高一数学不等式知识点复习资料

不等式

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

（1）对称性：a>b ?b

（2）传递性：若a>b，b>c，则a>c；

（3）可加性：a>b ?a+c>b+c；

（4）可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

（1）同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；

（2）异向相减：b a >，d c -?.

（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

（4）乘方法则：若a>b>0，n∈N +，则n n b a >；

（5）开方法则：若a>b>0，n∈N +，则n n b a >；

（6）倒数法则：若ab>0，a>b，则b

1a 1<。2、基本不等式

定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”

号）

推论：如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2

（当且仅当a=b 时取“=”号）算术平均数2b a +；几何平均数ab ；

推广：若0,>b a ，则b

a a

b b a b a 1122222+≥≥+≥+当且仅当a=b 时取“=”号；

3、绝对值不等式

（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；

｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a 或x＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||

b ||a ||+≤±≤-4、不等式的证明：

(1)常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；

(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

5、不等式的解法：

（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：

ax 2

+bx+c>0对于任意的x 恒成立?20040a a b ac >?=?-

+bx+c<0对于任意的x 恒成立?20040

a a

b a

c

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系1求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集，要结合20ax bx c ++=的根及二次函数2y ax bx c =++图象确定解集．2对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>，设24b ac ?=-，它的解按照000?>?=?<，，可分为三种情况．相应地，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >的解集，列表如下：

含参数的不等式应适当分类讨论。

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，

直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

（3）由目标函数z＝ax＋by 变形为y＝－b a x＋b z ，所以，求z 的最值可看成是求直线y＝－b a x＋b z 在y 轴上截距的最值（其中a、b 是常数，z 随x，y 的变化而变化）。

（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使b z 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。

7、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．

①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方．

②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．

8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．

②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．

9、最值定理