差分格式稳定性及数值效应

差分格式

§1. 差分 1． 一阶导数的差分近似（差商） 导数的定义： ()()()0 000 lim x x f x f x f x x x ?-￠= - 导数的近似： ()()()10010 f x f x f x x x -￠?- （当 1x 与 0x 足够接近时） 这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。 误差分析 － 泰勒展开：将 ()1f x 在 0x 处做泰勒展开，有 ()()()()()()2100100101 2f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+-+L 于是 ()()()() 1001010 f x f x f x x x x x -￠- =-- 各种差分近似： 取 0h >（称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 100x x h x =+>） ()()() 000f x h f x f x h +-￠?

向后差分近似（相当于取 100x x h x =-<） ()()() 000f x f x h f x h --￠? 中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均） ()()() 0002f x h f x h f x h +--￠? 2． 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 ()()()() () ()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x ------é ￠? ++ê?+ù++++ú? L L 或简写为 ()()01n j j j m f x c f x h =-￠?? 称为一阶导数 ()0f x ￠ 的一个 1m n ++ 点差分近似。这里 0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L

一维热传导方程的差分格式

《微分方程数值解》 课程论文 学生姓名1：许慧卿学号：20144329 学生姓名2：向裕学号：20144327学生姓名3：邱文林学号：20144349学生姓名4：高俊学号：20144305学生姓名5：赵禹恒学号：20144359学生姓名6：刘志刚学号： 20144346 学院：理学院 专业：14级信息与计算科学 指导教师：陈红斌 2017年6 月25日

《偏微分方程数值解》课程论文 《一维热传导方程的差分格式》论文 一、《微分方程数值解》课程论文的格式 1）引言：介绍研究问题的意义和现状 2）格式：给出数值格式 3）截断误差：给出数值格式的截断误差 4）数值例子：按所给数值格式给出数值例子 5）参考文献：论文所涉及的文献和教材 二、《微分方程数值解》课程论文的评分标准 1）文献综述：10分； 2）课题研究方案可行性：10分； 3）数值格式：20分； 4）数值格式的算法、流程图：10分； 5）数值格式的程序：10分； 6）论文撰写的条理性和完整性：10分； 7）论文工作量的大小及课题的难度：10分； 8）课程设计态度：10分； 9）独立性和创新性：10分。 评阅人： - 2 -

一维热传导方程的差分格式 1 引言 考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet 初边值问题 22(,),u u a f x t t x ??=+?? ,c x d << 0,t T <≤ (1.1) (,0)(),u x x ?= ,c x d ≤≤ (1.2) (,)(),u c t t α= (,)(),u d t t β= 0t T <≤ (1.3) 的有限差分方法, 其中a 为正常数,(,),(),(), ()f x t x t t ?αβ为已知常数, ()(0),c ?α= ()(0).d ?β= 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件. 本文将给出(1.1) (1.3)的向前Euler 格式, 向后Euler 格式和Crank Nicolson -格式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank Nicolson -格式误差最小, 向前 Euler 格式次之, 向后Euler 格式误差最大. 2 差分格式的建立 2.1 向前Euler 格式 将区间[,]c d 作M 等分, 将[]0,T 作N 等分, 并记 ()/h d c M =-, /T N τ=, j x c jh =+,0j M ≤≤, k t k τ=,0k N ≤≤. 分别称h 和τ为空间步长和时间步长.用 两组平行直线 j x x =, 0j M ≤≤, k t t =, 0k N ≤≤ 将Ω分割成矩形网格.记{} |0h j x j M Ω=≤≤, {}|0k t k N τΩ=≤≤, h h ττΩ=Ω?Ω. 称() ,j k x t 为结点[1] . 定义h τΩ上的网格函数 {}|0,0k j U j M k N Ω=≤≤≤≤, 其中() ,k j j k U u x t =. 在结点() ,j k x t 处考虑方程(1.1),有

线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为

一维热传导方程

一维热传导方程 一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件： （3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。 三． 离散格式 第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。 第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。 1. 向前差分格式 （5） ,221 11j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++τ

