二次函数与三角形综合
二次函数与三角形综合
在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：
1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．
11
22
ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ?????=+=?-=+=?-
其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．
ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ????=---.
所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．
3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．
()()()()()()111
222
ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ?=-++=
-++-++-+ 4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边,与0x y ±=平行，则可以快速求解．
1
2
ABC S h BC ?=?．
例题精讲
一、二次函数与三角形综合
【例1】 二次函数21
8
y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，
过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． ⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；
⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，
使APB ∠为直角．若存在，求点P
的坐标；若不存在，
请说明理由；
⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求
AC BD ?的值．
【例2】 如图，已知抛物线的顶点为(01)A ，，矩形CDEF 的顶点C F ，在抛物线上，D E ，在x 轴上，CF
交y 轴于点(02)B ，，且其面积为8． ⑴ 求此抛物线的解析式；
⑵ 如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P Q ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为S R ，． ①求证：PB PS =； ②判断SBR ?的形状；
③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P S M ，，为顶点的三角形和以点Q R M ，，为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．
【例3】 已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点(36)A -，
并且与x 轴相交于点(10)B -，和点C ，顶点为P
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标
【例4】 如图，已知平面直角坐标系中三点(20)(02)(0)A B P x ，，，，，(0)x <，连结BP ，过P 点作
PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点(2)C y ， （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 取最大整数时，求BC 与的交点Q 的坐标。 【例5】 已知一元二次方程210x px q +++=的一根为2．
（1）求q 关于p 的解析式；
（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；
（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为M ，且与x 轴相交于()()1200A x B x ，
、，两点，求使AMB ?面积最小时的抛物线的解析式．
【例6】 已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点在直线
1
12
y x =
+上． ⑴ 求此二次函数的解析式； ⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线1
12
y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM
S ?=，求这时的二次函数的解析式．
【例7】 如图，已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于点A 、B ，交y 轴负
半轴于C 点，点B 在点A 的右侧，90ACB ∠=?，112
OA OB OC
-=
． (1)求抛物线的解析式；
(2)求ABC ?的外接圆的面积；
(3) 在抛物线2y x px q =++上是否存在点P ，使得PAB ?的面积
为 如果有，这样的点有几个；如果没有，请说明理由．
【例8】 一开口向上抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC
⊥BC ．
（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【例9】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点
A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点
B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例10】 如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，其中0m >．
（1）已知直线l
：y =，将直线l 沿x 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用
含m 的代数式）后过点A ；
（2）设直线l 平移后与y 轴的交点为B ，若动点Q 在抛物线对称轴
上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，
说明理由．
【例11】 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标．
⑵ 过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
⑶ 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，
使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ?相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
【例12】 已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物
线2y x bx c =-++的图像经过点
(),0A m 、()0,B n ．
⑴ 求这个抛物线的解析式；
⑵ 设⑴中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和BCD ?的面积； ⑶ P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH x ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把PCH ?分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．
【例13】 已知抛物线2
2y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，
，2(0)B x ，12()x x <，
且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴的交点． （1）求a b ，的值； （2）分别求出直线AC 和BC 的解析式；
（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ，
使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在
【例14】 如图，抛物线2
122
y x bx =
+-与x 轴交于A B ，
两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，
． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；）
（2）判断ABC △的形状，证明你的结论； （3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最
小时，求m 的值．
【例15】 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是
否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的
面积最大，求出点D 的坐标．
【例16】 如图，抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上
是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
【例17】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()20-，，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120?，
得到线段OB ．
⑴ 求点B 的坐标；
⑵ 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
⑶ 在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BOC ?的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
⑷ 如果点P 是⑵中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB ?是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及PAB ?的最大面积；若没有，请说明理由．
二次函数与三角形综合
