表 9、 0.043mg/ml 芍药苷对照品甲醇溶液稳定性考察评定与报告表 10、 50ug/ml 红景天苷对照品甲醇溶液稳定性考察评定与报告表 11、 60ug/ml 黄芩苷对照品稀乙醇溶液稳定性考察评定与报告表
(完整word版)差分放大器设计的实验报告
设计课题 设计一个具有恒流偏置的单端输入-单端输出差分放大器。 学校：延安大学
一： 已知条件 正负电源电压V V V V EE cc 12,12-=-+=+；负载Ω=k R L 20；输入差 模信号mV V id 20=。 二：性能指标要求 差模输入电阻Ω>k R id 10；差模电压增益15≥vd A ；共模抑制 比dB K CMR 50>。 三：方案设计及论证 方案一：
方案二
方案论证： 在放大电路中，任何元件参数的变化，都将产生输出电压的漂移，由温度变化所引起的半导体参数的变化是产生零点漂移的主要原因。采用特性相同的管子使它们产生的温漂相互抵消，故构成差分放大电路。差分放大电路的基本性能是放大差模信号，抑制共模信号好，采用恒流源代替稳流电阻，从而尽可能的提高共模抑制比。 论证方案一：用电阻R6来抑制温漂 ?优点：R6 越大抑制温漂的能力越强； ?缺点：<1>在集成电路中难以制作大电阻； <2> R6的增大也会导致Vee的增大（实际中Vee不
可能随意变化） 论证方案二 优点：（1）引入恒流源来代替R6,理想的恒流源内阻趋于无穷，直流压降不会太高，符合实际情况； （2）电路中恒流源部分增加了两个电位器，其中47R的用来调整电路对称性，10K的用来控制Ic的大小，从而调节静态工作点。 通过分析最终选择方案二。 四：实验工作原理及元器件参数确定 ?静态分析：当输入信号为0时， ?I EQ≈(Vee-U BEQ)/2Re ?I BQ= I EQ /(1+β) ?U CEQ=U CQ-U EQ≈Vcc-I CQ Rc+U BEQ 动态分析 ?已知：R1=R4,R2=R3
原料药稳定性试验报告
L-腈化物稳定性试验报告 一、概述 L-腈化物是L-肉碱生产过程中的第一步中间体（第二步中间体：L-肉碱粗品；第三步中间体：L-肉碱潮品），由于L-肉碱生产工艺为间歇操作，即每生产一步中间体，生产完毕并出具合格检测报告后，存入中间体仓库，以备下一步生产投料所需。根据本公司L-肉碱产品的整个生产周期，L-腈化物入库后可能存放的最长时间为4周（约28天）。以此周期为时间依据制定了L-腈化物稳定性试验方案，用于验证L-腈化物在再试验期限内的各项质量指标数据的稳定性，并且能否符合L-腈化物的质量标准，此次稳定性试验的整个周期为28天，具体的稳定性试验方案以ICH药物稳定性指导原则为基础制定，以确保L-腈化化物稳定性试验的可操作性。 二、验证日期 2010年1月13日----2010年2月10日 三、验证方案 1）样品储存和包装： 考虑到L-腈化物今后的贮藏、使用过程，本次用于稳定性试验的样品批次与最终规模生产所用的L-腈化物的包装和放置条件相同。 2）样品批次选择：此次稳定性试验共抽取三批样品，且抽取样品的批次与最终规模生产时的合成路线和生产工艺相同
3）抽样频率和日期：从2010.1.13起，每隔7天取样一次，共取五次，具体日期为：2010.1.13、2010.1.20、2010.1.27、2010.2.3、2010.2.10，以确保试验次数足以满足L-腈化物的稳定性试验的需要。。 4）检测项目：根据L-腈化物的质量标准的规定，此次稳定性试验的检测项目共五项，分别为外观、氯含量、熔点、比旋度、干燥失重。这些指标 在L-腈化物的储存过程中可能会发生变化，且有可能影响其质量和有效 性。 