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

热传导方程向后差分格式的MATLAB程序

向后差分格式MATLAB编程： c lear;clc; format short e a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值'); M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M; x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n %数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u(M+1,2); %追赶法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; while k~=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1))/T; k=k+1 end k=1; while k~=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end u(2:M,2)=S; u(:,1)=u(:,2); end %计算精确解 for x=0:M

4微分方程的解及解的稳定性

第四讲 微分方程解的稳定性 上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。 []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。 微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。 常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。 偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。 线性方程：方程的形式是线性的。 例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a 是一个二阶线性常微分方程。 又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程： ())()()(t k t k s t k ?-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解： []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 一、 一阶微分方程 一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy = (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。 最简单的微分方程是

)(x f dx dy = (1.2) 它的解可表示为不定积分： ?+=c dx x f y )( (1.3) 其中，?dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令??x dt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定 积分可表示为 ?+x c dt t f y 0)(＝ 这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是 ?+x y dt t f y 00)(＝ (1.4) 二、 常见的一阶微分方程解法 1． 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的一般形式为 )()(x g y x p dx dy =+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。 为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以?x dt t p 0)(ex p , 则方程的左边为 dx dt t p y d y dt t p x p dt t p dx dy x x x ??? ???= ?+???0 00)(exp )(exp )()(exp 所以 ??? ??=??? ?????x x dt t p x g dx dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2) 方程(2.2)的解为 ?? ????+? ?? ????? ??-=???c dt t p x g dt t p y x x x 000)(exp )()(exp (2.3) 2. 可分离变量的微分方程

差分方程模型的稳定性分析分析解析

分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学

咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性

差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability

一维热传导方程

一维热传导方程 一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22 T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方 程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方 程（1）（l x <<0）和初始条件： （3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑 的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： ),,1,0(N j jh x x j === ),,1,0(M k k t t k ===τ 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合； h Γ=h G --h G 是网格界点集合。 三． 离散格式 第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为

利用中心差分格式数值求解导数

利用中心差分格式数值求解导数 目录 一、问题描述 (2) 二、格式离散 (2) 二阶导数中心差格式离散 (2) 追赶法求解线性方程组简述 (3) 计算流程图 (5) 三、程序中主要符号和数组意义 (5) 四、计算结果与讨论 (6) 五、源程序 (9)

一、问题描述 利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解 ()x dx y d 2sin 22= ()10≤≤x 1 /,0/10====x x y y 步长分别取 0001.0,001.0,01.0, 05.0=?x 二、格式离散 将x 轴上[0,1]之间的线段按上述步长，等步长的离散为n 个小段，包括端点，共n+1个网格节点，示意图如下： 线段上边的数字表示x 轴上的坐标值，线段下边的数字表示节点编号，从0到n 编号。 二阶导数中心差格式离散 211222)2sin(x y y y dx y d x i i i ?+-==+- 整理为线性方程形式 )2sin(2211x x y y y i i i ?=+-+- 其中，x ? 为空间离散步长；i=1,2，……，n-1 包括边界条件的线性方程组如下：

边界条件 边界条件0 ) *)1(*2sin(2......... ..........) **2sin(2..................) *1*2sin(20 21221122100=?-?=+-??=+-??=+-=--+-n n n n i i i y x n x y y y x i x y y y x x y y y y 改写成矩阵形式： f Ay = 其中，?????? ????????????????????----=1012112112112101 A ，??????????????????????=-n n i y y y y y y 110 ，??????????????????????=-n n i f f f f f f 110 系数矩阵A 中仅三对角线上的数值不全为0，其余位置上的数值全为0，是 典型的对角占优的三对角矩阵，列向量f 中，)2sin(2x i x f i ??=，且10==n f f ，作为边界条件。 追赶法求解线性方程组简述 ????? ?????????????????=??????????????????????????----=---n n n n n i i i b a c b a c b a c b a c b A 1111110 01012112112112101

