2009年全国高考理科数学试题及答案-江苏卷

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据12,,,n x x x 的方差2

2

11

11(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数1

2429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.

【答案】20- 【解析】略

2.已知向量a 和向量b 的夹角为30

，||2,||==

a b a 和向量b 的数量积

= a b ★ .

【答案】3

【解析】232

=?=

a b 。 3.函数32()15336

f x x x x =--+的单调减区间为

★ .

【答案】(1,11)- 【解析】2

()330333(11)(1)f x x

x x x '=--=-+，

由

(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数sin()(,,y

A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如

图所示，则ω= ★ .

【答案】3 【解析】

3

2

T π=，23

T π=，所以3ω=，

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

则以上两组数据的方差中较小的一个为s = ★ .

【答案】

25

【解析】略

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ .

【答案】22 【解析】略

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略

9.在平面直角坐标系xoy 中，点

P 在曲线3:

103C y x x =-+上，

且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略

10.

已知12

a

-=

，函数()x

f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合

{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是

(,)c +∞，其中c =★ .

【答案】4 【解析】由2

log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。

12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真．命题．．的序号 ★ （写出所有真命题的序号）. 【答案】（1）（2） 【解析】略

13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的

四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .

【答案】5e =-

【解析】用,,a b c 表示交点T ，得出M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率. 14．设

{}

n a 是公比为

q

的等比数列，

||1

q >，令

1(1,2,n n b a n =+= 若数列{}

n b 有连续四项在集合

{}53,23,19,37,82--中，则6q = ★ .

【答案】9-

【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.

二、解答题：本大题共6小题，共计90

分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c

（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；

（2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ

=，求证：a ∥b .

【解析】由a 与2-b c 垂直，(2)20?-=?-?=a b c a b a c

，

即4sin()8cos()0α

βαβ+-+=，tan()2αβ+=；

(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c

2||+b c

22sin 2sin cos cos ββββ=+++2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+

1730sin cos ββ=- 1715sin 2β=-，

最大值为32，所以||+b c

的最大值为

由tan tan 16αβ

=得sin sin 16cos cos αβαβ=，

即4cos 4cos sin sin 0αβαβ?-=，

所以a ∥b .

16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱111ABC

A B C -中，E,F 分别是11A B,AC 的中点，点D 在11B C 上，

11A D B C ⊥

求证：（1）EF ∥ABC 平面

（2）111A FD BB C C ⊥平面平面

A

C

A

B 1

C 1

E

F

D

【解析】证明：（1）因为

E,F 分别是11

A B,AC 的中点，所以EF //BC ，又EF ?面ABC ，BC ?面ABC ，所以EF ∥ABC 平面；

（2）因为直三棱柱

111A B C A B C -，所以1111B B A B C ⊥面，11BB A D ⊥，又

11A D B C

⊥，所以

11

1A D B C C ⊥面B

，又11A D A FD

?面，所以

111A FD BB C C ⊥平面平面。

17．（本小题满分14分）

设

{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=

（1）求数列

{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；

（2）试求所有的正整数m ，使得1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.

解析：（1）设公差为d ，则2

222

2

543a a a a -=-，

由性质得43433()()d a a d a a -+=+，

因为0d ≠， 所以430a a +=，

即1

250a d +=，

又由77S =得176

772

a d ?+=， 解得1

5a =-，

2d =

所以

{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-。

（2）

12272523m m m a a (m )(m )

a (m )

++--=-，令23m t -=，

1242m m m a a (t )(t )a t ++--=8

6t t

=+-，

因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，

当1t =，2m =时，8

63t t +-=，2573?-=，是数列{}n a 中的项；

1t =-，1m =时，8

615t t

+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合。

所以满足条件的正整数2m =。 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知圆2

21:(3)

(1)4C x y ++-=和圆

222:(4)(5)4C x y -+-=

（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C

截得的弦长为，求

直线l 的方程；

（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标. 【解析】(1)

0y =或7

(4)24

y x =-

-， (2)P 在以C 1C 2的中垂线上，且与C 1、C 2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得

点P 坐标为313(,)22-

或51(,)22

-。 19.(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为

m

m a

+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为

n

n a

+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的

现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙

(1) 求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；

(2) 设3

5

A

B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3) 记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲

和

0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

(4) 求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (5) 设3

5

A

B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(6) 记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲

和

0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

【解析】

(1)h h 乙甲([3,12],[5,20])A B m m ∈∈ 当3

5

A B m m =时，

h =甲

h =乙

显然=h h 乙甲

(2)当3

5

A

B m m =时，

h ==甲

由111

[5,20][,]205

B B m m ∈∈得

， 故当

1120

B m =即20,12B A m m ==时，

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5

20．(本小题满分16分) 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.

(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；

(2) 求

()f x 的最小值；

(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.

【解析】（1）若(0)1f ≥，则2

||111a a a a a

（2）当x a ≥时，22

()32,f x x ax a =-+2

2min

(),02,0()2(),0,033

f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<

当x a ≤时，

22

()2,f x x ax a =+-2

min

2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<

综上22min

2,0

()2,03

a a f x a a ?-≥?=?

(3)

(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，

222412(1)128a a a ?=--=-

当a a ≤≥

时，0,(,)x a ?≤∈+∞；