5）试样来源和抽样：L-腈化物由公司102车间生产，经检测合格后储存于中间体仓库，本次稳定性试验的L-腈化物均取自于该中间体仓库，其抽 样方法和抽样量均按照L-腈化物抽样方案进行抽样。抽样完毕后直接进 行检测分析，并对检测结果进行登记，保存，作为稳定性数据评估的依 据。 四、稳定性试验数据变化趋势分析及评估 通过对三批L-腈化物的稳定性试验，对其物理、化学方面稳定性资料进行评价，旨在建立未来相似情况下，大规模生产出的L-腈化物是否适用现有的再试验期（28天）。批号间的变化程度是否会影响未来生产的L-腈化物在再试验期内是否仍符合其质量规范。本次试验数据以表格、图解的形式给出，从而对L-腈化物的稳定性数据进行有效的评估。
有限差分法
有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛
实验八_差分放大器实验报告
差分放大电路 实验报告 姓名：黄宝玲 班级：计科1403 学号：201408010320 实验摘要（关键信息） 实验目的：由于差分放大器是运算放大器的输入级，清楚差分放大电路的工作原理，有助于理解运放的工作原理和方式。通过实验弄清差分放大器的工作方式和参数指标。这些概念有：差模输入和共模输入；差模电压增益Avd和共模电压增益Avc；共模抑制比Kcmr。 实验内容与规划： 1、选用实验箱上差分放大电路；输入信号为Vs=300mV，f=3KHz正弦波。 2、发射极先接有源负载，利用调零电位器使得输出端电压Vo=0。（Vo=Vc1-Vc2） 3、在双端输入和单端输入差模信号情况下，分别测量双端输出的输入输出波形，计算各自的差模放大倍数Avd。 4、在双端输入共模信号情况下，分别测量双端输出的输入输出波形，计算双端输出共模放大倍数Avc。 5、计算共模抑制比Kcm R 。 最好作好记录表格，因为要记录的数据较多。电路中两个三极管都为9013。 实验环境（仪器用品等） 1.仪器：示波器（DPO 2012B 100MHZ 1GS/s） 直流电源（IT6302 0~30V,3Ax2CH/0~5V,3A） 台式万用表（UT805A） 模拟电路实验箱（LTE-AC-03B）。 2、所用功能区：单管、多管、负反馈放大电路。 实验原理和实验电路 1、实验原理： 差分电路是具有这样一种功能的电路。该电路的输入端是两个信号的输入，这两个信号的差值，为电路有效输入信号，电路的输出是对这两个输入信号之差的放大。 概念梳理：
差模和共模是对于差动放大电路的两个输入端而言的。 A ）差模输入：差动放大电路的两管基极输入的信号幅度相等、极性相反，这样的信号称为差模信号，这样的输入称为差模输入。 差模信号Vid ：即差模输入的两个输入信号之差。 B ）共模输入：差动放大电路的两管基极输入的信号幅度相等、极性相同，这样的信号称为共模信号，这样的输入称为共模输入。 共模信号Vic ：即共模输入的两个输入信号的算数平均值。 C ）差模电压增益Avd ：指差动放大电路对差模输入信号的放大倍数。差模电压增益越大，放大电路的性能越好。 = D ）共模电压增益Avc ：指差动放大电路对共模输入信号的放大倍数。共模电压增益越小，放大电路的性能越好。 = E ）共模抑制比Kcmr ：指差模电压放大倍数与共模电压放大倍数之比，它表明差动放大电路对共模信号的抑制能力。 =20lg| |（dB ） =| | 2、实验电路： SW1 SW-SPDT Q1 NPN Q2 NPN Q3 NPN R1 510 R2 510 R3 10k R4 10k R5 10k R6 10k R7 10k R8 5.1K R9 68K R10 36K RV1 100 R9(1) R10(2) A B C D AM FM + -