二次函数综合提升卷 【类型一】二次函数之面积最值 求与函数图像相关的三角形的面积： （1）结合方程组用待定系数法求函数的解析式； （2）根据坐标求出三角形面积； ①公式法：三角形一边与坐标轴平行或重合时可以直接根据三角形面积公式求解； ②割补法：公式法无法使用是，把三角形补成矩形或梯形或直角三角形，然后根据矩形或梯形或直角三角形的面积公式解决； ③等积转化法； ④铅锤法；利用S=铅垂高?水平宽÷2,可以避免求一些比较复杂的点的坐标； ⑤特殊情况下可以利用反比例函数的几何意义进行解答。 *遇到动点最值问题时，需要利用未知数将实际问题中的情形代数化，利用二次函数性质解答 1.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从 这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为（） A.x=10，y=14 B.x=14，y=10 C.x=12 ，y=15 D.x=15 ，y=12 （第1题）（第2题） 2.如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M ，使以O 、A 、B 、M 为顶点的四边形面积最大，求点M 的坐标． （3）作直线x=m 交抛物线于点P ，交线段OB 于点Q ，当△PQB 为等腰三角形时，求m 的值． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线 经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点 （点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标． 【类型二】二次函数与全等三角形 在实际考试中会出现全等三角形点的存在性问题，解题的关键在于全等三角形对应边相等或对应角相等，利用某一个特殊角度角展开分类讨论，将所有的情形都讨论到位. 4. ★如图,在第一象限内作射线OC,与x 轴的夹角为?30,在射线OC 上取一点A,过点A 作AH ⊥ x 轴于点H.在抛物线2x y =)0(>x 上取点P,在y 轴上取点Q,使得以P,O,Q 为顶点的三角形与?AOH 全等,则符合条件的点A 的坐标是_____． 5. (1)求b 、c 的值; (2)过C 作CE x //轴交抛物线于点E,直线DE 交x 轴于点F,且F )0,4(,求抛物线的解析式; (3)在(2)条件下,抛物线上是否存在点M,使得?CDM ??CEA 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 6. 如图,抛物线)0(2≠+=a c ax y 与y 轴交于点A,与x 轴交于B,C 两点(点C 在x 轴正半轴上), ?ABC 为等腰直角三角形,且面积为4,现将抛物线沿BA 方向平移,平移后的抛物线过点C 时,与x 轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x 轴的交点为H.
二次函数与等腰三角形
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题 【学习目标】 这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨 论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性. 【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．② 代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用. 一、考点突破 12 例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若 4 已知 A 点的坐标为（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； 2）连接AC、BC，求线段BC 所在直线的解析式； P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的（3）在抛物线的对称轴上是否存在 点P 点坐标；若不存在，请说明理
【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2019中考数学专题汇编全集 二次函数与特殊三角形判定
第24题 二次函数综合题 类型1 二次函数与特殊三角形判定 1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D . (1)求此二次函数解析式； (2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1题图 (1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0， 3)， ∴根据题意，得?????a －b －3a ＝0－3a ＝3 ， 解得?????a ＝－1b ＝2 ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)， 如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，
∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1， ∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2， ∴△BCD 是直角三角形； 第1题解图 (3)解：存在． 抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1. i )如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ， 设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2， ∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2， 即y ＝4－x . 又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上， ∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3， 即x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)， ∴x ＝3＋52，
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二次函数与三角形综合题型
22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； （3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位 （h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP=． 22．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为．
二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析
二次函数综合（动点与三角形）问题 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形； 解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】 例一．（2013?地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算； （3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， ①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案． 解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴可得A（1，0），B（0，﹣3）， 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，
解得：． ∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3． （2）令y=0得：0=x2+2x﹣3， 解得：x1=1，x2=﹣3， 则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4， 故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6． （3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意： 讨论： ①当MA=AB时，， 解得：， ∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）； ②当MB=BA时，， 解得：M3=0，M4=﹣6， ∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）， ③当MB=MA时，， 解得：m=﹣1， ∴M5（﹣1，﹣1）， 答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形． 点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解． ㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】 例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
二次函数中三角形存在问题(二)
二次函数中三角形存在性问题（二） 1.相似三角形 2.等腰直角三角形 例一： 1.如图,抛物线经过三点A（1，0）,B（4,0）,C（0，-2） (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以B,P,M为顶点的三角形与OBC△相似(相似比不为1）？若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线与x轴交于A（1,0）、B（-3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）,设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标. (2)试判断△BCD的形状,并说明理由. (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2x ()k - =2，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。 x y+ h （1）求h、k的值。 （2）判断△ACD的形状，并说明理由。 （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 4.如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y 轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，2OB=OD，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q． （1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数和三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：
二次函数与相似三角形综合
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x （1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ） （2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。 解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点，显然AX2-1） 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似， 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该 抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.