珞琪rtk无人机后差分数据处理案例

RTK无人机数据处理案例 本次工程的主要内容是通过机载RTK获取无人机在飞行过程中的持续观察数据，将RTK数据导入差分后处理软件（PPK软件）RockyPPS进行处理，获取无人机拍照时的高精度POS数据（即无人机在拍照时的三维地理信息），再将POS数据与拍摄照片导入影像后处理软件PhotoMetric中完成三维重建工作，得到拍摄区域内的三维地理信息，将其与在地面预先测算好的检校点进行比较分析，得到整体三维重建的精度情况。 一、工程概况 本次作业区域大小为1000米乘800米，飞行高度为370米，拍摄相片数量为76张，RTK基站信息格式为UniCore格式，RTK流动站信息格式为OEMV，预设的检校点数量为20个，检校点坐标系为国家2000大地坐标系。 pt0546067.06573370255.36623.4217 pt1546249.152********.49715.4442 pt2546302.92513370959.91514.676 pt3546077.69143370976.09419.129 pt4546057.95183370642.55119.5544 pt5545899.63453370808.34422.7109 pt6545840.7833371091.50222.6866 pt7546440.97263370969.24411.7632 pt8546439.66423370825.79111.031 pt9546452.0933370744.30510.5249 pt10546458.87263370674.86810.1986 pt11546469.47463370537.539.3458 pt12546510.29083370408.2988.5436

习题选解

第六章 习题选解 6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。 1） +∞<<-∞>>+=02,0,0,x B A Bx Ax dt dx 2）()()0,310≥--=x x x x dt dx 解 1）方程可化为 )(x B A Bx dt dx +=，则其常数特解为 B A x x -==21,0，即为驻定解。 由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当B A x x - ≠≠,0时，分离变量得 Adt dx B A x x =? ????? ? ?+-11 方程的通解为 At Ce Bx A x =+ 利用初始条件()?? ? ? ?-≠≠=B A x x x x 000,00，得 00Bx A x C += ，故得原方程满足初始条件的解为 (0)(0≥??? ? ??++-= -t e B x A B A t x At ) （1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出 当时，00>x 0>dt dx ，递增， )(t x 又 B e B x A B B x A At →??? ? ??+->+-00,时，+∞→)(t x ， 即)1ln(1 0+= →B x A A t t 时，+∞→)(t x 。

当 ???????<-><+>-<>+<0 00,000 00 0 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→- →t B A t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。 图6-5 从解的图像可以看出： 解不稳定；解01=x B A x -=2稳定。 利用变换B A x y + =，可将原方程化为 22)()(By Ay B A y B B A y A dt dy +-=-+-= 所以原方程的驻定解B A x -=2对应于方程 2By Ay dt dy +-= 的零解。 0=y 2）由，求得常数解为 ()()031=--x x x 。 3,1,0321===x x x 因为()()()31,--=x x x x t f 0,0≥≥x 在全平面上连续可微，故对任意初始点，解唯一存在，当t 时有 (00,x t )

差分格式稳定性及数值效应比较实验

差分格式稳定性及数值效应比较实验 5090719044 张赟F0907102 一实验目的： 1.以一阶线性双曲线方程为例，使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。 2.了解4种差分格式的稳定性 二实验问题： 对于一阶线性双曲型方程： 取a=1,2,4, h=0.1, τ=0.08, 对不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，修正迎风格式）及不同的a值进行迭代计算。通过将计算结果与精确解来进行比较，来讨论分析差分格式的稳定性。 三实验原理： 1.迎风格式： 这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下： 运算格式： https://www.360docs.net/doc/1c8893054.html,x-Friedrichs格式：

运算格式： https://www.360docs.net/doc/1c8893054.html,x-Wendroff格式： 这种格式构造是采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到，运算格式： 4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）： 其中是取整数部分，=。根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。 四四种格式理论分析： 通过求差分格式的增长因子G(τ, k)，来判定差分格式是否稳定。 1.迎风格式： 记，则， 得, 即。 所以。 则在，满足von Neumann条件，格式稳定。 以下格式用相同方法求解稳定性条件。 https://www.360docs.net/doc/1c8893054.html,x-Friedrichs格式： ，在时稳定。

https://www.360docs.net/doc/1c8893054.html,x-Wendroff格式： ，在时稳定。 4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）： ， 其中，的成立条件为。而恒成立，故格式无条件稳定。 五实验结果： a=1（） 迎风格式Lax-Friedrichs格式 Lax-Wendroff格式修正迎风格式