例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标; 解：（1）令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A（70）B（I，°）c（°，j） （2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在 二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中， AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1) □点M在y轴左侧时，贝0VT 图2
二次函数与相似三角形结合问题
琢玉教育个性化辅导讲义 教师学科上课时间年月日学生年级讲义序号 课题名称 教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题； 教学重点 难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学容知识结构： 一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠
3 4 y x =与BC边交于D点． （1）求D点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P． 方法总结： 1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
二次函数与等腰三角形综合
专题：二次函数与三角形综合 1.与等腰三角形综合 例1如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在 x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是 等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由． 例2在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角 边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.与直角三角形综合 例3如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直线交于 A、E两点，与x轴交于 B、C两点，且B点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标； （3）若点Q在抛物线上，且△CEQ为直角三角形，请直接写出Q的坐标； （4）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标． 例4如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+8ax+16a+6经过点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，连接BC、AC．求证：△ABC是等腰直角三角形； （3）在（2）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．
二次函数中三角形问题(含问题详解)
二次函数中的三角形 一．与三角形面积 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22 k y kx =+- 与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22 ++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。C 是抛物线的顶点。 （1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021
专题探讨-二次函数与等腰三角形的综合考察
二次函数背景下的等腰三角形 二次函数是历年中考的重难点，出题比较灵活多变，主要是二次函数和一些图形题结合的考查，此类问题多基于图形的运动上进行考察，所以对于学生的想象力以及分析和运算能力有着一定的要求，所以平时应该多进行训练。 第一问一般情况下是以求二次函数的解析式和顶点坐标居多。此类题比较简单，第一种情况题目直接给出二次函数所过点的坐标，带入解析式直接求出参数a 、b 、c 的值即可，第二种情况题目中会给一些几何条件，间接求出二次函数所过点的坐标即可。 第二问出题较灵活，反观近几年中考，主要会出以下几类:求锐角三角比、面积表示、用字母表示某线段的长。 第三问主要考察动点居多，主要是二次函数和相似三角形、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形、圆的结合。 其实二次函数综合题型在平面直角坐标系的考察，实则就是点坐标的求解。也就是函数解析式和坐标轴、对称轴，以及函数解析式交点的求解。这块知识解法比较多变，主要分为代数分析法和几何分析法。主要应用了一个比较重要的数学思想即数形结合思想。接下来主要分析下二次函数和等腰三角形这块知识的求解。 等腰三角形与二次函数综合求解方法 第一、由于等腰三角形的特殊性，是每年中考必考的考点，做题时需要考虑等腰三角形的性质：腰相等，底角相等，三线合一等这些，然后分类讨论，一般地一个三角形为等腰三角形可以分为三种情况，可以以不同的顶点为分类依据。 第二、以腰相等列方程，利用二次函数可得的数据求出所设字母的值。这类题型主要设动点坐标，一般动点坐标在已知直线上或二次函数图像上，根据函数解析式设动点坐标，最好纵横坐标只设一个字母，这样学生解题思路更加清晰，再根据两点之间的距离或利用锐角的三角比列出方程，求出字母的值进而可以求出动点的坐标，并需要强调的是求出来的点的坐标的取舍。 例1：在直角坐标系中，把点(1,)A a -（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C 的纵坐标为2。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3 冲刺中考《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴专题 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－ 1 3 x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B， C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ. (1)填空：b＝________，c＝________； (2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； (3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)1 3 ，4； 【解法提示】∵二次函数y＝－1 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)， ∴ b c= b c= --+ ? ? ? -++ ?? 330 16 40 3 ，解得 b= c= ? ? ? ?? 1 3 4 ， 1 (2)可能是，理由如下： ∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动， ∴AP＝t， ∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t， ∴AQ＝t＋3， ∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°， ∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°， 在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5， 如解图①，设PQ与y轴交于点D， 第1题解图① ∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°， 2 二次函数与三角形 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值． 2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 3、已知函数2 3 2 2 y kx x =-+（k是常数） 中考培优课程 1 二次函数与特殊三角形 知识目标 模块一 二次函数与等腰直角三角形 知识导航 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，可构造如图所示的三垂直全等模型“△ACD ≌△BAE ”，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算. 若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标. 