3差分格式

§3. 热传导方程 上一节曾指出，由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。下面以热传导方程为例，对此展开讨论。为简单起见，先不给出定解条件。 考虑热传导方程 2 2u u t x 抖=?? 方程中出现了一阶时间导数 u t ?? 和二间空间导数 22u x ?? 。 对于一阶时间导数 u t ?? ，常用的差分近似就有三种，记 向前差分近似 1n n n j j j u u u t t +-?ü 禗 向后差分近似 1 n n n j j j u u u t t --?ü 禗 中心差分近似 11 2n n n j j j u u u t t +--?ü 禗 这里，我们用“ü”代表上一节推导差分近似的过程。

前面已经看到，二阶导数通常用中心差分近似。对这里的二阶空间导数的中心差分近似为 2 11 2 2 2n n n n j j j j u u u u x x +--+?ü 禗 但是也可以考虑其他可能的方案。由泰勒展开，有 ()1 2 232 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O +抖抖= +D +=+D 抖抖?L ()1 2 2 3 2 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O -抖抖= -D +=+D 抖抖?L 所以，如果用 1 2 2 n j u x +?? 或 1 2 2 n j u x -?? 代替 2 2 n j u x ?? ，虽然会引入新的误差，但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的，因而还是可以接受的。这样一来，二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x +++++--+抖苘 抖D 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x ----+--+抖苘 抖D

单基准站模式下多种GNSS差分数据的传输

单基准站模式下多种GNSS差分数据的传输 平先才，陈星荣，梁向棋，吕娇，舒晓明 （长江航道测量中心，湖北 武汉 430000） 摘　要：本文针对单基准站单一GNSS差分数据的传输问题，对拥有内置无线模块的天宝SPS985做了分析和研究，根据仪器的通讯数据格式以及其所支持的协议设置实现了单基准站模式下多种GNSS差分数据的传输，并做了利用4G路由器为天宝SPS985基准站提供网路信号的实验，实验表明，该方法解决了单基准站模式下多种GNSS差分数据不兼容的问题，实现了使用天宝SPS985网络基站时，市场上主流的GNSS接收机间的多种差分数据传输。该技术可以广泛应用于测绘领域。 关键词：单基准站模式；多种GNSS差分数据；多种GNSS接收机；4G无线路由 中图分类号：P228.4 文献标识码：A 文章编号：1006—7973（2018）8-0043-02 DOI编码：10.13646/https://www.360docs.net/doc/1c8893054.html,ki.42-1395/u.2018.08.019 从上个世纪70年代开始，随着信息技 术的高速发展，卫星导航定位（GNSS)精 度的一步步提升，使其在建筑、渔业、气 象、电信、测绘等行业得到大幅度深层次 地扩展应用。由于GNSS具有高精度、全 天候、高效率、多功能、操作简便等特点， 在常规的大比例尺地形图测绘项目中，利 用GNSS测量技术很大程度上提高了测量 作业的效率和可靠性，大大降低技术人员 的作业强度。 但是，在实际生产测绘作业过程中， 当我们遇到GNSS接收机品牌类型多但是 同一型号仪器的数量少的时候，往往需要 架设两个甚至多个基准站，这个时候整个 过程就略显繁琐，也会浪费一部分人力物 力资源。于是设想，使用其中某一个GNSS 接收机架设基准站，其他各种品牌型号的 GNSS接收机作为流动站都能正常接收差分 信号，并能保障其日常作业精度等要求， 该功能的实现，可以为技术人员提供更加 便捷高效的测绘作业。 1 常用GNSS接收机介绍 全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System），简称GNSS，它是所有全球导航卫星系统及其增强系统的集合名词，是利用全球的所有导航卫星所建立的覆盖全球的全天侯无线电导航系统。目前，GNSS包含了美国的GPS、俄罗斯的GLONASS、中国的Compass(北斗)、欧盟的Galileo系统，SBAS 广域差分系统，DORIS星载多普勒无线电定轨定位系统，QZSS 准天顶卫星系统，GAGAN GPS静地卫星增强系统等，可用的卫星数目达到100颗以上。它利用了众多卫星导航系统中的一个或多个系统进行导航定位，并同时提供卫星的完备性检验信息(Integrity Checking)和足够的导航安全性预警信息。 表1列出了5种市场上常用的GNSS接收机型号的通讯数据格式及支持模式。 从表1可以看出，不同品牌的GNSS接收机和同一品牌不同型号的GNSS接收机，它们通讯数据格式及支持模式都不一样。在表1品牌型号的GNSS接收机中只有天宝系列可以支持多种协议、多种数据格式信号，但是在使用天宝系列架设网络基站时，差分数据通过手簿网络上传服务器进行转发，在这种测量模式 型号通讯数据格式支持模式 天宝R8差分数据格式CMR+、CMRx、RTCM2.1、RTCM2.3、RTCM3.0、 RTCM3.1、RTCM3.2 网络模式支持支持Trimble、Pacific Crest和SATEL无线电协议 天宝SPS985 差分数据格式CMR 、CMR+、CMRx、RTCM3、RTCM2.X 网络模式支持支持TCP/IP协议，支持NTRIP协议 中海达H32 差分数据格式CMR、RTCM2.X、RTCM3.0、RTCM3.2 网络模式支持支持UDP和TCP/IP协议，支持NTRIP协议 南方银河1差分数据格式CMR+、CMRx、RTCM2.1、RTCM2.3、RTCM3.0、 RTCM3.1、RTCM3.2 网络模式支持VRS、FKP、MAC，支持NTRIP协议 莱卡GS15 差分数据格式Leica、Leica4G、CMR、CMR+、RTCM2.1/2.3/3.0/3.1 网络模式支持支持TCP/IP协议，支持NTRIP协议 表1 各品牌型号GNSS接收机的主要通讯数据格式及支持模式 C W T中国水运2018·0843