一般情况下，已知直角顶点坐标计算量会小很多. 在上述结论的基础上，加上二次函数的背景思路依然不变. 题型一 从45度到等腰直角三角形 知识导航 二次函数中经常会出现45度的条件，其中有一种常见思路就是把45度放入直角三角形中就变成了等腰直角三角形，再利用三垂直的算法就可以达到解题的效果. 例1 如图，抛物线y =ax 2+bx －4a 经过A (－1，0)、C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B .点D (3，4)在第一象限的抛物线上，点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标. 练习 如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ=135°，求直线PQ的解析式. 例2 如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于点C，D为抛物线的顶点，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB=∠CBD，求点P的坐标. 练习 如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB=∠ACO，求点P的坐标. 题型二等腰直角三角形分类讨论 例3 如图，抛物线y=ax2－2ax－3a(a≠0)交x轴于A、B两点(A在y轴左侧)，交y轴正半轴于点C，且OC=3OA. (1)求此抛物线的解折式； (2)设点P的坐标为(t，1)，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段P A1，若A1在抛物线上，求点P 的坐标； 练习 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=－2x2+4x+2与抛物线C2：y=－x2+mx+n为“友好抛物线”. (1)求抛物线C2的解析式. (2)设抛物线C2的顶点为C.点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB 绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 二次函数与三角形面积的综合 寻找类 1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题 的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用 2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。尤其是遇到二次函数与 三角形面积的综合题的解题思路。运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？ 3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐 标在不在二次函数的图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。 4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联 系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。 5.求面积常用的方法 a.直接法b。简单的组合c。面积不变同底等高或等底等高的转换 d.相似 e.三角函数f。找面积的最大最小值利用二次函数的性质 （1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的 的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。 此题中的三角形的面积就能直接求出。 （2）通过简单的重新组合就能求出面积。 第6题 （2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分） 如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 二次函数、圆、三角形综合复习 1、已知AB 2，AD 4，DAB 90o，AD ∥ BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M 是线段DE 的中点． （1）设BE x，△ABM 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 2、如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连结BP并延长交⊙ P于C，过点C的 直线y 2x b交x轴于D ，且⊙ P的半径为5，AB 4．（1）求点B，P，C 的坐标； （2）求证：CD 是⊙P的切线； 3、如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△ CDA，且 A（－1，0）、B（0，2），抛物线 y 2 ＝ ax ＋ ax－ 2 经过点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点 P、Q，使四边形 ABPQ是正方形？若存在，求点 P、 Q的坐标，若不存在，请说明理由； 4、已知抛物线y x2 4x m （m为常数）经过点（0，4） ⑴求m的值； ⑵将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l 2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l 1）关于y 轴对称；它所对应的函数的最小值为－8. ①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式； ②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以 3 为半径的⊙ P既与x 轴相切，又与直线l 2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l 2被⊙ P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由。 5、如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为 4 的圆交y 轴正半轴于点A， AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O 点开始沿x 轴正方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点 A 和点O同时出发，设运动时间为t（秒）． （1）当t ＝1 时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1 三点的抛物线解析式及对称轴l ； （2）当t 为何值时，直线PQ与⊙ C相切？并写出此时点P和点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N，使NP＋NQ最小，求出点N 的坐标并说明理由． （3）如图②，E为BC延长线上一 动点，过有一点F，且AF＝AE， AF交BC于点② BF BG，其中有且只有 一个成立 AF AG 结 A、B、E三点作⊙ O'，连结AE，在⊙ O'上 另G，连结BF。下列结论：① BE＋BF的值 不变； 请你判断哪一个结论成立，并证明成立的 二次函数中的特殊三角形存在性问题 例1 ：如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 例2：如图，已知一次函数y=+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．:（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 例3：如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．:（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 1、如图，已知抛物线22 4233 y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 2、二次函数21 8 y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求AC BD ?的值． y x O M D C B A(名师整理)最新数学中考专题冲刺《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴真题训练(含答案)
二次函数与三角形
九年级上尖子班第1讲 二次函数与特殊三角形(word版)
二次函数和三角形面积的综合
二次函数与圆以及三角形的综合题
二次函数中的特殊三角形存在性问题