热传导方程向前差分格式的MATLAB程序

向前差分格式MATLAB编程： c lear;clc; format short e a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值'); M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M; x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n %数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u(M+1,2); %追赶法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; while k~=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1))/T; k=k+1 end k=1; while k~=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end D=(1-2*r)*eye(M-1); temp=r*linspace(1,1,M-2); D=D+diag(temp,1)+diag(temp,-1); S=D*S

差分方法的稳定性

差分方法的稳定性 1.实验内容 对于一阶线性双曲线型方程： 其中初值 取空间长度h=0.01，对于不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及不同的网格比（时间来讨论和分析差分格式的稳定性。 2.算法思想与步骤 2.1迎风格式 这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特 征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下： 运算格式： 2.2 Lax-Friedrichs 格式

运算格式： 2.3 Lax-Wendroff格式 这种格式构造采用Taylor级数展开和微分方程本身得到 运算格式： 2.4 Bean-Warming格式（二阶迎风格式） 借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式。 A,B,C和D 层上网格点P 假定C.F.L条件成立，过P点特征线与BC交于点Q， ①用B,C两点值进行线性插值，得到的是迎风格式; ②用B,D两点值进行线性插值，得到的是Lax-Friedrichs格式； ③用B,C和D三点值进行抛物型插值，得到的是Lax-Wendroff格式。 如果我们采用A,BC三点来进行抛物型插值，可以得到 这就是Beam-Warming格式。

2.5 蛙跳格式 运算格式： 保持精度的阶数相同，一般我们用Lax-Wendroff格式或Beam-Warming格式。 2.6 目标点范围跟踪格式（迎风格式的改进） 下面的分析将会得到这是一个无条件稳定结构。 3.数据分析与作图 3.1迎风格式

稳定性分析： 记，则，得

线性方程组解的判定

第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b

研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告

2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人

研究有限差分格式稳定性的其他方法 摘要 偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。 关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性 Abstract The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method. Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability 1 前言 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。 2 Hirt启示性方法 2.1 方法概述 Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似